数学二模试卷
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分．考
生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得
零分．
1．设全集 U＝{0，1，2}，集合 A＝{0，1}，则∁UA＝ ．
2．某次考试，5 名同学的成绩分别为：96，100，95，108，115，则这组数据的中位数
为 ．
3．若函数 ，则 f﹣1（1）＝ ．
4．若 1﹣i 是关于 x 的方程 x2+px+q＝0 的一个根（其中 i 为虚数单位，p，q∈R），则 p+q
＝ ．
5．若两个球的表面积之比为 1：4，则这两个球的体积之比为 ．
6．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），圆 O 的参数方程
为 （θ 为参数），则直线 l 与圆 O 的位置关系是 ．
7 ． 若 二 项 式 （ 1+2x ） 4 展 开 式 的 第 4 项 的 值 为 ， 则
＝ ．
8．已知双曲线的渐近线方程为 y＝±x，且右焦点与抛物线 y2＝4x 的焦点重合，则这个双曲
线的方程是 ．
9．从 m（m∈N*，且 m≥4）个男生、6 个女生中任选 2 个人当发言人，假设事件 A 表示选
出的 2 个人性别相同，事件 B 表示选出的 2 个人性别不同．如果 A 的概率和 B 的概率相
等，则 m＝ ．
10．已知函数 的零点有且只有一个，则实数 a 的取值集合
为 ．
11．如图，在△ABC 中，∠BAC＝ ，D 为 AB 中点，P 为 CD 上一点，且满足 ＝t
+ ，若△ABC 的面积为 ，则| |的最小值为 ．
12．已知数列{an}，{bn}满足 a1＝b1＝1，对任何正整数 n 均有 an+1＝an+bn+ ，bn+1
＝an+bn﹣ ，设 cn＝3n ，则数列{cn}的前 2020 项之和为 ．
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须
在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．
13．若 x、y 满足 ，则目标函数 f＝2x+y 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．如图，正方体 A1B1C1D1﹣ABCD 中，E、F 分别为棱 A1A、BC 上的点，在平面 ADD1A1
内且与平面 DEF 平行的直线（ ）
A．有一条 B．有二条 C．有无数条 D．不存在
15．已知函数 f（x）＝cosx•|cosx|．给出下列结论：
①f（x）是周期函数； ②函数 f（x）图象的对称中心 ；
③若 f（x1）＝f（x2），则 x1+x2＝kπ（k∈Z）；
④ 不 等 式 sin2πx • |sin2πx| ＞ cos2πx • |cos2πx| 的 解 集 为
．
则正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④
16．设集合 S＝{1，2，3，…，2020}，设集合 A 是集合 S 的非空子集，A 中的最大元素和
最小元素之差称为集合 A 的直径．那么集合 S 所有直径为 71 的子集的元素个数之和为
（ ）A．71•1949 B．270•1949
C．270•37•1949 D．270•72•1949
三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤．
17．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形 ABCD（及其内部）以 AB
边所在直线为旋转轴顺时针旋转 120°得到的．
（1）求此几何体的体积；
（2）设 PPP 是弧 上的一点，且 BP⊥BE，求异面直线 FP 与 CA 所成角的大小．（结
果用反三角函数值表示）．
18．已知锐角 α、β 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交
于 P、Q 两点，若 P、Q 两点的横坐标分别为 ．
（1）求 cos（α+β）的大小；
（2）在△ABC 中，a、b、c 为三个内角 A、B、C 对应的边长，若已知角 C＝α+β，
，且 a2＝λbc+c2，求 λ 的值．
19．疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额
在 3 万元至 6 万元（包括 3 万元和 6 万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备
下列两个条件：①补助款 f（x）（万元）随企业原纳税额 x（万元）的增加而增加；②补
助款不低于原纳税额 x（万元）的 50%．经测算政府决定采用函数模型
（其中 b 为参数）作为补助款发放方案．
（1）判断使用参数 b＝12 是否满足条件，并说明理由；
（2）求同时满足条件①、②的参数 b 的取值范围．
20．在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别是椭圆 的左、右焦点，
直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B，且 ．（1）求椭圆Γ的方程；
（2）已知直线 l 经过椭圆的右焦点 F2，P，Q 是椭圆上两点，四边形 ABPQ 是菱形，求
直线 l 的方程；
（3）已知直线 l 不经过椭圆的右焦点 F2，直线 AF2，l，BF2 的斜率依次成等差数列，求
直线 l 在 y 轴上截距的取值范围．
21．（18 分）若数列{an}对任意连续三项 ai，ai+1，ai+2，均有（ai﹣ai+2）（ai+2﹣ai+1）＞0，
则称该数列为“跳跃数列”．
（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：
①等差数列：1，2，3，4，5，…；
②等比数列： ；
（2）若数列{an}满足对任何正整数 n，均有 （a1＞0）．证明：数列{an}是跳
跃数列的充分必要条件是 0＜a1＜1．
（3）跳跃数列{an}满足对任意正整数 n 均有 ，求首项 a1 的取值范围．参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分．考
生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得
零分．
1．设全集 U＝{0，1，2}，集合 A＝{0 ，1}，则∁UA＝ {2} ．
利用补集定义直接求解．
∵全集 U＝{0，1，2}，集合 A＝{0，1}，
∴∁UA＝{2}．
故答案为：{2}．
本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．某次考试，5 名同学的成绩分别为：96，100，95，108，115，则这组数据的中位数为
100 ．
把已知 5 个数据从小到大依次排列，由此能求出参观人数的中位数．
因为某次考试 5 名同学的成绩分别为：95，96，100，108，105．则这组数据的中位数为
100，
故答案是：100．
本题考查 5 个数据的中位数，是基础题．
3．若函数 ，则 f﹣1（1）＝ 1 ．
直接利用原函数和反函数的关系式的变换的应用求出结果．
函数 ，所以令 ，解得 x＝1，即 f﹣1（1）＝1．
故答案为：1
本题考查的知识要点：原函数和反函数的定义域和值域的关系的应用，主要考查学生的
运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
4．若 1﹣i 是关于 x 的方程 x2+px+q＝0 的一个根（其中 i 为虚数单位，p，q∈R），则 p+q＝
0 ．
利用实系数一元二次方程虚根成对原理可知方程另一个虚根，再由根与系数的关系列式
求得 p 与 q 的值，则答案可求．∵1﹣i 是关于 x 的方程 x2+px+q＝0 的一个根，
且方程 x2+px+q＝0 是实系数一元二次方程，
∴1+i 是关于 x 的方程 x2+px+q＝0 的另一个根，
由根与系数的关系可得：（1﹣i）+（1+i）＝﹣p，即 p＝﹣2，
（1﹣i）（1+i）＝q，即 q＝2．
∴p+q＝0．
故答案为：0．
本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查根与系数关系，是基础题．
5．若两个球的表面积之比为 1：4，则这两个球的体积之比为 1：8 ．
首先由表面积的比得到半径的比，再由体积比是比较比的立方得到所求．
由已知两个球的表面积之比是 1：4，所以两个球的半径之比是 1：2，所以两个球的体积
之比 1：8；
故答案为：1：8．
本题考查了球的表面积、体积与半径的关系；两个球的表面积之比为半径比的平方，体
积之比是半径比的立方．
6．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），圆 O 的参数方程
为 （θ 为参数），则直线 l 与圆 O 的位置关系是 相交 ．
首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离
公式的应用求出结果．
直线 l 的参数方程为 （t 为参数），转换为直角坐标方程为 x﹣y+1＝0，
圆 O 的参数方程为 （θ 为参数），转换为直角坐标方程为 x2+y2＝1，
所以圆心（0，0）到直线 x﹣y+1＝0 的距离 d＝ ＝r，
所以直线和圆相交．
故答案为：相交．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距
离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
7．若二项式（1+2 x）4 展开式的第 4 项的值为 ，则 ＝ ．
先求二项式（1+2x）4 展开式的通项公式，再利用 T4＝4 求出 x，最后算极限．
∵二项式（1+2x）4 展开式的第 4 项的值为 ，∴T4＝C （2x）3＝4×23x＝4 ，解
得 x＝ ．
∵ x+x2+x3+ … +xn ＝ ＝ ＝ [1 ﹣ （ ） n] ， ∴
＝ ．
故填： ．
本题主要考查二项式定理及数列的极限的求法，属于基础题．
8．已知双曲线的渐近线方程为 y＝±x，且右焦点与抛物线 y2＝4x 的焦点重合，则这个双曲
线的方程是 2x2﹣2y2＝1 ．
利用双曲线的渐近线方程，推出 a、b 关系，结合 右焦点与抛物线的解得重合，得到 c，
然后求解双曲线方程．
双曲线的渐近线方程为 y＝±x，可得 a＝b，c＝ a，
右焦点与抛物线 y2＝4x 的焦点重合，所以 c＝1，则 a＝ ，b＝ ，
所以双曲线的方程为：2x2﹣2y2＝1．
故答案为：2x2﹣2y2＝1．
本题考查抛物线的简单性质，双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
9．从 m（m∈N*，且 m≥4）个男生、6 个女生中任选 2 个人当发言人，假设事件 A 表示选
出的 2 个人性别相同，事件 B 表示选出的 2 个人性别不同．如果 A 的概率和 B 的概率相
等，则 m＝ 10 ．
由 A 的概率和 B 的概率相等，列出方程 ＝ ，由此能求出 m 的值．
从 m（m∈N*，且 m≥4）个男生、6 个女生中任选 2 个人当发言人，
假设事件 A 表示选出的 2 个人性别相同，事件 B 表示选出的 2 个人性别不同．
如果 A 的概率和 B 的概率相等，则 ＝ ，
解得 m＝10．
故答案为：10．
本题考查实数值的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．已知函数 的零点有且只有一个，则实数 a 的取值集合
为 {1} ．
根据解析式先得函数 f（x）为偶函数，则只能是 f（0）＝0，代 入求解即可．
由题可得，函数 f（x）为偶函数，又因为函数零点有且只有一个，故函数零点只能为 x＝
0，
即 f（0）＝alog22+a﹣2＝0， 解得 a＝1，
故答案为：{1}．
本题考查函数零点的条件，考查函数奇偶性的应用，属于中档题．
11．如图，在△ABC 中，∠BAC＝ ，D 为 AB 中点，P 为 CD 上一点，且满足 ＝t
+ ，若△ABC 的面积为 ，则| |的最小值为 ．
根据 C，P，D 三点共线，以及 ＝t + ，求出 t 的值；将面积转化成 ，
再根据平面向量模长公式结合基本不等式求出| |的最小值即可．
在△ABC 中，D 为 AB 中点，
∵C，P，D 三点共线，设 ＝ ，
又∵ ＝t + ，
∴ ，∴ ．
∴ ，∴ ＝2，
∵ ，∴ ，
将∠BAC＝ 代入，得 ．
即 ， ．
| |＝ ＝
＝ ＝ ＝ ．（ 当 且 仅 当
时，等式成立）．
∴| |的最小值为 ．
故答案为： ．
本题考查平面向量的基本定理及模长公式，基本不等式的应用，属于综合考查，解题时
要认真审题，灵活的应用所给面积公式．
12．已知数列{an}，{bn}满足 a1＝b1＝1，对任何正整数 n 均有 an+1＝an+bn+ ，bn+1
＝an+bn﹣ ，设 cn＝3n ，则数列{cn}的前 2020 项之和为 3 2021﹣
3 ．
本题先根据两个相关的数列的两个递推公式分别相加，相乘进行计算可推导出数列
{an+bn}与数列{an•bn}是等比数列并计算出通项公式，然后代入数列{cn}的通项公式进行
计算并判别出数列{cn}是以 6 为首项，3 为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式
即可计算出前 2020 项之和．
依题意，an+1＝an+bn+ ，①
bn+1＝an+bn﹣ ，②
①+②，可得
an+1+bn+1＝2（an+bn），
∵a1+b1＝1+1＝2，
∴数列{an+bn}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，∴an+bn＝2•2n﹣1＝2n．
又①×②，可得
an+1•bn+1＝（an+bn+ ）•（an+bn﹣ ）
＝（an+bn）2﹣（ ）2
＝2an•bn，
∵a1•b1＝1，
∴数列{an•bn}是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
∴an•bn＝1•2n﹣1＝2n﹣1．
∴cn＝3n ＝3n• ＝3n• ＝2•3n＝6•3n﹣1，
∴数列{cn}是以 6 为首项，3 为公比的等比数列，
设数列{cn}的前 n 项之和为 Sn，则
S2020＝ ＝32021﹣3．
故答案为：32021﹣3．
本题主要考查两个相关的数列的递推公式求通项公式的相关问题．考查了转化思想，整
体思想，等比数列的判别，指数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属综
合性较强的中档题．
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须
在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．
13．若 x、y 满足 ，则目标函数 f＝2x+y 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由 z＝2x+y 得 y＝﹣2x+z，
平移直线 y＝﹣2x+z，
由图象可知当直线 y＝﹣2x+z 经过点 A 时，直线 y＝﹣2x+z 的截距最大，
此时 z 最大．由 ，解得 A（1，0），
代入目标函数 z＝2x+y 得 z＝2×1+0＝2．
即目标函数 z＝2x+y 的最大值为 2．
故选：B．
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是
解决此类问题的基本方法．
14．如图，正方体 A1B1C1D1﹣ABCD 中，E、F 分别为棱 A1A、BC 上的点，在平面 ADD1A1
内且与平面 DEF 平行的直线（ ）
A．有一条 B．有二条 C．有无数条 D．不存在
由题设知平面 ADD1A1 与平面 DE F 有公共线 DE，由线面平行的判定定理在平面
ADD1A1 内，只要与 DE 平行的直线均满足条件，进而得到答案．
由题设知平面 ADD1A1 与平面 DEF 有公共线 DE，
则在平面 ADD1A1 内与 DE 平行的线有无数条，且它们都不在平面 DEF 内，
由线面平行的判定定理知 它们都与面 DEF 平行，
故选：C．
本题考查的知识点是平面的基本性质，正方体的几何特征，线面平行的判定定理，熟练
掌握这些基本的立体几何的公理、定理，培养良好的空间想像能力是解答此类问题的关
键．15．已知函数 f（x）＝cosx•|cosx|．给出下列结论：
①f（x）是周期函数； ②函数 f（x）图象的对称中心 ；
③若 f（x1）＝f（x2），则 x1+x2＝kπ（k∈Z）；
④ 不 等 式 sin2πx • |sin2πx| ＞ cos2πx • |cos2πx| 的 解 集 为
．
则正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④
①根据函数的周期性，若 f（2π+x）＝f（x），则周期 T＝2π；
②根据函数的中心对称性，若 ＝0，则函数关于（ ）对称，
再结合函数的周期性，可得函数 f（x）的中心对称点；
③先根据奇偶性的概念判断出函数为偶函数，再结合函数的周期性，可得函数的对称轴
为 x＝kπ，k∈Z，若 f（x1）＝f（x2），则 x1+x2＝2kπ（k∈Z）；
④当 x∈ 时，f（x）＝cos2x＝ ，在 上单调递减，再结合函
数的中心对称和轴对称可得出函数在整个定义域内的单调区间，然后利用诱导公式，将
不 等 式 转 化 为 ， 结 合 函 数 的 单 调 性 可 得 ，
，解之即可判断．
①f（2π+x）＝cos（2π+x）•|cos（2π+x）|＝cosx•|cosx|＝f（x），∴2π 是函数 f（x）的一
个周期，即①正确；
②∵ ＝（﹣sinx）•|﹣sinx|+sinx•|sinx|＝﹣sinx•|sinx|+sinx•|sinx|＝0，
∴函数 f（x）的图象关于（ ）对称．
又 2π 是函数 f（x）的周期，∴区间 恰为函数的一个周期区间，
故函数 f（x）图象的对称中心为 ，即②正确；
③∵f（﹣x）＝cos（﹣x）•|cos（﹣x）|＝cosx•|cosx|，
∴f（x）＝f（﹣x），∴函数为偶函数，
又函数的周期为 2π，∴函数 f（x）关于 x＝kπ，k∈Z 对称，若 f（x1）＝f（x2），则 x1+x2＝2kπ（k∈Z），即③错误；
④当 x∈ 时，f（x）＝cos2x＝ ，在 上单调递减，
由于函数 f（x）关于 和 x＝kπ，k∈Z 对称，
所以函数的单调递减区间为[2kπ，π+2kπ]，单调递增区间为（π+2kπ，2π+2kπ]，k∈Z．
不等式 sin2πx•|sin2πx|＞cos2πx•|cos2πx|，等价于 ，
则 ，解得 ，k∈Z，
故解集为 ，即④正确．
故选：D．
本题考查余弦函数的图象与性质、二倍角公式、不等式的解法以及绝对值函数的处理方
式，分析清楚函数的中心对称性和轴对称性是解题的关键，考查学生的推理论证能力、
转化能力和运算能力，属于难题．
16．设集合 S＝{1，2，3，…，2020}，设集合 A 是集合 S 的非空子集，A 中的最大元素和
最小元素之差称为集合 A 的直径．那么集合 S 所有直径为 71 的子集的元素个数之和为
（ ）
A．71•1949 B．270•1949
C．270•37•1949 D．270•72•1949
先确定集合 A 中最大元素 a 最小元素 b，集合 A 中元素最多为 72 个，即可求出集合 A 中
包含 a，b 的所有子集元素之和个数为 2 +3 +4 +……+72 ，再数出组合（a，
b）的个数即可求出．
设集合 A 中最大元素为 a，最小元素为 b，所以满足 b﹣a＝71 的组合有 2020﹣71＝1949
个，
集合 A 中元素最多为 72 个，而集合 A 中包含 a，b 所有子集元素之和个数为 2 +3
+4 +……+72 ，
设 m＝2 +3 +4 +……+72 ，则 m＝72 +71 +70 +……+2 ，
所以 2m＝74 +74 +74 +……+74 ＝74×270，即 m＝37×270，因此，集合 S 所有直径为 71 的子集的元素个数之和为 270•37•1949．
故选：C．
本题主要考查集合的子集个数的求法以及二项式定理性质的应用，属于中档题．
三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤．
17．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形 ABCD（及其内部）以 AB
边所在直线为旋转轴顺时针旋转 120°得到的．
（1）求此几何体的体积；
（2）设 PPP 是弧 上的一点，且 BP⊥BE，求异面直线 FP 与 CA 所成角的大小．（结
果用反三角函数值表示）．
（1）S 底面 BEC＝ ＝ ＝ ．此几何体的体积 V＝S 底面 BEC•h，
由此能求出结果．
（2）以点 B 为坐标原点，BE 为 x 轴，BP 为 y 轴，BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系．利
用向量法能求出异面直线 FP 与 CA 所成角的大小．
（1）因为 S 底面 BEC＝ ＝ ＝ ．
所以此几何体的体积 V＝S 底面 BEC•h＝ ＝ ．
（2）如图所示，以点 B 为坐标原点，BE 为 x 轴，BP 为 y 轴，BA 为 z 轴，建立空间直
角坐标系．
则 A（0，0，2），F（2，0，2），P（0，2，0），C（﹣1， ，0）．
∴ ＝（﹣2，2， ﹣2）， ＝（﹣1， ，﹣2）．
设异面直线 FP 与 CA 所成的角为 α，
则 cosα＝ ＝ ．所以异面直线 FP 与 CA 所成角的大小 arccos ．
本题考查几何体的体积、异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位
置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．已知锐角 α、β 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交
于 P、Q 两点，若 P、Q 两点的横坐标分别为 ．
（1）求 cos（α+β）的大小；
（2）在△ABC 中，a、b、c 为三个内角 A、B、C 对应的边长，若已知角 C＝α+β，
，且 a2＝λbc+c2，求 λ 的值．
（1）利用三角函数的定义可求锐角 α、β 的正弦值，余弦值，利用两角和的余弦函数公
式可求 cos（α+β）的大小；
（2）法一：由已知利用两角和的正弦函数公式可求 sinB 的值，即可代入求解 λ 的值；
法二：由已知利用两角和的正弦函数公式可求 sinB 的值，进而利用正弦定理即可求解 λ
的值；法三：由已知可求 cosB 的值，由余弦定理化简，解得 a，b 的值，即可代入求解 λ
的值．
（1）由已知 ，
因而 ．
（2）法一：（正弦定理）由已知， ，
，．[来源:学§科§网 Z§X§X§K]
法二：（余弦定理）a2﹣c2＝b2﹣2bccosA，
因而由已知得 ；
法三：（余弦定理、正弦定理） ，
因而由余弦定理得： ，
同理 ，
得 ，得： ．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属
于中档题．
19．疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额
在 3 万元至 6 万元（包括 3 万元和 6 万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备
下列两个条件：①补助款 f（x）（万元）随企业原纳税额 x（万元）的增加而增加；②补
助款不低于原纳税额 x（万元）的 50%．经测算政府决定采用函数模型
（其中 b 为参数）作为补助款发放方案．
（1）判断使用参数 b＝12 是否满足条件，并说明理由；
（2）求同时满足条件①、②的参数 b 的取值范围．
（1）法一：通过 b＝12 时，判断 ，说明当 b＝12 时不满足条件②．
法二：由条件②求出函数的值域．3∉[4，12]，说明当 b＝12 时不满足条件②．
法三：由条件②可知 在[3，6]上恒成立，推出 ，说明当 b
＝12 时不满足条件②．
（2）法一：由条件①可知，f（x）在[3，6]上单调递增，则对任意 3≤x1＜x2≤6 时，推
出 ；由条件②可知，推出 ，即可求出参数 b 的取值范围．
法二：由条件①可知， 在[3，6]上单调递增，求解 b 的范围，由条件②可
知， ，即不等式 ，在[3，6]上恒成立，所以 ，求解即
可．
（1）法一：因为当 b＝12 时， ，所以当 b＝12 时不满足条件②．
法二：由条件②可知 ．
因为 3∉[4，12]，所以当 b＝12 时不满足条件②．
法三：由条件②可知 在[3，6]上恒成立，所以 ，
解得 ，所以当 b＝12 时不满足条件②．
（2）法一：由条件①可知，f（x）在[3，6]上单调递增，则对任意 3≤x1＜x2≤6 时，
有 恒成立，
即 x1x2+4b＞0⇔ 恒成立，所以 ；
由条件②可知， ，即不等式 在[3，6]上恒成立，
所以 ，
综上，参数 b 的取值范围是 ．
法二：由条件①可知， 在[3，6]上单调递增，
所以当 b≥0 时，满足条件；当 b＜0 时，得 ，
所以 ，
由条件②可知， ，即不等式 ，在[3，6]上恒成立，所以 ，
得 ，综上，参数 b 的取值范围是 ．
本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及函数恒成立条件的转化，考查分析问题
解决问题的能力，是中档题．
20．在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别是椭圆 的左、右焦点，
直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B，且 ．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）已知直线 l 经过椭圆的右焦点 F2，P，Q 是椭圆上两点，四边形 ABPQ 是菱形，求
直线 l 的方程；
（3）已知直线 l 不经过椭圆的右焦点 F2，直线 AF2，l，BF2 的斜率依次成等差数列，求
直线 l 在 y 轴上截距的取值范围．
（1）利用已知条件求出 a，然后求解椭圆Γ的方程；
（2）说明 AB∥PQ 且|AB|＝|PQ|．由对称性，F1 在线段 PQ 上．推出 OA⊥OB．设 l：x﹣
1＝my，与椭圆方程联立可得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），利用
韦达定理，由 x1x2+y1y2＝0，求解即可．
（ 3 ） 设 l ： y ＝ kx+b ， 由 k1+k2 ＝ 2k ， 可 得 ， 即
．推出（b+k）（x1+x2﹣2）＝0．说明 x1+x2＝2．联立直线与椭圆
方程，利用韦达定理，转化求解即可．
（1）由 可得 ，从而 ，
椭圆方程为 ．
（2）由于四边形 ABPQ 是菱形，因此 AB∥PQ 且|AB|＝|PQ|．
由对称性，F1 在线段 PQ 上．因此，AP，BQ 分别关于原点对称；
并且由于菱形的对角线相互垂直，可得 AP⊥BQ，即 OA⊥OB．
设 l：x﹣1＝my，与椭圆方程联立可得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，设 A（x1，y1），B（x2，
y2），
因此 ， ．由 x1x2+y1y2＝0，可得 ，
解得 ，即直线方程为 ．
（3）设 l：y＝kx+b，由 k1+k2＝2k，可得 ，
即 ．
化简可得 2kx1x2+（b﹣k）（x1+x2）﹣2b＝2k（x1﹣1）（x2﹣1），
即（b+k）（x1+x2﹣2）＝0．
若 b+k＝0，则 l：y＝kx﹣k 经过 F2，不符，因此 x1+x2＝2．
联立直线与椭圆方程，（2k2+1）x2+4kbx+（2b2﹣2）＝0．
因为△＝8（2k2﹣b2+1）＞0①
由 ，可得， ②
将②代入①， ；再由 ，
可得， ．
本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置的综合应用，考查转化思想以及 分析问
题解决问题的能力，是难题．
21．（18 分）若数列{an}对任意连续三项 ai，ai+1，ai+2，均有（ai﹣ai+2）（ai+2﹣ai+1）＞0，
则称该数列为“跳跃数列”．
（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：
①等差数列：1，2，3，4，5，…；
②等比数列： ；
（2）若数列{an}满足对任何正整数 n，均有 （a1＞0）．证明：数列{an}是跳
跃数列的充分必要条件是 0＜a1＜1．
（3）跳跃数列{an}满足对任意正整数 n 均有 ，求首项 a1 的取值范围．
（1）①根据定义可直接判断其不是跳跃数列；②根据定义可直接判断其是跳跃数列；
（2）先证明其必要性：若 a1＞1，则{an}是单调递增数列，不是跳跃数列，若 a1＝1，{an}是常数列，不是跳跃数列，从而证明数列{an}是跳跃数列的必要条件是 0＜a1＜1，再用
数学归纳法证明证明其充分性即可；
（3）根据条件分 an+1＞an 和 an+1＜an 两种情况求出 an 的取值范围，再求出首项 a1 的取
值范围．
（1）①等差数列：1，2，3，4，5，…不是跳跃数列；
②等比数列： 是跳跃数列．
（2）必要性：若 a1＞1，则{an}是单调递增数列，不是跳跃数列；
若 a1＝1，{an}是常数列，不是跳跃数列．
充分性：下面用数学归纳法证明：
若 0＜a1＜1，则对任何正整数 n，均有 a2n﹣1＜a2n+1＜a2n，a2n＞a2n+2＞a2n+1 成立．
1）当 n＝1 时， ， ，
∵ ，∴ ，∴a2＞a3＞a1，
∵a2＞a3＞a1，∴ ，
∴n＝1 命题成立；
2）若 n＝k 时，a2k﹣1＜a2k+1＜a2k，a2k＞a2k+2＞a2k+1，
则 ，∴a2k+1＜a2k+3＜a2k+2， ，
∴a2k+2＞a2k+4＞a2k+3，∴当 n＝k+1 时命题也成立，
根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足（ai﹣ai+2）（ai+2﹣ai+1）＞0，
故{an}是跳跃数列．
（ 3 ） ，
，
，
[1]若 an+1＞an，则 an+1＞an+2＞an，此时 ；
[2]若 an+1＜an，则 an+1＜an+2＜an，此时 ；
若 ，则 ，∴an∈（﹣2，2）．若 ，则 ，∴ ．
∴ ，
此时对任何正整数 n，均有 ．
本题考查了等差数列和等比数列的综合，充分必要条件，数学归纳法的应用，考查了分
类讨论思想和转化思想，属难题．
微信/支付宝扫码支付