数学试题
一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）
1．球的表面积为 16πcm2，则球的体积为 cm3．
2．已知圆的参数方程为 ，则此圆的半径是 ．
3．设 z＝2021+bi（ i 为虚数单位），若 ，则实数 b＝ ．
4．已知 P 为曲线 上位于第一象限内的点，F1、F2 分别为Γ的两焦点，若∠
F1PF2 是直角，则点 P 坐标为 ．
5．已知 O 是坐标原点，点 A（﹣1，1），若点 M（x，y）为平面区域 上的一个动
点，则 的取值范围为 ．
6．从 4 男 2 女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志
愿者又有女志愿者的概率是 ．（结果用数值表示）
7．在△ABC 中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinB•sinC，则 A 的取值范围是 ．
8．已知等差数列{an}的各项不为零，且 a3、a13、a63 成等比数列，则公比是 ．
9．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，M、N 分别是 CD、CC1 的中点，则异面直线 A1M
与 DN 所成的角的大小是 ．
10．集合 ，B＝{x||x﹣a|≤2}，若 A∩B＝∅，则实数 a 的取值范围
是 ．
11．三个同学对问题“已知 m，n∈R+，且 m+n＝1，求 的最小值”提出各自的解题思
路：甲： ，可用基本不等式求解；
乙： ，可用二次函数配方法求解；
丙： ，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，可求
得当 x＝ 时，y＝ （0＜x＜10，a＞0）有最小值
12．在平面直角坐标系内有两点 A（m，﹣1），B（2，﹣1），m＜2，点 A 在抛物线 y2＝2px
上，F 为抛物线的焦点，若 2|AB|+|AF|＝6，则 m＝ ．
二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50 名学生，得到他们在某一天各自课
外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这 50 名学生这一天
平均每人的课外阅读时间为（ ）
A．1.5 小时 B．1.0 小时 C．0.9 小时 D．0.6 小时
14．如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，
终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示
为 x 的函数 f（x），则 y＝f（x）在[0，π]的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
15．设函数 f（x）＝loga（1﹣ax），其中 a＞0，且 a≠1，若 n∈N*，则 ＝（ ）
A．1 B．a C． D． 或 a
三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18＝76 分）
16．如图，已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面边长 AB＝2，侧棱 BB1＝4，过点 B 作
B1C 的垂线交侧棱 C1C 于点 E，交 B1C 于点 F．
（1）求 EC 的长；
（2）求 A1B 与平面 BED 所成的线面角．
17．已知向量 ， （x≠kπ，k∈Z），令 f（x）＝
（λ∈R）．
（1）化简 ，并求当 λ＝1 时方程 f（x）＝﹣2 的解集；
（2）已知集合 P＝{h（x）|h（x）+h（﹣x）＝2，D 是函数 h（x）与 h（﹣x）定义域的
交集且 D 不是空集}，判断元素 f（x）与集合 P 的关系，说明理由．
18．甲、乙两地相距 300 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过 100 千米/小时，
已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速
度 v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为 b（b＞0），固定部分为 1000 元．
（1）把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定
义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
19．直线 上的动点 P 到点 T1（9，0）的距离是它到点 T（1，0）的距
离的 3 倍．
（1）求点 P 的坐标；
（2）设双曲线 的右焦点是 F，双曲线经过动点 P，且 ，求双曲线
的方程；
（3）点 T（1，0）关于直线 x+y＝0 的对称点为 Q，试问能否找到一条斜率为 k（k≠0）
的直线 L 与（2）中的双曲线 交于不同的两点 M、N，且满足|QM|＝|QN|，若
存在，求出斜率 k 的取值范围，若不存在，请说明理由．
20．（18 分）两个数列{αn}、{βn}，当{αn}和{βn}同时在 n＝n0 时取得相同的最大值，我们
称{αn}与{βn}具有性质 P，其中 n∈N*．
（1）设（1+x）2022 的二项展开式中 xk 的系数为 ak（k＝0，1，2，3，…，2022），k∈N，
记 a0＝c1，a1＝c2，…，依次下去，a2022＝c2023，组成的数列是{cn}；同样地，
的二项展开式中 xk 的系数为 bk（k＝0，1，2，3，…，2022），k∈N，记 b 0＝d1，b1＝
d2，…，依次下去，b2022＝d2023，组成的数列是{dn}；判别{cn}与{dn}是否具有性质 P，
请说明理由；
（2）数列{t﹣dn}的前 n 项和是 Sn，数列{1982﹣3n}的前 n 项和是 Tn，若{Sn}与{Tn}具有
性质 P，d，t∈N*，则这样的数列{t﹣dn}一共有多少个？请说明理由；
（3）两个有限项数列{an}与{bn}满足 an+1﹣an＝λ（bn+1﹣bn），n∈N*，且 a1＝b1＝0，是
否存在实数 λ，使得{an}与{bn}具有性质 P，请说明理由．一 .填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）
1．球的表面积为 16πc m2，则球的体积为 cm3．
先根据球的表面积公式求出球的半径，然后根据球的体积公式求出体积即可．
∵球的表面积为 16πcm2，
∴S＝4πR2＝16π，即 R＝2
∴V＝ ＝ ×8＝
故答案为：
本题主要考查了球的体积和表面积，熟练掌握体积公式和表面积公式是解题的关键，属
于基础题．
2．已知圆的参数方程为 ，则此圆的半径是 2 ．
直接利用转换关系，把参数方程转换为直角坐标方程，进一步求出圆心的坐标和圆的半
径．
圆的参数方程为 ，转换为直角坐标方程为（x﹣6）2+y2＝4，
所以该圆为以（6，0）为圆心，2 为半径的圆．
故答案为：2
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，圆的方程的确
定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
3．设 z＝2021+bi（ i 为虚数单位），若 ，则实数 b＝ ±180 ．
由已知结合复数模的计算公式列式求解 b．
由 z＝2021+bi，且 ，
得 ，即 b2＝20292﹣20212＝8×4050．
∴b＝±180．
故答案为：±180．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
4．已知 P 为曲线 上位于第一象限内的点，F1、F2 分别为Γ的两焦点，若∠F1PF2 是直角，则点 P 坐标为 ．
根据∠F1PF2 是直角，利用向量的数量积为 0，即 • ＝0，即可求解出 P 的坐
标．
由椭圆方程可得 a2＝12，b2＝4，则 c2＝8，所以 F1（0，2 ），F2（0，﹣2 ），
设 P（x，y）（x＞0，y＞0），则 x2＝4（1﹣ y2），
因为∠F1PF2 是直角，
所以 • ＝（﹣x，2 ﹣y）•（﹣x，﹣2 ﹣y）＝x2+y2﹣8＝4（1﹣ y2）+y2
﹣8＝ y2﹣4＝0，
解得 y＝ （﹣ 舍去），则 x＝ （﹣ 舍去）．
故点 P 的坐标为：（ ， ），
故答案为：（ ， ）．
本题考查特殊焦点三角形的坐标表示，向量数量积的运算，方程思想，属于中档题．
5．已知 O 是坐标原点，点 A（﹣1，1），若点 M（x，y）为平面区域 上的一个动
点，则 的取值范围为 [0，2] ．
由约束条件作出可行域，化 • 为线性目标函数，然后化为直线方程的斜截式，数形
结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．
由约束条件 作出可行域如图，
令 z＝ • ＝﹣x+y，得 y＝x+z．
由图可知，当直线 y＝x+z 过 C（1，1）时直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值，等于
0；
当直线过 B（0，2）时直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值，等于 2．
∴ • 的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档
题．
6．从 4 男 2 女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志
愿者又有女志愿者的概率是 ．（结果用数值表示）
基本事件总数 n＝ ＝20，选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者包含的基本
事件个数 m＝ ＝16，由此能求出选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女
志愿者的概率．
从 4 男 2 女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，
基本事件总数 n＝ ＝20，
选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者包含的基本事件个数：
m＝ ＝16，
则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率 p＝ ．
故答案为： ．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基
础题．
7．在△ABC 中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinB•sinC，则 A 的取值范围是 （0， ] ．
利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出 cosA，将得出的不等式变形后
代入表示出的 cosA 中，得出 cosA 的范围，由 A 为三角形的内角，根据余弦函数的图象
与性质即可求出 A 的取值范围．
利用正弦定理化简 sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC 得：a2≤b2+c2﹣bc，
变形得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cosA＝ ≥ ＝ ，
又 A 为三角形的内角，
则 A 的取值范围是（0， ]．
故答案为：（0， ]．
此题考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的图象与性质，熟练
掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．
8．已知等差数列{an}的各项不为零，且 a3、a13、a63 成等比数列，则公比是 1 或 5 ．
等差数列的公差设为 d，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，可得首项和公差
的关 系，再由等比数列的定义，计算可得所求值．
等差数列{an}的各项不为零，公差设为 d，
由 a3、a13、a63 成等比数列，
可得 a3a63＝a132，即（a1+2d）（a1+62d）＝（a1+12d）2，
化为 d2＝2a1d，即 d＝0 或 d＝2a1，
可得等比数列的公比为 1 或 ＝ ＝ ＝5，
故答案为：1 或 5．
本题考查等差数列的通项公式和等比数列的定义，考查方程思想和运算能力，属于基础
题．
9．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，M、N 分别是 CD、CC1 的中点，则异面直线 A1M
与 DN 所成的角的大小是 90° ．
以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出 与 夹角求出异面直
线 A1M 与 DN 所成的角．
以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为 2，则 D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2）， ＝（0，2，1），
＝（﹣2，1，﹣2）
• ＝0，所以 ⊥ ，即 A1M⊥DN，异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是 90
°，
故答案为：90°．
本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难
度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．
10．集合 ，B＝{x||x﹣a|≤2}，若 A∩B＝∅，则实数 a 的取值范围是 （﹣
∞，﹣1）∪[4，+∞） ．
可求出 A＝{x|1≤x＜2}，B＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，根据 A∩B＝∅即可得出 a 的范围．
∵A＝{x|2≤2x＜4}＝{x|1≤x＜2}，B＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，且 A∩B＝∅，
∴a﹣2≥2 或 a+2＜1，
∴a＜﹣1 或 a≥4，
∴实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞）．
故答案为：（ ﹣∞，﹣1）∪[4，+∞）．
本题考查了描述法的定义，分式不等式和绝对值不等式的解法，指数函数的单调性，交
集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
11．三个同学对问题“已知 m，n∈R+，且 m+n＝1，求 的最小值”提出各自的解题思
路：
甲： ，可用基本不等式求解；乙： ，可用二次函数配方法求解；
丙： ，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，可求
得当 x＝ 时，y＝ （0＜x＜10，a＞0）有最小值
由题中所给解题思路，配凑均值不等式的形式，当且仅当两数相等时，取最值．
y＝ ＝（ + ）[x2+（100﹣x 2）]× ＝ [a2+1+ +
]≥ [a2+1+2 ]
∴当且仅当 ＝ ，即 x＝ 时，y＝ （0＜x＜
10，a＞0）有最小值．
故答案为： ．
本题考查了“乘 1 法”与均值不等式的应用，属于基础题．
12．在平面直角坐标系内有两点 A（m，﹣1），B（2，﹣1），m＜2，点 A 在抛物线 y2＝2px
上，F 为抛物线的焦点，若 2|AB|+|AF|＝6，则 m＝ ，﹣ ，﹣ ．
将 A 的坐标代入抛物线的方程，可得 p，m 的关系，分 p 的正负讨论，再由 2|AB|+|AF|＝
6，又可得 p，m 的关系，两式联立求出 m 的值．
由 A 在抛物线上，所以 1＝2pm，①
（i）当 p＞0 时 m＞0，由|AF|+2|AB|＝6，
则 m+ +2（2﹣m）＝6，即 p＝2m+4②，
由①②可得 ，
（ii）当 p＜0 时 m＜0，由|AF|+2|AB|＝6，可得﹣ ﹣m+2（2﹣m）＝6，③
由①③可得 m＝﹣ 或﹣ ，
故答案为： ，﹣ ，﹣ ．本题考查抛物线的性质，注意讨论 p 的正负，属于中档题．
二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50 名学生，得到他们在某一天各自课
外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这 50 名学生这一天
平均每人的课外阅读时间为（ ）
A．1.5 小时 B．1.0 小时 C．0.9 小时 D．0.6 小时
根据频率分布直方图，结合平均数的概念，求出数据的平均数即可．
根据频率分布直方图，得；
平均数是 ＝ ×（5×0+20×0.5+10×1+10×1.5+5×2）＝0.9；
即这 50 名学生一天平均每人的课外阅读时间为 0.9h．
故选：C．
本题考查了利用频率分布直方图求数据的平均数的问题，解题时应结合平均数的概念进
行解答，是基础题．14．如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，
终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示
为 x 的函数 f（x），则 y＝f（x）在[0，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
在直角三角形 OMP 中，求出 OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角
函数的定义即可得到 f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选
择．
在直角三角形 OMP 中，OP＝1，∠POM＝x，则 OM＝|cosx|，
∴点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f（x）＝OM|sinx|
＝|cosx|•|sinx|＝ |sin2x|，
其周期为 T＝ ，最大值为 ，最小值为 0，
故选：C．
本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查
二倍角公式的运用．
15．设函数 f（x）＝loga（1﹣ax），其中 a＞0，且 a≠1，若 n∈N*，则 ＝（ ）
A．1 B．a C． D． 或 a
求解函数的定义域结合 n∈N*，可知 0＜a＜1，再由对数的运算性质化简，求极限得答案．
由 1﹣ax＞0，得 ax＜1，
若 0＜a＜1，则 x＞0；若 a＞1，则 x＜0．
∵n∈N*，可知 0＜a＜1．
由 f（x）＝loga（1﹣ax），得 f（n）＝loga（1﹣an），
∴ ，
∴ ＝ ．
故选：C．
本题考查数列的极限，考查对数型函数定义域的求法，考查分类讨论的数学思想方法，
是中档题．
三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18＝76 分）
16．如图，已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面边长 AB＝2，侧棱 BB1＝4，过点 B 作
B1C 的垂线交侧棱 C1C 于点 E，交 B1C 于点 F．
（1）求 EC 的长；
（2）求 A1B 与平面 BED 所成的线面角．
（1）以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系 D﹣
xyz，设 E（0，2，t），利用 ＝0 求解 t 值，即可得到 EC 的长；
（2）证明 是平面 BDE 的一个法向量，再求出 的坐标，求出 A1B 与平面 BDE 所
成角的正弦值，则答案可求．
（1）如图，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标
系 D﹣xyz，
则 D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4），
设 E（0，2，t），则 ＝（﹣2，0，t）， ＝（﹣2，0，﹣4）．
∵BE⊥B1C，∴ ＝4﹣4t＝0，解得 t＝1，
∴EC＝1；
（2）由（1）知，E（0，2，1），且 ＝（﹣2，0，1）．
又∵ ＝（﹣2，2，﹣4）， ＝（2，2，0），
∴ • ＝0，且 • ＝0，
∴A1C⊥BE，A1C⊥DB．
∵BD、BE 是平面 BDE 内的相交直线，且 BD∩BE＝B．
∴ ＝（﹣2，2，﹣4）是平面 BDE 的一个法向量，
又∵ ＝（0，2，﹣4），
设 A1B 与平面 BED 所成的线面角为 θ．
∴sinθ＝|cos＜ ， ＞|＝| |＝ ＝ ，
∴A1B 与平面 BDE 所成角为 ．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，训练了利用空间向量求解空间角，
考查计算能力，是中档题．
17．已知向量 ， （x≠kπ，k∈Z），令 f（x）＝
（λ∈R）．（1）化简 ，并求当 λ＝1 时方程 f（x）＝﹣2 的解集；
（2）已知集合 P＝{h（x）|h（x）+h（﹣x）＝2，D 是函数 h（x）与 h（﹣x）定义域的
交集且 D 不是空集}，判断元素 f（x）与集合 P 的关系，说明理由．
（ 1 ） 先 利 用 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 求 出 ＝ ﹣ sinx ， 再 化 简
，然后代入函数 f（x）中即可；
把 λ＝1 代入函数 f（x）中，有 ，化简后，结合正弦函数的图象求解
即可；
（2）令 f（x）+f（﹣x）＝2，结合诱导公式进行化简运算后可得 ，再下结论即
可．
（1）∵ ， ，
∴ ＝ ，
．
∴f（x）＝ ＝ ．
当 λ＝1 时，有 ，化简得 ，
解得 或 ，k∈Z，
∴方程 f（x）＝﹣2 的解集为 ．
（2）由 f（x）+f（﹣x）＝2 可得， ，化简后得，
，
∴当 时，f（x）∈P；当 时，f（x）∉P．
本题考查三角恒等变换、诱导公式、已知三角函数值求角与平面向量的综合，考查学生
的分析能力和运算能力，属于中档题．
18．甲、乙两地相距 300 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过 100 千米/小时，
已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度 v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为 b（b＞0），固定部分为 1000 元．
（1）把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定
义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
（1）依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，结合运输成本由可变部分和
固定部分组成列式即可；[来源:Z.Com]
（2）由不等式的性质可得 ，当且仅当 ，即 v＝
时，等号成立，然后分 与 ＞100 分析．
（1）依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，
全程运输成本为 y＝ ，v∈（0，100]；
（2）由 ，当且仅当 ，即 v＝ 时，等号成立．
若 ，即 ，当 时全程运输成本最小，为 6000 ；
若 ＞100，即 ，由函数单调性可知，当 v＝100 时全程运输成本最小
为 3000+30000b．
综上，当 时，为了使全程运输成本最小，汽车应以 100 千米/小时速度行驶；
当 时，为了使全程运输成本最小，汽车应以 千米/小时速度行驶．
本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式与函数单调性求最值，考查分
类讨论的数学思想方法，是中档题．
19．直线 上的动点 P 到点 T1（9，0）的距离是它到点 T（1，0）的距
离的 3 倍．
（1）求点 P 的坐标；
（2）设双曲线 的右焦点是 F，双曲线经过动点 P，且 ，求双曲线
的方程；
（3）点 T（1，0）关于直线 x+y＝0 的对称点为 Q，试问能否找到一条斜率为 k（k≠0）的直线 L 与（2）中的双曲线 交于不同的两点 M、N，且满足|QM|＝|QN|，若
存在，求出斜率 k 的取值范围，若不存在，请说明理由．
（1）设动点 P（x，y） ，由两点的距离公式，结合条件可得 P 的坐标；
（2）求得 F 的坐标，结合 P 满足双曲线的方程，解方程可得 a，b，进而得到双曲线的
方程；
（3）设直线 l 的方程为 y＝kx+m，联立双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，
以及两直线垂直的条件，解不等式可得所求范围．
（1）设动点 P（x，y），则 ，解得 P（ ， ）；
（2）设 F（c，0），由 ，可得（c﹣ ，﹣ ）•（8，0）＝8（c﹣ ）＝
0，解得 c＝ ，
F（ ，0）， ，解得 a2＝b2＝3，则双曲线的方程为 ﹣ ＝
1；
（3）设直线 l 的方程为 y＝kx+m，联立双曲线的方程 x2﹣y2＝3，
可得（1﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，（k≠±1），△＝4k2m2﹣4（1﹣k2）（﹣m2﹣3）＞0，
即 3+m2﹣3k2＞0（*），
设 M（x1，y1），N（x2，y2），MN 的中点为 P0（x0，y0），则 ，可
得 P0（ ， ），
易得 Q（0，﹣1），设过 Q 垂直于 l 的直线 l1 为 y＝﹣ x﹣1，
则 l1 过 P0，即 ＝﹣ • ﹣1，可得 m＝ 代入（*）可得（ ） 2+3
（1﹣k2）＞0，解得|k|＞ 或|k|＜1，
则 k 的范围是 ．
本题考查直线和双曲线的综合，考查直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，同时考查运算能力，属于中档题．
20．（18 分）两个数列{αn}、{βn}，当{αn}和{βn}同时在 n＝n0 时取得相同的最大值，我们
称{αn}与{βn}具有性质 P，其中 n∈N*．[来源:学§科§网 Z§X§X§K]
（1）设（1+x）2022 的二项展开式中 xk 的系数为 ak（k＝0，1，2，3，…，2022），k∈N，
记 a0＝c1，a1＝c2，…，依次下去，a2022＝c2023，组成的数列是{cn}；同样地，
的二项展开式中 xk 的系数为 bk（k＝0，1，2，3，…，2022），k∈N，记 b 0＝ d1，b1＝
d2，…，依次下去，b2022＝d2023，组成的数列是{dn}；判别{cn}与{dn}是否具有性质 P，
请说明理由；
（2）数列{t﹣dn}的前 n 项和是 Sn，数列{1982﹣3n}的前 n 项和是 Tn，若{Sn}与{Tn}具有
性质 P，d，t∈N*，则这样的数列{t﹣dn}一共有多少个？请说明理由；
（3）两个有限项数列{an}与{bn}满足 an+1﹣an＝λ（bn+1﹣bn），n∈N*，且 a1＝b1＝0，是
否存在实数 λ，使得{an}与{bn}具有性质 P，请说明理由．
（1）分别求出{cn}与{dn}的最大值，可知{cn}与{dn}是否具有性质 P；
（2）令 ，则 ，结合 ，
求得 n＝6，求得 T n 的最大值，由{Sn}与{Tn}具有性质 P，可得 n＝6 时，（S n）max＝
10800．由 an＝t﹣dn，结合 t﹣6d＞0，t﹣7d＜0 求得 t 的范围，再由 an＝t﹣dn 是等差数
列，可得 ．然后联立 ，解出数列{t﹣dn}的
个数；
（3）由 an+1﹣an＝λ（bn+1﹣bn），n∈N*，可得 an＝λbn，再由{an}与{bn}是有限项数列，
知一定存在最大值．设 ， ，结合{an}与{bn}具有性质
P，得 n0＝n0′，即 ，可得 λ＝1 时显然成立；λ＞1 与 λ＜1 产生矛盾．综上可
得 λ＝1．
（1）在{cn}中，n0＝1012 时，{cn}有最大值 ，
在{dn}中，n0＝1011 或 n0＝1013 时，{dn}有最大值 ，
∴{cn}与{dn}是否具有性质 P；（2）令 ，则 ．
由 ，即 ，
解得 ，
∴ ，又 n≥2，n∈N*，
∴当 n＝6 时， ．
则{Sn}与{Tn}具有性质 P．
∴n＝6 时，（Sn）max＝10800．
∵an＝t﹣dn，∴t﹣6d＞0，t﹣7d＜0．
an＝t﹣dn 是等差数列，∴ ．
由 ，解出 ， ，…， 共 102 个数列；
（3）∵an+1﹣an＝λ（bn+1﹣bn），n∈N*，
当 n≥2，n∈N*时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
＝λ（bn﹣bn﹣1）+λ（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+λ（b2﹣b1）+0＝λ（bn﹣b1）＝λbn，
即 an＝λbn．
当 n＝1 时，a1＝b1＝0 符合上式．
∴an＝λbn，
∵{an}与{bn}是有限项数列，∴一定存在最大值．
设 ， ．
∵{an}与{bn}具有性质 P，∴n0＝n0′，即 ．
λ＝ 1 时显然成立；
假设 λ＞1，则显然 • • ＝ ，产生矛盾；
同理 λ＜1 也产生矛盾．
∴λ＝1．本题考查考查二项式定理的应用，考查数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理论证
能力，考查计算能力，属难题．
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