安徽省安庆市2020届高三数学（文）第三次模拟试题（Word版带答案）

安庆市 2020 届高三第三次模拟考试 数学（文科）试题 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号。 2．答题时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、 笔迹清晰。作图题可选用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的 黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写 的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内） 1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知 为虚数单位，复数 ，则复数 的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线 ，则下列关于抛物线 的叙述正确的是（ ） A. 抛物线 没有离心率 B. 抛物线 的焦点坐标为 C. 抛物线 关于 轴对称 D. 抛物线 的准线方程为 4. 已知函数 的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ） { }2 3 0A x x= − > { }0,1,2,3B = A B = { }1 { }2,3 { }1,2,3 3| 2x x >   i 2 31z ii = ++ z i 1 2i 2 21: 4C y x= C C C 1 ,016      C x C 1y = − ( ) [ ]( ),y f x x π π= ∈ −A. B. C. D. 5. 在正方体 中，点 分别为棱 的中点，过点 作平 面截正方体的表面所得图形是（ ）. A. 三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 平面五边形 6. 执行如图所示的程序框图，则输出的 值是（ ） A. 53 B. 159 C. 161 D. 485 7. 某居民小区 1 单元 15 户某月用水量的茎叶图如图所示（单位：吨），若这组数据的平均 数是 19，则 的值是（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D.8 8. 已知实数 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值 为（ ）. A.1 B. C. D. ( ) sin cosf x x x= − ( ) sin cosf x x x= − ( ) sin cosf x x x= − ( ) sin cosf x x x= − 1 1 1 1ABCD A B C D− ,E F 1,BC CC , ,A E F a ba + yx,    ≥ ≤−− ≤−+ 1 022 02 x yx yx yx z −     = 2 2 1 2 1 4 1 16 19. 底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的 中心）的外接球半径与内切球半径比值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 10. 已知函数 是 上的奇函数，其中 ，则下 列关于函数 的描述中，其中正确的是（ ）. ①将函数 的图象向右平移 个单位可以得到函数 的图象； ②函数 图象的一条对称轴方程为 ； ③当 时，函数 的最小值为 ； ④函数 在 上单调递增. A.①③ B.③④ C.②③ D.②④ 11. 已知函数 ，若存在 ，使得 成立， 则实数 的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 12. 已知 分别是双曲线 的左，右焦点，动点 在双曲线的左支上， 点 为圆 上一动点，则 的最小值为（ ）. A. 7 B. 8 C. D. 3 1+ 2 1+ ( ) ( )ϕ2sinsin2 += xxxf R     ∈ 2,0 πϕ ( ) ( )ϕ−= xxg 2cos ( )xf 8 π ( )xg ( )xg 8x π=    ∈ 2,0 π x ( )xg 2 2− ( )xg     8 5,8 ππ ( ) 2 3 2, 1 ln , 1 x x xf x x x  − + ≤=  > 0x R∈ ( )0 0 1f x ax a≤ − − a ( )0,+∞ [ )3,0− ( ] [ ), 3 1,−∞ − +∞ ( ] ( ), 3 0,−∞ − +∞ 1 2,F F 2 2 : 14 3 x yC − = A B 2 2: ( 3) 1E x y+ + = 2AB AF+ 6 3+ 2 3 3+第 II 卷（非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须 作答. 第 22 题 ~ 第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将每题的正确答案填在题中的横 线上） 13. 已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则实数 的值 为__________. 14. 已知平面向量 满足 ，设 的夹角为 ，则 的值为__________. 15. 如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心，以边长的一 半为半径在正方形内作圆弧得到的.现等可能地在该正方形 内任取一点，则该点落在图中阴影部分的概率为__________. 16. 在 中，角 所对边分别为 ， 若 ， ，则 外接圆的半径大小是___________. 三、解答题：（本大题满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 已知各项均不为 0 的等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 成等比 数列. （Ⅰ）求数列 的通项公式 与 ； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 . 18. （本小题满分 12 分） 如图，圆锥 中， 是圆 的直径，且 , 是底面圆 上一点，且 ，点 为半径 的中点，连 . （Ⅰ）求证： 在平面 内的射影是 ； （Ⅱ）若 ，求底面圆心 到平面 的距离. ( )( ) lnf x x a x= + (1,0) ( )2 1y x= − a ,a b  ( )2, 3, 2, 3a b a b= = − =    ,a b  α cosα ABC∆ , ,A B C , ,a b c 6 2 sin 4a B π = +   6c = ABC∆ { }na n nS 5 9a = 1 4 7, ,a a S { }na na nS ( ) ( )1 2n n nb S n= − + { }nb 20 20T PO AB O 4=AB C O 32=AC D OB PD PC APB PD 4=PA O PBC19. （本小题满分 12 分） 某生物研究所为研发一种新疫苗，在 200 只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下 统计数据： 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射疫苗 30 注射疫苗 70 总计 100 100 200 现从未注射疫苗的小白鼠中任取 1 只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 . （Ⅰ）能否有 99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？ （Ⅱ）在未注射疫苗且未感染病毒与注射疫苗且感染病毒的小白鼠中，分别抽取 3 只 进行病例分析，然后从这 6 只小白鼠中随机抽取 2 只对注射疫苗情况进行核实，求抽到的 2 只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率. 附： ， 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20. （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中，动点 到直线 的距离与到定点 的距离之比 为 2. （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）过点 的直线交轨迹 于 两点，线段 的中垂线与 交于点 ，与直线 交于点 ，设直线 的方程为 ，请用含 的式子表示 ，并探究 x y z w 7 10 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 ,n ad bcK n a b c da b c d a c b d −= = + + ++ + + + ( )2 0P K k≥ 0k xOy P 4x = ( )1,0F P E F E ,A B AB AB C 4x = − D AB 1x my= + m AB CD是否存在实数 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 ，其中 . （Ⅰ）当 时，判断函数 的零点个数； （Ⅱ）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时 请写清题号 22．（本小题满分 10 分）选修 4–4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （其中 为参数）， 以原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点 分别是曲线 上两动点且 ，求 面积的最大值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4–5 不等式选讲 已知函数 （其中实数 ） （Ⅰ）当 ，解不等式 ； （Ⅱ）求证： . m 3 5 AB CD = m ( ) 2 lnf x x ax x= − − a R∈ 1a = ( )f x ( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ a xOy 1C 3 3cos 3sin x y α α = +  = α O x 2C 4cos 0ρ θ+ = 1C 2C ,A B 1 2,C C 2AOB π∠ = AOB∆ ( ) 1 1f x x m x m = − + + + 0m > 1m = ( ) 3f x ≤ ( ) ( ) 1 21f x m m + ≥+安庆市 2020 届高三第三次模拟考试 数学（文科）试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.B 解析：由条件知 ，则 ，故选 B. 2.D 解析： ，其虚部为 2.故选 D. 3.D 解析：由条件知抛物线 的离心率为 1，其焦点坐标为 ，关于 轴对称，准线 方程为 ，故选 D. 4.B 解析：由函数图象关于原点对称知该函数为奇函数，排除 C，D，又当 时， ，知答案 A 不符合，故选 B. 5.C 解析：连 ，则 ∥ ∥ ，且 ，于是所得截 面图形是梯形，设正方体棱长为 ，则 ，因此所得截面图形是等腰梯 形，故选 C. 6.C 解析：执行循环体，依次得到： ,此时不满足条件，输出 161，故选 C. 7.A 解析：由茎叶图知 12+13+15+14+19+17+16+16+23+20+ +25+28+21+20+ +24=19 15，所以 ，选 A. 8. B 解析：作出可行域，发现当 时，目标函数 取到最大值，最 大值为 . 9.A 解析：不妨设其棱长为 2，则外接球半径为 ，内切球半径为 ， 3| 2A x x = >   { }2,3A B = ( )2 12 3 3 1 21 2 iz i i ii −= + = + = ++ C ( )0,1 y 1y = − [ ]0,x π∈ ( ) 0f x ≤ 1 1,AD BC EF 1BC 1AD 1 1 1 1 2 2EF BC AD= = 2a 1 5AE D F a= = 5, 2; 17, 3; 53, 4; 161, 5a k a k a k a k= = = = = = = = a b × 2a b+ = 1,1 == yx yx z −     = 2 2 1 2 1 2 1 112 =     −× 2R = 2 3 1 r = +于是 ，故选 A. 10.C 解析：因函数 是 上的奇函数，则要使函数 是 上的奇函 数，则函数 是 上的偶函数，又 得 ，所以 ， 于 是 ， . 将 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 得 到 函 数 的图象，①错误；当 时， ，② 正确；当 时， ，于是函数 的最小值为 ， ③正确；函数 在 上单调递减，④错误.故选 C. 11. D 解析：作出函数 的图象，直线 过定点 .当 时，显然满足题意；当 时，不符合；当 时，联立 得 ， 其 ， 解 得 .综上可得实数 的取值范围是 ，故选 D. 12.A 解析：双曲线 中 ， ， ， ， 圆 半径为 ， ，∴ ， （当且仅当 共线且 在 之间时取等号．） 3 12 3 1 2 R r += × = + xy sin2= R ( )xf R ( )ϕ2sin += xy R     ∈ 2,0 πϕ 22 πϕ = 4 πϕ = ( ) xxxxxxf 2sincossin22sinsin2 ==     += π ( )      −= 42cos π xxg ( )xf 8 π      −=     −= 42sin82sin ππ xxy 8x π= 18g π  =      ∈ 2,0 π x 4 3 424 πππ ≤−≤− x ( )xg 2 2− ( )xg     8 5,8 ππ ( )f x ( )1 1 1y ax a a x= − − = − − ( )1, 1− 0a > 0a = 0a < 2 3 2 1 y x x y ax a  = − +  = − − ( )2 3 3 0x a x a− + + + = ( ) ( ) ( )( )23 4 3 3 1 0a a a a∆ = + − + = + − ≥ 3a ≤ − a ( ] ( ), 3 0,−∞ − +∞ 2 2 14 3 x y− = 2a = 3b = 4 3 7c = + = 1( 7,0)F − E 1r = (0, 3)E − 2 1 12 4AF AF a AF= + = + 1AB AE BE AE≥ − = − , ,A E B B ,A E∴ ， 当且仅当 是线段 与双曲线的交点时取等号．∴ 的最小值是 7． 故选：A． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.1 解析：由题意 ，所以 ，得 . 14. 解 析 ： 由 已 知 得 ， 于 是 ， . 15. 解析：设正方形的边长为 ，则空白部分的面积为 ，因此所求概率为 . 16. 解析：由条件知 ， 根 据 正 弦 定 理 得 ， 所 以 ， 又 于 是 ， 因 ，所以 ，又 ，所以 ，设 外接圆的半径大小为 ，根据正弦定理得 ，因此 . 三、解答题：本大题满分 60 分 17. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则 ， 由 成等比数列知 ，因 ，得 ，于是 ， 2AB AF+ 1 14 1 3AF AE AF AE≥ + + − = + + 2 2 1 3 ( 7) 3 3 7EF≥ + = − + + = A 1EF 2AB AF+ ( ) ln x af x x x +′ = + (1) 1 2f a′ = + = 1a = 2 3 52 222 =+⋅−=− bbaaba 4=⋅ba 3 2 32 4cos =×=⋅= ba baα 12 −π 2a ( )2 2 2 22 2 8 2a a a aπ π − × = −  ( )2 2 2 2 4 8 2 14 2 a a a a π π− − = − 3 2 2 22 sin 2 sin cos sin cos4 2 2 a B B B B Bc π   = + = + = +        sin sin a A c C = ( )sin sin sin cos sin sin sin cosA C B B C B C B= ⋅ + = + ( )sin sin sin cos cos sinA B C B C B C= + = + sin cos sin sinB C B C= sin 0B > tan 1C = ( )0,C π∈ 4C π= ABC∆ R 62 6 2sin sin 4 cR C π= = = 3 2R = { }na d 5 1 4 9a a d= + = 1 4 7, ,a a S 2 4 1 7 1 47a a S a a= ⋅ = × 4 0a ≠ 4 17a a= 12ad =解得 ， ， ..………6 分 （Ⅱ）因 ， 所以 ..………12 分 18. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）因 ，所以 , 因 ，所以 是正三角形，又 点是 的中点， ， 又 平面 ， ， ， 平面 ， 所以 在平面 内的射影是 ..………5 分 (Ⅱ)由 知 ， ， ， ， 设点 到平面 的距离为 ，则 ， 解得 ，所以底面圆心 到平面 的距离为 ..………12 分 19. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由条件知 ， ， 所以有 99.9%的把握认为注射此种疫苗有效. ..………6 分 （Ⅱ）由条件知将抽到的 3 只未注射疫苗且未感染病毒的小白鼠记为 A，B，C，将抽到的 3 只注射疫苗且感染病毒的小白鼠分别记为 D，E，F，从这 6 只小白鼠中随机抽取 2 只共 2,11 == da 12 −= nan ( ) 2 2 121 nnnSn =−+= ( ) ( ) ( ) ( )21 2 1 2n n n nb S n n n= − + = − + 20 1 2 20T b b b= + + + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 1 2 2 2 3 2 3 20 2 20= − + × + + × − + × + + + × ( )2 2 2 2 2 22 1 4 3 20 19 2 10= − + − + + − + × ( ) ( )20 1 201 2 3 20 20 20 210 20 2302 × += + + + + + = + = + = 4, 2 3,AB AC AC BC= = ⊥ 3ABC π∠ = OB OC= BOC∆ D OB OBCD ⊥∴ ⊥PO ABC OP CD∴ ⊥ OOBOP = ⊥∴CD PAB PC APB PD 4PA = 2 3PO = 4PB PC= = 21 1 3 2 2 3 23 3 4P OBC OBCV S PO− ∆= × × = × × × = 2 21 2 4 1 152PBCS∆ = × × − = O PBC d 1 15 23 3P OBC O PBC PBCV V S d d− − ∆= = × × = = 2 15 5d = O PBC 2 15 5 70, 100, 30, 100x y z w= = = = ( )2 2 200 30 30 70 70 32 10.828100 100 100 100K × × − ×= = >× × ×有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B， F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）等 15 种可能， 抽到的 2 只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠有（D，E），（D，F），（E，F）等 3 种情况， 所以抽到的 2 只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率为 ...………12 分 20. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）设 ，则 ，化简整理得 . 所以动点 的轨迹 的方程为 ..………4 分 （Ⅱ）设 ， 联立 ，消去 ，得 ， 根据韦达定理可得 ， ， 所以 ， 又 ， 于是 ， 所以 . 令 ，解得 因此存在 ，使 ...………12 分 3 1 15 5 = ( ),P x y ( )2 2 4 2 1 x x y − = − + 2 2 14 3 x y+ = P E 2 2 14 3 x y+ = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 1 14 3 x my x y = + + = x ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = 1 2 2 6 3 4 my y m + = − + 1 2 2 9 3 4y y m = − + ( )22 2 1 2 1 2 1 21 1 4AB m y y m y y y y= + − = + ⋅ + − ( )2 2 12 1 3 4 m m + = + 2 2 4 3,3 4 3 4 mC m m  − + +  ( ) ( )2 2 2 2 2 4 3 5 141 43 4 3 4 m m CD m m m + + = + − − =+ + 2 2 3 1 3 5 AB m CD m += + 2 2 3 1 3 3 5 5 AB m CD m += =+ 0m = 0m = AB CD = 3 521. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）当 时， ，其定义域为 ， 求导得 ， 于是当 时， ，函数 单调递减；当 时， ， 函数 单调递增，又 ，所以函数 的零点个数为 1；………5 分 （Ⅱ）法 1：因对任意 ， 恒成立，即 对任意 恒成立，于是 对任意 恒成立， 令 ，只需 . 对函数 求导，得 ，令 ， 则 ，所以函数 在 上单调递增. 又 ， 所 以 当 时 ， ， ， 函 数 单 调 递 减 ； 当 时 ， ， ， 函 数 单 调 递 增 ， 所 以 函 数 ，于是 ，即实数 的取值范围为 .………12 分 法 2：因对任意 ， 恒成立，即 对任意 恒成立.构造函数 ，对其求导，得 ， 令 ，得 （ 舍去），所以当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增. 1a = ( ) 2 lnf x x x x= − − ( )0,+∞ ( ) ( )( )2 1 2 11 2 12 1 x xx xf x x x x x − +− −′ = − − = = ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1 0f = ( )f x ( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ 2 ln 0x ax x− − ≥ ( )0,x∈ +∞ 2 lnx xa x −≤ ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )2 ln 0x xg x xx −= > ( ) min a g x ≤   ( )g x ( ) 2 2 1 lnx xg x x − +′ = ( ) ( )2 1 ln 0h x x x x= − + > ( ) 12 0h x x x ′ = + > ( )h x ( )0,+∞ ( )1 0h = ( )0,1x∈ ( ) 0h x < ( ) 0g x′ < ( )g x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x > ( ) 0g x′ > ( )g x ( ) ( ) min 1 1g x g  = =  1a ≤ a ( ],1−∞ ( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ 2 lnx x ax− ≥ ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )2 ln 0F x x x x= − > ( ) 21 2 12 xF x x x x −′ = − = ( ) 0F x′ = 2 2x = 2 2 − 20, 2x  ∈    ( ) 0F x′ < ( )F x 2 ,2x  ∈ +∞    ( ) 0F x′ > ( )F x函数 的图象是一条过原点的射线（不包括端点），旋转射线（不含端点）， 发现 与函数 的图象相切时属临界状态. 设切点为 ，则 ，整理得 ， 显然 在 上是增函数，又 ，所以 ，此时切线斜率 为 1，结合图象，可知实数 的取值范围为 .………12 分 法 3：根据题意只需 即可. 又 ，令 ，因 2 与 异号，所以必有一正根， 不妨设为 ，则 ，即 ， 当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函 数 单调递增，所以 又 在 上是减函数，又 ，所以 ， 由 得 在 上单调递增，则实数 的取值范围 为 .………..12 分 22．（本小题满分 10 分）选修 4–4 坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由条件知消去参数 得到曲线 的普通方程为 . 因 可 化 为 ， 又 ， 代 入 得 ，于是曲线 的直角坐标方程为 .………5 分 （Ⅱ）由条件知曲线 均关于 轴对称，而且外切于原点 ， 不妨设 ，则 ， ( )0y ax x= > ( )0y ax x= > ( )F x ( )2 0 0 0, lnx x x− 2 0 0 0 0 0 ln 0 120 x x xx x − − = −− 2 0 0ln 1 0x x+ − = ( ) 2 ln 1h x x x= + − ( )0,+∞ ( )1 0h = 0 1x = a ( ],1−∞ ( ) min 0f x  ≥  ( ) 21 2 12 x axf x x a x x − −′ = − − = ( ) 0f x′ = 1− 0x 2 0 02 1 0x ax− − = 2 0 02 1x ax− = ( )00,x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0min ln 1 ln 0f x f x x ax x x x  = = − − = − + − ≥  ( ) 2 ln 1g x x x= − − + ( )0,+∞ ( )1 0g = 00 1x< ≤ 2 0 02 1x ax− = 2 0 0 0 0 2 1 12xa xx x −= = − ( ]0 0,1x ∈ a ( ],1−∞ α 1C ( )2 23 9x y− + = 4cos 0ρ θ+ = 2 4 cos 0ρ ρ θ+ = 2 2 2 , cosx y xρ ρ θ= + = 2 2 4 0x y x+ + = 2C 2 2 4 0x y x+ + = 1 2,C C x O ( )1, 0 2A πρ θ θ <