泉州第十六中学 2020 年春季线上教学摸底测试
高二数学
考试时间：150 分钟 满分：150 分 2020.5.11
班级 座号 姓名
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求）
1．有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不
同的选法有（ ）
A．60 种 B．70 种 C．75 种 D．150 种
2．已知 ，则 等于（ ）
A．0 B． C． D．
3．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是 ， ， ，且
三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．曲线 在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）.
A． B． C．1 D．2
5．某班级要从 4 名男士、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，
那么不同的选派方案种数为（ ）
A．14 B．24 C．28 D．48
6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有
（ ）
A．192 种 B．216 种 C．240 种 D．288 种
7．随机变量 ，且 ，则此二项分布是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 f(x)=-x3+ax2-x-1 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( )
( )f x x= ( )8f ′
2 2 2
8 1−
1
6
1
4
1
3
31
72
7
12
25
72
15
72
1xy xe −=
2e e
( )~ ,Y B n p ( ) ( )3.6, 2.16E Y D Y= =
(9,0.4)B (4,0.9)B (18,0.2)B (36,0.1)BA．(-∞,- ]∪[ ,+∞) B．[- ] C．(-∞,- )∪( ,+∞)
D．(- )
9．若 能被 整除，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( )
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分.在每小题给出的四个选项中， 选
出所有正确的选项，少选得 2 分，多选不得分）
11．如果函数 的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（ ）
A．函数 在区间 内单调递增
B．函数 在区间 内单调递减
C．函数 在区间 内单调递增
D．当 时，函数 有极大值
12．甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球．先
从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 ， 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑
球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论
中正确的是（ ）
A． B．
C．事件 与事件 相互独立 D． ， ， 是两两互斥的事件
二、填空题
（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上）
13．如图，函数 的图象在点 处的切线方程是 ，
则 的值为__________．
14．若 的展开式中 的系数是 ，则 __ ．
3 3 3, 3 3 3
3, 3
1 2 2 n n
n n nC x C x C x+ + + 7 ,x n
4, 3x n= = 4, 4x n= = 5, 4x n= = 6, 5x n= =
51(1 )(2 )a xx x
+ −
80− 40− 40 80
( )y f x=
( )y f x= 13, 2
− −
( )y f x= 1 ,32
−
( )y f x= ( )4,5
2x = ( )y f x=
1A 2A 3A
B
( ) 2
5P B = ( )1
5| 11P B A =
B 1A 1A 2A 3A
( )y f x= P 2 9y x= − +
(4) (4)f f ′+
9( )ax x
− 3x 84− a =15．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲
同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ______ ．
16．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已
知某种盆栽植物每株成活的概率为 ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此
种盆栽植物 10 株，设 为其中成活的株数，若 的方差 ，
，则 ________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分 10 分）
（请写出式子再写计算结果）有 4 个不同的小球，4 个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：
（1）共有多少种方法？
（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？
（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？
18．（本小题满分 10 分）已知函数 ．
（1）求 的极值；
（2）当 时，求 的值域；
19．（本小题满分 12 分）
已知 的展开式中，第 4 项和第 9 项的二项式系数相等，
（1）求 ，
（2）求展开式中 的一次项的系数.
p
X X 2.1DX =
( 3) ( 7)P X P X= < = p =
3 21 1 5( ) 4 [0, )3 3 3f x x x x x= − − + − ∈ +∞
( )f x
[0,1]x∈ ( )f x
2( )nx x
−
n
x20. （本小题满分 12 分）某学校开设了射击选修课，规定向 、 两个靶进行射击：先向
靶射击一次，命中得 1 分，没有命中得 0 分，向 靶连续射击两次，每命中一次得 2 分，没
命中得 0 分；小明同学经训练可知：向 靶射击，命中的概率为 ，向 靶射击，命中的概
率为 ，假设小明同学每次射击的结果相互独立.现对小明同学进行以上三次射击的考核.
（1）求小明同学恰好命中一次的概率；
（2）求小明同学获得总分 的分布列及数学期望 .
21．（本小题满分 12 分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客
使用自由购的情况，随机抽取了 100 人，统计结果整理如下：
20 以
下
70 以上
使用人数 3 12 17 6 4 2 0
未使用人数 0 0 3 14 36 3 0
（1）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在 且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在 使用自由购的顾客中，随机抽取 3 人进一步了解情况，用
表示这 3 人中年龄在 的人数，求随机变量 的分布列及数学期望；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送 1 个环保购物袋.若某日该超
市预计有 5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
A B A
B
A 4
5 B
3
4
X ( )E X
[ )20,30 [ )30,40 [ )40,50 [ )50,60 [ ]60,70
[ )30,50
[ ]50,70 X
[ )50,60 X22. （本小题满分 14 分）已知函数
（1）讨论函数 在定义域上单调性;
（2）若函数 在 上的最小值为 ,求 的值.
( ) ln ,af x x a Rx
= − ∈
( )f x
( )f x [1, ]e 3
2
a泉州第十六中学 2020 年春季线上教学摸底测试
高二数学试卷参考答案与评分标准
一、选择题（12 小题，每题 5 分，共 60 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上）
13． 14．1 15． 16．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分 10 分）
解：（1）每个球都有 4 种方法，故有 4×4×4×4＝256 种 ——————3 分
（2）每个盒子不空，共有 不同的方法 ——————6 分
（3）四个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个
盒子中有 2 个小球，从 4 个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，
故共有 种不同的放法． ——————10 分
18．（本小题满分 10 分）
【详解】（1） ，
令 ，解得： （舍）或
当 时， ；当 时， ，
，无极小值. ——————6 分
（2）由（1）知 在区间 单调递增，
在区间 的值域为 ，即 ． ——————10 分
19．（本小题满分 12 分）
（1）由第 4 项和第 9 项的二项式系数相等可得 ——————3 分
解得 ——————6 分
（2）由（1）知，展开式的第 项为：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C B D A B A B C D CD BD
1− 12 0.7
4
4 24A =
2 3
4 4 144C A =
2 2 5'( ) 3 3f x x x= − − + [0, )x∈ +∞
( ) 0f x′ = 5
3x = − 1x =
0 1x< < ( ) 0f x′ > 1x > ( ) 0f x′ <
( ) (1) 3f x f∴ = = −极大值
( )f x [0,1]
( )f x∴ [0,1] [ (0), (1)]f f [ 4, 3]− −
83
nn CC =
11=n
1+r ——————8 分
令 得 ——————10 分
此时 ——————12 分
所以，展开式中 的一次项的系数为
20. （本小题满分 12 分）
【详解】（1）记：“小明恰好命中一次”为事件 C，“小明射击 靶命中”为事件 , “该射手第一
次射击 靶命中”为事件 ，“该射手第二次射击 靶命中”为事件 ，
由题意可知 ， 由于
； ——————4 分
（2） 可取 ——————5 分
，
， ，
0 1 2 3 4 5
——————11 分
.——————12 分
21. （本小题满分 12 分）
2
311
11
11
111 )2()2()(
r
rrrrr
r xCxxCT
−
−
+ −=−=
12
311 =− r 3=r
xxCT 1320)2( 3
11
3
13 −=−=+
x 1320−
A D
B E B F
( ) 4
5P D = ( ) ( ) 3
4P E P F= = C DEF DEF DEF= + +
( ) ( ) 24 3 4 3 3 4 3 31 1 1 1 15 4 5 4 4 5 4 4P C P DEF DEF DEF = + + = × − + − × × − + − × − ×
1
8
=
X 0,1,2,3,4,5
( ) 21 1 10 5 4 80P X = = × =
( ) 24 1 11 5 4 20P X = = × =
( ) 1
2
1 1 3 32 5 4 4 40P X C= = × × × =
( ) 1
2
4 1 3 33 5 4 4 10P X C= = × × × = ( ) 21 3 94 5 4 80P X = = × =
( ) 24 3 95 5 4 20P X = = × =
X
P 1
80
1
20
3
40
3
10
9
80
9
20
( ) 1 1 3 3 9 9 190 1 2 3 4 580 20 40 10 80 20 5E X = × + × + × + × + × + × =（Ⅰ）在随机抽取的 100 名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有 3+14=17 人，
所以，随机抽取 1 名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为 ．
————————————3 分
（Ⅱ） 所有的可能取值为 1,2,3， ——————————4 分
, , .——————7 分
所以 的分布列为
1 2 3
所以 的数学期望为 . ——————9 分
（Ⅲ）在随机抽取的 100 名顾客中，
使用自由购的共有 人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 .——————12 分
22. （本小题满分 14 分）
解：（1）函数的定义域为 ,且 , ———————2 分
①当 时, 在 上单调递增; —————————4 分
②当 时,令 ,得 在 上单调递减; 在 上单调递增.
—————————6 分
（2）由（1）知, ,
①若 ,则 ,即 在 上恒成立,此时 在 上为增函数,
在 上的最小值为 , , （舍去）———8 分
②若 ,则 ,即 在 上恒成立,
17
100P =
X
( ) 1 2
4 2
3
6
C C 11 5C
P X = = = ( ) 2 1
4 2
3
6
C C 32 5C
P X = = = ( ) 3 0
4 2
3
6
C C 13 5C
P X = = =
X
X
P 1
5
3
5
1
5
X 1 3 11 2 3 25 5 5EX = × + × + × =
3 12 17 6 4 2 44+ + + + + =
44 5000 2200100
× =
( )0, ∞+
2( ) x af x x
′ +=
0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x∴ ( )0, ∞+
0a < ( ) 0f x′ = x a= − ( )f x∴ ( )0, a− ( ),a− +∞
2( ) x af x x
′ +=
1a ≥ − 0x a+ ≥ ( ) 0f x′ ≥ [1, ]e ( )f x [1, ]e
( )f x [1, ]e 3
2 min
3( ) (1) 2f x f a∴ = = − = 3
2a∴ = −
a e≤ − 0x a+ ≤ ( ) 0f x′ ≤ [1, ]e此时 在 上为减函数, , （舍去）.———10 分
③若 ,令 ,得 .
当 时, , 在 上为减函数;
当 时, , 在 上为增函数,
,
综上可知： ———————14 分
( )f x [1, ]e min
3( ) ( ) 1 2
af x f e e
∴ = = − =
2
ea∴ = −
1e a− < < − ( ) 0f x′ = x a= −
1 x a< < − ( ) 0f x′ < ( )f x∴ ( )1,a−
a x e− < < ( ) 0f x′ > ( )f x∴ ( ),a e−
min
3( ) ( ) ln( ) 1 2f x f a a∴ = − = − + = a e∴ = −
a e= −
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