江西奉新县一中2019-2020高二数学（理）下学期第一次月考试题（带答案Word版）

2021 届高二下学期第一次月考数学试卷（理) 2020.5 一、 选择题（本大题共 个小题，每小题 分，共 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 若 对应的点在第四象限，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若 ，则 （ ） A． B． C． D． 3. 函数 的定义域为区间 ，导函数 在 内的图象 如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（ ） A 1 个 B 2 个 C 个 D 4 个 4． 已知 的导函数为 ，且在 处的切线方程为 ，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 函数 在点 处的切线方程为(　　) A. B. C. D. 6． 一物体沿直线以速度 （单位： ）作变速直线运动，则该物体从时刻 秒 至时刻 秒间运动的路程为(　　). A． B． C． D． ( 3) ( 1)iz m m= + + − ( 31)− ， ( 13)− ， (1, )∞+ ( 3)∞ −- ， )(xf ),( ba )(xf ′ ),( ba )(xf ),( ba 3 12 5 60 m ' 0( ) 3f x = − 0 0 0 ( ) ( 3 )lim h f x h f x h h→ + − − = 3− 6− 9− 12− ( )y f x= ( )y f x′= 1x = 3y x= − + ( ) ( )1 1f f ′− = xexf x ln)( = ))1(,1( f )1( −= xey )1(2 −= xey 1−= exy exy −= 32)( −= ttv sm / 0=t 5=t m5 m10 m2 25 m2 29 Ġ a b x y )(xfy ′= O Ƞ a b x y )(xfy ′= O 7. 若函数 是 上的单调函数，则实数 的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8. 用总长为 的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多 ，要使它的 容积最大，则容器底面的长为（ ） A. B. C. D. 9. 将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(　　) 10. 已知函数 ， 是其导函数，恒有 ，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数 ，若存在唯一的正整数 ，使得 ,则实数 的 取值 范围为（ ） 123 +++= mxxxy R m )3 1,(−∞ ),3 1( +∞  −∞ 3 1,( ),3 1 +∞  m8.14 m5.0 m2 m5.1 m2.1 m1 )(xfy = )(xfy ′= )(xfy = ))2,0(( π∈x )(xfy ′= xxfxf tan)()( '< )3(2)4(3 ππ ff < )3(2)4(3 ππ ff > 1sin)6(2)1( π ff < )4()6(2 ππ ff > 53)( 23 +−−−= aaxxxxf 0x 0)( 0 = kkxy A M P P A 27 8 k xxxf ln)( = x xfxg )()( ' = )1( 0)( >xg ),1( +∞ e )2( )(xg ),0( e ),( +∞e )3( 2)()( axxfxF −=有两个极值点，则 ； 若 时，总有 恒成立，则 . 其中正确命题的序号为 . 三、解答题（本大题共 小题，共 分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤） 17. 已知复数 ( ∈ )， 试求实数 分别取什么值时， 分别为：（1）实数； （2）纯虚数. 18. 已知抛物线 与直线 相交于 、 两点，点 为坐标原点 . （1）求 的值； （2）若 的面积等于 ，求直线 的方程. )1,0(∈a )4( 021 >> xx )()()(2 21 2 2 2 1 xfxfxxm −>− 1≥m 6 70 iaaa aaz )65(1 124 2 2 2 −−+− −−= a R a z xy −=2 ：l )1( += xky A B O OBOA⋅ OAB∆ 4 5 l19. 曲线 在 处取得极值，且曲线 在点 处切线垂直 于直线 ．（1）求曲线 与直线 所围成图形的面积； （2）求经过点 的曲线 的切线方程． 20. 如 图 ，在直 棱 柱 中 ， ， ， ， ， . （1）求异面直线 与 所成的角的余弦值； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 21. 已知函数 . （1）若 ，试判断函数 在定义域内的单调性； （2）若函数 在 上的最小值为 ，求实数 的值. 4 3)( 2 ++= bxaxxf 0=x )(xfy = ))1(,1( f 0942 =−+ yx )(xfy = 0942 =−+ yx )4 9,1( −−P )(xfy = 1111 DCBAABCD − BCAD // 090=∠BAD BDAC ⊥ 1=BC 31 == AAAD BD 1AD 11CB 1ACD x axxf −= ln)( 0>a )(xf )(xf [ ]e，1 2 3 a 22. 已知函数 . （1）若 在 处有极值，问是否存在实数 ，使得不等式 对任意 及 恒成立？ 若存在，求出 的取值范围；若不存在， 请说明理由. ； （2）若 ，设 . ① 求证：当 时， ； ② 设 ,求证： (所有答案写在答题卡上) 1x = m 2 2 14 ( )m tm e f x+ + − ≤ [ ]1,x e e∈ − [ ]1,1t ∈ − m ( )71828.2=e 21 1 )1(1)( ++= ∫ + xdttaxf x ( )1x > − )(xf 1=a xxxfxF −+−= 2)1()()( 0>x 0)( 2021 届高二下学期第一次月考数学参考答案（理） 一、选择题（本大题共有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 A D A B A D D B D A C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 14. 15. 16. 三、解答题：(本大题 6 小题，共 70 分，解答写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．解：（1）当 为实数时， 且 ∴ （2）当 为纯虚数时，有 ∴ 18．解:（1） 设 ， 由题意可知： ∴ 联立 得： 显然： ∴ ∴ （2） ∴ 解得： 25 8− 6 3 1 )4)(1( z 0652 =−− aa 012 ≠−a 6=a z    =− −− ≠−− 01 124 065 2 2 2 a aa aa 2−=a ( )1 2 1 , yyA − ( )2 2 2 , yyB − 0≠k 1+−= k yx xy −=2 02 =−+ kyky 0>∆    −=⋅ −=+ 1 1 21 21 yy kyy 011()()( 2 21 2 2 2 1 ＝）+−=⋅+−⋅−=• yyyyOBOA  41 2 14)(2 112 1 221 2 2121 +=−+=−⋅⋅=∆ kyyyyyyS OAB 4 541 2 1 2 =+ k 3 2±=k ∴ 直线 的方程为： 或 19. 解： （1） = （2）设切点为 所求切线方程为： 代入 可得： 或 所求切线方程为： 或 20. 解：（1） 易知 AB，AD，AA1 两两垂直．如图 2 建立空间直角坐标 系． 设 AB＝t ，则各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)， B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)． 从而 ＝(t,1,0)， ＝(－t,3,0)． l 0232 =++ yx 0232 =+− yx  baxxf += 2)(' ∴    = = 2)1( 0)0( ' ' f f ⇒    = = 0 1 b a ∴ 4 3)( 2 += xxf ∴    += =−+ 4 3 0942 2xy yx ⇒    = −= 3 2 3 1 1 y x    = = 4 7 1 2 2 y x dxxxS ∫−     +−+−= 1 2 3 2 )4 3()4 9 2 1( 48 125 2 3 1 )2 3 4 1 3 1( 23 = − +−− xxx )4 3,( 2 00 +xx  xxf 2)(' = ∴ 02xk = ∴ )(2)4 3( 00 2 0 xxxxy −=+− )4 9,1( −−P 10 =x 30 −=x ∴ 0148 =−− yx 033424 =++ yx ( )0>t AC BD因为 AC⊥BD， 所以 · ＝－t2＋3＋0＝0. 解得: 或 (舍去) ∴ = ，而 异面直线 与 所成角的余弦值为 ． （2） 由(1)可知， ＝(0,3,3)， ＝( 3，1,0)， ＝(0,1,0)． 设 n＝(x，y，z)是平面 ACD1 的一个法向量， 则:Error!即Error!令 x＝1，则 n＝(1，－ 3， 3)． 设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ， 则：sinθ＝|cos〈n， 〉|＝| n·B1C1 → |n|·|B1C1 → | |＝ 3 7 ＝ 21 7 直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为 21 7 ． 21. 解: (1) 由题意知， 的定义域为 ，且 显然 ，故 在 上是单调递增函数． (2) 由(1)可知， . ① 若 ，则当 时， ，即 ， AC BD 3=t 3−=t BD ( 3,3,0)− 1 (0,3,3)AD = 1 1 1 cos , | | | | BD ADBD AD BD AD =       9 6 42 3 3 2 = = × ∴ BD 1AD 4 6 1AD AC 1 1B C 1 1B C ∴ )(xf ( )∞+，0 0,1)( 22 ' >+=+= ax ax x a xxf 0)(' >xf )(xf ( )∞+，0 2 ' )( x axxf += 1−≥a ( )ex ,1∈ 0>+ ax 0)(' >xf故 在 上为增函数， ， (舍去)． ② 若 ，则当 时， ，即 ， 在 上为减函数， ， (舍去)． ③ 若 ，令 ，得 ， 当 时， ， 在 上为减函数； 当 时， ， 在 上为增函数． ， . 综上所述， . 22. 解：（1） ， ． 由 ，可得 ， ． 经检验: 当 时，函数 在 处取得极值，所以 ． ∵ ， ． 当 时， 不等式 对任意 及 恒成立， 即: ， 2( ) ln( 1) ( 1)f x a x x= + + + ' ( ) 2 21 af x xx = + ++ ' (1) 0f = 2 2 02 a + + = 8a = − 8a = − ( )f x 1x = 8a = − 1 1e< − ' 8( ) 2 21f x xx −= + ++ 2( 1)( 3) 1 x x x − += + ( ) 0,f x′∴ > 2 min( ) ( 1) 8f x f e e= − = − + 2 2 14 ( )m tm e f x+ + − ≤ [ ]1,x e e∈ − [ ]1,1t ∈ − 2 2 2 2 2 min14 ( ) 14 8m tm e f x m tm e e+ + − ≤ ⇔ + + − ≤ − + )(xf [ ]e，1 ∴ 2 3)1()( min =−== afxf ∴ 2 3−=a ea −≤ ),1( ex∈ 0