2019-2020 学年高二下学期
第一次段考文科数学试卷 2020.5
一、选择题 (共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1、以 为准线的抛物线的标准方程为（ ）
A B C D
2、若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得
的弦长为 ，则 的离心率为( )
A B C D
3、已知椭圆 的两个焦点为 F 1，F 2，弦 AB 过点 F 1，则△ABF 2 的周长为
( )．
A 10 B 20 C D
4、对于参数方程 和 其中 t 为参数，下列结论正确的是( )
A 是倾斜角为 30°的两平行直线 B 是倾斜角为 150°的两重合直线
C 是两条垂直相交于点(1，2)的直线 D 是两条不垂直相交于点(1，2)的直线
5、已知命题 ： ，若命题 是假命题，则 的取值范围为( )
A B C D 或
6、设曲线 f( x)＝ xn ＋ 1( n∈N *)在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则
x 1· x 2· x 3· x 4·…· x 2 017＝( )
A B C D
3
32
6cos1
6sin2
{
π
π
tx
ty
−=
+=
6cos1
6sin2
{
π
π
tx
ty
+=
−=
4
1a 4
1>a
2017
2016
2017
1
2018
2017
2018
17、椭圆 E： 的焦点为 F 1， F 2，点 P 在 E 上，| PF 1|＝2| PF 2|，则△ PF 1 F 2
的面积为（ ）
A 2 B 4 C 6 D 8
8、设 为抛物线 的焦点， 、 、 为该抛物线上三点， 、 、 三点坐标分
别为 、 、 .若 ，则 ( )
A 9 B 6 C 4 D 3
9、过双曲线 的右焦点 F，作渐近线 的垂线与双曲线左
右两支都相交，则双曲线离心率 的取值范围为( )
A B C D
10、方程 表示的曲线为椭圆是 的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
11、已知 ，直线 与函数 的图象在 处相切，设
，若在区间[1，2]上，不等式 恒成立．则实数 m
（ ）
A 有最大值 B 有最大值 e C 有最小值 e D 有最小值
12、已知方程 有且仅有两个不同的实数解 ，则以下有关两根
关系的结论正确的是( )
A B C D
二、填空题 (共 4 小题；每小题 5 分，共 20 分)
13、设 x＝－2 与 x＝4 是函数 f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数 a－b 的值为
________．
149
22
=+ yx
4
π−=x14、已知 方程 表示焦点在 轴上的椭圆； 在复平面内，复数
对应的点在第四象限，若 为真，则 的取值范围是_____________
15、已知点 是椭圆 上一点， 分别为椭圆的左右焦点，过点
作椭圆的切线 和 两轴分别交于点 ，当 （ 为坐标原点）的面积最小时，
，则椭圆的离心率为_____.
16、以下四个命题中，正确的题号是__________．
①函数的最值一定是极值； ②设 ：实数 ， 满足 ； ：实数 ，
满足 则 是 的充分不必要条件； ③已知椭圆 与双曲
线 的焦点重合， 、 分别为 、 的离心率，则 ，且
； ④ 一动圆 过定点 ，且与已知圆 相切，则动圆
圆心 的轨迹方程是 。
三、解答题 (共 6 小题；22 小题 10 分，其它每小题 12 分，共 70 分。)
17、(12 分）已知函数
（1）当 时，求函数 在区间 上的最大值和最小值；
（2）若 有解,求 的取值范围.
4
3cos 21 =∠ PFF
1124
22
=− yx18、(12 分）抛物线 上一点 到抛物线准线的距离为 ，
点 关于
轴的对称点为 ， 为坐标原点， 的内切圆与 切于点 ，点 为内切圆上任意一
点.
（1）求抛物线方程；
（2）求 的取值范围．
19、(12 分）已知椭圆 过点 ，且其中一个焦点的坐标为
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 ： 与椭圆交于两点 ，在 轴上是否存在点 ，使得
为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4
1320、(12 分）已知双曲线 的离心率为 .
（1）求双曲线 的方程.
（2）直线 与该双曲线 交于不同的两点 、 ，且 、 两点都在
以点 为圆心的同一圆上，求 的取值范围.
21、(12 分）已知函数 ，
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)对任意的 ， ，恒有 ，求正数
的取值范围.
3
3222、(10 分）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程是 （ 为参数），以
为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，
且直线 与曲线 交于 ， 两点
（1）求曲线 的普通方程及直线 恒过的定点 的坐标；
（2）在（1）的条件下，若 ，求直线 的普通方程2019-2020 学年高二下学期
第一次段考文科数学试卷 2020.5
一、选择题 (共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1、以 为准线的抛物线的标准方程为（ D ）
A B C D
2、若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长
为 ，则 的离心率为( B )
A B C D
3、已知椭圆 的两个焦点为 F 1，F 2，弦 AB 过点 F 1，则△ABF 2 的周长为
( D )．
A 10 B 20 C D
4、对于参数方程 和 其中 t 为参数，下列结论正确的是( B )
A 是倾斜角为 30°的两平行直线 B 是倾斜角为 150°的两重合直线
C 是两条垂直相交于点(1，2)的直线 D 是两条不垂直相交于点(1，2)的直线
5、已知命题 ： ，若命题 是假命题，则 的取值范围为( C )
A B C D 或
6、设曲线 f( x)＝ xn ＋ 1( n∈N *)在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则
x 1· x 2· x 3· x 4·…· x 2 017＝( D )
A B C D
7、椭圆 E： 的焦点为 F 1， F 2，点 P 在 E 上，| PF 1|＝2| PF 2|，则△ PF 1 F 2
的面积为（ B ）
A 2 B 4 C 6 D 8
8、设 为抛物线 的焦点， 、 、 为该抛物线上三点， 、 、 三点坐标分
别为 、 、 .若 ，则 ( B )
A 9 B 6 C 4 D 3
9、过双曲线 的右焦点 F，作渐近线 的垂线与双曲线左右两
支都相交，则双曲线离心率 的取值范围为( C )
A B C D
3
32
6cos1
6sin2
{
π
π
tx
ty
−=
+=
6cos1
6sin2
{
π
π
tx
ty
+=
−=
4
1a 4
1>a
2017
2016
2017
1
2018
2017
2018
1
149
22
=+ yx10、方程 表示的曲线为椭圆是 的（A ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
11、已知 ，直线 与函数 的图象在 处相切，设
，若在区间[1，2]上，不等式 恒成立．则实数 m
（ A ）
A 有最大值 B 有最大值 e C 有最小值 e D 有最小值
12、已知方程 有且仅有两个不同的实数解 ，则以下有关两根关
系的结论正确的是( A )
A B C D
二、填空题 (共 4 小题；每小题 5 分，共 20 分)
13、设 x＝－2 与 x＝4 是函数 f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数 a－b 的值为
__21______．
14、已知 方程 表示焦点在 轴上的椭圆； 在复平面内，复数
对应的点在第四象限，若 为真，则 的取值范围是___
__________
15、已知点 是椭圆 上一点， 分别为椭圆的左右焦点，过点
作椭圆的切线 和 两轴分别交于点 ，当 （ 为坐标原点）的面积最小时，
，则椭圆的离心率为__ ___.
16、以下四个命题中，正确的题号是_③④_________．
①函数的最值一定是极值； ②设 ：实数 ， 满足 ； ：实数 ，
满足 则 是 的充分不必要条件； ③已知椭圆 与双曲
线 的焦点重合， 、 分别为 、 的离心率，则 ，且
； ④ 一动圆 过定点 ，且与已知圆 相切，则动圆
圆心 的轨迹方程是 。
三、解答题 (共 6 小题；22 小题 10 分，其它每小题 12 分，共 70 分。)
4
π−=x
4
3cos 21 =∠ PFF
1124
22
=− yx17、(12 分）已知函数
（1）当 时，求函数 在区间 上的最大值和最小值；
（2）若 有解,求 的取值范围.
解析 （1）由题可知 的定义域为 ，
当 时，函数
所以函数 在区间 上是增函数.
在区间 上的最大值为 ，最小值为
（2）
当 时，
显然 有解
当 时，由 得
当 时，
当 时，
故 在 处取得最大值
若使 有解，只需
解得 结合
此时 的取值范围为
综上所述， 的取值范围为
18、(12 分）抛物线 上一点 到抛物线准线的距离为 ，
点 关于 轴的对称点为 ， 为坐标原点， 的内切圆与 切于点 ，点 为内切圆
上任意一点.
（1）求抛物线方程；
（2）求 的取值范围．
解析 （1）因为点 在抛物线上，
所以 ，点 A 到准线的距离为 ，
4
13解得 或 ．当 时， ，
故 舍去，所以抛物线方程为
（2）因为 ，
所以 是正三角形，边长为 ，
可得内切圆半径 ，
圆心坐标为 ，
其内切圆方程为 ，
如图所示，∴ ．
设点 （ 为参数），
则 ，
∴ ．
19、(12 分）已知椭圆 过点 ，且其中一个焦点的坐标为
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 ： 与椭圆交于两点 ，在 轴上是否存在点 ，使得
为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
解析（1）由已知得 ，∴ ，
则 的方程为 ；
（2）假设存在点 ,使得 为定值，
联立 , 得
设 ，则 ，
要使上式为定值, 即与 无关, 应有
解得 ,此时
所以，存在点 使得 为定值
20、(12 分）已知双曲线 的离心率为 . 3
32（1）求双曲线 的方程.
（2）直线 与该双曲线 交于不同的两点 、 ，且 、 两点都在
以点 为圆心的同一圆上，求 的取值范围.
解析（1）依题意 解得： .
所以双曲线 的方程为： .
（2）由 ，消去 得： ，
由已知： ，且 ①
设 、 ， 的中点 ，
则 ， ，因为 ，
所以 ，
整理得： ②
联立①②得： ，所以 或 ，又 ，
所以 ，因此 或 .
21、(12 分）已知函数 ，
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)对任意的 ， ，恒有 ，求正数
的取值范围.
解析（1） ，所以 ，又 f(3)= ,
所以由点斜式方程可得切线方程为 .
（2） ，
当 时， ，所以 在 上为减函数，
不妨设 则， 等价于
所以 ，在 ， 上恒成立。 令 ，则 在 上为增函数，所以 在
上恒成立.
而 化简得 ，
所以 ，其中
因为 ，所以
所以只需 ，即 x 3﹣7 x 2+6 x+λ≥0 对 x∈[1，2]恒
成立， 令 h（ x）＝ x 3﹣7 x 2+6 x+λ， h′（ x）＝3 x 2﹣14 x+6≤0 在 1≤ x≤2 恒成立，
则有 h（ x）在[1，2]递减，可得 h（2）取得最小值，且为﹣8+λ≥0，
解得λ≥8． 所以 .
22、(10 分）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程是 （ 为参数），以
为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，
且直线 与曲线 交于 ， 两点
（1）求曲线 的普通方程及直线 恒过的定点 的坐标；
（2）在（1）的条件下，若 ，求直线 的普通方程
解析 ( 1）曲线 的普通方程为： ,直线 恒过的定点为
（2）把直线 方程代入曲线 方程得：
由 的几何意义知 ， ，
因为点 在椭圆内，这个方程必有两个实根，
所以 ，所以
即 ，解得 ， ，故
因此，直线 的方程 或
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