江西省2019-2020高二数学（理）下学期第一次段考试题（带答案Word版）

2019-2020 学年高二下学期第一次段考数学试卷 一、选择题 共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项。 1．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 共轭复数 等于（ ） A. B. C. D. 2．已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外一点，下列条件中能确定点 M 与点 A，B， C 一定共面的是（ ） A． B． C． D． 3．设 ， ，则 三个数（ ） A．都小于 4 B．至少有一个不大于 4 C．都大于 4 D．至少有一个不小于 4 4．若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知点 和 ，动点 满足 ，则点 的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 6．过抛物线 的焦点作两条互相垂直的弦 ,则 （ ） A． B． C． D． 7．已知椭圆 ： 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 ： 交椭圆 于 ， 两点，若 ，点 与直线 的距离不小于 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． z 3(1 2 ) 1 2i z i+ = + i z z 3 4 5 5 i+ 3 4 5 5 i− + 3 4 5 5 i− 3 4 5 5 i− − OM OA OB OC= + +    2 3OM OA OB OC= + +    1 1 1 2 2 2OM OA OB OC= + +    1 1 1 3 3 3OM OA OB OC= + +    , , 0x y z > 1 1 14 , 4 , 4a x b y c zy z x = + = + = + , ,a b c ( ) lnf x kx x= − ( )1,+∞ k ( ], 2−∞ − ( ], 1−∞ − [ )2,+∞ [ )1,+∞ ( 3,0)A − (3,0)B M 4MA MB− = M 2 2 1( 0)4 5 x y x− = < 2 2 1( 0)4 5 x y x− = > 2 2 1( 0)9 5 x y x− = < 2 2 1( 0)9 5 x y x− = > 2 4y x= ,AB CD 1 1 AB CD + = 2 4 1 2 1 4 E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F M l 3 4 0x y− = E A B | | | | 6AF BF+ = M l 8 5 E 2 2(0, ]3 5(0, ]3 6[ ,1)3 2 2[ ,1)38．已知 ， ，对任意 ，不等式 恒成立，则 m 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．设点 P 是曲线 上的任意一点，点 P 处切线的倾斜角为 ,则角 的取 值范围是（ ）. A． B． C． D． 10．已知 是双曲线 上的三个点， 经过坐标原点 ， 经过双曲线右焦点 ，若 且 ，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 11．下列命题中正确命题的个数是（ ） (1)若函数 的定义域 关于原点对称,则 为偶函数的充要条件为对任意 的 都成立； (2)若函数 的定义域 关于原点对称,则“ ”是“ 为奇函数”的必要条 件； (3)函数 对任意的实数 都有 则 在实数集 上是增函数； (4)已知函数 在其定义域内有两个不同的极值点，则实 数 的取值范围是 A．1 B．2 C．3 D．4 12． ， ， ， ， ， ( ) 2e e x xf x x = − ( ) ( )0mg x mx mx = + > ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )f x g x< ( )1,+∞ e ,e 1  +∞ −  2e ,e 1  +∞ −  ( )4,+∞ 3 33 5y x x= − + α α 20, 3 π     20, ,2 3 π π π          2,2 3 π π     2,3 3 π π     , ,A B C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > AB O AC F BF AC⊥ 2 AF CF= 5 3 17 3 17 2 9 4 ( )y f x= D ( )y f x= ( ) ( )x D f x f x∈ = −， ( )y f x= D ( )0 0f = ( )f x ( )f x x ( ) ( )1f x f x +＜ ， ( )f x R ( ) ( )2ln 2 af x x x x x a a R= − − + ∈ a 10, e      已知函数 ( ) tf x x x = + （x＞0） 过点 (1,0)P y= ( )f x作曲线 的两条切线 ,PM PN ,M N切点分别为 ( )g t MN=设 n若对任意的正整数 642 n+ n     ，在区间 内 A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．设 （ ），则函数 的最小值是________． 14．若中心在原点，焦点在 轴上的双曲线离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为 ______________． 15．点 ，抛物线 的焦点为 ，若对于抛物线上的任意点 ， 的最小值为 41，则 的值等于____________. 16．已知 是定义在 上的奇函数，记 的导函数为 ，当 时，满足 ，若存在 ，使不等式 成立，则 实数 的最小值为__________． 三、解答题 共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17．设命题 实数 满足 ，命题 实数 满足 . （1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围； （2）若 ，且 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围. 18．( 本小题满分 12 分) 如图所示 ，四棱锥 中， ， ， 为的 中点． （1）试在 上确定一点 ，使得 ∥平面 ； （2）点 在满足(1)的条件下，求直线 与平面 所成角的正弦值． 19．已知 是抛物线 上一点，经过点 的直线 与抛物线 交于 、 1 2 1 1 2 1, , , (m 1 ) ( ) ( ) ( )m m ma a a g a g a g a g a+ ++ ++ + 使得不等在 ＜总 个 式存 数 ， m则 的最大值为（ ） ( ) 1 1f x x x= − + + x R∈ ( )f x y 3 ( )20,40M ( )2 2 0y px p= > F P PM PF+ p ( )f x R ( )f x ( )'f x 0x ≥ ( ) ( )' 0f x f x− > x∈R ( ) ( )2 2 2x xf e x x f ae x − + ≤ +  a :p x 2 23 2 0x mx m− + < :q x ( )22 1x + < 2m = − p q∨ x 0m < p q¬ m P ABCD− ,AB AD⊥ ,AD DC⊥ PA ABCD⊥ 底面 1 12PA AD AB CD= = = = M PB CD N MN PAD N MN PAB ( )2,2E 2: 2C y px= ( )2,0 l C AxxxC 23 1 2 +=）（ 两点（不同于点 ），直线 、 分别交直线 于点 、 . （1）求抛物线方程及其焦点坐标； （2）求证：以 为直径的圆恰好经过原点. 20．已知 (e 为自然对数的底数). (1)设函数 ，求函数 的最小值； (2)若函数 在 上为增函数，求实数 的取值范围. 21．（本小题满分 12 分）已知椭圆 的两个焦点 ，且椭圆过 点 ，且 是椭圆上位于第一象限的点，且 的面积 . （1）求点 的坐标； （2）过点 的直线 与椭圆 相交于点 ，直线 ， 与 轴相交于 两点，点 ，则 是否为 定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由. 22．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子 产品需投入固定成本 2 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本 C（x）万元，当年产量小 于 7 万件时， （万元）；当年产量不小于 7 万件时， （万元）． 已知每件产品售价为 6 元，假若该同学生产的产品当年能全部售完． B E EA EB 2x = − M N MN ( ) ln 1xf x e x x ax= − + − ( )( ) f xg x x = ( )g x ( )f x [ )1,+∞ a ( )2 2 2 2: 1 0x yE a ba b + = > > 1 2,F F ( ) 60, 3 ,( 3, )2 − A 1 2AF F∆ 1 2 3AF FS∆ = A ( )3,0B l E ,P Q AP AQ x ,M N 5( ,0)2C CM CN 17ln6 3 −++= x exxxC ）（（1）写出年利润 P（x）（万元）关于年产量 x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销 售收人﹣固定成本﹣流动成本） （2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？ （取 e3≈20）2019-2020 学年高二下学期第一次段考数学试卷 一、选择题 共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项。 1．故选：D． 2．已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外一点，下列条件中能确定点 M 与点 A，B， C 一定共面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 不妨设 . 对于 A 选项， ，由于 的竖坐标 ，故 不在平面 上，故 A 选项错误. 对于 B 选项， ，由于 的竖坐标 ，故 不在平面 上，故 B 选项错误. 对于 C 选项， ，由于 的竖坐标 ，故 不在平面 上，故 C 选项错误. 对于 D 选项， ，由于 的竖坐标为 ，故 在平 面 上，也即 四点共面.下面证明结论一定成立： 由 ，得 ， 即 ，故存在 ，使得 成立，也即 四点共面. 故选：D. OM OA OB OC= + +    2 3OM OA OB OC= + +    1 1 1 2 2 2OM OA OB OC= + +    1 1 1 3 3 3OM OA OB OC= + +    ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 1,0,1 , 0,0,1 , 0,1,1O A B C ( )1,1,3OM OA OB OC= + + =    M 3 1> M ABC ( )2 3 1,3,6OM OA OB OC= + + =    M 6 1> M ABC 1 1 1 1 1 3, ,2 2 2 2 2 2OM OA OB OC  = + + =        M 3 12 > M ABC 1 1 1 1 1, ,13 3 3 3 3OM OA OB OC  = + + =        M 1 M ABC , , ,A B C M 1 1 1 3 3 3OM OA OB OC= + +    ( ) ( )1 1 3 3OM OA OB OA OC OA− = − + −      1 1 3 3AM AB AC= +   1 3 λ µ= = AM AB ACλ µ= +   , , ,A B C M3．设 ， ，则 三个数（ ） A．都小于 4 B．至少有一个不大于 4 C．都大于 4 D．至少有一个不小于 4 【答案】D 【解析】 假设三个数 且 且 ，相加得： ，由基本不等式得： ； ； ； 相加得： ，与假设矛盾； 所以假设不成立， 三个数 、 、 至少有一个不小于 4． 故选： ． 4．若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，∵函数 在区间 单调递增，∴ 在区间 , , 0x y z > 1 1 14 , 4 , 4a x b y c zy z x = + = + = + , ,a b c 14 4x y + < 14 4y z + < 14 4z x + < 1 1 14 4 4 12x y zx y z + + + + + < 1 4 4xx +  1 4 4yy +  1 4 4zz +  1 1 14 4 4 12x y zx y z + + + + +  14x y + 14y z + 14z x + D ( ) lnf x kx x= − ( )1,+∞ k ( ], 2−∞ − ( ], 1−∞ − [ )2,+∞ [ )1,+∞ ( ) lnf x kx x= − ( )1,+∞ ( )1,+∞上恒成立．∴ ，而 在区间 上单调递减，∴ ．∴ 的取值范围是 ．故选：D． 5．已知点 和 ，动点 满足 ，则 的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设 ， 因为 ，所以 ， 即 ，两边平方整理得： ， ， 两边平方整理得： ，即 ， 故选:B. 6．过抛物线 的焦点作两条垂直的弦 ,则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由抛物线 ，可知 ，设 的倾斜角为 ，则 的倾斜角为 ，过焦点的弦 ，所以 ，故 选 D. ( )1,+∞ [ )1,+∞ ( 3,0)A − (3,0)B M 4MA MB− = M 2 2 1( 0)4 5 x y x− = < 2 2 1( 0)4 5 x y x− = > 2 2 1( 0)9 5 x y x− = < 2 2 1( 0)9 5 x y x− = > ( , )M x y 4MA MB− = 2 2 2 2( 3) ( 3) 4x y x y+ + − − + = 2 2 2 2( 3) ( 3) 4x y x y+ + = − + + 2 22 ( 3) 3 4x y x− + = − 4 3x ≥   2 25 4 20x y− = 2 2 1( 2)4 5 x y x− = ≥ 2 4y x= ,AB CD 1 1 AB CD + = 2 4 1 2 1 4 2 4y x= 2 4p = 1l θ 2l 2 π θ− 2 2 2 2 2 2,sin cossin ( )2 p p pAB CD πθ θθ = = = − 2 21 1 sin cos 1 2 2 4AB CD p p θ θ+ = + =7．已知椭圆 ： 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 ： 交椭圆 于 ， 两点，若 ，点 与直线 的距离不小于 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 可设 为椭圆的左焦点，连接 ， 根据椭圆的对称性可得四边形 是平行四边形， ， ，取 ， 点 到直线 的距离不小于 ， 所以， ， 解得 ， 椭圆 的离心率的取值范围是 ，故选 B. 8．已知 ， ，对任意 ，不等式 恒成立，则 m 的取值范围为（ ） A． B． C． D． E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F M l 3 4 0x y− = E A B | | | | 6AF BF+ = M l 8 5 E 2 2(0, ]3 5(0, ]3 6[ ,1)3 2 2[ ,1)3 'F ', 'AF BF 'AFBF 6 ' 2AF BF AF BF a∴ = + = + = 3a∴ = ( )0,M b  M l 8 5 4 8 59 16 b ≥ + 2 2 9 5 52, 9 9 3 bb e e −≥ = ≤ ∴ ≤ ∴ E 50, 3      ( ) 2e e x xf x x = − ( ) ( )0mg x mx mx = + > ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )f x g x< ( )1,+∞ e ,e 1  +∞ −  2e ,e 1  +∞ −  ( )4,+∞【答案】B 【解析】 由题意，对任意 ，不等式 恒成立，即 ，参变分离， 得 ， 令 ， 则 令 解得 可知 在 上递增， 上递减，所以 ， 故选：B． 9．设点 P 是曲线 上的任意一点，点 P 处切线的倾斜角为 ,则角 的取 值范围是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ， ， ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )f x g x< 2e e x x mmxx x < +− ( )( )2 2 e e 1 x x x m x x− + < ( ) ( )( )2 2 e e 1 x x xh x x x = − + ( )0,x∈ +∞ ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 22 2 2 e e 1 e 1 1 2 e 2 e e 1 x x x x x x x x x x x x x h x x x  + − + − − + + − ′ =  − +  ( ) 0h x′ = 1x = ( )h x (0,1) (1, )+∞ max e( ) (1) e 1h x h= = − e e 1m∴ > − 3 33 5y x x= − + α α 20, 3 π     20, ,2 3 π π π          2,2 3 π π     2,3 3 π π     23 3 3y x′ = − −  tan 3α∴ − 20, ,2 3 π πα π   ∴ ∈      故选： ． 10．已知 是双曲线 上的三个点， 经过原点 ， 经过 右焦点 ，若 且 ，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设左焦点为 ， ，连接 则 ， ， ， 因为 ，且 经过原点 所以四边形 为矩形 在 Rt△ 中， ，代入 化简得 所以在 Rt△ 中， ，代入 B , ,A B C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > AB O AC F BF AC⊥ 2 AF CF= 5 3 17 3 17 2 9 4 'F AF m= ', 'AF CF 2FC m= ' 2AF a m= + ' 2 2CF a m= + ' 2FF c= BF AC⊥ AB O 'FAF B 'AF C 2 2 2' + 'AF AC F C= ( ) ( ) ( )2 2 22 + 3 = 2 2a m m a m+ + 2 3 am = 'AF F 2 2 2' + 'AF AF F F= 化简得 ，即 所以选 B 11．下列命题中正确命题的个数是（　　　　） (1)若函数 的定义域 关于原点对称,则 为偶函数的充要条件为对任意 的 都成立； (2)若函数 的定义域 关于原点对称,则“ ”是“ 为奇函数”的必要条 件； (3)函数 对任意的实数 都有 则 在实数集 上是增函数； (4)如果对于定义域 内任意的实数 ,不等式 ,则 叫做函数 的最小值. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 对于(1)，根据偶函数的定义，可得：若函数为偶函数，则对应定义域内的任意 ，都有 ；反之也成立；故（1）正确； 对于（2），函数 的定义域不包含 时，由“ 为奇函数”不能推出“ ”， 故（2）错； 对于（3），对于函数 ，对于任意的实数 都有 但不 满足在实数集 上是增函数，故（3）错； 对于（4），根据函数最小值的定义，如果对于定义域 内任意的实数 ，都有 ； 存在 ，使得 ，则 叫做函数 的最小值.故（4）错； ( )2 2 22 22 23 3 a aa c   + + =       2 2 17 9 c a = 17 3e = ( )y f x= D ( )y f x= ( ) ( )x D f x f x∈ = −， ( )y f x= D ( )0 0f = ( )f x ( )f x x ( ) ( )1f x f x +＜ ， ( )f x R D x ( )f x M≥ ， M ( )f x x ( ) ( )f x f x= − ( )y f x= 0 ( )f x ( )0 0f = ( ) ...... 0, 1 0 1,0 1 2,1 2 ...... x f x x x   − ≤ x∈R ( ) ( )2 2 2x xf e x x f ae x − + ≤ +  a 11 e − 11 e + 1 e+ e 11 e − ( ) ( ) ( )0x f xg x xe = ≥ ( )g x [ )0,+∞ ( ) 0g x ≥ ( ) ( ) ( )'' 0x f x f xg x e −= > 0x ≥ ( ) ( )' 0f x f x− > ( )g x [ )0,+∞ 0x > ( ) ( ) ( )0 0x f xg x ge = > = 0x > ( ) 0f x > 0x ≥ ( ) 0f x ≥ 0x = 0x ≥ ( ) ( )' 0f x f x− > ( ) ( )' 0f x f x> ≥ ( )f x [ )0,+∞ ( )f x R ( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )2 2 2x xf e x x f ae x − + ≤ +  ( )2 22 2 2 2x x xe x x ae x a x x xe−⇔ − + ≤ + ⇔ ≥ − + −令 ，则原问题等价于 有解，从而 ， ∵ ， ∴ 在 上单减，在 上单增， ∴ ， 所以 的最小值为 ， 三、解答题 共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17．设命题 实数 满足 ，命题 实数 满足 . （1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围； （2）若 ，且 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）当 时， ，即 . 由 ，得 . 若 为真，即 真或 真， . 因此，实数 的取值范围 ； （2）若 ， ，即 . ， 或 ， 且 是 的充分不必要条件，则 或 ，即 或 . 因此，实数 的取值范围 . 18．解析： (1)：过点 M 作 ME∥AB 交 P A 于 E 点，连接 DE.要使 MN∥平面 PAD，则 ( ) 2 2 2 xh x x x xe−= − + − ( )a h x≥ ( )mina h x≥ ( ) ( ) ( )( )' 2 2 1 2x x xh x x e xe x e− − −= − − − = − + ( )h x ( ),1−∞ ( )1,+∞ ( ) ( )min 11 1a h x h e ≥ = = − a 11 e − :p x 2 23 2 0x mx m− + < :q x ( )22 1x + < 2m = − p q∨ x 0m < p q¬ m ( )4, 1− − ( ] 1, 3 ,02  −∞ − −   2m = − 2: 6 8 0p x x− + < 4 2x− < < − ( )22 1x + < 3 1x− < < − p q∨ p q { } { } { }4 2 3 1 4 1x x x x x x− < < − ∪ − < < − = − < < − x ( )4, 1− − 0m < 2 2: 3 2 0p x mx m− + < 2m x m< < : 3 1q x− < < − : 3q x¬ ≤ − 1x ≥ − p q¬ 0 3 m m 2Ax = ( )2,1A l ( ) ( )1 1 2 23, , , ,x my P x y Q x y= + AP ( )1 1 11 22 yy xx −− = −− 1 1 1 2 ,01 y xM y  −  −  ( ) 1 1 2 3,01 m yM y − −   −  AQ ( )2 2 11 22 yy xx −− = −−可得 ，即 . 联立 ，消去 ，整理， 得 . 由 ，可得 ..………………………………………6 分 ∴ 为定值，且 ………………………………………………………… 12 分 22．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子 产品需投入固定成本 2 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本 C（x）万元，当年产量小 于 7 万件时，C（x）= x2+2x（万元）；当年产量不小于 7 万件时，C（x）=6x+1nx+ ﹣17 （万元）．已知每件产品售价为 6 元，假若该同学生产的产 M 当年全部售完． （1）写出年利润 P（x）（万元）关于年产量 x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销 售收人﹣固定成本﹣流动成本 2 2 2 2 ,01 y xN y  −  −  ( ) 2 2 2 3,01 m yN y − −   −  2 2 3 2 6 x my x y = +  + = x ( )2 22 6 3 0m y my+ + + = ( )2 236 12 2 0m m∆ = − + > 2 1m > 1 2 1 22 2 6 3,2 2 my y y ym m + = − =+ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 35 5 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 4 1 3 61 2 1 2 12 2 3 64 12 2 3 12 12 6 12 2 4 3 6 2 m y m yCM CN y y m y m y y y m y y m y y y y y y mm mm m m m m m m m m m m − − − −   = − −   − −    + + + += − − + + + + += − + +    + + + − + + + =  + + + +  + + − − + += + + +      ( ) ( ) 2 2 2 6 5 1 44 6 5 m m m m m + += = + + CM CN 1 4CM CN =（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？ （取 e3≈20） 【答案】(1) (2) 当年产量约为 20 万件时，该同学的 这一产品所获年利润最大，最大利润为 11 万元 【解析】 （1）产品售价为 6 元，则 万件产品销售收入为 万元. 依题意得，当 时， ， 当 时， . ∴ （2）当 时， ， ∴当 时， 的最大值为 （万元）. 当 时， ， ∴ ， ∴当 时， ， 单调递减， ∴当 时， 取最大值 （万元）， ∵ ， ∴当 时， 取得最大值 万元，即当年产量约为 20 万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为 11 万元.