圆锥曲线最值问题的的7种必考题型

1 圆锥曲线中的最值问题探究 一.点的横（纵）坐标的最值 例题 1. 定长为 ( )的线段 的端点在双曲线 的右支上，求 中点 的横坐标的最小值 解析：如图，作出双曲线的右准线，过 A，B 作 AA′、BB′垂直于准线，垂足为 A′，B′。 又过 AB 的中点 M 作 MM′垂直于准线，垂足为 M′. 因为|MM′|= (|AA′|+|BB′|)，（1） 据双曲线的第二定义： 可得|AA′|= |AF|，|BB′|= |BF|， 将此二式代入（1），结合三角形两边之和大于第三边可得： |MM′|= (|AF|+|BF|)≥ |AB|， 当且仅当 A、F、B 三点共线时，即 AB 过焦点 F 时，有|AF|+|BF|=|AB|。 即 = |AB|= ，此时 x― = = .即 x= + . 中点 的横坐标的最小值为： l 22bl a > AB 12 2 2 2 = b y－ a x AB M 2 1 | | | |, =| | | | AF BFe eAA BB =′ ′ e 1 e 1 e2 1 e2 1 ' min|MM | e2 1 e l 2 c a 2 e l 2 c al 2 c a 2 222 )2( 2 ba ala c al + += AB M 2 2 ( 2 ) 2 a l a a b + + F A' A B B ' MM ' O y x2 二.离心率最值 例题 2. 设椭圆 (a>b>0)两焦点 F1、F2，若椭圆上存在一点 Q，使∠F1QF2=120º， 求椭圆离心率 的最小值. 解析：设 ，则 在 中，由余弦定理得： 解得： ，所以 ，即椭圆离心率 的最小值为 变式：双曲线 的左右焦点分别为 ，若椭圆上存在点 P，使得 ,求双曲线离心率 的最大值 解析：由 得 因为在 中， ，即 所以 又因为当三点一线时， 所以综上得：离心率 的取值范围是 ，即双曲线离心率 的最大值为 3 12 2 2 2 =+ b y a x e 1 1 1 2( , ), ( ,0), ( ,0),c 0P x y F c F c− > 1 1 2 1| | , |PF a ex PF a ex= + = − 1 2PF F∆ 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 | | | | | | ( ) ( ) 4 1cos120 2 | | | | 2( ) ( ) 2 PF PF F F a ex a ex c PF PF a ex a ex + − + + − −= = = −+ −  2 2 2 2 1 2 4 3 [0, ]c ax ae −= ∈ 31 2 ce a > = ≥ e 3 2 )0012 2 2 2 >>=− bab y a x ，（ 21 , FF 1 2| | 2| |PF PF= e 1 2 1 2 | | 2| | | | | |=2 PF PF PF PF a =  − 1 2 | | 4 | |=2 PF a PF a =   1 2PF F∆ 1 2| | | |>2cPF PF+ 4 2 2 4 2 2 a a c a a c + >  − −+−=∆ 2 22 212 2 21 22224 41 44,41 8 0)1)(41(1664 k mk mkxx mkkmk ]4))[(1(|| 21 2 21 2 xxAB −++= 4 2 2 2 2 2 2 2 64 4 4 4 4 3 4 31 231 4 1 4 3 k m ( k m ) |m|k )[ k k m |m| |m| −= + − = = ≤+ + + + （ 3±=m || AB xy =2 1)3 22 =+− yx（ || PQ 12 1114 11)2 5(1)3(1 222 −≥−+−=−+−=−≥ xyxPCPQ || PQ 11 12 −4 F1 F2 A M x y O 四.多线段运算最值 例题 4. 、 分别是椭圆 的左右焦点， 为定点， 为椭圆上任意 点，求 的最小值。 解析：连结 、 ，则 ， 即 ， 所以 ； 由 得 ， 。 变式 1： 、 分别是椭圆 的左右焦点， 为定点， 为椭圆上任意 点，求 的最大值。 解析：连结 、 ，则 , ，即 的最大值为 变式 2：设 ， 为双曲线 =1 的右焦点，在双曲线上求一点 P，使得 取得最小值． 解析：双曲线右准线 ，过 作 于 ， 于 由双曲线的第二定义得： 即 所以 当且仅当 三点共线时取“=” 所以 ，此时 1F 2F 11625 22 =+ yx )2,2(A M 2MFMA + 1MF 1AF 1021 =+ MFMF ),,( 111 三点共线时取等号当且仅当 MAFMFAFMA ≥+ 1 2 1 2 10MA AF MF MF MF+ + ≥ + = 2 1 110 ( , , )MA MF AF F A M+ ≥ − 当且仅当 三点共线时取等号 1( 3,0)F − 1 29AF = 2 110 29( , , )MA MF F A M+ ≥ − 当 共线时取等号 1F 2F 11625 22 =+ yx )2,2(A M 2MFMA + 1MF 1AF 1021 =+ MFMF 1( 3 0)F − ， 2 1 1 1= 10 = 10 10 29 10MA MF MA MF MA MF AF+ + − − + ≤ + = +（ ） 1( , , )F A M当且仅当 三点共线时取等号 2MFMA + 29 10+ )2,3(A F 2x 3 2y− ||2 1|| PFPA + 2 1: =xl P lPH ⊥ H lAH ⊥0 0H 2= PH PF PFPH 2 1= 0||||||2 1|| AHPHPAPFPA ≥+=+ 0HPA 、、 2 5||||2 1|| 0min ==+ AHPFPA ）（ ），（ 23 21P5 变式 3：在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线 C：x2=2py（p＞0）的焦点，M 是抛物线 C 上 位于第一象限内的任意一点，过 M ，F，O 三点的圆的圆心为 Q，点 Q 到抛物线 C 的准线的距 离为 。若点 M 的横坐标为 ，直线 l：y=kx+ 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，l 与圆 Q 有两个不同的交点 D，E，求当 时， 的最小值。 解析：F 抛物线 C：x2=2py（p＞0）的焦点 F ，设 M ， 。 由题意可知 ，则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 ，解得 。 ∴抛物线 C 的方程为 。 ∵点 M 的横坐标为 ，∴点 M ， 。 由 可得 。设 ， 则 。∴ 。 ∵圆 ，圆心到直线 l 的距离 。 ∴ 。∴ 。 ∵ ，∴令 。 ∴ 。 设 ，则 。 当 时， ， 即当 时， 。 ∴当 时， 。 3 4 2 1 4 1 2 k 2≤ ≤ 2 2AB DE+ p(0, )2 2 0 0 0 x(x , )(x 0)2p > Q(a, b) pb 4 = p p p 3 3b p2 4 2 4 4 + = + = = p 1= 2x 2y= 2 ( 2, 1) 2 1( ,8Q )4 − 2x 2y 1y kx 4  = = + 2 1x 2kx 02 − − = 1 1 2 2(x , y ),A B(x , y ) 1 2 1 2 1x x =2k x x = 2 + ⋅ −， 2 2 2 1 2 1 2(1 k )[(x x ) 4xB ]A x= + + − ⋅ 2 2(1 k )(4k 2)= + + 2 22 1 2 1 3:(x ) (y )8 4 64 16 32Q + + − = + = 2 2 2k 8 2 kd 1 k 8 1 k −⋅ = = + + 2 2 2 2 2 3 k 3 2k4[ ]32 32(1 k ) 8( D 1 E k ) += − = + + 2 2 2 2 2 2 3 2k(1 k )(4k 2) 8(1 ) A k B DE += + + + + + 1 2 k 2≤ ≤ 2 51 k t [ ,5]4 + = ∈ 2 2 2 22 2 2 3 2k 2t 1 1 1(1 k )(4k 2) t(4t 2) 4t 2t8t 8t 48(1 k AB DE ) + += + + + = − + = − + ++ + 2 1 1g(t) 4t 2t 8t 4 = − + + 2 1g (t) 8t 2 8t ' = − − 5t [ ,5]4 ∈ 2 1g (t) 8t 2 0 8t ' = − − > 5 1t , k4 2 = = min 25 5 1 1 1g(t) 4 2 4516 4 4 108 4 = × − × + + = × 1k 2 = 2 m n 2 i 1( ) 1D 0B E 4A =+6 五.曲线上点到线的距离最值 例题 5.求椭圆 上到直线 距离最短的点 及相应的距离。 解析：设椭圆上任意点 ，该点到直线 的距离 当 即 时， 此时， ， ，即所求点 ，相应的距离为 变式：在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率 ， 且椭圆 上的点到 的距离的最大值为 3. （1）求椭圆 的方程； （2）在椭圆 上，是否存在点 使得直线 与圆 相交于 不同的两点 ，且 的面积最大？若存在，求出点 的坐标及相对应的 的面积； 若不存在，请说明理由。 解析：（1）∵ ，∴可设 。 ∴ ，故椭圆 C 的方程为 。 设 为椭圆上的任一点，则 。 ∵ ， ∴当 时， 取得最大值 ，即 取得最大值 。 又∵椭圆 C 上的点到 Q（0，2）的距离的最大值为 3， ∴ ，解得 。∴所求的椭圆 C 方程为 。 11216 22 =+ yx 0122: =−− yxl M )sin32,cos4( θθM l 3)3cos(25 54 5 12sin32cos4 −+= −− = πθ θθ d 1)3cos( =+ πθ 32 ππθ −= k 5 54 min =d 2cos4 =θ 3sin32 −=θ )3,2( −M 5 54 xoy C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 3e = C (0 2)Q ， C C ( , )M m n : 1l mx ny+ = 2 2: 1O x y+ = A B、 AOB∆ M C 2 2 3 3 ce a = = = 3 , 2 ( 0)a k c k k= = > 2 2b a c k= - = 2 2 2 2 13 x y b b + = ( , ) ( )P x y b y b- £ £ 2 2 23 3x b y= - 2 2 2 2 2 2 2 2| | ( 2) 2 4 4 3 2( 1) 3 6 3 6PQ x y y y b y b b= + - =- - + + =- + + + ³ + 1y =- 2| |PQ 23 6b + | |PQ 23 6b + 23 6=3b + 1b = 2 2 13 x y+ =7 （2）假设点 M（m，n）存在， 则 ， 即 圆心 O 到直线 的距离 。 ∴ 。 ∵ ∴ （当且仅当 ， 即 时取等号）。 解 得 ，即 或 或 或 。 ∴所求点 M 的坐标为 ， 对应的△OAB 的面积为 。 2 2 13 m n+ = 2 23 3m n+ = l 2 2 1 1d m n= < + 2 2 1m n+ > 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1| | 12 m nAB r d m n m n + -= - = - =+ + 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 1 1 1| |2OAB m n m nS AB d m n m nm n + - + -= = =+ ++  2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 11 1 21 1 m n m n m n m n + -= = £+ - + + - + + - 2 2 2 2 11 1 m n m n+ - = + - 2 2 2m n+ = 2 2 2 2 3 3 2 m n m n  + = + = 2 2 3 2 1 2 m n ìïï =ïïïíïï =ïïïî 6 2 2 2 m n ìïï =ïïïíïïï =ïïî 6 2 2 2 m n ìïï =ïïïíï -ïï =ïïî 6 2 2 2 m n ìïï =ïïïíï = î - ïïïï 6 2 2 2 m n ìïï =ïïïíï = - î -ïïïï 6 2 6 2 6 2 6 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )2 2 2 2 2 2 2 2- - - -、 、 、 1 28 六.周长最值 例题 6. 椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ，当 的 周长最大时，求 的面积 解析：如图，设椭圆的右焦点为 E。 由椭圆的定义得： 的周长： 。 ∵ ， ∴ ， 当 AB 过 点 E 时 取 等 号 。 ∴ 。 即直线 过椭圆的右焦点 E 时 的周长最大，此时 的高为：EF=2，直线 。 把 代入椭圆 得 。∴ 。 ∴当 的周长最大时， 的面积是 。 2 2 14 3 x y+ = F x m= A B FAB∆ FAB∆ FAB∆ 2 2AB AF BF AB a AE a BE+ + = + − + −（ ）（ ） 4a AB AE BE= + − − AE BE AB+ ≥ 0AB AE BE− − ≤ 4 4AB AF BF a AB AE BE a+ + = + − − ≤ x m= FAB∆ FAB∆ 1x m c= = = 1x = 2 2 14 3 x y+ = 3 2y = ± 3AB = FAB∆ FAB∆ 1 13 3 2 32 2EF× × = × × =9 七.面积最值 例题 7. 已知椭圆 ，过原点且倾斜角为 和 的 两条直线分别交椭圆于 、 和 、 四点， （1）用 、 、 表示四边形 的面积 ；（2）若 、 为定值，当 时，求 的最大值。 解析：（1）过原点且倾斜角为 的直线为 ， 由方程组 可得 ， ， 所求 。 （2）令 ， 当 即 时， 此时 （当且仅当 时取等号）； 当 即 时， 在 上是减函数， ，此时 。 综合所得，所求 。 12 2 2 2 =+ n y m x )0,( >nm θ θπ − )20( πθ