理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则复数 的共轭复数
A． B． C． D．
3．记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
A．64 B．48 C．36 D．24
4．函数 的大致图像为
A． B． C． D．
{ | ln 1}A x x= < { | 1 2}B x x= − < < A B = (0, )e ( 1,2)− ( 1, )e− (0,2) 2 3 z i = − z z = 3 1 2 2 i− 1 3 2 2 i− 3 1 2 2 i+ 1 3 2 2 i+ { }na n nS 17 272S = 3 9 15a a a+ + = cosy x x=
5．设 为双曲线 上一点， 分别为左、右焦点，若 ，则
A．1 B．11 C．3 或 11 D．1 或 15
6．已知 ，则
A． B． C． D．
7．已知向量 满足 ，且 在 方向上的投影是 ，则实数
A． B．2 C． D．
8．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．264 B．270 C．274 D．282
9．已知 是定义在 上的偶函数，且 ，如果当
时， ，则
A．3 B．-3 C．2 D．-2
10．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边
为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从 这 个
数中随机抽取 个数，则这三个数为勾股数的概率为
A． B． C． D．
11．设 ，则
A． B．
C． D．
P
2 2
14 12
x y− = 1 2,F F 1| | 7PF = 2PF =
tan 3α = 2cos sin 2α α+ =
7 2
10
7
10
7 2
10
− 7
10
−
,a b 2 (1,2 ), (1, )a b m b m+ = = a b 2 5
5
m =
2± 5± 5
( )f x R ( 5) ( 3)f x f x+ = −
[0,4)x∈ 2( ) log ( 2)f x x= + (766)f =
1~15 15
3
1
910
3
910
4
455
6
455
0. 23
1log 0.6, log2 0.6m n= =
m n mn m n− > > + m n m n mn− > + >
mn m n m n> − > + m n m n mn+ > − >
12．函数 的零点个数是
A．0 B．1 C．2 D．与 a 有关
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．设向量 ， ，若 ，则 ______.
14． 的展开式中， 的系数为______.
15．将 名学生分配到 个社区参加社会实践活动，每个社区至少分配一人，则不同的分配方
案有__________种．（用数字填写答案）
16．数列 满足 ，且对于任意的 都有 ，则
______.
三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．(12 分)如图，已知 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且
，点 是 的中点， ，交 于点 ，且 ，
.
（I）求 ；
（II）求 的面积.
( ) 1 1
2 2x xa af x e e x
+ −= + − −
(2,4)m = ( 3, )( )n Rλ λ= − ∈ m n⊥ λ =
( ) ( )2 72 3 1x x− − 3x
5 3
{ }na 1 3a = *n N∈ 1 1 1n na a a n+ = + + −
1 2 985
1 1 1
a a a
+ + + =
ABC△ A B C a b c
sin ( )sin sina A c a C b B+ − = D AC DE AC⊥ AB E 2BC =
6
2DE =
B
ABC△
18．(12 分)某大型工厂招聘到一大批新员工.为了解员工对工作的熟练程度，从中随机抽取 100
人组成样本，统计他们每天加工的零件数，得到如下数据：
将频率作为概率，解答下列问题：
(I)当 时，从全体新员工中抽取 2 名，求其中恰有 1 名日加工零件数达到 240 及
以上的概率；
(II)若根据上表得到以下频率分布直方图，估计全体新员工每天加工零件数的平均数为 222 个，
求 的值(每组数据以中点值代替)；
(III)在(2)的条件下，工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级：日加工零件数未达 200 的员
工为 C 级；达到 200 但未达 280 的员工为 B 级；其他员工为 A 级．工厂打算将样本中的员工
编入三个培训班进行全员培训：A，B，C 三个等级的员工分别参加高级、中级、初级培训班，
预计培训后高级、中级、初级培训班的员工每人的日加工零件数分别可以增加 20，30，50．现
从样本中随机抽取 1 人，其培训后日加工零件数增加量为 X，求随机变量 X 的分布列和期
望．
19．(12 分)在三棱柱 中， ，侧面 底面 ，
D 是棱 的中点.
15, 25a b= =
, ,a b c
ABC A B C′ ′ ′− AB BC CA AA′= = = ACC A′ ′ ⊥ ABC
BB′
（I）求证：平面 平面 ；
（II）若 ，求二面角 的余弦值.
20．(12 分)已知椭圆 E： 过点 Q（ ），椭圆上的动点 P 与其短
轴两端点连线的斜率乘积为－ ．
（I）求椭圆 E 的方程；
（II）设 F1，F2 分别为 E 的左、右焦点，直线 l 过点 F1 且与 E 相交于 A，B 两点，当
＝2 时，求 的面积．
21．(12 分)已知函数 ，若曲线 在点 处的切线
方程为 .
（I）求实数 、 的值；
（II）证明： .
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 以 为极点， 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求圆 的普通方程；
（II）直线 的极坐标方程是 ，射线 ： 与圆 的交点为 、
，与直线 的交点为 ,求线段 的长.
DA C′ ⊥ ACC A′ ′
60A AC′∠ = A BC B′− −
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2 3,2 2
1
2
2 2·F A F B
2ABF∆
( ) ln ( 0)axf x e b x b a= − + > ( )y f x= (1, (1))f
2 2(2 1) 2 0e x y e− − + − =
a b
( ) 3 ln 2f x > +
xoy C ( )3cos
3 3sin
x
y
为参数
φ φφ
=
= + O x
C
l 2 sin 4 36
πρ θ − = OM 5
6
πθ = C O
P l Q PQ
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ．
(I)当 时，画出函数 的图象；
(II)不等式 恒成立，求 m 的取值范围．
( ) 1f x x x m= − + −
1m = − ( )y f x=
( ) 2 1 2f x m≥ + −
理科数学参考答案
1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．B 7．A 8．A 9．C 10．C
11．B 12．A
13． 14．-455 15． 16．
17．解（1） ，由 得 ，
由余弦定理得 ，
， :
（2）连接 ，如下图： 是 的中点， ， ，
，
在 中，由正弦定理得 ，
， ，
， ，
， ， ，
， ， ，
3
2 150 985
987
( )sin sin sina A c a C b B+ − = sin sin sin
a b c
A B C
= = 2 2 2a c ac b+ − =
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
+ −= =
0 B π< = = −
A BC B′− − 5
5
−
( )1 0,B b ( )2 0,B b− ( ),P x y
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
1 2
2 2
2PB PB
y b y b y bk k x x x
− + −⋅ = ⋅ =
2
2
1
2
b
a
= − = − 2 22a b=
Q E 2 2
1 3 12 4a b
+ = 2 2a = 2 1b = E
2
2 12
x y+ =
l 1x my= − 2
2 12
x y+ = ( )2 22 2 1 0m y my+ − − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2
2
2
my y m
+ = + 1 2 2
1
2y y m
= − +
.⑤
把④代入⑤得 ，解得 .
由对称性不妨取 ，则③变为 ，解得 ， .
的面积 .
21．（1） ， ，
又由题意得 ， ，所以 ，
所以 可得， ，构造函数 ，
则 在区间 内恒大于 0，所以 在区间 内单调递增，
又 ，所以关于 的方程 的根为 ，
把 代入 ，解得 ，所以 ， .
（2）证明：由（1）知 ，则 ，
因为 在区间 单调递增， ， ，
所以 有唯一实根，记为 ，即 ，所以 ，
由 得 ，整理得 ，
( ) ( )2 2 1 1 2 21, 1,F A F B x y x y⋅ = − ⋅ − ( ) ( )1 2 1 21 1x x y y= − ⋅ − +
( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 1 22 2 1 2 4my my y y m y y m y y= − ⋅ − + = + − + +
2
2 2 2
7 22
mF A F B m
−⋅ = =+
1m = ±
1m = 23 2 1 0y y− − = 1
1
3y = − 2 1y =
2ABF∆ ( )2 1
1 1 42 12 3 3S y y= × − = + =
( ) ln ( 0)axf x e b x b x= − + > ( )' ax bf x ae x
= −
( ) 21 1f e= + ( ) 2' 1 2 1f e= − ( )
( )
2
2
1 1
2 1 2
a
a
e b e
ae b e
+ = + − = −
( ) ( )1 2+ ( ) 21 3aa e e+ = ( ) ( ) 21 3 ( 0)xg x x e e x= + − >
( ) ( )' 2 xg x x e= + ( )0,+∞ ( )g x ( )0,+∞
( )2 0g = a ( ) 21 3aa e e+ = 2a =
2a = 2 1ae b e+ = + 1b = 2a = 1b =
( ) 2 ln 1xf x e x= − + ( ) 2 1' 2 xf x e x
= −
( ) 2 1' 2 xf x e x
= − ( )0,+∞ ( )' 0.1 0f < ( )' 1 0f >
( )' 0f x = 0x 02
0
1 12
xe x
= >
0
10, 2x ∈
02
0
1
2
xe x
= 02
0
1ln ln 2
xe x
=
0 0ln 2 ln2x x− = +
因为 时， ，函数 单调递减， 时， ，函数
单调递增，
所以 ，当且仅当 ，
即 时取等号，因为 ，所以 ，即 .
22． 圆 的参数方程为 消去参数可得圆 的普通方程为
.
化圆 的普通方程为极坐标方程得 ，
设 ,则由 解得 ， ，
设 ,则由 解得 ， ，
.
23．（1）当 时， ，画出图像如下图所示：
（2）因为 ，所以不等式
( )00,x x∈ ( )' 0f x < ( )f x ( )0 ,x x∈ +∞ ( )' 0f x >
( )f x
( ) ( ) 02
0 0 0min
0
1ln 1 2 ln2 1 3 ln22
xf x f x e x xx
= = − + = + + + ≥ + 0
0
1 22 xx
=
0
1
2x = 0
10, 2x ∈
( )min 3 ln2f x > + ( ) 3 ln2f x > +
( )1 C ( )3
3 3
x cos
y sin
φ φφ
=
= +
为参数 C
( )22 3 9x y+ − =
( )2 C 6sinρ θ=
( )1 1,P ρ θ
6
5
6
sinρ θ
πθ
= =
1 3ρ = 1
5
6
πθ =
( )2 2,Q ρ θ
2 4 36
5
6
sin
πρ θ
πθ
− =
=
2 4ρ = 2
5
6
πθ =
2 1 1PQ ρ ρ∴ = − =
1m = − ( )
2 , 1
2, 1 1
2 , 1
x x
f x x
x x
− < − = − ≤ ≤ >
( ) 1 1f x x x m m= − + − ≥ − ( ) 1 2 1 2f x x x m m= + + − ≥ + −
成立，等价于 成立，该不等式转化为 或 或
，解得 .
1 2 1 2m m− ≥ + −
1
2
2 2
m
m
≤ −
− − ≤
1 12
3 2
m
m
− < ≤ ≤ 1 2 2 m m >
+ ≤
24 3m− ≤ ≤
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