浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020届高三5月阶段性评估数学试题 带答案（PDF版）

高三数学学科 试题 第1页（共4页） 绝密★考试结束前 高三数学试题 考生须知： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。 4.考试结束后，只需上交答题卷。 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求. 1.已知集合 { | ln( 1) 0}, { | 0 3}A x x B x x= −  =   ，则 R AB=（ ） A. (0,1] (2,3) B.(2,3) C.(0,1) (2,3) D.[2,3) 2.双曲线 2 2 1x y m −=的离心率为 3 ，则 m = A. 31− B. 3+1 2 C. 1 2 D.2 3.若实数 ,xy满足约束条件 5 6 30, 3 2 , 1 xy yx x +     则 3z x y=+ 的最小值是 A.10 B.3 C. 27 2 D.11 3 4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的 体积（单位：cm3）是 A. 3( 1) 3  − B. 3( 1) 6  − C. 3( 2) 3  − D. 3( 2) 6  − 5.如图，是函数 ()fx的部分图象，则 ()fx的解析式可能是 第 4 题图 高三数学学科 试题 第2页（共4页） A. ( ) |sin cos |f x x x=+ B. 22( ) sin cosf x x x=+ C. ( ) |sin | |cos |f x x x=+ D. ( ) sin| | cos| |f x x x=+ 6.设 ,0ab ，则“ ab ”是“ abab ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知 ,,abc是不相等的实数，且 8ab+=，随机变量 X 的分布列为 则下列说法正确的是 A. ( ) 1, ( ) 1E X D X= B. ( ) 1,0 ( ) 1E X D X=   C. ( ) 3, ( ) 1E X D X= D. ( ) 3,0 ( ) 1E X D X=   8.如图 1，梯形 ABCD 中， 1/ / , 2 AB DC AD DC BC AE AB= = = = ，现将四边形 ADCE 沿 EC 折 起，得到几何图形 B ECD A− （如图 2），记 直线 DC 与直线 EB 所成的角为 ，二面角 B EC D−−的平面角大小为  ，直线 AE 与 平面 BCE 所成角为 ，则 A. ,    B. ,    C.   D.    9.函数 32 ln 1, , () 3 (2 ) 1, . x ax x b fx x x a x x b − − =  − + − −  恒有零点的条件不可能是 A. 0, 3ab B. 0, 2ab C. 0, 1ab D. 0,a b e= 10.已知数列{}na 满足 2 1 1 1( 1), 2n n n na a a a a a a++=  − = − ，则下列选项中正确的是 A.当且仅当 1a  时，数列 为递增数列 B.存在实数 a 和正整数 , ( )n r n r ，使得 2nr nraa− C.当且仅当 1a  时，数列 为递减数列 D. 当 1a  时，数列 1 1 }{ },{ n n nn aa a a + + − 均为递增数列 X a b c P 1 a 1 b 1 c 图 1 图 2 第 8 题图 第 5 题图 高三数学学科 试题 第3页（共4页） D CB A P D C BA 第 19 题图 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11.复数 z 的共轭复数为 z ，已知 13z =− i（i 为虚数单位），则 zz =__________. 12.已知直线 1y kx=+与圆 2 2 2: ( ) ( 0)C x a y r r− + =  相交于 ,AB，若当 1k =− 时，||AB 有最大 值 4，则 r = __________， a = ____________. 13.设 5 2 5 0 1 2 5(1 2 )x a a x a x a x+ = + + + + ，则 3a = __________， 1 2 525a a a+ + + = ___________. 14.如图，在 ABC 中， D 为 BC 边上近 B 点的三等分点， 45 ,ABC= 60 ,ADC= 2AD = ，则 BD = ________， AC = _________. 15.已知椭圆 22 :1 4 xyC m +=的右焦点为 (1,0)F ，上顶点为 B ，则 B 的坐标为__________，直线 MN 与椭圆C 交于 ,MN两点，且 BMN 的重心恰为点 F ，则直线 MN 斜率为_____________. 16.已知 ,ab R，设函数 ( ) | tan | | sin cos |, [0, ] 4 f x x a x x b x = + + +  上的最大值为 ( , )M a b ，则 的最小值为_______________. 17.已知向量 ,,a b c 满足| | 1,| | 2 2, 0,| | 2 | |= =  = − = −a b a b c a c b ，则| +−cb x ( 2 ) |+ba的最小值是 _______________. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分 14 分）已知函数 ( ) ( 3 sin cos ) cosf x x x x m= + + 的最大值为 2. （Ⅰ）求 () 12 f  的值； （Ⅱ）当 [0, ] 2 x  时，求 [ ( ) 1] [ ( ) 1] 12 y f x f x = −  + − 的最值以及取得最值时 x 的集合. 19.（本小题满分 15 分）如图，已知四棱锥 P ABCD− 中，底面 ABCD 是矩形， 2AB = ， 10PA PB BC= = = ， 2PD PC==. （Ⅰ）求证：平面 PAB ⊥ 平面 PCD ； （Ⅱ）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值. 第 14 题图 高三数学学科 试题 第4页（共4页） 20.（本小题满分 15 分）等差数列{}na 和等比数列{}nb 满足 1 1a = ， 1 1 1 2 2 ( 1) 2 2n nna b a b a b n ++ + + = −  + . （Ⅰ）求数列{ },{ }nnab的通项公式； （Ⅱ）若数列{}nc 满足： n n n nb c a c=+，求证： 12 3nc c c+ + +  . 21.（本小题满分 15 分）如图，抛物线 2 2 ( 0)y px p=的焦点为 F ， E 是抛物线的准线与 x 轴的 交点，直线 AB 经过焦点 F 且与抛物线相交于 ,AB两点，直线 ,AE BE 分别交 y 轴于 ,MN两点， 记 ,ABE MNE的面积分别为 12,SS. （Ⅰ）求证： 2 3 1 | | 2 S p AB = ； （Ⅱ）若 12SS 恒成立，求实数  的最大值. 22.（本小题满分 15 分）函数 ( ) ln( 1)f x x ax= + − ， ( ) 1 xg x e=− . （Ⅰ）讨论函数 ()fx的单调性； （Ⅱ）若 ( ) ( )f x g x 在 [0, )x + 上恒成立，求实数 a 的取值范围. 第 21 题图 数学学科参考答案第 1页（共 6页） 2019 学年第二学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟阶段性评估 高三数学参考答案 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求. 1.答案：A 2.答案：C 3.答案：B 4.答案：D 5.答案：B 6.答案：D 7.答案：C 8.答案：A 9.答案：B 10.答案：D 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11.答案：4 12.答案：2，1 13.答案：80，810 14.答案： 6 2 2  ，3 3 15.答案： (0, 3) ， 3 3 4 16.答案： 3 4 17.答案： 5 6 23  三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.解析：（Ⅰ） 2( ) ( 3sin cos )cos = 3sin cos cosf x x x x m x x x m     3 1 cos2 1= sin 2 sin(2 )2 2 6 2 xx m x m      ， ………3 分 因为 ( )f x 的最大值为 3 1+ 22 2m m   . ………5 分 所以 ( ) sin(2 ) 16f x x    ， 3( ) sin 1 112 3 2f      ………7 分 （Ⅱ） [0, ]2x  时， [ ( ) 1] [ ( ) 1] sin(2 )sin(2 )12 6 3y f x f x x x          3 1 1 3( sin 2 cos2 )( sin 2 cos2 )2 2 2 2x x x x  数学学科参考答案第 2页（共 6页） 2 23 3sin 2 cos 2 sin 2 cos24 4x x x x   3 1 sin 44 2 x  . ………12 分 当 8x  时， max 3 2 4y  ； ………13 分 当 3 8x  时， min 3 2 4y  . ………14 分 19.解：（Ⅰ）如图，取 ,AB DC 的中点 ,E F ，连接 , ,EF PE PF ， 因为 10, 2PA PB BC PC PD     ， 所以， ,PE AB PF DC  ， 又 / /AB CD ， 所以， PE CD ， 又因为 2AB  ，所以 2PF  ， 所以 2 2 2 210PE PF BC EF    ，即 PE PF ， 所以 PE  平面 PCD ， 所以平面 PAB  平面 PCD ； ………8 分 （Ⅱ）设 A 到平面 PBC 的距离为 d ， 因为 10, 2PB BC PC   ， 所以 19 2 PBCS ， 由（Ⅰ） PE PF ， PF DC ， 所以 PF  平面 PAB ，所以C 点到平面 PAB 的距离为 1PF  ， 所以 1 1 11 3 13 3 3A PBC PBC C PAB PABV dS V S           ， 所以 6 19 19d  ， 故直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 6 19 6 190 19019 10  . ………15 分数学学科参考答案第 3页（共 6页） 解法二：建系法 如图，建立空间坐标系，则 (0,0,0), (2,0,0), (0, 10,0), (2, 10,0)A B D C ， 设 ( , , )P a b c ，由 10, 2PA PB PC   得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 110 9( 2) 10 10 ( 10) 2 3 10 aa b c a b c b a b c c                       即 9 3(1, , ) 10 10 P ，设平面 PBC 的法向量为 n ( , , )x y z ， 因为 1 3(0, 10,0), (1, , ) 10 10 BC PC    ， 所以 10 0 1 3 0 10 10 y x y z      ，令 1z  ，可得 3( ,0,1) 10 n ， 于是 | | 6sin | | | | 190 n PA n PA         . （选择空间直角坐标系的按步骤给分） 20.解：（Ⅰ）由 1 1 1 2 2 ( 1) 2 2n n na b a b a b n        ① 可得 1 1 2 2 1 1 ( 2) 2 2( 2)n n na b a b a b n n         ② ①—②得 2 ( 2)n n na b n n   ， 又 1 1 2a b  ，所以 2n n na b n  . 由 1 1a  得 1 2b  ，设等差数列{ }na 的公差为 d ，等比数列{ }nb 的公比为 q ，则有 1( 1 ) 2 2n ndn d q n      ， 令 2n  ，有 (1 ) 2 8d q    ， 令 3n  ，有 2(1 2 ) 2 24d q    ， 解得 1, 2d q  ，数学学科参考答案第 4页（共 6页） 所以 , 2n n na n b  . ………8 分 （Ⅱ）由 n n n nb c a c  得 1 1 2 1 2 n n n n n a n nc b     ， 所以 1 2 3 1 2 3 2 3 4 1 2 2 2 2n n nc c c c           ， 令 1 2 3 2 3 4 1 2 2 2 2n n nT      ， 则 2 3 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2n n n n nT       两式相减得， 2 3 1 1 1 1 1(1 )1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 32 21 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n n n n n n nT                     所以 3nT  ，即 1 2 3nc c c    . ………15 分 21.解：（Ⅰ）由已知可得 ( ,0), ( ,0)2 2 p pE F ， 显然直线 AB 的斜率不可能为 0，故可设 : 2 pAB x my  ， 联立 2 2 2 2 2 0 2 y px y pmy ppx my         ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 2 1 2 1 22 ,y y pm y y p    ， 所以， 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1| | | | ( ) 4 4 4 12 2 2S EF y y p y y y y p p m p p m          ， 而 2 2 1 2| | 1 | | 2( 1)AB m y y m p     ， 故 2 2 4 3 1 2 ( 1) | | 2( 1) 2 S m p p AB m p   ； ………7 分 （Ⅱ）直线 1 1 : ( )2 2 y pAE y xpx    ，可得 1 1 2(0, ) 2 p y N px  ，同理 2 2 2(0, ) 2 p y M px  ， 所以 22 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2| | | |2 2 8 2 2 p py y y yp pS p p my p my px x        数学学科参考答案第 5页（共 6页） 3 2 1 2 2 1 2 1 2 | | 8 ( ) y yp m y y mp y y p      3 2 1 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 | | 8 2 | | 8 ( 1) y yp m p p m p y yp p m         ， 所以 2 1 21 3 2 12 2 2 1 | | | |2 4( 1) 4| | 8 ( 1) EF y yS my ypS p m        ， 所以  的最大值为 4. ………15 分 22.解：（Ⅰ） 1 1( ) 1 1 ax af x ax x        ， 当 0a  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 ( 1, )  单调递增； 当 0a  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 ( 1, )  单调递增； 当 0 1a  时， 1( ) ( ) 1 aa x af x x      ， 所以 1( 1, )ax a   时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增，当 1( , )ax a   时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减； 当 1a  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 ( 1, )  单调递减. 综上，可得，当 0a  时， ( )f x 在 ( 1, )  单调递增；当 1a  时， ( )f x 在 ( 1, )  单调递减；当 0 1a  时， ( )f x 在 1( 1, )a a  上单调递增，在 1( , )a a   上单调递减. ………7 分 （Ⅱ）设 ( ) ( ) ( ) ln( 1) 1xh x f x g x x e ax       ， 0x  ， 则 1( ) 1 xh x e ax     ， 当 2a  时，由 1xe x  得 1 1( ) 1 01 1 xh x e a x ax x           ， 于是， ( )h x 在[0, ) 上单调递增， ( ) (0) 0h x h  恒成立，符合题意； 当 2a  时，由于 0x  ， (0) 0h  ，数学学科参考答案第 6页（共 6页） 而 2 1( ) 0( 1) xh x ex      ， 故 (0)h 在[0, ) 上单调递增，而 (0) 2 0h a    ，则存在一个 0 0x  ，使得 0( ) 0h x  ， 所以， 0[0, )x x 时， ( )h x 单调递减，故 0( ) (0) 0h x h  ，不符合题意， 故 2a  . ………15 分