2020 年高三第二次模拟考试
理科数学试题
命题人:审定人:
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上
无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。
1.设集合 则(RP)∩Q=
2.若复数 z 满足 则|z|=
A.3B C.2D.
3.在 中,“ 是“ 是钝角三角形”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C 充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为π
2,则该函
数图象是由 y=cos2x 的图象经过怎样的变换得到?
A.向左平移π
3个单位长度 B 向左平移π
6个单位长度
C.向右平移π
3个单位长度 D.向右平移π
6个单位长度
5.七巧板是中国古代劳动人民的发明,其历史至少可以追溯到公元前一世纪,后清陆以湉《冷
庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余”在 18 世纪,七巧
板流传到了国外,被誉为“东方魔板”,至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新
( )2
2{ | 4 0}, { | 1 2},P x x x Q x log x= − > = − <
[ ]. 0,4 .[0,5) .(1,4] .[1,5A B C D ）
( ) ( )22 1 2 ,i z i− = +
5 3
ABC∆ 0AB BC >
“ ” ABC∆“
( )06y sin
πωπ ω = − > 谱》.完整图案为一正方形(如图):五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形,如果
在此正方形中随机取一点,那么此点取自阴影部分的概率是
A.3
8B. 5
16C. 7
16D.1
3
A.0 B.1C. D.
7.已知一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为
8.在 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中 的系数为
A.56B.448C.408D.1792
9.孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法,是数论中一个重要定理,最早可见于中国南
北朝时期的数学著作《孙子算经》,1852 年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至
欧洲,1874 年英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般
性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.这个定理讲的是一个关于整除的问题,现有这样
o6 c s cos23 3. sin
π πα α α + = − = ，则已知
2
2
3
2
1.4 2A π+
5 10 1. 2 2B π+ +
5 10 1 2. 2 4C π+ ++
1 2.4 4D π++
12
n
x x
+ 2
1
x一个整除问题:将 2 至 2021 这 2020 个整数中能被 3 除余 2 且被 5 除余 1 的数按由小到大
的顺序排成一列构成一数列,则此数列的项数是
A.132 B.133 C.134D.135
10.已知点 在函数 y=lnx 图象上,若满足 的 n 的
最小值为 5,则 m 的取值范围是
11.已知 F1,F2 分别为双曲线 的左、右焦点,过 作 x 轴的垂
线交双曲线于 A、B 两点,若 的平分线过点,则 ,则双曲线的离心率为
A.2B C.3D.
12.已知方程 有三个不同的根,则实数 a 的取值范围为
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知向量 满足: 与 夹角为 ▲
14.已知正三棱锥 则此三棱锥外接球的半径为▲
15.已知定义域为 R 的函数 有最大值和最小值,且最
大值和最小值的和为 4,则 ▲
16.已知 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且
则 b=▲
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)
( )( )*, n Na nπ ∈ 1 2 naa a
n mS e e e= + + + ≥
( ]. 10,15A . ]( ,15B −∞ . 15,21](C .( ,21]D −∞
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > ( )1 ,0F c−
1 2F AF∠ 1 ,03M c −
2 3
2( 1)
1
1
x
x
x
ee x x ae
−
−
−+ = −
( ) ( ).1 1. 1, , 1,1 . 1,2 2A e B e C D − − − −
,a b | | 2,| | 3,a b a= = b 120 , | 2 |a b° + =则
, 2 3, 2 5,P ABC AB PA− = =
( ) 2
2
2 2020sin
2
x x xf ex e x
x
λ λµ + += + +
uλ − =
ABC∆ 2 2 2 sin ,a c ab Cb+ − =
cos sin , 10,a B b A c a+ = =
17 21−已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足
(1)求证:数列 为等比数列;
(2)求数列 的前 n 项和 Tn
18.(12 分)
我国是全球最大的口罩生产国,在 2020 年 3 月份,我国每日口罩产量超一亿只,已基本满足国
内人民的需求,但随着疫情在全球范围扩散,境外口罩需求量激增,世界卫生组织公开呼吁扩
大口罩产能常见的口罩有 KN90 和 KN95(分别阻挡不少于 90.0%和 95.0%的 0.055 到 0.095 微
米的氯化钠颗粒)两种,某口罩厂两条独立的生产线分别生产 KN90 和 KN95 两种口罩,为保证
质量对其进行多项检测并评分(满分 100 分),规定总分大于或等于 85 分为合格,小于 85 分为
次品,现从流水线上随机抽取这两种口罩各 100 个进行检测并评分,结果如下:
总分
KN90 6 14 42 31 7
KN95 4 6 47 35 8
(1)试分别估计两种口罩的合格率;
(2)假设生产一个 KN90 口罩,若质量合格,则盈利 3 元,若为次品,则亏损 1 元;生产一个 KN95
口罩,若质量合格,则盈利 8 元,若为次品则亏损 2 元,在(1)的前提下,
①设 X 为生产一个 KN90 口罩和生产一个 KN95 口罩所得利润的和,求随机变量 X 的分布列
和数学期望;
②求生产 4 个 KN90 口罩所得的利润不少于 8 元的概率
19.(12 分)
如图,在四棱锥 P-AECD 中,底面是边长为 2 的正方形, 为 PA 中点,点 F
在 PD 上且 平面
PCD,M 在 DC 延长线上,FH//DM,交 且 FH=1
(1)证明:EF∥平面 PBM;
(2)设点 N 在线段 BC 上,若二面角 E-DN-A 为 60°，求 BN 的长度。
( )*2 0,n nS a n n N−+ ∈=
1{ |2na −
{ }na n−
[75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)
17,PA PD E= =
EF ⊥
,PM H于20.(12 分)
已知椭圆 的离心率为1
2,且以椭圆上的点和长轴两端点
为顶点的三角形的面积的最大值为
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)经过定点 的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 M,N,点 M 关于 x 轴的对称点
为 M’,试证明:直线 M’N 与 x 轴的交点 S 为一个定点, 且 (O 为原点).
21.(12 分)
已知函数
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)若函数 有两个不同的极值点 x1,x2(x18(5ln2-2);
(3)设 a=-1,函数 的反函数为 令 i=1,2,…
且 若 时,对任意的 且
恒成立,求 m 的最小值
(二)选考题:共 10 分。请考生从第 22、23 题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选
题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不
涂,按本选考题的首题进行评分。
22.[选修 4-4;坐标系与参数方程](10 分)
( )2 2
2 2 1 0x yC a ba b
+ = > >：
2 3
( ),0 ( 2)Q m m >
4OQ OS =
( ) ( ) 22 ln ..af a x xxx = + + −
( ) ( ) 2lnh x f x x= −
( ) 2f x xx
+ + ( ),k x ( ) ,i
xik x k n
=
*
, 1,n Nn− ∈ 2,n [ ]1,1x∈ − *
n N∈ 2,n
( ) ( ) ( )1 2 1
1
in nk x k x xk e− 已知曲线 C 的极坐标方程是 以极点为原点,极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角坐标
系,直线 l 的参数方程为 (t 为参数).
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;
(2)在(1)中,设曲线 C 经过伸缩变换 得到曲线 C1,设曲线 C1 上任意一点为
当点 M 到直线 l 的距离取最大值时,求此时点 M 的直角坐标.
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
已知函数
(1)求不等式 的解集
(2)若 的最小值为 N,且
求证:
2,ρ =
12 ,2
31 ,2
x t
y t
= −
= +
,
3
x x
y y
′ = ′ =
( )0 0, ,M x y
( ) 2 2 | 1|.f x x x= + −
( ) | 2 |xf x x
>
( )f x ),( , ,a b c N a b c R+ + = ∈
2 2 2 2 2 2 2.a b b c c a+ + + + +
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