数学二模试卷
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果
1．集合 A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x||x|＜2}，则 A∩B＝ ．
2．函数 y＝x 的定义域是 ．
3．i 是虚数单位，则 的值为 ．
4．已知线性方程组的增广矩阵为 ，若该线性方程组的解为 ，则实数 a
＝ ．[来源:学&科&网 Z&X&X&K]
5．已知函数 ，则 f﹣1（0）＝ ．
6．已知双曲线 的一条渐近线方程为 2x﹣y＝0，则实数 a＝ ．[来源:Z*xx*k.Com]
7．已知函数 ．若 f（m）＝4，则 f（﹣m）＝ ．
8 ． 数 列 {an} 通 的 项 公 式 ， 前 n 项 和 为 Sn ， 则
＝ ．
9．甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有 3 人，职业分别为医生、护士与化验师，现在
要 从 中 抽 取 3 人 组 建 一 支 志 愿 者 队 伍 ， 则 他 们 的 单 位 与 职 业 都 不 相 同 的 概 率
是 ．（结果用最简分数表示）
10．若点集 A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|﹣2≤x≤2，﹣1≤y≤1}，则点集 Q＝
{（x，y）|x＝x 1+x2，y＝y 1+y2，（x1，y1）∈A，（x 2，y2）∈B}所表示的区域的面积
是 ．
11．我们把一系列向量 （i＝1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作
， 已 知 向 量 列 满 足 ＝ （ 1 ， 1 ） ，
，设 θn 表示向量 与 的夹角，若 bn＝ 对任意正整数 n，不等式 （1﹣
2a）恒成立，则实数 a 的取值范围是 ．
12．设 n∈N*，an 为（x+2）n﹣（x+1）n 的展开式的各项系数之和， ，bn＝
+ + … + （ [x] 表 示 不 超 过 实 数 x 的 最 大 整 数 ）， 则
的最小值为 ．x2
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确答案，考生
应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑
13．已知直角坐标平面上两条直线方程分别为 l1：a1x+b1y+c1＝0，l2：a2x+b2y+c2＝0，那么
“ ＝0 是“两直线 l1，l2 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°且腰和上底均为 1 的
等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）
A． B． C．2+ D．1+
15．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．向量 与 的夹角是 120°
D．正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为
16．函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x﹣1）为偶函数，当 x∈[0，1]时，
，若函数 g（x）＝f（x）﹣x﹣m 有三个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
三、解答题（本大满分 76 分）本天题共有 5 题，下列必频在答题纸相应编号的规定区城内
写出必要的步骤，
17．已知四棱锥 P﹣ABCD，PA⊥底面 ABCD，PA＝1，底面 ABCD 是正方形，E 是 PD的中
点，PD 与底面 ABCD 所成角的大小为 ．
（1）求四棱锥 P﹣ABCD 的体积；
（2）求异面直线 AE 与 PC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
18．已知函数 ．
（1）求函数 f（x）在区间[0，π]上的单调增区间；
（2）当 ，且 ，求 的值．
19．随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园
区重新开放．据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型 n∈N*：[来源:Z.Com]
以 表示第 n 个时刻进入园区的人数；
以 表示第 n 个时刻离开园区的人数；
设定每 15 分钟为一个计算单位，上午 8 点 15 分作为第 1 个计算人数单位，即 n＝1；8
点 30 分作为第 2 个计算单位，即 n＝2；依此类推，把一天内从上年 8 点到下午 5 点分成
36 个计算单位（最后结果四含五入，精确到整数）．
（1）试分别计算当天 12：30 至 13：30 这一小时内，进入园区的人数 f（19）+f（20）+f
（21）+f（22）和离开园区的游客人数 g（19）+g（20）+g（21）+g（22）；
（2）请问，从 12 点（即 n＝16）开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由．
20．已知动直线 l 与与椭圆 C：x2+ ＝1 交于 P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ
的面积 S△OPQ＝ ，其中 O 为坐标原点．
（1）若动直线 l 垂直于 x 轴．求直线 l 的方程；
（2）证明：x12+x22 和 y12+y22 均为定值；
（3）椭圆 C 上是否存在点 D，E，G，使得三角形面积 S△ODG＝S△ODE＝S△OEG＝ ？
若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．
21．（18 分）若无穷数列{an}满足：存在 k∈N*，对任意的 ，都有 an+k﹣an＝
d（d 为常数），则称{an}具有性质 Q（k，n0，d）．
（1）若无穷数列{an}具有性质 Q（3，1，0），且 a1＝1，a2＝2，a3＝3，求 a2+a3+a4 的
值；
（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1＝c5＝1，
b5＝c1＝81，an＝bn+cn，判断{an}是否具有性质 Q（k，n0，0），并说明理由；
（3）设无穷数列{an}既具有性质 Q（i，2，d 1），又具有性质 Q（j，2，d 2），其中 i，
j∈N*，i＜j，i，j 互质，求证：数列{an}具有性质 Q（j﹣i，2， ）．参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果
1．集合 A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x||x|＜2}，则 A∩B＝ {x|0＜x＜2} ．
求出集合 A，B，由此能求出 A∩B．
∵集合 A＝{x|0＜x＜3}，
B＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，
∴A∩B＝{x|0＜x＜2}．
故答案为：{x|0＜x＜2}．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．函数 y＝x 的定义域是 （0，+∞） ．
把已知函数解析式变形，再由分母中根式内部的代数式大于 0 求解．
∵ ＝ ，
∴要使函数 y＝x 有意义，则 x＞0，
即函数 y＝x 的定义域是（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
3．i 是虚数单位，则 的值为 ．
先化简 ，再直接求模即可．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
本题考查复数的运算以及复数模的求解，考查计算能力，属于基础题．4．已知线性方程组的增广矩阵为 ，若该线性方程组的解为 ，则实数 a＝ 2 ．
本题的关键是根据增广矩阵写出相应 的线性方程组，然后将解代入即可计算出参数 a 的
值．
由线性方程组的增广矩阵为 ，可知，
该线性方程组为 ，
∵该线性方程组的解为 ，即 ，
∴a•1＝2，即 a＝2．
故答案为：2．
本题主要考查线性方程组与矩阵结合的问题．考查了转化思想，对应思想，以及方程的
计算能力，本题属基础题．
5．已知函数 ，则 f﹣1（0）＝ 0 ．
根据题意，求 f﹣1（0），即使得 ＝2x﹣1＝0，计算即可．
函数 ＝2x﹣1，
由 2x﹣1＝0，解得 x＝0．
则 f﹣1（0）＝0．
故答案为：0．
本题考查反函数的求法及其性质，行列式的运算性质，考查推理能力与计算能力，属于
中档题．
6．已知双曲线 的一条渐近线方程为 2x﹣y＝0，则实数 a＝ ．
令 ，求出双曲线的渐近线方程，再与题中的已知条件对比，即可得到 a 的
值．
令 ，则双曲线的渐近线方程为 ，∵双曲线有一条渐近线为 2x﹣y＝0，∴a＝ ，
故答案为： ．
本题考查双曲线的渐近线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
7．已知函数 ．若 f（m）＝4，则 f（﹣m）＝ ﹣2 ．
令 g（x）＝f（x）﹣1，运用函数奇偶性的定义可得 g（﹣x）＝﹣g（x），从而可得 g（﹣
m）＝﹣g（m），即 f（﹣m）﹣1＝﹣[f（m）﹣1]，从而求出 f（m）+f（﹣m）的值，即
可求出 f（﹣m）的值．
令 f（x）﹣1＝g（x）＝
g（﹣x）＝ ＝﹣（ ）＝﹣g（x）
∴g（﹣m）＝﹣g（m），∴f（﹣m）﹣1＝﹣[f（m）﹣1]
即 f（m）+f（﹣m）＝2
∴f（﹣m）＝﹣2
故答案为：﹣2．
本题首先利用构造方法构造新的函数，然后运用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，
用整体思想求解出 f（m）+f（﹣m）为一定值，解题时要注意整体思想的运用．
8 ． 数 列 {an} 通 的 项 公 式 ， 前 n 项 和 为 Sn ， 则 ＝
．
通过等比数列的求和公式可知当 n≥3 时 + +…+ ＝ ﹣ ，进而取极限可得
结论．
由题可知 Sn＝ （1+ + + +…+ ）
＝ （1+ + ）
＝ （1+ + ﹣ ）
＝ （ ﹣ ）＝ ，
故答案为： ．
本题考查考查数列的通项及前 n 项和，考查等比数列的求和公式，涉及极限思想，注意
解题方法的积累，属于中档题．
9．甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有 3 人，职业分别为医生、护士与化验师，现在
要从中抽取 3 人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是
．（结果用最简分数表示）
基本事件总数 n＝ ＝84，他们的单位与职业都不相同包含的基本事件个数 m＝3×2×1
＝6，他们的单位与职业都不相同的概率．
甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有 3 人，职业分别为医生、护士与化验师，
现在要从中抽取 3 人组建一支志愿者队伍，
基本事件总数 n＝ ＝84，
他们的单位与职业都不相同包含的基本事件个数 m＝3×2×1＝6，
则他们的单位与职业都不相同的概率是 p＝ ．
故答案为： ．
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．若点集 A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|﹣2≤x≤2，﹣1≤y≤1}，则点集 Q＝
{（x，y）|x＝x 1+x2，y＝y 1+y2，（x1，y1）∈A，（x 2，y2）∈B}所表示的区域的面积是
20+π ．
由题意， ，结合 x＝x1+x2，y＝y1+y2，可得 ，画
出图形，即可求得点集 Q 所表示的区域的面积．
由题意， ，又 x＝x1+x2，y＝y1+y2，
∴ ，
又﹣2≤x2≤2，﹣1≤y2≤1，
∴点（x，y）表示以集合 B 表示的长方形内的点为圆心，半径为 1 的圆面．
如图所示，点集 Q 是由四段圆弧以及连接它们的四条切线段围成的区域，其面积为 20+π．
故答案为：20+π．
本题考查二元二次不等式组与平面区域的关系问题，考查转化数学思想，作图能力，是
中档题．
11．我们把 一系列向量 （i＝1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作
， 已 知 向 量 列 满 足 ＝ （ 1 ， 1 ） ，
，设 θn 表示向量 与 的
夹角，若 bn＝ 对任意正整数 n，不等式 （1﹣
2a）恒成立，则实数 a 的取值范围是 （0， ） ．
计算 cosθn，求出 θn 的值，得出 bn；令 cn＝ + +…+ ，得出数列{cn}
是单调递增数列，且 loga（1﹣2a）＜（cn）min，由此列不等式组求出 a 的取值范围．
由题意，计算 cosθn＝ ，
把 代入，
可求得 cosθn＝ ，
所以 θn＝ ；
所以 bn＝ θn＝ ；记 cn＝ + +…+ ＝ + +…+ ；
则 cn+1＝ + +…+ + + ；
所以 cn+1﹣cn＝ + ﹣ ＝ ﹣ ＞0；
所以数列{cn}是单调递增数列，且 loga（1﹣2a）＜（cn）min＝c1＝1；
由于 1﹣2a＞0，解得 a＜ ，[
所以 ，解得 0＜a＜ ，
所以 a 的取值范围是（0， ）．
故答案为：（0， ）．
本题考查了不等式恒成立问题、数列得单调性，也考查了平面向量的夹角计算问题，是
综合题．
12．设 n∈N*，an 为（x+2）n﹣（x+1）n 的展开式的各项系数之和， ，bn＝
+ + … + （ [x] 表 示 不 超 过 实 数 x 的 最 大 整 数 ）， 则
的最小值为 ．x2
表示的是点（n，bn）到直线 m＝﹣ +6 的距离的平方，研究点
（n，bn）的变化规律可求解．
易知， 表示的是（n，bn）到直线 m＝﹣ +6 的距离的平方．
因为 ，∴ 的值依次为：0，1，2，3，……，n﹣1，……，（因
为对于 ，当 n＞1 时， ，所以 ．）
所以 bn＝ + +…+ （[x]表示不超过实数 x 的最大整数），对应的点
依次为（1，0），（2，1），（3，3），（4，6），……，（n， ），……这些点与直线 y＝ 的距离先接近，再离得越来越远．
所以这些点到直线 x+2y﹣12＝0 的距离为：d＝ ，n∈N+，
易知 n＝3 时， ， ．
故答案为： ．
本题考查二项式系数的求法等知识，同时还考查学生运用转化思想，函数思想解决问题
的能力．同时考查学生的逻辑推理、数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养．属
于较难的题目．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确答案，考生
应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑
13．已知直角坐标平面上两条直线方程分别为 l1：a1x+b1y+c1＝0，l2：a2x+b2y+c2＝0，那么
“ ＝0 是“两直线 l1，l2 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
两条直线平行时，一定可以得到 a1b2﹣a2b1＝0 成立，反过来不一定成立，由此确定两者
之间的关系
若“ ＝0 则 a1b2﹣a2b1＝0，若 a1c2﹣a2c1＝0，则 l1 不平行于 l2，
若“l1∥l2”，则 a1b2﹣a2b1＝0，∴ ＝0，
故“ ＝0 是“两直线 l1，l2 平行的必要不充分条件，
故选：B．
本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的
条件．
14．如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°且腰和上底均为 1 的
等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）A． B． C．2+ D．1+
水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．
水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为 1，高为 2，下底为 1+ ，
S＝ （1+ +1）×2＝2+ ．
故选：C．
本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，也可利用原图和直观图的面积关系
求解．属基础知识的考查．
15．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．向量 与 的夹角是 120°
D．正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为
选 项 A ， 通 过 空 间 向 量 的 加 法 运 算 得 到 ， 而
，故可判断 A 正确；
选项 B， ，再通过三垂线定理证明 A1C⊥AB1，故可判
断 B 正确；
选项 C，借助平移的思想，将向量 与 的夹角转化为向量 与 的夹角，再
结合△A1BC1 为等边三角形即可得解；
选项 D，由于 AB⊥AA 1，所以 ，显然正方体的体积不可能为 0，故 D 错
误．
正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 如图所示，选项 A， ＝ ，故
A 正确；
选项 B， ，
∵A1C 在平面 ABB1A1 内的投影为 A1B，且 A1B⊥AB1，∴A1C⊥AB1，∴ ，
故 B 正确；
选项 C，∵△A1BC1 为等边三角形，∴∠A1BC1＝60°，∵AD1∥BC1，∴向量 与
的夹角是 180°﹣60°＝120°，故 C 正确；
选项 D，∵AB⊥AA1，∴ ，故 D 显然错误．
故选：D．
本题考查空间向量的运算，涉及加法、减法、数量积和异面直线的夹角，考查学生的空
间立体感和运算能力，属于基础题．
16．函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x﹣1）为偶函数，当 x∈[0，1]时，
，若函数 g（x）＝f（x）﹣x﹣m 有三个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
由题意，画出函数 f（x）的图象，利用数形结合的方法找出 f（x）与函数 y＝x+m 有三个
零点时 b 的求值
因为函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x﹣1 ）为偶函数，
当 x∈[0，1]时，f（x）＝ ，
故当 x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣ ，
所以函数 f（x）的图象如图．g（x）＝f（x）﹣x﹣b 有三个零点，
即函数 f（x）与函数 y＝x+b 有三个交点，
当直线 y＝x+b 与函数 f（x）图象在（0，1）上相切时，
即 ＝x+b 有 2 个相等的实数根，
即 x2+bx﹣1＝0 有 2 个相等的实数根．
由△＝0 求得 b＝ ，
数形结合可得 g（x）＝f（x）﹣x﹣b 有三个零点时，实数 b 满足﹣ ＜b＜ ，
故此式要求的 b 的集合为（﹣ ， ）．
再根据函数 f（x）的周期为 4，可得要求的 b 的集合为（4k﹣ ，4k+ ），k∈Z，
故选：C．
本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，函数的零点和方程的根的关系，体现了转
化和数形结合的数学思想，属于中档题
三、解答题（本大满分 76 分）本天题共有 5 题，下列必频在答题纸相应编号的规定区城内
写出必要的步骤，
17．已知四棱锥 P﹣ABCD，PA⊥底面 ABCD，PA＝1，底面 ABCD 是正方形，E 是 PD 的
中点，PD 与底面 ABCD 所成角的大小为 ．
（1）求四棱锥 P﹣ABCD 的体积；
（2）求异面直线 AE 与 PC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（1）由已知求解三角形可得底面边长，再由体积公式求体积；
（2）取 CD 中点 G，连接 EG，AG，则 EG∥PC，可得∠AEG 为异面直线 AE 与 PC 所
成角（或其补角），求解三角形得异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值，则答案可求．
（1）如图，
∵PA⊥底面 ABCD，∴AD 为 PD 在底面上的射影，可得∠PDA 为 PD 与底面 ABCD 所成
角，大小为 ．
又 PA＝1，∴AD＝ ＝ ，
∵底面 ABCD 是正方形，∴ ．
∴ ；
（2）取 CD 中点 G，连接 EG，AG，则 EG∥PC，
∴∠AEG 为异面直线 AE 与 PC 所成角（或其补角）．
由（1）得，AC＝ ，则 PC＝ ，EG＝ ，
PD＝2，则 AE＝1，AG＝ ．
在 三 角 形 AEG 中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 ： cos ∠ AEG ＝ ＝
．
∴异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值为 ，角的大小为 arccos ．本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体
积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，是中档题．
18．已知函数 ．
（1）求函 数 f（x）在区间[0，π]上的单调增区间；
（2）当 ，且 ，求 的值．
（1）先利用三角函数公式化简函数 f（x）的解析式，再利用三角函数的图象和性质即可
求出函数 f（x）在区间[0，π]上的单调增区间；
（ 2 ） 由 可 得 ， 又 ， 得
， 可 求 cos （ ） ＝ ， 再 利 用 二 倍 角 公 式 即 可 求 出
的值．
（1）函数 ＝cosx+1+ ＝ +1＝2
+1，
由 ，（k∈Z），解得： ，
令 k＝0 得， ，
所以函数 f（x）在区间[0，π]上的单调增区间为：[0， ]；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，∴cos（ ）＝ ，∴ ＝sin[2（ ）]＝2sin（ ）cos（ ）＝2× ＝
．
本题主要考查三角函数的公式，以及三 角函数的图象和性质，是中档题．
19．随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园
区重新开放．据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型 n∈N*：
以 表示第 n 个时刻进入园区的人数；
以 表示第 n 个时刻离开园区的人数；
设定每 15 分钟为一个计算单位，上午 8 点 15 分作为第 1 个计算人数单位，即 n＝1；8
点 30 分作为第 2 个计算单位，即 n＝2；依此类推，把一天内从上年 8 点到下午 5 点分成
36 个计算单位（最后结果四含五入，精确到整数）．
（1）试分别计算当天 12：30 至 13：30 这一小时内，进入园区的人数 f（19）+f（20）+f
（21）+f（22）和离开园区的游客人数 g（19）+g（20）+g（21）+g（22）；
（2）请问，从 12 点（即 n＝16）开始，园区 内游客总人数何时达到最多？并说明理
由．
（1）根据条件利用代入法即可求得 f（19）+f（20）+f（21）+f（22）和 g（19）+g
（20）+g（21）+g（22）的值；
（2）根据分段函数的不等式，结合函数的单调性进行求解．
（1）当天 12：30 至 13：30 这一小时内，进入园区的人数 f（19）+f（20）+f（21）+f
（22）＝300×[3 +3 +3 +3 ]+2400×4＝300× +9600≈14738，
离开园区的游客人数 g（19）+g（20）+g（21）+g（22）＝400×（19+20+21+22）﹣5000
×4＝12800；
（2）由题意可知，当 f（n）﹣g（n）≥0 时，园内游客数增加；当 f（n）﹣g（n）＜0
时，园内游客数减少，
①当 16≤n≤28 时，f（n）﹣g（n）＝300× +2400﹣400n+5000＝300× ﹣400n+7400，
∵f（22）﹣g（22）＝82.9＞0，f（23）﹣g（23）＝﹣161.3＜0，
∴当 16≤n≤22 时，f（n）﹣g（n）＞0，进入园内游客人数多于离开园区游客人数，总
人数越来越多，
当 23≤n≤28 时，f（n）﹣g（n）＜0，进入园内游客人数少于离开园区游客人数，总人
数越来越少，
②当 29≤n≤36 时，f（n）﹣g（n）＝23400﹣650n﹣8200＝﹣650n+15200，递减，且值
恒为负数，进入园内游客人数少于离开园区游客人数，总人数越来越少，
综上所述，当天下午 13：30 时（n＝22）园区内游客总人数达到最多．
本题主要考查了分段函数的实际运用，以及函数的单调性，是中档题．
20．已知动直线 l 与与椭圆 C：x2+ ＝1 交于 P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ
的面积 S△OPQ＝ ，其中 O 为坐标原点．
（1）若动直线 l 垂直于 x 轴．求直线 l 的方程；
（2）证明：x12+x22 和 y12+y22 均为定值；
（3）椭圆 C 上是否存在点 D，E，G，使得三角形面积 S△ODG＝S△ODE＝S△OEG＝ ？
若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．
（1）设直线 l 的方程为：x＝m，由 S △OPQ＝ ＝ ，可得点 P（m，
），代入椭圆 C 的方程即可求出 m 的值，从而得到直线 l 的方程；
（2）当直线 l 的斜率不存在时，易求 x12+x22＝1，y12+y22＝2，当直线 l 的斜率存在时，
设直线 l 的方程为：y＝kx+m，与椭圆方程联立，利用弦长公式以及点到直线距离公式，
根据三角形的面积，可得到 2+k2＝2m2，代入 ，y12+y22 化简即可得到 x12+x22＝
1，y12+y22＝2；
（3）假设存在 D（u，v），E（u 1，v1），G（u2，v2），满足 S△ODG＝S△ODE＝S△OEG＝
，
由（1）得： ， ， ， ， ，
，从而求出点 D，E，G 的坐标，可以得到直线 DE，DG，EG 的方程，从而得到结论．
（1）设直线 l 的方程为：x＝m，
∴S△OPQ＝ ＝ ，
∴ ，
∴点 P（m， ），代入椭圆 C 的方程得： ，[来源:Z.Com]
解得： ，∴m＝ ，
∴直线 l 的方程为：x＝ ；
（2）①当直线 l 的斜率不存在时，点 P，Q 两点关于 x 轴对称，所以 x2＝x1，y2＝﹣y1，
因为点 P（x1，y1）在椭圆上，因此 ①，
又因为 S△OPQ＝ ，所以 ②，
由①、②得： ，|y1|＝1，
此时 x12+x22＝1，y12+y22＝2；
②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为：y＝kx+m，依题意 m≠0，
联立方程 ，消去 y 得：（2+k2）x2+2kmx+m2﹣2＝0，
∴△＝4k2m2﹣4（2+k2）（m2﹣2）＞0，即 2+k2＞m2 （*），
且 x1+x2＝ ， ，
∴|PQ|＝ ＝ ，
又∵原点 O 到直线 l 的距离为 d＝ ，
∴ S △ OPQ ＝ ＝ × ＝＝ ，
整理得：2+k2＝2m2，符合（*）式，
此 时 ， ＝ ＝ ＝ ＝
＝1，
＝2（1﹣x12）+2 ＝4﹣2（ ）＝2，
综上所述，x12+x22＝1，y12+y22＝2；
（3）椭圆 C 上不存在点 D ，E，G，使得三角形面积 S△ODG＝S△ODE＝S△OEG＝ ，
证明：假设存在 D（u，v），E（u1，v1），G（u2，v2），满足 S△ODG＝S△ODE＝S△OEG＝
，
由（1）得： ， ， ， ， ，
，
解得： ， ，
∴u，u1，u2 只能从 中选取，v，v1，v2 只能从±1 中选取，
∴点 D，E，G 只能在 这四个点中选取三个不同的点，而这三个点的两两
连线中必有一条过原点，与 S△ODG＝S△ODE＝S△OEG＝ 矛盾，
∴椭圆 C 上不存在点 D，E，G，使得三角形面积 S△ODG＝S△ODE＝S△OEG＝ ．
本题主要考查了点到直线距离公式，考查了直线与椭圆的位置关系，以及三角形面积公
式，是中档题．
21．（18 分）若无穷数列{an}满足：存在 k∈N*，对任意的 ，都有 an+k﹣an＝
d（d 为常数），则称{an}具有性质 Q（k，n0，d）．
（1）若无穷数列{an}具有性质 Q（3，1，0），且 a1＝1，a2＝2，a3＝3，求 a2+a3+a4 的
值；
（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1＝c5＝1，b5＝c1＝81，an＝bn+cn，判断{an}是否具有性质 Q（k，n0，0），并说明理由；
（3）设无穷数列{an}既具有性质 Q（i，2，d 1），又具有性质 Q（j，2，d 2），其中 i，
j∈N*，i＜j，i，j 互质，求证：数列{an}具有性质 Q（j﹣i，2， ）．
（1）由题意可得任意的 n≥1，都有 an+3＝an，可得 a4＝a1＝1，可得所求和；
（2）由题意可得{bn}的公差，以及通项公式；同时可得{cn}的公比和通项公式，进而得
到 an，若{an}具有性质 Q（k，n0，0），由新定义，结合单调性，即可判断；
（3）由题意可得对任意 n≥2，an+i﹣an＝d1，an+j﹣an＝d2，运用累加法可得 an+ji﹣an＝
d1j，同理可得 an+ji﹣an＝d2j，可得 d1，d2 的关系，证 an+j﹣i﹣an＝ d1．即可得证．
（1）无穷数列{an}具有性质 Q（3，1，0），
可得任意的 n≥1，都有 an+3＝an，
则 a4＝a1＝1，又 a2＝2，a3＝3，可得 a2+a3+a4＝6；
（2）由 b1＝c5＝1，b5＝c1＝81，可得{bn}的公差 d＝ ＝ ＝20，则 bn＝1+20
（n﹣1）＝2n﹣19；
又{cn}的公比 q，满足 81q4＝1，可得 q＝ ，则 cn＝（ ）n﹣5，
则 an＝（ ）n﹣5+2n﹣19，
若{an}具有性质 Q（k，n0，0），
则存在 k∈N*，对任意的 ，都有 an+k＝an，
下证{an}在 n≥5 时，单调递增．
事实上，an+1﹣an＝20+（ ）n﹣4﹣（ ）n﹣5＞19＞0，所以 n≥5 时，a n+k≥an，恒成
立．
所以{an}不具有性质 Q（k，n0，0）；
（3）对任意 n≥2，an+i﹣an＝d1，an+j﹣an＝d2，
所以 an+i﹣an＝d1，an+2i﹣an+i＝d1，…，an+ji﹣an+ji﹣i＝d1，
累加可得 an+ji﹣an＝d1j，
同理可得 an+ji﹣an＝d2j，
所以 d1j＝d2i，即有 d2＝ d1，下证 an+j﹣i﹣an＝ d1．
事实上，an+j﹣i﹣an＝（an+j﹣i﹣an+j）+（an+j﹣an）＝﹣d1+d2＝﹣d1+ d1＝ d1．
故 an+j﹣i﹣an＝ d1．
数列{an}具有性质 Q（j﹣i，2， ）成立．
本题考查数列的新定义的理解和运用，以及等差数列和等比数列的定义和通项公式，考
查化简运算求解能力，以及推理能力，属于难题．
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