河北省石家庄市2020届高三第一次模拟考试数学（文）试题

石家庄市 2020 届高三年级阶段性训练题 数学（文科） （时间 120 分钟，满分 150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后．再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1．已知集合 ， ，则集合 （ ） A． B． C． D． 2．命题 ：“ ， ”的否定形式 为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 3．已知 是虚数单位，且 ，则 的共轭复数 在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知条件 ：①是奇函数；②值域为 ；③函数图像经过第一象限．则下列函数中满足条件 的是（ ） A． B． C． D． 5．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， ，则 的面积为（ ） { }1 3A x x= − ≤ ≤ ( ){ }2log 2B x y x= = − A B∩ = { }1 2x x− ≤ < { }2 3x x< ≤ { }1 3x x< ≤ { }2x x > p ( ),0x∀ ∈ −∞ 2 3x x≥ p¬ ( )0 ,0x∃ ∈ −∞ 0 02 3x x< ( )0 ,0x∃ ∈ −∞ 0 02 3x x≤ ( ),0x∀ ∈ −∞ 2 3x x< ( ),0x∀ ∈ −∞ 2 3x x≤ i 1 iz i −= z z P R P ( ) 1 2f x x= ( ) 1f x x x = + ( ) sinf x x= ( ) 2 2x xf x −= − ABC△ A B C a b c ( )( ) ( )sin sin sin sina b A B c C B+ − = + 1b = 2c = ABC△ A． B． C．1 D． 6．已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，角 的终边经过点 ，则 （ ） A． B． C． D． 8．《易·系辞上》有“河出图．洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列 结构是一、六在后，二、七在前．三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数.黑点为阴数. 若从阴数和阳数中各取一数分别记为 ， ，则满足 的概率为（ ） A． B． C． D． 9．某高校组织若 F 名学生参加白主招生七试（满分 150 分），学生成绩的频率分布直方图如图所示，分组 区间为: 、 、 、 、 、 、 ．其中 ， ， 成等差数列且 ．该高校拟以成绩的中位数作为分数线来确定进人面试阶段学生名单，根据频率分 布直方图进入该校面试的分数线为（ ） 1 2 3 2 3 x y 2 0 2 5 0 1 x y x y y − + ≥  + − ≤  ≥ 3 yz x = + 3 5 4 5 3 4 3 2 π 3 α + ( )1,2P sinα = 2 5 15 10 − 3 5 15 10 − 3 5 15 10 + 2 5 15 10 + a b 2a b− ≥ 8 25 9 25 16 25 18 25 [ )80,90 [ )90,100 [ )100,110 [ )110,120 [ )120,130 [ )130,140 [ )140,150 a b c 2c a= A.117 B.118 C.119 D.120 10．如图，在矩形 中， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上，则 的最大值是（ ） A． B．5 C． D． 11．函数 的相邻两条对称轴间的距离为 ， 的图象与 轴交点坐标为 ，则下列说法不正确的是（ ） A． 是 的一条对称轴 B． C． 在 上单调递增 D． 12．已知函数 对于任意 ，均 ，当 时， ，（其中 为自然对数的底数），若存在实数 ， ， ， 满足 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题． 13．已知 在 和 处的切线相互垂直，则 ______． 14．已知双曲线 ： 的焦点关于一条渐近线的对称点在 轴上，则该双曲线的离 心率为______． ABCD 2 2AB BC= = M C BD AM BD⋅  1− 3 5− + 3 5+ ( ) ( )2 π4cos 2 0,0 2f x xω ϕ ω ϕ = + − > < 0x = 1x = a = C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > y 15．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， ，则 该四棱锥的外接球的表面积为______． 16．已知抛物线 ： 的焦点为 ， ， ， 为抛物线 上的三个动点， 其中 且 ，若 为 的重心，记 三边 ， ， 的中点到抛物线 的准线的距离分别为 ， ， ，且满足 ，则 ______； 所在直线的方程为______． 三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题： 17．2019 年末，武汉出现新型冠状病毒（2019-nCoV）肺炎疫情,并快速席卷我国其他地区，传播速度很快．因 这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，目前没有特异治疗方法，防控难度很大．武汉市出 现疫情最早，感染人员最多．防控压力最大，武汉市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺 炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人 员,强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，某社区将本社区的排查工作人员分为 A，B 两个小 组，排查工作期间社区随机抽取了 100 户已排查户，进行了对排查工作态度是否满意的电话调查，根据调 查结果统计后，得到如下 的列联表． 是否满意 组别 不满意 满意 合计 A 组 16 34 50 B 组 5 45 50 合计 21 79 100 （Ⅰ）分别估计社区居民对 A 组、B 组两个排查组的工作态度满意的概率； P ABCD− ABCD 2AB AP= = 60PAB PAD∠ = ∠ = ° C 2 8y x= F ( )1 1 1,P x y ( )2 2 2,P x y ( )3 3 3,P x y C 1 2 3x x x< < 2 0y < F 1 2 3PP P△ 1 2 3PP P△ 1 2PP 1 3PP 2 3P P C 1d 2d 3d 1 3 22d d d+ = 2y = 1 3PP 2 2× （Ⅱ）根据列联表的数据，能否有 99%的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关？ 附表： 0.100 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附： 18．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和． 19．如图 1，在 中， ， ， ， 分别是 ， 边上的中点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图 2． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求点 到平面 的距离． 20．已知点 ，椭圆 ： 的离心率为 ， 和 分别是椭圆 的左焦点和 上顶点，且 的面积为 （Ⅰ）求椭圆 的方程： （Ⅱ）设过点 的直线 与 相交于 ， 两点，当 时，求直线 的方程． ( )2 0P K k≥ 0k ( ) ( )( )( )( ) 2 02 P K k K a b c d a c b d ≥ = + + + + { }na n nS 3 6 9a a+ = 6 21S = { }na 1 2 n n n a b  =    { }nb n Rt ABC△ 90C∠ = ° 4BC AC= = D E AC AB ADE△ DE 1A DE△ 1 1AC A D= 1DE AC⊥ C 1A BE ( )2,0A C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 F B C ABF△ 3 2 C A l C P Q 1 3OP OQ⋅ =  l 21．已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数． （Ⅰ）讨论 单调性； （ Ⅱ ） 当 时 ， 设 函 数 存 在 两 个 零 点 ， ， 求 证 ： ． （二）选考题：共 10 分，请考生从第 22、23 题中任选题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题 号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分：多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题 进行评分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 中，以 为极点。 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 、 交于 、 两点． （Ⅰ）求曲线 的极坐标方程和曲线 的普通方程； （Ⅱ）已知 点的直角坐标为 的值，求 的值． 23．[选修 45：不等式选讲] 函数 （Ⅰ）求函数 的最小值； （Ⅱ）若 的最小值为 ， ，求证： ． ( ) xf x e ax= + a R∈ e ( )f x 3a = − ( ) ( ) ( )g x f x m m R= − ∈ 1x ( )2 1 2x x x< 21 6x xe e+ > xOy O x 1C 3 3 ,2 2 2 1 3 2 x t y t  = +  = − + t 2C 1 ,cos 2 tan x y ϕ ϕ  =  = ϕ 1C 2C A B 1C 2C P 3 2,3 3  −    PA PB⋅ ( ) 2 1 2f x x x= − + + ( )f x ( )f x M ( )2 2 0, 0a b M a b+ = > > 1 1 4 1 2 1 7a b + ≥+ +