1
不等式常见题型汇编
题型一 不等式的概念与性质
1．比较法原理：
2． （反对称性）
3．若 则 （传递性）
4．若 ，则
5．若 ，则 ；若 ，则
6．若 ，则
7．若 ，则
8．若 ，则 ；若 ，则
9．若 ，则
10．若 ，则
角度 1：利用不等式的性质判定大小
例题1： 【2018 衡水中学高三十五模】已知 ，则下列选项中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，当 时， ，即 ，∴ ， ，
0 , 0 , 0 .a b a b a b a b a b a b− > ⇔ > − < ⇔ < − = ⇔ = a b b a> ⇔ < , ,a b b c> > a c>
a b> a c b c+ > +
, 0a b c> > ac bc> , 0a b c> < ac bc< ,a b c d> > a c b d+ > +
0 , 0a b c d> > > > ac bd>
0a b> > 1 1
a b
< 0a b< < 1 1 a b >
0a b> > ( ), 2n na b n N n> ∈ ≥
0a b> > ( ), 2n na b n N n> ∈ ≥
3 3
0c c
a b
< < b a> ac bc> 0a b
c
− > ln 0a
b
>
3 3
0c c
a b
< < 0c < 1 1 0a b > > b 0a> > b a> ac bc>
2
成立，此时 ，∴ ，故选 D
例题2： 【2018 高三联考】若 ， ，则下列不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】函数单调性的判断：(1)常用方法：定义法、导数法、图象法及复合函数法
(2)两增(减)函数和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数差是增(减)函数
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间 上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个
区间上有相反的单调性．
【解析】根据对数函数的单调性可得 ， ，故 A、
B 正确．∵ ， ，∴ ， ， ， ，
∴ ， ，则 C 正确，D 错误．故选 D．
变式1： 【2018 北京十一学校高三 3 月模拟】设 ，则
的大小关系是
A． B． C． D．
【解析】0< 1， a>c，选 B．
0a b
c
− > 0 1a
b
< < ln 0a b < 1a > 0 1c b< < < log 2018 log 2018a b > log logb ca a< ( ) ( )a ac b c c b b− > − ( ) ( )c ba c a a c a− > −
log 2018 0 log 2018a b
> > log logb ca a< 1a > 0 1c b< < < 0 a ac b< < 0c b− < 0 c ba a< < 0a c− >
( ) ( )a ac b c c b b− > − ( ) ( )c ba c a a c a− < − 4.2 0.6 0.60.6 , 7 , log 7a b c= = = , ,a b c c b a< < c a b< < b c a< < a b c< < 4.20.6 0.67 0.6log 7
3
变式2： 【2018 四川成都第七中学高三上学期模拟】设 ，则
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ，选 B．
1
2
5 2
3
log 2, log 2,a b c e= = =
, ,a b c
a b c< < b a c< < b c a< < c b a< < ( ) 1 2 5 2 3 log 2 0,1 , log 2 0, 1a b c e= ∈ = = b a c< > + =
2 4a b m+ > m
b
a
5
变式4： 【2018 辽宁大连渤海高级中学高二上学期期中考试】设 ， 且
， ，求 的取值范围．
【解析】由 得 ．已知 范围，用 表示
，再把 化简，然后根据不等式的性质可得所求范围．
由已知得 ，∴
∴ ，
∵ ，∵ ，∴
∴
变式5： 【2018 江苏邗江中学高二下学期期中考试】若不等式（﹣1）n•a＜3 对
任意的正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是_____．
【分析】本题主要考查了不等式恒成立问题，将不等式的恒成立转化为求式子的最值问题
解决恒成立问题是解答恒成立问题的基本方法，着重考查分析问题和解答问题的能力．
【解析】当 为奇数时，不等式可化为 ，即 ，要使得不等式对
( ) 2f x ax bx= +
( )1 1 2f− ≤ − ≤ ( )2 1 4f≤ ≤ ( )2f −
( ) 2f x ax bx= + ( )2 4 2f a b− = − ( ) ( )1 , 1f f− ( ) ( )1 , 1f f−
,a b ( )2 4 2f a b− = −
( )
( )
1{ 1
f a b
f a b
− = −
= +
( ) ( )
( ) ( )
1 1
2{
1 1
2
f fa
f fb
+ −=
− −=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 12 4 2 4 22 2
f f f ff a b
+ − − −− = − = × − × ( ) ( )1 3 1f f= + −
( ) ( )1 1 2, 3 3 1 6f f− ≤ − ≤ ∴− ≤ − ≤ ( )2 1 4f≤ ≤ ( ) ( )1 1 3 1 10,f f− ≤ + − ≤
( )1 2 10f− ≤ − ≤
6
任意自然数 恒成立，则 ，当 为偶数时，不等式可化为 ，要使得不等式
对任意自然数 恒成立，则 ，即 ，综上， ．
7
角度 3：不等式的性质与充要条件
例题5： 【2018 广东省中山市高二上学期期末复习】若 为实数，则 是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不也 不必要条件
【解析】当 时， 成立，当 时，满足 ，但
不成立，即“ ”是“ ”的必要不充分条件，故选 B．
例题6： 【2018 广东中山市高二上学期理科数学期末考试】条件甲： ；条
件乙： ，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不也不必要条件
【解析】由 ，根据不等式的性质可得 ；由 ，而
时， 成立， 不成立，所以甲是乙的必要不充分条
件，故选 B．
变式6： 下列四个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a，其中能使
成立的充分条件有________．
,a b 2 2a b> 0a b> >
0a b> > 2 2a b> 3, 1a b= − = − 2 2a b> 0a b> >
2 2a b> 0a b> >
2 4{ 0 3
x y
xy
< + < < < 0 1{ 2 3 x y < < < < 0 1{ 2 3 x y < < < < 2 4{ 0 3 x y xy < + < < < 0 1{ 2 3 y x < < < < 1 5,2 2x y= = 2 4{ 0 3 x y xy < + < < < 0 1{ 2 3 y x < < < < 1 1 a b +
2 0ax bx c+ + = ( )1 2 1 2,x x x x< 2 0ax bx c+ + >
{ 1x x x< }2x x x> 2 0ax bx c+ + < { }1 2x x x x< < 2 0ax bx c+ + = 1 2 2 bx x a = = − 2 0ax bx c+ + >
{x x R∈
2
bx a
≠ −
2 0ax bx c+ + < ∅ 2 0ax bx c+ + = 2 0ax bx c+ + > R
9
的解集为 ．
⑵分式不等式
（1） ；（2） ；[来源:Z|xx|k.Com]
（3） （4）
⑶简单的含绝对值不等式
1 去绝对值符号的常用方法
（1）基本性质法： 或 ；
（2）平方法：两边平方去掉绝对值符号；
（3）零点分段法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对
值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
2．形如 （或 ）绝对值不等式的三种解法
3．六类绝对值不等式的解法
（1） (a∈R)型：
或 （等价命题法）
（2） 型： ；
2 0ax bx c+ + < ∅ ( ) ( ) ( ) ( )0 0f x f x g xg x > ⇔ > ( )
( ) ( ) ( )0 0f x f x g xg x
< ⇔ < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 0 . f x g xf x g x g x ≥≥ ⇔ ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 0 . f x g xf x g x g x ≤≤ ⇔ ≠ x a a x a , x a x a< ⇔ − < < > ⇔ < − ( )x a a> > 0
x-a + x-b ≥c ≤c , c>0
( ) ( )f x a , f x a< >
( ) ( ) ( ) ( )f x a a f x a , f x a f x a< ⇔− < < > ⇔ > 0
( ) ( )f x g x< ( ) ( ) ( ) ( )2 2f x g x f x g x< ⇔
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x g x , f x g x f x g x< ⇔ − < < > ⇔ < − ( ) ( )f x g x>
( ) ( )a f x b b a< < > > 0
( ) ( ) ( )a f x b b a a f x b< < > > ⇔ < ( ) ( )f x f x< ( ) ( ) ( )f x f x f x> ⇔ < 0 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x+ < >
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x g x h x ,
f x g x h x
f x g x h x
+ ( ) ( ) ( )f x g x h x− >
{ }2| 1 0, A x ax ax x R φ= − + ≤ ∈ = a
0a = 0a > 2 4 0a a∆ = − < 0 4a< < a [ )0,4 2 1 0ax bx− − ≥ 1 1,3 2 2 0x bx a− − + ( )
( ) ( ) ( )0 0f x f x g xg x
< ⇔ < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 0 f x g xf x g x g x ≥≥ ⇔ ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 0 . f x g xf x g x g x ≤≤ ⇔ ≠
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15
角度 3：绝对值不等式解法
例题11： 解不等式：
【解法一】原不等式可化为 ，两边平方得 ，
解得 ，所以原不等式的解集为 ．
【解法二】原不等式 或 或
，解得 ，所以原不等式的解集为 ．
例题12： 【2018 四川资阳高三 4 月模拟考试（三诊）】已知函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）若正实数 a，b 满足 ，试比较 与 的大小，并说明理由．
【解析】（1）由题知 ，
①当 时，－2x－2＞4，解得 x＜－3；②当 时，2＞4，矛盾，无解；
③当 时，2x＋2＞4，x＞1；所以该不等式的解集为｛x| x＜－3 或 x＞1｝．
（2）因为 ，当且仅当 时，取“=”，
所以 ，即 ．
又 ．
2 1 2 1 0x x+ − − >
2 1 2 1x x+ > − ( )2 24 4 1 4 2 1x x x x+ + > − +
1
4x > 1 ,4
+ ∞
( ) ( )
1 ,2
2 1 2 1 0
x
x x
< −⇔ − + + − > ( )
1 1,2
2 1 2 1 0
x
x x
− ≤ ≤
+ + − >
( )
1,
2 1 2 1 0
x
x x
> + − − >
1
4x > 1 ,4
+ ∞
( ) 2f x x x= − − +
( ) 4f x < − 5a b+ = 2 2 4 ba + ( ) 3f x + 2 4x x+ + >
2x ≤ − 2 0x− < ≤ 0x >
2 2 2x x x x+ + ≥ − − = 2 0x− ≤ ≤
( ) 2 2f x x x= − − + ≤ − ( ) 3 1f x + ≤
2 2
2 5 2 5 54 4
b ba b+ = − +
2
25 8 5 45 5 5 1 14 5 4 5b b b = − + = − + ≥
16
当 且仅当 时取等号．所以 ．
变式11： 【 2018 贵 州 凯 里 市 第 一 中 学 高 三 下 学 期 《 黄 金 卷 》 第 三 套 】 设 函 数
， ，其中
（Ⅰ）求不等式 的解集
（Ⅱ）若对任意 ，都存在 ，使得 ，求实数 的取值范围
【解析】（I）不等式
则
解得： 或 ，即 ，所以不等式 的解集为 ．
（II）设 的值域为 ， 的值域为 ．对任意 ，都存在 ，使得
等价于： ，而 ．
①当 时， 不满足题意；
②当 时， ，由 得 ，得 ，
不满足题意；
③当 时， ，由 得 ，得 ，满
足题意；
综上所述，实数 的取值范围是： ．
5 4 5
5 5a b= =， ( )2
2 34
ba f x+ ≥ +
( ) 3 3f x x a x= − + − ( ) 1 3g x x= − + 0a >
( ) 5g x x≥ −
1x R∈ 2x R∈ ( ) ( )1 2f x g x= a
( ) 5g x x≥ − ⇒ 1 3 | 5|x x− + ≥ − ⇒ 1 | 5| 3x x− − − ≥ −
1 1 5 5{ { { 1 5 3 1 5 3 1 5 3
x x x
x x x x x x
< ≤ ≤ >
− + − ≥ − − + − ≥ − − − + ≥ −或 或
3 52 x≤ ≤ 5x > 3
2x ≥ ( ) 5g x x≥ − 3| 2x x ≥
( )f x N ( )g x M 1x R∈ 2x R∈
( ) ( )1 2f x g x= N M⊆ ( ) [ )3,g x ∈ +∞
9a = ( ) 3 3 =4| 3| 0f x x a x x= − + − − ≥
0 9a< < ( ) 3 3 | 3|3 af x x a x= − + − ≥ － N M⊆ | 3| 33 a − ≥ 0a ≤ 9a > ( ) 3 3 | 3|3
af x x a x= − + − ≥ － N M⊆ | 3| 33
a − ≥ 18a ≥
a [ )18,+∞
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18
角度 4：指数对数不等式解法
例题13： 不等式 的解集为_________．
【分析】简单的指数不等式（对数不等式）可以利用指数函数（对数函数）的单调性求解．
（1）当 时，
；
（2）当 时，
．
【 解 析 】 由 于 ， ， 整 理 得 ， 解 得
，因此解集为 ．
例题14： 已知指数函数 ， 时，有 ．
（1）求 的取值范围；（2）解关于 的不等式 ．
【分析】利用对数函数的单调性解得问题的注意点：
（1）确定函数的定义域，所有问题必须在定义域内讨论；
（2）分析底数与 1 的大小关系，底数大于 1 与底数小于 1 的两个函数的性质截然不同．
（3）根据函数单调性将问题化为方程（或不等式）的问题解决．
【解析】（1）∵指数函数 在 时，有 ，∴ 又 ，解得
，∴实数 的取值范围为 ．
2 21 2 50.3 0.3x x x x+ + − +>
1a >
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), log log 0f x g x
a aa a f x g x f x g x f x g x> ⇔ > > ⇔ > >
0 1a< < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), log log 0f x g x a aa a f x g x f x g x f x g x> ⇔ < > ⇔ < < 13.00
0 1a< < a ( )0,1
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（2）由（1）得 ，∵ ，∴
解得 ，∴不等式的解集为 ．
变式12： 已知 是定义域为 的偶函数，且 时， ，则不等式
的解集为
变式13： 不等式 解集为 ，则不等式 解集为_______
变式14： 函 数 （ ） 满 足 且 在 上 的 导 数 满 足
， 则 不 等 式 的 解 集 为 __________ ．
0 1a< < ( ) ( )2log 1 log 6a ax x x− ≤ + − 2 2 1 6{ 6 0 x x x x x − ≥ + − + − >
2 5x< ≤ { | 2 5}x x< ≤ )(xf R 0x ≥ xxf )2 1()( = 2 1)( >xf
( ) 0( )f x x R≤ ∈ [ ]1,2− (lg ) 0f x >
)(xf Rx∈ 2)1( =f )(xf R )(' xf
03)(' >−xf 1log3)(log 33 −< xxf
20
变式15： 若 指 数 函 数 的 图 象 过 点 ， 则 ________ ； 不 等 式
的解集为_______．
【 解 析 】 设 指 数 函 数 为 且 ， ∴ ， ∴
，则 ，解
集是 ．
( )f x ( 2,4)− (3)f =
5( ) ( ) 2f x f x+ − < ( ) ( 0xf x a a= > 1)a ≠ 2 14 2a a− = ⇒ =
31 1(3) ( )2 8f = = 5 1 5 1( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 12 2 2 2
x x xf x f x x+ − < ⇒ + < ⇒ < < ⇒ − < < ( 1,1)−
21
题型三 不等式恒成立、能成立、恰成立问题
角度 1：不等式的恒成立问题、恰成立、能成立问题
例题15： 若不等式 的解集是 R，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】不等式 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 时，
；当 时， 不等式 的解是全体实数(或恒成立)的
条件是当 时， ；当 时，
【解析】由题意得不等式 在 上恒成立．
①当 时，不等式为 ，不等式恒成立．符合题意．
② 当 时，由不等式恒成立得 ，解得 ．
综上 ，所以实数 的范围是 ，故选 A．
例题16： 当 时，不等式 恒成立，则 范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 令 ，则不等式 恒成立
转化为 在 上恒成立，
( ) ( )21 1 2 0m x m x− + − + > m
[ )1,9 ( )1,9 ( ] ( ),1 9,−∞ ∪ +∞ ( ) ( ),1 9,−∞ ∪ +∞
2 0ax bx c >＋ ＋ 0a＝
0, 0b c >＝ 0a ≠ 0{ 0
a >
∆ < 2 0ax bx c
1m ≠ ( ) ( )2
1 0
{
1 8 1 0
m
m m
− >
− − − < 1 9m< < 1 9m≤ < m [ )1,9 [ ]1,1a∈ − ( )2 4 4 2 0x a x a+ − + − > x
( ) ( ),1 3,−∞ ∪ +∞ ( ) ( ),1 2,−∞ ∪ +∞ ( ) ( ),2 3,−∞ ∪ +∞ ( )1,3
( ) ( ) 22 4 4f a x a x x= − + − + ( )2 4 4 2 0x a x a+ − + − >
( ) 0f a > [ ]1,1a∈ −
22
则 ，整理得 ，
解得 或 ，所以实数 的取值范围是 ，故选 A．
变式16： 【2018 福建闽侯第六中学高二上学期期末考】已知不等式 对
任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可知：不等式 对任意 恒成立，即：
对于任意 恒成立，令 ，则
在 上恒成立， 的对称轴为 且开口向
下， 在[ 单调递减， 故选 B．
变式17： 【2018 广东省珠海高一上学期期末考】设函数 ，对于满
足 的一切 值都有 ，则实数 的取值范围为
【分析】主要考查二次函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常
见方法：①分离参数 恒成立( 可)或 恒成立（ 即
可）；②数形结合( 图象在 上方即可)；③讨论最值 或
恒成立；④讨论参数．本题就是利用方法 ① 求得 的取值范围的．
( )
( )
( ) 2
2
1 0 2 4 4 0{ { 1 0 2 4 4 0
f x x x
f x x x
− > − − + − + >⇒> − + − + >
2
2
5 6 0{
3 2 0
x x
x x
− + >
− + >
1x < 3x > x ( ) ( ),1 3,−∞ ∪ +∞
2 22xy ax y≤ +
] [1,2 , 4,5x y ∈ ∈ a
[ )1,− +∞ [ )6,− +∞ [ )28,− +∞ [ )45,− +∞
2 22xy ax y≤ + ] [1,2 , 4,5x y ∈ ∈
22y ya x x
≥ −（ ）， ] [1,2 , 4,5x y ∈ ∈ yt x
=
22 5 2t a t t≤ ≤ ∴ ≥ −， [ ]2 5， 22y t t= − +
1
4t = ，
22y t t∴ = − + [ ]2 5， 22 2 2 6 6.maxy a∴ = − × + = − ∴ ≥ −，
( ) 2 2 2f x ax x= − +
1 4x< < x ( ) 0f x > a
( )a f x≥ ( )maxa f x≥ ( )a f x≤ ( )mina f x≤
( )y f x= ( )y g x= ( )min 0f x ≥
( )max 0f x ≤ a
23
【解析】 满足 的一切 值，都有 恒成立，
可知 ，满足 的一切 值恒成立，
， ，实数 的取值范围是
1 4x< < x ( ) 2 2 2 0f x ax x= − + >
( ) 2
2
2 1 1 1 10, 2 4 2
xa a x x
− ≠ ∴ > = − −
1 4x< < x 1 1 14 x <
p p¬ 2 1 02ax x+ + >
0a = 1 02x + > 0a ≠ 0{ 1 2 0
a
a
>
∆ = − < 1 2a >
a 1 ,2
+∞
{ }| 0 3A x x x N= ≤ < ∈且 ( ) ( )2 3 1 2f x x a x a= + + + ( ),4−∞ a 3a ≤ − ( )4 4 2 1 1 2x xy x= − ⋅ + − ≤ ≤ 3 ,14 − x 2 2 1 0x mx m+ + + = m 2 3m < −
26
③已知函数 ，令 ，对称轴
是 ，当 ，取最小值 ；当 时，取得最大值 ，故值域是 ，③错误
④设函数 ，则关于 一元二次方程 一个根大
于 ，一个根小于 ，则 ，即 ，得 ，④正确，答案②④
变式20： 【2018 四川高三 11 月月考】已知 是定义在 R 上的偶函
数，且当 x≥0 时， ，若 ，有 成立，则实数 的
取值范围是____．
( )4 4 2 1 1 2x xy x= − ⋅ + − ≤ ≤ 212 4 , 4 12
x t t y t t = ≤ ≤ = − +
2t = 2t = 3− 4t = 1 [ ]3,1−
( ) 2 2 1f x x mx m= + + + x 2 2 1 0x mx m+ + + =
1 1 ( )1 0f < 1 2 0m m+ + < 2 3m < − ( )f x ( ) xf x e= [ ], 1x a a∀ ∈ + ( ) ( )2f x a f x+ ≥ a
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题型四 基本不等式的常见用法
角度 1：利用基本不等式求最值
例题20： 设 ，求函数 的最小值为_______________
【解析】考虑将分式进行分离常数， ，使用均值不等
式可得： ，等号成立条件 ，最小值为
例题21： 已知 ，则 的最小值为______________
【解法一】所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为
，所以可将 构造为 ，三项使用均值不等式即可。
【解法二】观察到表达式中分式的分母 ，可想到作和可以消去 ，
可得 ，从而 ，
设 ，可从函数角度求得最小值（利用导数），
也可继续构造成乘积为定值：
1x > − ( 5)( 2)
1
x xy x
+ += +
( 5)( 2) 41 51 1
x xy xx x
+ += = + + ++ +
( ) 42 1 5 91y x x
≥ + ⋅ + =+
41 11x xx
+ = ⇒ =+ 9
2 0a b> > 4
(2 )a b a b
+ −
( )2b a b− a ( )1 12 22 2a a b b⋅ = ⋅ − +
3
4 1 8 1 8(2 ) 3 (2 ) 3(2 ) 2 (2 ) 2 (2 )a a b b a b bb a b b a b b a b
+ = − + + ≥ ⋅ − ⋅ ⋅ = − − −
( )2b a b− b
( ) ( ) 222 2
b a bb a b a
+ − − ≤ =
2
4 4
(2 )a ab a b a
+ ≥ +−
( ) 2
4f a a a
= +
( ) 3
2 2
4 43 32 2 2 2
a a a af a a a
= + + ≥ ⋅ ⋅ =
28
变式21： 已知 都是负实数，则 的最小值是
【解析】
是正实数，
变式22： 已知 ，则 的最大值是________
【解析】本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需
要分子与分母能够将变量消掉，观察分子为 均含 ，故考虑将分母中的 拆分与
搭配，即 ，
而 ，
,a b 2
a b
a b a b
++ +
2 2
2 2 2 2
2 2 11 1 22 3 2 3 2 3
a b a ab b ab
a ba b a b a ab b a ab b
b a
+ ++ = = − = −+ + + + + + + +
, 0a b 0 4ac∆ = ⇒ =
1 9 9 18 9 18 511 9 9 9 9 13 9 13
a c a c
c a ac a c a c a c
+ + + ++ == = = ++ + + + + + + + + 9a c+
1 9
1 9c a
++ + 9 12a c+ ≥
( ) ( )2 4f x ax x c x R= − + ∈ [ )0,+∞ 16 4 0 4
0
ac ac
a
∆ = − = ⇒ =∴ >
( )
( )( )
9 9 11 9 9 18 9 18 511 9 1 9 9 9 9 13 9 13
a c a c a c
c a c a ac a c a c a c
+ + + + + + ++ = = = = ++ + + + + + + + + + +
9 2 9 12a c ac+ ≥ =
1 9 5 611 9 12 13 5c a
∴ + ≤ + =+ + +
30
变式24： 已知 为正实数，且 ，则 的最小值为________
【解析】
变式25： 已知 且 ，则 的最小值为________
【解析】
或
,a b 2a b+ =
2 22 21
a b
a b
+ + −+
2 22 2 12 1 21 1
a b a ba b a b
+ + − = + + − + −+ +
( ) 2 1 31a b a b
= + + + + −+
2 11 1a b
= − + + +
2a b+ = ( )1 3a b∴ + + =
( )2 22 2 1 1 2 12 1 1 11 1 3 1
a b a ba b a b a b
+ ∴ + − = − + + = − + + + + + + +
( ) ( )2 1 2 11 11 2 13 1 3 1
b ba a
a b a b
+ + = − + + + + = + + +
( )2 11 2 223 1 3
b a
a b
+≥ ⋅ ⋅ =+
1a b> > 2log 3log 7a bb a+ =
2
1
1a b
+ −
( )232log 7 2 log 7log 3 0loga a a
a
b b bb
+ = ⇒ − + =
( )( )2log 1 log 3 0a ab b∴ − − =
1log 2a b∴ = log 3a b = 1a b> >
1log log2a ab a∴ = = 2b a=
31
例题22： 设 ， ， ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
例题23： 若 且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵ 且 ，∴ ，即 ．
∴ ，当且仅当 时取等号．
∴ 的取值范围为 ，故选 A．
变式26： 设 ，若 成等差数列，则 的最小值为( )
A．8 B．9 C．12 D．16
( )2
1 1 1 11 1 2 1 1 31 1 1 1a a a ab a a a
∴ + = + = − + + ≥ − ⋅ + =− − − −
a b R∈ 2 22 6a b+ = 2a b+
2 3− 5 33
− 3 3− 7 32
−
lg lg 0a b+ = a b≠ 2 1
a b
+
)2 2, +∞ ( )2 2,+∞ ) ( )2 2,3 3, ∪ +∞ ) ( )2 2,3 3, ∪ +∞
lg lg 0a b+ = a b≠ lg 0ab = 1ab =
2 1 2 2 2 2 2ab b a aba b
+ ⋅ = + ≥ = 2 2a b= =
2 1
a b
+ )2 2, +∞
0, y 0x > > lg 2,lg 2, lg2x y 1 9
x y
+
32
变式27： 已知正项等比数列 的公比为 3，若 ，则 的最小值=
【解析】∵正项等比数列 的公比为 3，且
∴ ，∴ ，
∴
当且仅当 时取等号
变式28： 设 、 ， 已 知 ， ， 且 （ ，
），则 的最大值是=
【解析】 ，
当且仅当 时取等号
{ }na 2
29m na a a= 2 1
2m n
+
{ }na 2
29m na a a=
2 2 2 4 2
2 2 2 23 3 3 9m n m na a a a− − + −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = 6m n+ =
( )1 2 1 1 2 1 1 5 32 26 2 6 2 2 6 2 4
m nm n m n n m
× + + = × + + + ≥ × + =
2 4m n= =
m n R∈ log 2am = log 2bn = 2 2a b+ = 1a >
1b > m n
mn
+
1, 1, log 2, log 2, 0, 0a ba b m n m n> > = = ∴ > >
1 1m n
mn m n
+ = + =
1 1
log 2 log 2a b
+ ( )
22
2 2 2 2 2
2 2log log log log log 12 2
a ba b ab
+ = + = ≤ = =
2a b= =
33
例题24： 已知 ，且 ，则 的最大值是________
【解析】本题观察到所求 与 的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，
即 ，代入方程中可得：
，解得： ，最大值为 4
变式29： 已知正实数 满足 ，则 的最小值为__________
【分析】本题所求表达式 刚好在条件中有所体现，所以考虑将 视为一个整体，
将 等 式 中 的 项 往 的 形 式 进 行 构 造 ，
，而 利用均值不等式化积为和，
从而将方程变形为关于 不等式，解不等式即可
【解析】
方程变形为：
，
解得： ，答案： 的最小值为
0, 0x y> > 1 1 5x y x y
+ + + = x y+
x y+ 1 1
x y
+
2 1 1 4
1 1 2
x y
x y x y
x y
+≤ ⇒ + ≥ ++
( ) ( ) ( ) ( )24 5 5 4 0x y x y x yx y
+ + ≤ ⇒ + − + + ≤+ 1 4x y≤ + ≤
,x y 2 4xy x y+ + = x y+
x y+ x y+
x y+
( ) ( ) ( )2 1xy x y xy x x y x y x y+ + = + + + = + + + ( )1x y +
x y+
( ) ( ) ( )2 4 4 1 4xy x y xy x x y x y x y+ + = ⇔ + + + = ⇔ + + + =
( ) ( ) 211 2
x yx y
+ + + ≤
∴ ( ) ( )
21 42
x y x y
+ + + + ≥
( ) ( )21 4 16x y x y∴ + + + + ≥ ( ) ( )2 6 15 0x y x y∴ + + + − ≥
6 96 2 6 32x y
− ++ ≥ = − ( )x y+ 2 6 3−
34
变式30： 已 知 正 实 数 满 足 ， 若 对 任 意 满 足 条 件 的 ， 都 有
恒成立，则实数 的取值范围为________
【分析】首先对恒成立不等式可进行参变分离， 。进而只需求得
的最小值。将 视为一个整体，将 中的 利用均值不等
式换成 ，然后解出 的范围再求最小值即可
【解析】
， ，
解得： 或 （舍）， （在
时取得）
,x y ,x y
a
3x y xy+ + =
2( ) ( ) 1 0x y a x y+ − + + ≥
( ) 1a x y x y
≤ + + +
( ) 1x y x y
+ + + x y+ 3x y xy+ + = xy
x y+ x y+
( )2 1( ) ( ) 1 0x y a x y a x y x y
+ − + + ≥ ⇒ ≤ + + +
, 0x y >
2
2
x yxy
+ ∴ ≤
2
3 2
x yx y xy
+ ∴ + + = ≤
( ) ( )24 12x y x y∴ + + ≤ +
6x y+ ≥ 2x y+ ≤ − ( )
min
1 1 376 6 6x y x y
∴ + + = + = + 6x y+ =
37
6a∴ ≤
35
例题25： 已知 ，则 的最小值是___________
【解析】观察到所求 的两项中 部分互为倒数，所以想到利用均值不等式构
造乘积为定值，所以结合第二项的分母变形 的分子。因为 ，
所以 ，则 ，
所以原式 ，因为要求得最小值，
所以 时， ，故 最小值为
变式31： 实数 ，若 ，且 ，则 的最小值为
【分析】本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可
用分离常数法将分式进行简化。 ，结合分母可
将条件 ，变形为 ，进而利用均值不等式求出最值
【解析】
，
1, 0, 0x y y x+ = > ≠ 1
2 1
x
x y
+ +
1
2 1
x
x y
+ + x
1
2 x 1x y+ =
( )1 2y x+ + = ( )11 1 1
2 2 2 4 4
x y x y
x x x x
+ + += ⋅ = +
1 12 14 4 1 4 4 1 4
x xx y x y x
x x y x x y x
+ += + + ≥ + ⋅ = ++ +
0x < min 1 4 4 x x = − 1 2 1 x x y + + 3 4 ,m n 0, 0m n≥ ≥ 1m n+ = 2 2 2 1 m n m n ++ + 2 2 4 12 12 1 2 1 m n m nm n m n + = − + − + ++ + + + 1m n+ = ( ) ( )2 1 4m n+ + + = 2 2 2 24 4 1 1 4 12 12 1 2 1 2 1 m n m n m nm n m n m n − + − ++ = + = − + + − ++ + + + + + ( ) 4 1 4 13 22 1 2 1m n m n m n = + − + + = + −+ + + + ( ) ( )1 2 1 4m n m n+ = ⇒ + + + = ( ) ( ) ( )4 14 1 4 1 1 1 22 1 4 12 1 2 1 4 4 2 1 n mm nm n m n m n + + ∴ + = + ⋅ + + + = + + + + + + + + +
36
， ，即 最小值为
变式32： 已知 ，且 是常数，又
的最小值是 ，则 ________
【解析】条件中有 ，且有 ，进而联想到求 最小值的过程
中达到的最值条件与 相关：
，
即 的最小值为 ，所以 ，
解得 ，所以
角度 2：基本不等式与其他知识结合题
例题26： 若 为等比数列， ，且 ，则 的最小值为___
【解析】 为等比数列， ， 公比 ， ，
( )4 11 2 95 24 2 1 4
n m
m n
+ + ≥ + ⋅ = + +
2 2 9 122 1 4 4
m n
m n
∴ + ≥ − =+ +
2 2
2 1
m n
m n
++ +
1
4
, , , , 2 5, 9,m nm n s t R m n n ms t
+∈ + = + = > ,m n 2s t+
1 3m n+ =
9m n
s t
+ = ( )min2 1s t+ = ( )2s t+
,m n
( ) ( ) ( )1 1 2 12 2 2 2 2 29 9 9
m n mt sns t s t m n m n mns t s t
+ = + + = + + + ≥ + +
2s t+ ( )1 2 2 29 m n mn+ +
( )1 2 2 2 19
2 5
m n mn
m n
n m
+ + =
+ =
>
1
2
m
n
=
= 3 7m n+ =
{ }na 0na > 2018
2
2a =
2017 2019
1 2
a a
+
{ }na 0na > ∴ 0q > 2018
2017
aa q
=
2017 2018
1 2q qa a
= =
37
， ， ，
当且仅当 ，即 时取等号， 的最小值为 ．
变式33： 已 知 正 项 等 比 数 列 满 足 ， 若 存 在 两 项 ， 使 得
，则 的最小值为
【解析】 ，解得： 或 （舍）
，
而
下面验证等号成立条件： 解得：
所以等号成立， 的最小值为
【易错】本题要注意到 ，在利用均值不等式求最小值的过程中有可能等号成立
的条件不满足。所以在变量范围比较特殊时，要注意验证等号成立条件
2019 2018a qa=
2019 2018
1 1 2
a qa q
= =
2017 2019
1 2 2 22 2 4 4qa a q
∴ + = + ≥ =
2 22q q
= 2q =
2017 2019
1 2
a a
∴ + 4
{ }na 7 6 52a a a= + ,m na a
14m na a a= 1 4
m n
+
2 2
7 6 5 5 5 52 2 2a a a q a qa a q q= + ⇒ = + ⇒ = + 2q = 1q = −
1 1
1 1 1 14 2 2 4m n
m na a a a a a− −∴ = ⇒ ⋅ = 22 16 6m n m n+ −∴ = ⇒ + = ( ),m n N ∗∈
( )1 4 1 1 4 1 41 46 6
n mm nm n m n m n
+ = + + = + + +
4 42 4n m n m
m n m n
+ ≥ ⋅ =
1 4 9 3
6 2m n
∴ + ≥ =
2 24 4 2
6
n m n m n mm n
m n
= ⇒ = ⇒ =
+ =
2
4
m
n
=
=
1 4
m n
∴ + 3
2
,m n N ∗∈
38
例题27： 已知 是 的重心，过点 作直线 与 ， 交于点 ，且
， ， ，则 的最小值是
令 故
故 ，
当且仅当 等号成立，故选 D．
变式34： 如图所示，在 中， ，点 在线段 上，设 ， ，
，则 的最小值为
【解析】 ，
因为 三点共线，所以 ，
根据所求表达式构造等式为 ，
所以有： ，
G ABC G MN AB AC ,M N
AM xAB= AN yAC= ( ), 0x y > 3x y+
1 13 1 3 1 2 22 2x m y n m n− = − = ≤ ≤ ≤ ≤， ，（ ， ）； 1 11 3 3
m nmn x y
+ += = =， ， ；
1 4 4 1 4 2 33 1 23 3 3 3 3 3 3
n nx y m m mn
++ = + + = + + ≥ + = +
3 , 33m n= =
ABC∆ DBAD = F CD AB a= AC b=
AF xa yb= +
1
41
++
yx
2AF xAB yAC xAD yAC= + = +
, ,C F D 2 1x y+ =
( )2 1 2x y+ + =
( )1 4 1 1 4 1 1 82 1 2 41 2 1 2 1
y xx yx y x y x y
++ = + + + = + + + + + +
39
由均值不等式可得： ，
所以
例题28： 已知点 在椭圆 上，点 满足 （ ）（ 是
坐标 原点），且 ，则线段 在 轴上的设影长度的最大值为__________．
【解析】∵ ，∴ ，故 O，A，P 三点共线．
∵ ，∴ ．设点 A 坐标为(x，y)，则 ．
令 OA 与 x 轴正方向的夹角为 θ，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度为
，
当且仅当 ，即 时等号成立．∴线段 OP 在 x 轴上投影长度最大值为 15
变式35： 设 分别为双曲线 的左、右顶点， 是双曲线
上 不 同 于 的 一 点 ， 设 直 线 的 斜 率 分 别 为 ， 则
取得最小值时，双曲线的离心率为
1 8 1 82 4 21 1
y x y x
x y x y
+ ++ ≥ ⋅ =+ +
( )1 4 1 6 4 2 3 2 21 2x y
+ ≥ + = ++
A
2 2
125 9
x y+ = P ( )1AP OAλ= − Rλ ∈ O
• 72OA OP = OP x
( )1AP OAλ= − OP OAλ=
· 72OAOP = · 72OAOP OA OP= = 2 2
125 9
x y+ =
2
7272cos | |
x x xOP OP OAOA OA OA
θ = ⋅ = ⋅ = 2 2
72 72 72 1516 9 16 9225 25
x
x y x xx x
= = ≤ =+ + ⋅
16 9
25 x x
= 15
4x =
A B、
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > P
A B、 AP BP、 m n、
4 1 2ln 2ln2
b a m na b mn
+ + + +
40
设函数 ， ，所以 f(x)在区间 单
调递减，在区间 单调递增． ，即 ，又均值不等式
等号成立条件当且仅当 ，所以
变式36： 已知抛物线 的焦点为 ，双曲线 的右焦点
为 ，过点 的直线与抛物线在第一象限的交点为 ，且抛物线在点 处的切
线与直线 垂直，则 的最大值为__________．
【解析】由题可知抛物线 的焦点为 ，过 的直线
方程为 ，联立方程组
， ，由题可知， ，
（舍去），又由 ，因此
，又由题可知 ，即得 ，
又 ，当且仅当 时取等号，即
( ) 12ln ( 0)2f x x xx
= + > ( ) 2 2
2 1 4 -1
2 2
xf x x x x
=′ = − 10, 4
1 ,4
+∞
( )min
1
4f x f =
2
2
1
4
bmn a
= =
2 24a b=
2 51 2
be a
= + =
2 4x y= F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
( )1 ,0F c 1,F F M M
3y x= − ab
2 4x y= ( )
1
1 0 10,1 , 0FFF k c c
−∴ = = −− 1,F F
( )1 11 0 1y x y xc c
− = − − ⇒ = − + 2
2
1 1 4{ 4
4
y x x xc cx y
= − + ⇒ = − +
=
2 4 4 0cx x c⇒ + − = 22 2 1 cx c
− ± +∴ =
2
1
2 2 1 cx c
− + +=
2
2
2 2 1 cx c
− − += 2 14 ' 2x y y x= ⇒ =
( )22 2 11
2
c
k c
− + +
= ×
21 1 c
c
− + += ( )21 1 3 1 3c cc
− + + × − = − ⇒ = 2 2 3a b+ =
2 2 32 3 2 2a b ab ab ab+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ 6
2a b= =
41
( )max
3
2ab =
42
题型五 不等式证明的常见处理方法
角度 1：含绝对值不等式的证明
证明绝对值不等式的三种主要方法：
（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
（2）利用三角不等式 进行证明．
（3）转化为函数问题，利用数形结合进行证明．
例题29： 已知 ，且 ，求证： ．
【分析】（1）对绝对值三角不等式定理 （定理 1），
中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．
（2）该定理可强化为 ，它经常用于证明含绝对值的不等式．
【证明】 由绝对值不等式的性质，得
， 即 ．
例题30： 已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，解不等式 ；
（ Ⅱ ） 设 为 正 实 数 ， ， 为 函 数 最 大 值 ， 求 证 ：
【解析】（1） 时， ， ，
a b a b a b− ≤ ± ≤ +
,x y∈R 1 1,6 4x y x y+ ≤ − ≤ 5 1x y+ ≤
a b a b+ ≤ + a b a c c b− ≤ − + −
a b a b a b− ≤ ± ≤ +
( ) ( )5 3 2 ,x y x y x y+ = + − − ∴
( ) ( ) ( ) ( ) 1 15 3 2 3 2 3 2 16 4x y x y x y x y x y+ = + − − ≤ + + − ≤ × + × = 5 1x y+ ≤
( ) ( )2 1f x tx tx t R= − − + ∈
1t = ( ) 1f x ≤
, ,a b c a b c m+ + = m ( )f x
3a b c+ + ≤
1t = ( ) 2 1f x x x= − − + ( )
3, 1
{ 2 1, 1 2
3, 2
x
f x x x
x
≤ −
= − + − < ≤ − >
43
所以 或 或 ，所以解集为 ．
（Ⅱ）由绝对值不等式得 ，所以 最大值 ，
当且仅当 时等号成立．
1{ 3 1
x ≤ −
≤
1 2{ 2 1 1
x
x
− < ≤ − + ≤ 2{ 3 1 x >
− ≤ [ )0,+∞
( ) ( )2 1 2 1 3tx tx tx tx− − + ≤ − − + = ( )f x 3m =
1 1 1 31 1 1 32 2 2 2
a b c a b ca b c a b c
+ + + + + ++ + ≤ ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤ + + = =
1a b c= = =
44
变式37： 已知函数 ．
(1)若 的解集非空，求实数 的取值范围；
(2)若正数 满足 ， 为（1）中 m 可取到的最大值，求证： ．
【解析】（1）去绝对值符号，可得 所以 ，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 ．
（2）由（1）知， ，所以 ．
因为 ，所以要证 ，只需证 ，
即证 ，即证 ．
因 为 ， 所 以 只 需 证 ， 因 为 ， ∴ 成 立 ， 所 以
解法二：x2+y2=2，x、y∈R+，x+y≥2xy ，设：
证明：x+y-2xy= =
令 ， ， ∴ ，
，
原式= = = =
当 时， ， ．
( ) 1f x x x= − −
( ) 1f x m≥ − m
,x y 2 2x y M+ = M 2x y xy+ ≥
( )
1, 0,
{2 1,0 1,
1, 1,
x
f x x x
x
− < = − ≤ ≤ >
( )max 1f x =
1 1m − ≤ 0 2m≤ ≤ m [ ]0,2
2M = 2 2 2x y+ =
0, 0x y> > 2x y xy+ ≥ ( )2 2 24x y x y+ ≥
( )22 1 0xy xy− − ≤ ( )( )2 1 1 0xy xy+ − ≤
2 1 0xy + > 1xy ≤ 2 22 2xy x y≤ + = 1xy ≤
2x y xy+ ≥
0 2
πθ≤ ≤ 2{ 0 22
x sin
y cos
θ πθ
θ
= ≤ ≤ =
2sin 2cos 2 2sin cosθ θ θ θ+ − ⋅ ⋅ ( )2 sin cos 4sin cosθ θ θ θ+ − ⋅
sin cos tθ θ+ = 21 2sin cos tθ θ∴ + = 0 2
πθ≤ ≤ 1 2t≤ ≤
22sin cos 1tθ θ = −
∴ ( )22 2 1t t− − 22 2 2t t− + + 2 22 22t t
− − +
2t = min 2 2 2 2 0y = − × + + = ∴ 2x y xy+ ≥
45
变式38： 已知 ， ，且 ．
（1）若 恒成立，求 的取值范围；
（2）证明： ．
【解析】（1）设
由 ，得 ，
故
当且仅当 时等号成立，所以 ．
当 时， ，得 ；
当 时， ，解得 ，故 ；
当 时， ，解得 ，故 ．
综上， ．
0a > 0b > 2 2 2a b+ =
2 2
1 4 2 1 1x xa b
+ ≥ − − − x
( )5 51 1 4a ba b
+ + ≥
, 1,
12 1 1 {3 2, 1, 2
1, .2
x x
y x x x x
x x
≥
= − − − = − ≤ < − < 2 2 2a b+ = ( )2 21 12 a b+ = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 1 4 1 41 42 2 b aa ba b a b a b + = + + = + + + 2 2 2 2 1 4 91 4 22 2 b a a b ≥ + + ⋅ = 2 22 4,3 3a b= = 9 2 1 12 x x≥ − − − 1x ≤ 9 2x ≤ 91 2x≤ ≤ 1 12 x≤ < 93 2 2x − ≤ 13 6x ≤ 1 12 x≤ < 1 2x < 9 2x− ≤ 9 2x ≥ − 9 1 2 2x− ≤ < 9 9 2 2x− ≤ ≤
46
（2）
．
角度 2：比较法证明不等式
比较法是证明不等式的常用方法．
1．作差比较法的依据： ．
2．作商比较法的依据：设 ，则 ．
比较法证明等式关键是代数式的变形能力，变形一定要彻底，容易判断差式的符号（商式与
的大小）．
提醒：作商比较时容易忽视分母的符号而得出错误的结论．
例题31： （1）设 是非负实数，求证： ；
（2）求证： ．
【证明】（1）
又 不论 ，还是 ，都有 与 同号，
( ) 5 5
5 5 4 41 1 b aa b a ba b a b
+ + = + + +
( ) 5 522 2 2 22b aa b a ba b
= + + + −
( ) ( )5 52 22 2 2 2 2 22 2 4b aa b a b a ba b
≥ + + ⋅ − = + =
0 , 0 , 0a b a b a b a b a b a b− > ⇔ > − = ⇔ = − < ⇔ < 0B > 1, 1, 1A A AA B A B A BB B B
> ⇔ > = ⇔ = < ⇔ < 1 ,a b ( )2 2a b ab a b+ ≥ + ( ) ( )2 0 , 0 a b a ba b ab a b + ≥ > >
( ) ( ) ( )2 2 2 2a b ab a b a a ab b b ab+ − + = − + −
( ) ( )a a a b b b b a= − + − ( )( ) 1 1 3 3
2 2 2 2a b a a b b a b a b
= − − = − −
0 , 0 ,a b≥ ≥ ∴ 0a b≥ ≥ 0 a b≤ ≤
1 1
2 2a b−
3 3
2 2a b−
47
．
（2） ．
当 时， ；当 时， ；当
时， ．
综上所述： ．
变式39： （1）设 是非负实数，求证： ；
（2）求证： ．
【证明】（1）
又 不论 ，还是 ，都有 与 同号，
．
( )1 1 3 3
2 22 2 2 2 0 ,a b a b a b ab a b
− − ≥ ∴ + ≥ +
( )
2
2 2
2
a b
a b b aa b
a b
a b aa b bab
−
− −
+
= =
a b= 2
1
a b
a
b
−
= 0a b> > 2
1, 0 , 12
a b
a a b a
b b
−
− > > ∴ > 0b a> >
2
0 1, 0 , 12
a b
a a b a
b b
−
− < < < ∴ >
( ) ( )2 0 , 0
a b
a ba b ab a b
+
≥ > >
,a b ( )2 2a b ab a b+ ≥ +
( ) ( )2 0 , 0
a b
a ba b ab a b
+
≥ > >
( ) ( ) ( )2 2 2 2a b ab a b a a ab b b ab+ − + = − + −
( ) ( )a a a b b b b a= − + − ( )( ) 1 1 3 3
2 2 2 2a b a a b b a b a b
= − − = − −
0 , 0 ,a b≥ ≥ ∴ 0a b≥ ≥ 0 a b≤ ≤
1 1
2 2a b−
3 3
2 2a b−
( )1 1 3 3
2 22 2 2 2 0 ,a b a b a b ab a b
− − ≥ ∴ + ≥ +
48
（2） ．
当 时， ；当 时， ；当
时， ．
综上所述： ．
角度 3：综合法、分析法证明不等式
1．综合法证明时常用的不等式：
( )
2
2 2
2
a b
a b b aa b
a b
a b aa b bab
−
− −
+
= =
a b= 2
1
a b
a
b
−
= 0a b> > 2
1, 0 , 12
a b
a a b a
b b
−
− > > ∴ > 0b a> >
2
0 1, 0 , 12
a b
a a b a
b b
−
− < < < ∴ >
( ) ( )2 0 , 0
a b
a ba b ab a b
+
≥ > >
49
（1） ；
（2） ；
（ 3 ） ， 它 的 变 形 形 式 有 ： ； ；
； ； 等．
（4） ，它的变形有： ； ；
．
2．分析法的应用：当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式（ ）、
基本不等式（ ）没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，
可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．
例题32： 已知 ．证明：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）第一问展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论；
（2）第二问利用均值不等式的结论结合题意证得 即可得出结论．
【证明】（1）
故原不等式成立．
（2） ，
．
2 0a ≥
0a ≥
2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 2a b ab+ ≥ −
( )2 4a b ab+ ≥ ( )22 2 1
2a b a b+ ≥ +
22 2
2 2
a b a b+ + ≥
( )0 , 02
a b ab a b
+ ≥ > > ( )1 2 0a aa
+ ≥ > ( )2 0a b abb a
+ ≥ >
( )2 0a b abb a
+ ≤ − < 2 2 2a b ab+ ≥ , 0 , 02 a b ab a b + ≥ > >
3 30, 0, 2a b a b> > + =
5 5( )( ) 4a b a b+ + ≥
2a b+ ≤
( )3 8a b+ ≤
( )( ) ( ) ( ) ( )2 25 5 6 5 5 6 3 3 3 3 4 4 2 22 4 4a b a b a ab a b b a b a b ab a b ab a b+ + = + + + = + − + + = + − ≥
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3
3 3 2 2 3 3 33 3 2 3 2 24 4
a b a ba b a a b ab b ab a b a b
+ ++ = + + + = + + ≤ + + = +
( )3 8 , 2a b a b∴ + ≤ ∴ + ≤
50
例题33： 已知 ，且 都是正数．
（1）求证： ；
（2）是否存在实数 ，使得关于 的不等式 对所有满足题设
条件的正实数 恒成立？如果存在，求出 的取值范围，如果不存在，请说明理由．
【 解 析 】 （ 1 ）
，
当且仅当 时，取等号，所以 得证．
（2）因为 ，
所以 ，
因此 （当且仅当 时，取等号），所以
由题得 恒成立，即得 恒成立，
因此 ．故存在实数 使不等式成立．
变式40： 已知 ，用分析法证明：
【解析】利用分析法证明： ；
3a b c+ + = , ,a b c
1 1 1 3
2a b b c c a
+ + ≥+ + +
m x 2 2 2 22x mx a b c− + + ≤ + +
, ,a b c m
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1
6 a b b c c aa b b c c a a b b c c a
+ + = + + + + + + + + + + + + +
( )1 1 33 3 2 2 26 6 2
b c a b b c c a a b a c
a b b c c a b c c a a b
+ + + + + + = + + + + + + ≥ + + + = + + + + + +
1a b c= = = 1 1 1 3
2a b b c c a
+ + ≥+ + +
3a b c+ + =
( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 2 2 3a b c a b c ab bc ca a b c+ + = + + + + + ≤ + +
2 2 2 3a b c+ + ≥ 1a b c= = = ( )2 2 2
min
3a b c+ + =
2 2 3x mx− + + ≤ 2 1 0x mx− + ≥
2 4 0m∆ = − ≤ 2 2m⇒ − ≤ ≤ [ ]2,2m∈ −
[ ]0,1a∈ 3 21 11a a aa
+ ≥ − ++
3 21 11a a aa
+ ≥ − ++
51
（2）利用反证法证明： 函数无零点．
由 有 ，要证： ，
只需证 ，只需证 ，
只需证 ，因为 恒成立，所以 ．
变式41： 已知实数 满足 ，证明：
（1） ；
（2） ．
【解析】（1）由 ，得 ，所以 ，
即 ．
因为 ，当且仅当 时，取等号，所以 ，
所以 ，即 ．
（2）因为 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ，
即 ，即 ．所以 ，
当且仅当 时，取等号．所以原命题得证．
变式42： 已知 均为正数，且 ．
( ) ( ) 23 ,( 0)xf x xe m x x= − + >
0 1a≤ ≤ 1 1 2a≤ + ≤ 3 21 11a a aa
+ ≥ − ++
( ) ( )( )3 21 1 1 1a a a a a+ + ≥ + − + 4 3 31 1a a a+ + ≥ +
4 0a ≥ 4 0a ≥ 3 21 11a a aa
+ ≥ − ++
, ,a b c ( ) 4a b c+ =
( )2 2 2 8a b c+ ≥
2 2 22 8a b c+ + ≥
( ) 4a b c+ = ( )22 16a b c+ = ( )2 2 22 16a b bc c+ + =
2 2
2
162b bc c a
+ + =
( )2 2 2 22 2b bc c b c+ + ≤ + b c= ( )2 2
2
16 2 b ca
≤ +
( )2 2 28 a b c≤ + ( )2 2 2 8a b c+ ≥
( ) 4a b c+ = 4ab ac+ =
2 2
2
a bab
+≤
2 2
2
a cac
+≤
2 2 2 2
2 2
a b a cab ac
+ ++ ≤ +
2 2 22
2
a b cab ac
+ ++ ≤
2 2 224 2
a b c+ +≤ 2 2 22 8a b c+ + ≥
2a b c= = = ±
, , ,a b c d ad bc=
52
（1）证明：若 ，则 ；
（2） ，求实数 的取值范围．
【解析】（1）证明：由 ，且 均为正数，得 ，
又 ， ．
（2）解：
．由于 ，
又已知 ，
则 ，当且仅当 时取等号．
角度 4：反证法证明不等式问题
例题34： 证明：对 这 个值至少有一个不小于
．
【证明】假设 ，
则
而 ，即 ，这与 式矛盾，
假设错误，即原命题成立．
变式43： ①已知 ，求证 ，用反证法证明时，可假设 ；②
设 为实数， ，求证 与 中至少有一个不小于 ，由反证法
证明时可假设 ，且 ，以下说法正确的是（ ）
A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确
a d b c+ > + a d b c− > −
2 2 2 2 4 4 4 4t a b c d a c b d+ ⋅ + = + + + t
a d b c+ > + , , ,a b c d ( ) ( )2 2a d b c+ > +
ad bc= ( ) ( )2 2 ,a d b c a d b c∴ − > − ∴ − > −
( )( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22a b c d a c a d b c b d a c abcd b d ac bd+ + = + + + = + + = +
( )2 2 2 2t a b c d t ac bd∴ + ⋅ + = + 4 4 4 42 , 2a c ac b d bd+ ≥ + ≥
2 2 2 2 4 4 4 4t a b c d a c b d+ ⋅ + = + + +
( ) ( )2 , 2t ac bd ac bd t+ ≥ + ∴ ≥ ,a c b d= =
1 2, 3 1, , 2 1xx x x x x−∀ ∈ − − + − +R 3
0
1 23 1 0 , 0 , 2 1 0x x x x x− − − < + < − + < ( ) ( ) ( ) ( )1 12 23 1 2 1 3 2 0x xx x x x x x− −− − + + + − + = + − < ∗ ( ) ( )21 12 03 2 1 3 1 3 1 0x xx x x− −+ − = − + − ≥ − = 1 23 2 0x x x− + − ≥ ( )∗ ∴ 3 3 2p q+ = 2p q+ ≤ 2p q+ >
a ( ) 2f x x ax a= + + ( )1f ( )2f 1
2
( ) 11 2f ≥ ( ) 12 2f ≥
53
C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确
【解析】根据反证法的格式，①正确；②错误，②应该是 与 都小于 ，选 C
变式44： 设 ， ，且 ．证明： 与 不可
能同时成立．
【证明】假设 与 同时成立，则有 ．
而由 得 ， ， ， ．
（ 当 且 仅 当 等 号 成 立 ）， （ 当 且 仅 当
等号成立）， （当且仅当 等号成立），
这与 式矛盾，故假设错误， 与 不可能同时成立．
角度 5：放缩法证明不等式问题
证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不
等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法，常见的
放缩变换有：
（1）变换分式的分子和分母，如
（2）利用函数的单调性
（3）真分数性质“若 ，则 ”
( )1f ( )2f 1
2
0a > 0b > 2 2
2 2
1 1a b a b
+ = + 2 2a a+ < 2 2b b+ < 2 2a a+ < 2 2b b+ < ( )2 2 4a a b b+ + + < ∗ 2 2 2 2 1 1a b a b + = + 2 2 1a b = 0a > 0b > 1ab∴ =
2 2 2 2a b ab≥+ = 1a b= = 2 2a b ab≥+ =
1a b= = 2 2 2 2 4a a b b ab ab≥∴ + + + + = 1a b= =
( )∗ 2 2a a∴ + < 2 2b b n+ < ( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 1 1 2 1 2, , , , 11 1 1 1 k kk k k k k k k k k k k k < > < > ∈ >− + + − + + N
0 , 0a b m< < > a a m
b b m
+< +
54
注意：在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．
例题35： 若 ，求证： ．
【证明】当 时，不等式显然成立．
当 时，由 得 ，
变式45： 已知数列 满足： ， ．
⑴求 ；
,a b∈R 1 1 1
a b a b
a b a b
+ ≤ ++ + + +
0a b+ =
0a b+ ≠ 0 a b a b< + ≤ + 1 1 a b a b ≥+ + 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + +∴ = ≤ = = + ≤ ++ + + + + + + + + ++ ++ + { }na 1 0a = ( )1l ln2 0n n nn a a a n+ − + + = ( )*n N∈ 3a
55
⑵证明： ；
⑶是否存在正实数 ，使得对任意的 ，都有 ，并说明理由．
【解析】（1）由已知 ， ，∴ ，
（2）∵ ， ，∴ ，则 ，
∴
令 ，
则
∴{ }是递增数列，∴ ，即 。∴
综上
（3）由(2)得
∴
∵ ，
∴当 时， ．
由 的单调性知：当 时， ，
综上：对任意的 ，都有 ，存在 （c 取值不唯一，若 c 取其它值相应给分）
【总结】本题考虑数列的不等式的证明和数列与函数的关系，恒成立问题的求解等问题，具
体涉及到数列与不等式的综合运用，其中放缩法的应用和构造法的应用是解题的关键．
( )1 1ln 2 2 1 2n n
na− −− ≤ ≤ −
c *n N∈ 1na c≤ −
( )ln2
1
na n
n na a e− +
+ = + 1 0a = 2
1
2a = 3
1 1
2 4
a
e
= +
1n na a+ > 1 0a = 0na ≥ ( )ln2 ln2
1 2na n n n
n n n na a e a e a− + − −
+ = + ≤ + = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 11 1
1 2 12 2 2 2 2 2 1 2n n n n n n
n n na a a a− − − − − − − − − −− −
− −≤ + ≤ + + ≤ ≤ + + + + = −
( ) 12 2na nf n e −= + −
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ln2
1 111 2 2 2 2 2 2a nn
n n n n n nna a a a a e an n nf n f n e e e e e e
− +
+ +− − +− − −+ − = + − − + − = − − = − −
( )( ) ( )ln 2 ln21 2 2 0a nn nn n a na ae n ne e e e
− + − +− −= − − > − =
( )f n ( ) ( )1 0f n f≥ = 12 2 0na ne −+ − ≥ ( )1ln 2 2 n
na −≥ −
( )1 1n 2 2 1 2n n
nl a− −− ≤ ≤ −
( ) ( )1ln 2 2 ln2ln2
1 1
1
2 2
n
n na n
n n n n na a e a e a
− − − +− +
+ += + ≤ + = + −
( )1 2 11 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n n nn n n n n n na a a a n− − − − −≤ + ≤ + + ≤ ≤ + + + + = + + + ≥− − − − − − − − −
( )2 2
1 1 1 32 2 4 2 2 3 2n n n n− −= ≤ ≥− ⋅ − ⋅
4n ≥ 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5
2 6 3 2 3 2 2 6 3 2 2 6n n na − −
≤ + + + + = + + − 1 1·2 · 12 k
k
a a
= 10 1ka +< < 1n k= + 0 1na< < *n N∈ 1 2 2 11 n n n a a a + = >+ 1n na a+ > { }na
1
1 1 1 1 1
2 n
n n n n
aa a a a+
− = − +
1 1
2 n
n
aa
= −
1
n
n
aa
−
1
1 1
n na a +
−
2n ≥
1
1 1
n na a +
− 2
2
1 1
2 aa
≤ −
1 5 4
2 4 5
= −
9
40
=
2n ≥
( )2
1
1
n n
n
n n
a ab a a
+
+
−= = ( ) ( )1 1
1
1 1 9
40n n n n
n n
a a a aa a+ +
+
− − < − 1n = 1 1 9 3 40 10nT T b= = = < 2n ≥ 1 2n nT b b b= + + + < ( ) ( ) ( )3 2 4 3 1 9 9 40 40 n na a a a a a+ + − + − + + −
57
．
综上，对任意正整数 ， ．
变式46： 已知数列 满足： ， ，
（1）证明： ；
（2）证明： ；
（3）证明： ．
【解析】（1）先用数学归纳法证明 ．①当 时，∵ ，∴ ；
②假设当 时， ，则当 时， ．
由①②可知 ．再证 ．
，令 ， ，则 ，
∴ 在 上 单 调 递 减 ， ∴ ， 所 以 ， 即
．
（2）要证 ，只需证 ，
只需证 其中 ，先证 ，
令 ， ，只需证 ．
( )1 2
9 9
40 40 na a+= + − ( )2
9 9 9 9 4 27 31 140 40 40 40 5 100 10a < + − = + − = 1
1
ln
n
n
n
aa a+
−=
1 1n na a +> >
1
2 1
1 2
n n
n
n
a aaa +
+< 1n = 1p > 1
1 1pa p
+= >
n k= 1ka > 1n k= + 1
1 1 1ln 1
k k
k
k k
a aa a a+
− −= > =−
1na > 1n na a +>
1
1 1 ln
ln ln
n n n n
n n n
n n
a a a aa a aa a+
− − −− = − = ( ) 1 lnf x x x x= − − 1x > ( )' ln 0f x x= − < ( )f x ( )1,+∞ ( ) ( )1 0f x f< = 1 ln 0ln n n n n a a a a − − < 1n na a +>
1
2 1
1 2
n n
n
n
a aaa +
+< 22 ln 1 0n n na a a− + < ( ) 22 ln 1f x x x x= − + 1x > ( ) 0f x ( ) 2 2
1 1 1' 0xh x x x x
−= − = >
( )h x ( )1,+∞ ( ) ( )1 0h x h> = ( )' 0g x > ( )g x
( )1,+∞ ( ) ( )1 0g x g> = 1
2 1
1 2
n n
n
n
a aaa +
+<
1 1
1
1
1 1 1 1 1
2 1 2
n n
n
n
a a
a a p
− −− − > × = +
1ln 1x x
≥ − 1ln 1n
n
a a
≥ −
11 1
1 2
n
p
− > +
( ) 0 1 1
1 2 1 2
1 1 1 1ln ln ln ln 1 2 2 2
n
n na a a a a a p
− … = + +…+ > × + +…+ + 1
1 2 1
1 2
n
np −
−= ×+
( )1 21 1
1 2 1 1 2 1ln1 2 2
n n
nn na a ap p− −
− −× < … < ×+
59
间及最值问题．第一问是利用分析法证明不等式，分析法证明不等式是从结论出发，通过变
形转化之后，变为一个显然成立的结论，那么原不等式即是成立的．证明不等式，也可以考
虑通过放缩后，利用导数求最值来证明．
变式47： 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的最值；
（2）当 时，对任意 都有 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）当 时，设函数 ，数列 满足 ， ，求
证： ， ．
【解析】（1）∵
∴ ，
∴ ，令 ，得 ，则 随 变化如下：
( ) logaf x x x=
2a = ( ) ( ) ( )1F x f x f x= + −
a e= 0x ≥ ( )1f x mx+ ≥ m
a e≥ ( ) ( )G x x f x= − { }nb 10 1b< < ( )1n nb G b+ = 10 1n nb b +< < < *n N∈ ( ) 2logf x x x= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 log 1 log 1F x f x f x x x x x= + − = + − − ( )0,1x∈ ( ) 2log 1 xF x x =′ − ( ) 0F x′ = 1 2x = ( ) ( ),F x F x′ ( )0,1x∈
60
所以 ，无最大值．
（2）设 ，则 ，
当 时，且 ， ，函数 在 上是增加的，
∴ ， 成立；
当 时 ， 令 ， 得 ， 当 ，
，
函数 在 上是减小的，而 ，所以，当 时，
，所以 不恒成立，
综上，对任意 都有 恒成立时， ．
（3）∵ ，∴ ，
又 ，当 时， ，∴ 在 上增加，
所以 ，当 时，∵ ，
∴ ，
而 ，∴ 成立．
， 假 设 时 ， 成 立 ， 那 么 当 时 ，
，
而 ，∴ 成立．
综合 ， 得： ， 成立．
( )min 1F x = −
( ) ( ) ( ) ( )1 1 ln 1h x f x mx x x mx= + − = + + − ( ) ( )ln 1 1h x x m+′ = + −
1m ≤ 0x ≥ ( ) ( )ln 1 1 0h x x m= + + − ≥′ ( )h x [ )0,+∞
( ) ( )0 0h x h≥ = ( )1f x mx+ ≥
1m > ( ) ( )ln 1 1 0h x x m= + + − =′ 1 1mx e −= − )10, 1mx e −∈ −
( ) 0h x′ < ( )h x )10, 1mx e −∈ − ( )0 0h = )10, 1mx e −∈ − ( ) 0h x < ( )1f x mx+ ≥ 0x ≥ ( )1f x mx+ ≥ 1m ≤ ( ) ( ) logaG x x f x x x x= − = − ( ) log 1 loga aG x x e+ −′ = − a e≥ ( ]0,1x∈ ( ) log 0aG x x=′ − ≥ ( ) logaG x x x x= − ( ]0,1x∈ 01 1n = 10 1b< < ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 11 1 log 1 log 0a aG G b b b b b b b= > = − = − > >
( )2 1b G b= 1 20 1b b< < < 02 n k= 10 1k kb b +< < < n k= ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 11 1 log 1 log 0k k k a k k a k kG G b b b b b b b+ + + + + + += > = − = − > >
( )2 1k kb G b+ += 1 20 1k kb b+ +< < < 01 02 *n N∀ ∈ 10 1n nb b +< <
( )2
1 22 1 1 2
2 1 2 2 1
ln 2x xx x x
x x x x x
−< = − + 1 2x x< ( )1 2 0,1x tx = ∈ 2 1ln 2t t t < − + ( ) 12lnh t t t t = − + ( ) 1'f x ax = − ( )f x ( )f x ( )0,+∞ 0a >
( )' 0f x > 1x a
< ( )f x 10, a 1 ,a +∞ ( )max 1 ln 1f x f a ba = = − − + 1 1 2 2 0,{ 0, lnx ax b lnx ax b − + = − + = ( )1 1 2 2 ln 0x a x xx − − = 1 2 1 2 ln x xa x x = − 1 2 2 1x x a < ( )2 1 2 1 2 2 1 2 ln x xx x x x −< ( )2 1 22 1 1 2 2 1 2 2 1 ln 2x xx x x x x x x x −< = − + 1 2x x< ( )1 2 0,1x tx = ∈ 2 1ln 2t t t < − + ( ) 2 1ln 2g t t t t = − − +
62
，设 ，则 ，∴
在 上单减，∴ ，∴ 在 上单增，∴ ，
即 在 时恒成立，原不等式得证．
变式48： 【2018 北京朝阳区高三一模】已知函数 ．
（Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若 ，求函数 的单调区间；（Ⅲ）若 ，求证： ．
【解析】（Ⅰ）若 ，则 ， ，
所以 在点 处的切线方程为 ．
（Ⅱ） 令 ，则 ．
令 ， 得 ( 依 题 意 ) ． 由 ， 得 ； 由
， 得 ． 所 以 在 区 间 上 单 调 递 减 ， 在 区 间
上单调递增，所以，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ．所以函数
的单调递增区间为 ．
（Ⅲ）由 ，等价于 ，等价于 ．
( ) 2
12ln1 1' 2 ln 1
t t tg t tt t t
− +
= − + = ( ) 12lnh t t t t
= − + ( ) ( )2
2
1' 0th t t
−= − < ( )h t ( )0,1 ( ) ( )1 0h t h> = ( )g t ( )0,1 ( ) ( )1 0g t g< = 2 1ln 2t t t < − + ( )0,1t ∈ ( ) ( )ln 1xf x ax a Rx −= − ∈ 0a = ( )y f x= ( )( )1, 1f 1a < − ( )f x 1 2a< < ( ) 1f x < − 0a = ( )1 1f = − ( ) ( )2 2 ln , 1 2xf x fx ′ ′−= = ( )f x ( )1, 1− 2 3 0x y− − = ( ) ( ) 2 2 2 ln0, , .ax xx f x x − −∞ ′∈ + = ( ) 22 lng x ax x= − − ( ) 22 1axg x x −=′ − ( ) 0g x′ = 1 2x a = ± − 1 02a − > ( ) 0g x′ > 1
2x a
> −
( ) 0g x′ < 10 2x a < < − ( )g x 10, 2a − 1 ,2a − +∞ ( )min 1 5 1ln .2 2 2g x g a a = − = − − 1a < − 1 1 10 , ln 02 2 2a a < − < − < ( ) 0g x > ( ) 0f x′ >
( )f x ( )0,+∞
( )0, 1x f x> < − ln 1 1x axx − − < − 2 1 ln 0ax x x− + − >
63
设 ， 只 须 证 成 立 ． 因 为
由 ， 得 有 异 号 两
根 ． 令 其 正 根 为 ， 则 ． 在 上 ， 在 上
，
则 的 最 小 值 为
又 所 以
则 因此 即 所以 ．所以
变式49： 【2018 河南郑州高三毕业年级第二次质量预测】已知函数 ．
（I）求曲线 在 处的切线方程；
（II）求证：当 时， ．
【解析】（Ⅰ） ， 由题设得 ， ，
在 处的切线方程为
（II） ， ，∴ 在 上单调递减，在
上单调递增，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ． 过点 ，且 在 处的切
线 方 程 为 ， 故 可 猜 测 ： 当 时 ， 的 图 象 恒 在 切 线
的上方．下证：当 时，
设 ，则 ，
( ) 2 1 lnh x ax x x= − + − ( ) 0h x >
( ) 21 2 12 1 , 1 2,ax xh x ax ax x
− −=′ − − = < < ( ) 0h x′ = 22 1 0ax x− − = 0x 2 0 02 1 0ax x− − = ( )00, x ( ) 0h x′ < ( )0 ,x +∞ ( ) 0h x′ >
( )h x ( ) 2
0 0 0 01 lnh x ax x x= − + −
( ) 1 31 2 2 0, 2 3 0,2 2 2
ah a h a = − > = − = − − > 0
0
3 ln 0,2
x x
− − > ( )0 0.h x > ( ) 0h x > ( ) 1f x < − ( ) 2xf x e x= − ( )f x 1x = 0x > ( )2 1 ln 1
xe e x xx
+ − − ≥ +
( )' 2xf x e x= − ( )' 1 2f e= − ( )1 1f e= −
( )f x 1x = ( )2 1.y e x= − +
( )' 2xf x e x= − ( )'' 2xf x e= − ( )'f x ( )0,ln2 ( )ln2,+∞
( ) ( )' ' ln2 2 2ln2 0f x f≥ = − > ( )f x [ ]0,1
( ) ( ) [ ]max 1 1, 0,1f x f e x= = − ∈ ( )f x ( )1, 1e − ( )y f x= 1x =
( )2 1y e x= − + 0, 1x x> ≠ ( )f x
( )2 1y e x= − + 0x > ( ) ( )2 1,f x e x≥ − +
( ) ( ) ( )2 1, 0g x f x e x x= − − − > ( ) ( ) ( )' 2 2 , '' 2x xg x e x e g x e= − − − = −
64
在 上 单 调 递 减 ， 在 上 单 调 递 增 ， 又
， ∴ ， ∴ 存 在 ， 使
，
所以，当 时， ；当 时， ，故 在
上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，∴ ，当且仅当 时取等号，
故 ．
又 ，即 ，当 时，等号成立．
【总结】解本题的关键是第（I）结论对第（II）问的证明铺平了路，只需证明
x ．所以利用导数证明不等式时，要进行适当的变形，特别是变形成第（I）问相
似或相同形式时，将有利于快速证明．
变式50： 已知 有两个零点
（I）求 a 的取值范围；（II）设 x1、x2 是 f(x)的两个零点，求证证：x1+x2>
【解析】（I） ，
当 时， ，此时 在 单调递增， 至多有一个零点．
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，当 ， ， 单
调递增，故当 时函数取最小值
( )'g x ( )0,ln2 ( )ln2,+∞
( ) ( )' 0 3 0, ' 1 0,0 ln2 1g e g= − > = < < ( )' ln2 0g < ( )0 0,1 2x n∈ ( )0' 0g x = ( ) ( )00, 1,x x∈ ∪ +∞ ( )' 0g x > ( )0 ,1x x∈ ( )' 0g x < ( )g x ( )00, x ( )0 ,1x ( )1,+∞ ( ) ( )0 1 0g g= = ( ) ( )2 2 1 0xg x e x e x= − − − − ≥ 1x = ( )2 1 , 0 xe e x x xx + − − ≥ >
ln 1x x≥ + ( )2 1 ln 1
xe e x xx
+ − − ≥ + 1x =
( )2 1xe e x
x
+ − − ≥
ln 1x≥ +
( ) ( )21 ln2f x x a x a R= − ∈
2 a
( ) ( )2
0a x af x x xx x
−= − = >′
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞ ( )f x
0a > ( ) 0f x′ = x a=
( )0,x a∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( ),x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
x a= ( ) ( )1 ln .2
af a a= −
65
当 时， ，即 ，所以 至多有一个零点．
当 时， ，即
因为 ，所以 在 有一个零点；
因为 ，所以 ， ，
由于 ，所以 在 有一个零点．综上， 的取值范围是 ．
（II）不妨设 ，由（I）知， ， ．
构造函数 ，
则
因为 ，所以 ， 在 单调递减．
所以当 时，恒有 ，即
因为 ，所以 ，
于是
又 ，且 在 单调递增，
所以 ，即
0 a e< ≤ 1 ln 0a− ≥ ( ) 0f a ≥ ( )f x a e> 1 ln 0a− ≤ ( ) ( )1 ln 0.2
af a a= − < ( ) 11 02f = > ( )f x ( )0,x a∈
ln 1a a≤ − ln2 2 1a a≤ − ( ) ( )2 22 2 ln2 2 2 1 0f a a a a a a a a= − ≥ − − = >
2a a> ( )f x ( ),x a∈ +∞ a ( ),e +∞
1 2x x< ( )1 0,x a∈ ( )2 ,x a∈ +∞ ( ) ( ) ( )(0 )g x f a x f a x x a= + − − ≤ < ( ) ( ) ( )2 ln ln .g x ax a a x a a x= − + + − ( ) 2 2 22 .a a axg x a x aa x x a = − + = −+ ′ − 0 x a< < ( ) 0g x′ < ( )g x ( )0, a ( )0,x a∈ ( ) ( )0 0g x g< = ( ) ( ).f a x f a x+ < − ( )1 0,x a∈ ( )1 0,a x a− ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 12 .f x f x f a a x f a a x f a x = = − − > + − = −
( ) ( )2 1, ,2 ,x a a x a∈ +∞ − ∈ +∞ ( )f x ( ),a +∞
2 12x a x> − 1 2 2 .x x a+ >
66
角度 2：构造函数证明不等式
例题38： 【 2018 江 西 五 校 联 考 】 已 知 函 数 对 任 意 的 满 足
(其中 是函数 的导函数)，则下列不等式成立的是
A B C D
变式51： 已知函数 有极值，且函数
的极值点是 的极值点，其中 是自然对数的底数。
（I）求 关于 的函数关系式；
（II）当 时，若函数 的最小值为 ，证明： ．
【 解 析 】（ I ） 因 为 ， 令 ， 解 得
．
( )y f x= ( , )2 2x
π π∈ −
( )cos ( )sin 0f x x f x x′ + > ( )f x′ ( )f x
2 ( ) ( )3 4f f
π π− < − 2 ( ) ( )3 4f f π π< (0) 2 ( )3f f π> (0) 2 ( )4f f
π>
( ) 3 2g x x ax bx= + + ( ),a b R∈ ( ) ( ) xf x x a e= +
( )g x e
b a
0a > ( ) ( ) ( )F x f x g x= − ( )M a ( ) 7
3M a < − ( ) ( )' x xf x e x a e= + + ( )1 xx a e= + + ( )' 0f x = 1x a= − − x ( ), 1a−∞ − − 1a− − ( )1,a− − +∞ ( )'f x − 0 +
67
极小值
所以 时， 取得极小值．因为 ，
由题意可知 ，且 。所以 ，
化简得 ，由 ，得 ．
所以 ， ．
（II）因为 ，
所以
记 ，则 ，令 ，解得 ．列表如下．
极小值
所以 时， 取得极小值，也是最小值，
此 时 ，
．令 ，解得 ．列表如下．
( )f x
1x a= − − ( )f x ( ) 2' 3 2g x x ax b= + +
( )' 1 0g a− − = 24 12 0a b∆ = − > ( ) ( )23 1 2 1 0a a a b− − + − − + =
2 4 3b a a= − − − 24 12a b∆ = − ( )( )24 12 1 3 0a a a= + + + > 3
2a ≠ −
2 4 3b a a= − − − 3
2a ≠ −
( ) ( ) ( )F x f x g x= − ( ) ( )3 2xx a e x ax bx= + − + +
( ) ( ) ( )' ' 'F x f x g x= − ( ) ( )( )21 3 2 1 3xx a e x ax a a = + + − + − + +
( ) ( )( )1 1 3 3xx a e x a x a= + + − + + − − ( )( )1 3 3xx a e x a= + + − + +
( ) 3 3xh x e x a= − + + ( )' 3xh x e= − ( )' 0h x = ln3x =
x ( ),ln3−∞ ln3 ( )ln3,+∞
( )'h x − 0 +
( )h x
ln3x = ( )h x
( ) ln3ln3 3ln3 3h e a= − + + 6 3ln3 a= − + ( )3 2 ln3 a= − +
2
3 ln 03
e a a
= + > >
( )' 0F x = 1x a= − −
x ( ), 1a−∞ − − 1a− − ( )1,a− − +∞
( )'F x − 0 +
68
极小值
所以 时， 取得极小值，也是最小值．
所以
．
令 ，则 ，记 ， ，
则 ， ．
因为 ， ，所以 ，所以 单调递增．
所以 ，所以 ．
变式52： 已知函数
（I）讨论函数 的单调性；
（II）若函数 存在极大值，且极大值点为 1，证明： ．
【解析】（I）由题意 ， ．
①当 时， ，函数 在 上单调递增；
② 当 时 ， 函 数 单 调 递 增 ，
， 故 当 时 ， ， 当 时 ，
，所以函数 在 上单调递减，函数 在 上
( )F x
1x a= − − ( )F x
( ) ( )1M a F a= − − = ( ) ( ) ( ) ( )( )3 211 1 1 1aa e a a a b a− −− − − − − + − − + − −
( ) ( )21 1 2ae a a− −= − − + +
1t a= − − 1t < − ( ) ( )2 1tm t e t t= − − − 3 2te t t= − + − 1t < − ( ) 2' 3 2tm t e t t= − + − 1t < − 1 0te e−− < − < 23 2 5t t− > ( )' 0m t > ( )m t
( ) 1 72 23 3
tm t e−< − − < − − = − ( ) 7 3M a < − ( ) ( )lnf x x ax x a R= + ∈ ( )f x ( ) lnf x x ax x= + ( ) 2xf x e x−≤ + 0x > ( )' 1 lnf x a a x= + +
0a = ( )f x x= ( )f x ( )0,+∞
0a > ( )' 1 lnf x a a x= + + ( )' 1 lnf x a a x= + +
11
0 0ax e
− −= ⇒ = >
11
0, ax e
− − ∈
( )' 0f x < 11 ,ax e − − ∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x
11
0, ax e
− − ∈
( )f x
11
,ax e
− − ∈ +∞
69
单调递增；
③ 当 ， 函 数 单 调 递 减 ，
， 故 当 时 ， ， 当 时 ，
，所以函数 在 上单调递增，函数 在 上
单调递减．
（ II ） 由 得 ， 令 ， 则
当 时，
所以 与 矛盾；
当 时，
所以 与 矛盾；
当 时，
得 ，故 成立，
得 ，所以 ，即 ．
变式53： 已知函数 ．
（I）当 ，求函数 的图象在 处的切线方程；
（II）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（ III ） 已 知 ， ， 均 为 正 实 数 ， 且 ， 求 证
0a < ( )' 1 lnf x a a x= + + ( )' 1 lnf x a a x= + + 11 0 0ax e − −= ⇒ = >
11
0, ax e
− − ∈
( )' 0f x >
11
,ax e
− − ∈ +∞
( )' 0f x < ( )f x 11 0, ax e − − ∈ ( )f x 11 ,ax e − − ∈ +∞ ( )1 0f ′ = 1a = − ( ) 2 lnxh x e x x x x−= + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 1 12 ln , 2 0 ,1 , 0x xh x e x x h x e x h x h x h xx e − − = − + + = + + > ∴∃ ∈ = ∴ ≥
′
′ ′′
0 0ln 0x x+ < 0 0 0 0 0 0ln 0x xx x x e e x− −< − ⇒ < ⇒ − + < 0 0 0 0ln 0xe x x x−− + + + < 0 0 02 ln 0xe x x−− + + = 0 0ln 0x x+ > 0 0
0 0 0 0ln 0x xx x x e e x− −> − ⇒ > ⇒ − + >
0
0 0 0ln 0xe x x x−− + + + > 0
0 02 ln 0xe x x−− + + =
0 0ln 0x x+ = 0 0
0 0 0 0ln 0x xx x x e e x− −= − ⇒ = ⇒ − + =
0
0 02 ln 0xe x x−− + + = 0 0ln 0x x+ =
( ) ( )( )0 0 0 01 ln 0h x x x x= + + = ( ) 0h x ≥ ( ) 2xf x e x−≤ +
( ) ( )ln 1
1
xf x ax
+= +
1a = ( )y f x= 0x =
( )f x ( )0,1 a
x y z 1x y z+ + =
70
．
【 解 析 】（ I ） 当 时 ， 则 ， 则
，
∴函数 的图象在 时的切线方程为 ．
（II）∵函数 在 上单调递增，∴ 在 上无解，当 时，
在 上无解满足，当 时，只需 ，∴ ①
，
∵ 函 数 在 上 单 调 递 增 ， ∴ 在 上 恒 成 立 ， 即
在 上恒成立．
设 ，
∵ ，∴ ，则 在 上单调递增，∴ 在 上的值域为
，∴ 在 上恒成立，则 ②
综合①②得实数 的取值范围为 ．
（III）由（II）知，当 时， 在 上单调递增，于是当
时 ， ， 当 时 ，
，
∴ ，即 ，
同理有 ， ，
( ) ( ) ( ) ( )3 1 ln 1 3 1 ln 1
1 1
x x y y
x y
− + − ++− −
( ) ( )3 1 ln 1 01
z z
z
− ++ ≤−
1a = ( ) ( )ln 1
1
xf x x
+= +
( )0 0f = ( ) ( )
( )2
1 ln 1'
1
xf x
x
− +=
+
( )' 0 1f =
( )y f x= 0x = y x=
( )f x ( )0,1 1 0ax + = ( )0,1 0a ≥
1 0ax + = ( )0,1 0a < 1 0 1 0a a+ ≥ ⇒ − ≤ < 1a ≥ − ( ) ( ) ( )2 1 ln 11' 1 ax a xxf x ax + − ++= + ( )f x ( )0,1 ( )' 0f x ≥ ( )0,1 ( ) ( )1 ln 1 1a x x x + + − ≤ ( )0,1 ( ) ( ) ( )1 1x x ln xϕ = + + ( ) ( ) ( )' ln 1 1x x x xϕ− = + + +， ( )1 1 ln 11 xx ⋅ − = ++ ( )0,1x∈ ( )' 0xϕ > ( )xϕ ( )0,1 ( )xϕ ( )0,1
( )0,2ln2 1− ( ) ( )
1
1 ln 1a x x x
≤ + + − ( )0,1 1
2ln2 1a ≤ −
a 11, 2ln2 1
− −
1a = − ( ) ( )ln 1
1
xf x x
+= −
( )0,1 10 3x< ≤ ( ) ( )ln 1 1 xf x x += − 1 3 4ln3 2 3f ≤ = 1 13 x≤ < ( ) ( )ln 1 1 xf x x += − 1 3 4ln3 2 3f ≥ = ( ) ( )3 1x f x− ( ) 3 43 1 ln2 3x≥ − ⋅ ( ) ( )3 1 ln 1 1 x x x − + − ( ) 3 33 1 ln2 4x≤ − ⋅ ( ) ( )3 1 ln 1 1 y y y − + − ( ) 3 33 1 ln2 4y≤ − ⋅ ( ) ( )3 1 ln 1 1 z z z − + − ( ) 3 33 1 ln2 4z≤ − ⋅
71
三式相加得 ．
( ) ( )3 1 ln 1
1
x x
x
− +
−
( ) ( )3 1 ln 1
1
y y
y
− ++ −
( ) ( )3 1 ln 1 01
z z
z
− ++ ≤−
72
角度 3：不等式恒成立问题
例题39： 设 函 数 在 上 存 在 导 函 数 ， 对 任 意 的 实 数 都 有
，当 时， ．若 ，则实
数 范围
【解析】（构造函数法）令 ，则 ，函数
在 上 为 减 函 数 ， 因 为 ， 即
，故 为奇函数，于是 在 上为减函数，而不等式
可化为 ，则 ，即
已知函数 ， 为函数 的极值点．
（I）证明：当 时， ；
（II）对于任意 ，都存在 ，使得 ，求 的最小值．
【解析】（I） ，∴ ，
又∵ 为极值点， ，∴ ，经检验 符合题意，所以 ，
当 时， ，可转化为当 时， 恒成立，
设 ， 所 以 ， 当 时 ， ， 所 以 在
上为减函数，所以 ，故当 时， 成立．
（ II ） 令 ， 则 ， 解 得
，
( )f x R ( )f x′ x
( ) ( )24f x x f x= − − ( ),0x∈ −∞ ( ) 1 42f x x+′ < ( ) ( ) 31 3 2f m f m m+ ≤ − + + m ( ) ( ) 22F x f x x= − ( ) ( ) 14 02F x f x x′ − < −′= < ( )F x ( ),0−∞ ( ) ( ) ( ) ( ) 24 0F x F x f x f x x− + = − + − = ( ) ( )F x F x− = − ( )F x ( )F x ( ),−∞ +∞ ( ) ( ) 31 3 2f m f m m+ ≤ − + + ( ) ( )1F m F m+ ≤ − 1m m+ ≥ − 1 2m ≥ − ( ) 1 1 2f x x= − − 1x = ( ) ( )lng x x x c= − 1x > ( ) 2 2g x x x< − 1 2m ≤ ( )0,n∈ +∞ ( ) ( )nf m g n n= + n m− ( ) ( )lng x x x c= − ( ) 1 lng x x c= + −′ 1x = 1 ln1 0c+ − = 1c = 1c = 1c = 1x > ( ) 2 2g x x x< − 1x > ln 1 0x x− + < ( ) ln 1t x x x= − + ( ) 1 11 xt x x x −= − =′ 1x > ( ) 0t x′ < ( )t x ( )1 + ∞， ( ) ( )1 0t x t< = 1x > ( ) 2 2g x x x< − ( ) ( ) 1 lng nf m n kn = + = = 1 1 2k m= − − ( )2 211 1 2 2 2 km k k −= − = −
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同理，由 ，可得 ，因为 ，又 ，所以
， 令 ， 则 ， 易 知
，
当 时， ，当 时， ，即当 时， 是减函数，当
时， 是增函数，所以 的最小值为 ，即 的最小值为
变式54： 已知函数 ， ．
（I）求函数 的图像在 处的切线方程；
（II）证明： ；
（III）若不等式 对任意的 均成立，求实数 的取值范围．
【解析】（I）∵ ，∴ ．
又由 ，得所求切线 ： ，即所求切线为 ．
（II）设 ，则 ，令 ，得
1
单调递增 极大值 单调递减
∴ ，即 ．
（III） ， ，
（i）当 时， ；（ii）当 时， ， ；
lnk n= kn e= ( ]1 1 2 ,1k m= − − ∈ −∞ lnk n R= ∈
( ],1k ∈ −∞ ( ) ( )21 12
kh k n m e k k k= − = − + ≤ ( ) 1kh k e k=′ − +
( )0 0h′ =
0k < ( ) 0h k′ < 0 1k< < ( ) 0h k′ > 0k < ( )h k 0 1k< < ( )h k ( )h k ( )0 1h = n m− 1 ( ) lnf x x= ( ) 1g x x= − ( )y f x= 1x = ( ) ( )f x g x≤ ( ) ( )f x ag x≤ ( )1,x∈ +∞ a ( ) 1'f x x = ( )' 1 1f = ( )1 0f = l ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − 1y x= − ( ) ( ) ( ) ln 1h x f x g x x x= − = − + ( ) 1' 1h x x = − ( )' 0h x = 1x = x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )h x ( ) ( ) ( )max 1 0h x h x h≤ = = ( ) ( )f x g x≤ ( )1,+x∀ ∈ ∞ ( ) 0f x > ( ) 0g x >
1a ≥ ( ) ( ) ( )f x g x ag x≤ ≤ 0a ≤ ( ) 0f x > ( ) 0g x ( )f x′
a
x ee e
−>
a a
e ee ae x eex a e
− > ⇒ > −+
a
e ax e e
> − ( ) 0f x′ > 1
1
a
x eax e ee
− +< − + ⇒ < 1 1a a e ee ae x eex a e − + −< ⇒ < −+ 1 min 1, a ea a ax ee e e − − < < − + − ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ = 0x 0 a x xe − < < ( ) 0f x′ < ( )f x 0x x> ( ) 0f x′ > ( )f x
( ) ( )0minf x f x= ( )0f x e>
( ) 0 0 01 1
0 0 0
0
0x x xef x e ex a e a e exex a
− −= − = ⇒ + = ⇒ = −+
′
( ) ( )0 0
0 0 0ln 1x xf x e ex a e x= − + = + −
( ) 1xh x e x= + − ( )h x
( ) ( ) ( )0 0 0 01 1 1f x e h x h x x> ⇔ > ⇔ > ⇔ − < − 01 1 1 0 1xa e ex e e e− −= − < − = − 1a e< −
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