四川省遂宁市射洪中学2020届高三数学（文）5月第三次模拟试卷（Word版带答案）

文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．已知复数 ，则复数 的共轭复数 A． B． C． D． 3．记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 A．64 B．48 C．36 D．24 4．函数 的大致图像为 A． B． C． D． 5．设 为双曲线 上一点， 分别为左、右焦点，若 ，则 A．1 B．11 C．3 或 11 D．1 或 15 6．已知 ，则 A． B． C． D． { | ln 1}A x x= < { | 1 2}B x x= − < < A B = (0, )e ( 1,2)− ( 1, )e− (0,2) 2 3 z i = − z z = 3 1 2 2 i− 1 3 2 2 i− 3 1 2 2 i+ 1 3 2 2 i+ { }na n nS 17 272S = 3 9 15a a a+ + = cosy x x= P 2 2 14 12 x y− = 1 2,F F 1| | 7PF = 2PF = tan 3α = 2cos sin 2α α+ = 7 2 10 7 10 7 2 10 − 7 10 − 7．已知向量 满足 ，且 在 方向上的投影是 ，则实数 A． B．2 C． D． 8．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．264 B．270 C．274 D．282 9.若实数 满足 ，则 的取值范围是 A． B． C. D． 10.已知 是定义在 上的偶函数，且 ，如果当 时， ，则 A．3 B．-3 C．2 D．-2 11．设 ，则 A． B． C． D． 12．函数 的零点个数是 A．0 B．1 C．2 D．与 a 有关 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．设向量 ， ，若 ，则 ______. 14．函数 在 处的切线方程的纵截距为______. 15.在棱长为 2 的正方形 中， 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是 的中点，那么异面直线 和 所成角的余弦值等于______. 16．数列 满足 ，且对于任意的 都有 ，则 ______. ,a b  2 (1,2 ), (1, )a b m b m+ = =  a b 2 5 5 m = 2± 5± 5 ,x y 1 0 2 2 0 2 x y x y x − − ≤  + + ≤  ≥ − 3 2 yz x −= − 3 ,4  +∞  3 ,2  +∞  3 ,24      3 ,22      ( )f x R ( 5) ( 3)f x f x+ = − [0,4)x∈ 2( ) log ( 2)f x x= + (766)f = 0. 23 1log 0.6, log2 0.6m n= = m n mn m n− > > + m n m n mn− > + > mn m n m n> − > + m n m n mn+ > − > ( ) 1 1 2 2x xa af x e e x + −= + − − (2,4)m = ( 3, )( )n Rλ λ= − ∈ m n⊥  λ = xxxf ln)( = ex = 1 1 1 1ABCD A B C D− O 1,CC AD OE 1FD { }na 1 3a = *n N∈ 1 1 1n na a a n+ = + + − 1 2 985 1 1 1 a a a + + + = 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．(12 分)如图，已知 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ，点 是 的中点， ，交 于点 ，且 ， . （I）求 ； （II）求 的面积. 18．(12 分)目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效 防控措施，某医院组织专家统计了该地区 500 名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过 汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者， 称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”. （I）求这 500 名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算 出这 500 名患者中“长潜伏者”的人数； （II）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上 述 500 名患者中抽取 300 人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是 否有 97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关； （III）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的 300 人中分层选取 7 位 60 岁以下的患者做Ⅰ期临床试验，再从选取的 7 人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两 人中恰有 1 人为“长潜伏者”的概率. 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ABC△ A B C a b c sin ( )sin sina A c a C b B+ − = D AC DE AC⊥ AB E 2BC = 6 2DE = B ABC△ ( )2 0P K k≥ 2.07 2 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．(12 分)如图，在多面体 中，平面 平面 .四边形 为正方 形，四边形 为梯形，且 ， ， ， . （I）求证： ； （II）求直线 与平面 所成角的正弦值. 20．(12 分)已知椭圆 E： 过点 Q（ ），椭圆上的动点 P 与其短 轴两端点连线的斜率乘积为－ ． （I）求椭圆 E 的方程； （II）设 F1，F2 分别为 E 的左、右焦点，直线 l 过点 F1 且与 E 相交于 A，B 两点，当 ＝2 时，求 的面积． 21．(12 分)已知函数 ，若曲线 在点 处的切线 方程为 . （I）求实数 、 的值； 0k 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ABCDEF ADEF ⊥ ABCD ADEF ABCD / /AD BC 90BAD∠ = ° 1AB AD= = 3BC = AF CD⊥ BF CDE 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 3,2 2 1 2 2 2·F A F B  2ABF∆ ( ) ln ( 0)axf x e b x b a= − + > ( )y f x= (1, (1))f 2 2(2 1) 2 0e x y e− − + − = a b （II）证明： . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 以 为极点， 轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系. （I）求圆 的普通方程； （II）直线 的极坐标方程是 ，射线 ： 与圆 的交点为 、 ，与直线 的交点为 ,求线段 的长. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ． (I)当 时，画出函数 的图象； (II)不等式 恒成立，求 m 的取值范围． ( ) 3 ln 2f x > + xoy C ( )3cos 3 3sin x y 为参数 φ φφ =  = + O x C l 2 sin 4 36 πρ θ − =   OM 5 6 πθ = C O P l Q PQ ( ) 1f x x x m= − + − 1m = − ( )y f x= ( ) 2 1 2f x m≥ + − 文科数学参考答案 1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．B 7．A 8．A 9．C 10．C 11．B 12．A 13． 14． 15． 16． 17．解（1） ，由 得 ， 由余弦定理得 ， ， : （2）连接 ，如下图： 是 的中点， ， ， ， 在 中，由正弦定理得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 18．（1）平均数 . “长潜伏者”即潜伏期时间不低于 6 天的频率为 0.5 所以 500 人中“长潜伏者”的人数为 人 （2）由题意补充后的列联表如图： 短潜伏者 长潜伏者 合计 60 岁及以上 90 70 160 60 岁以下 60 80 140 3 2 e− 5 15 987 985 ( )sin sin sina A c a C b B+ − = sin sin sin a b c A B C = = 2 2 2a c ac b+ − = 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac + −= = 0 B π< × × × ( )2 5.024 0.025P k ≥ ≈ , ,a b c ( ),a b ( ),a c ( ),a D ( ),a E ( ),a F ( ),a G ( ),b c ( ),b D ( ),b E ( ),b F ( ),b G ( ),c D ( ),c E ( ),c F ( ),c G ( ),D E ( ),D F ( ),GD ( ),E F ( ),E G ( ),F G 12 4 21 7P = =  ADEF ∴ AF AD⊥  ADEF ⊥ ABCD ADEF  ABCD AD= ∴ AF ⊥ ABCD AF CD⊥ BC G 1BG = / /BG AD BG AD= ∴ / /BG EF BG EF= BGEF / /GE BF GE BF= 1AB AF= = 90BAF∠ = ° 2GE BF= = G GH CD⊥ H GH ⊥ CDE EH GEH∠ BF CDE Rt DGC△ 2 5 GH = 2 105sin 52 GHGEH GE ∴ ∠ = = = ∴ BF CDE 10 5 20．解：（1）设 ， 为短轴两端点， ，则 . 由于 ，∴ .① 又 在 上，∴ .②解①②得 ， .所以椭圆 的方程为 . （2）设直线 ： ，代入 得 .③ 设 ， ，则 ， .④ .⑤ 把④代入⑤得 ，解得 . 由对称性不妨取 ，则③变为 ，解得 ， . 的面积 . 21．（1） ， ， 又由题意得 ， ，所以 ， 所以 可得， ，构造函数 ， 则 在区间 内恒大于 0，所以 在区间 内单调递增， 又 ，所以关于 的方程 的根为 ， 把 代入 ，解得 ，所以 ， . （2）证明：由（1）知 ，则 ， 因为 在区间 单调递增， ， ， ( )1 0,B b ( )2 0,B b− ( ),P x y 2 2 2 2 1x y a b + = 1 2 2 2 2PB PB y b y b y bk k x x x − + −⋅ = ⋅ = 2 2 1 2 b a = − = − 2 22a b= Q E 2 2 1 3 12 4a b + = 2 2a = 2 1b = E 2 2 12 x y+ = l 1x my= − 2 2 12 x y+ = ( )2 22 2 1 0m y my+ − − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2 2 2 my y m + = + 1 2 2 1 2y y m = − + ( ) ( )2 2 1 1 2 21, 1,F A F B x y x y⋅ = − ⋅ −  ( ) ( )1 2 1 21 1x x y y= − ⋅ − + ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 1 2 4my my y y m y y m y y= − ⋅ − + = + − + + 2 2 2 2 7 22 mF A F B m −⋅ = =+   1m = ± 1m = 23 2 1 0y y− − = 1 1 3y = − 2 1y = 2ABF∆ ( )2 1 1 1 42 12 3 3S y y= × − = + = ( ) ln ( 0)axf x e b x b x= − + > ( )' ax bf x ae x = − ( ) 21 1f e= + ( ) 2' 1 2 1f e= − ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 2 a a e b e ae b e  + = + − = − ( ) ( )1 2+ ( ) 21 3aa e e+ = ( ) ( ) 21 3 ( 0)xg x x e e x= + − > ( ) ( )' 2 xg x x e= + ( )0,+∞ ( )g x ( )0,+∞ ( )2 0g = a ( ) 21 3aa e e+ = 2a = 2a = 2 1ae b e+ = + 1b = 2a = 1b = ( ) 2 ln 1xf x e x= − + ( ) 2 1' 2 xf x e x = − ( ) 2 1' 2 xf x e x = − ( )0,+∞ ( )' 0.1 0f < ( )' 1 0f > 所以 有唯一实根，记为 ，即 ，所以 ， 由 得 ，整理得 ， 因为 时， ，函数 单调递减， 时， ，函数 单调递增， 所以 ，当且仅当 ， 即 时取等号，因为 ，所以 ，即 . 22． 圆 的参数方程为 消去参数可得圆 的普通方程为 . 化圆 的普通方程为极坐标方程得 ， 设 ,则由 解得 ， ， 设 ,则由 解得 ， ， . 23．（1）当 时， ，画出图像如下图所示： （2）因为 ，所以不等式 ( )' 0f x = 0x 02 0 1 12 xe x = > 0 10, 2x  ∈   02 0 1 2 xe x = 02 0 1ln ln 2 xe x = 0 0ln 2 ln2x x− = + ( )00,x x∈ ( )' 0f x < ( )f x ( )0 ,x x∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x ( ) ( ) 02 0 0 0min 0 1ln 1 2 ln2 1 3 ln22 xf x f x e x xx = = − + = + + + ≥ + 0 0 1 22 xx = 0 1 2x = 0 10, 2x  ∈   ( )min 3 ln2f x > + ( ) 3 ln2f x > + ( )1 C ( )3 3 3 x cos y sin φ φφ =  = + 为参数 C ( )22 3 9x y+ − = ( )2 C 6sinρ θ= ( )1 1,P ρ θ 6 5 6 sinρ θ πθ = = 1 3ρ = 1 5 6 πθ = ( )2 2,Q ρ θ 2 4 36 5 6 sin πρ θ πθ   − =     = 2 4ρ = 2 5 6 πθ = 2 1 1PQ ρ ρ∴ = − = 1m = − ( ) 2 , 1 2, 1 1 2 , 1 x x f x x x x − < − = − ≤ ≤  > ( ) 1 1f x x x m m= − + − ≥ − ( ) 1 2 1 2f x x x m m= + + − ≥ + − 成立，等价于 成立，该不等式转化为 或 或 ，解得 . 1 2 1 2m m− ≥ + − 1 2 2 2 m m  ≤ − − − ≤ 1 12 3 2 m m − < ≤  ≤ 1 2 2 m m >  + ≤ 24 3m− ≤ ≤