2020届高三数学（理）5月月考试题（Word版带答案）

1 v=vx+i i=i-1 否 是 输出v i≥0? i=n-1 输入n，x 结束 开始 v=1 绝密★启用前【考试时间：5 月 15 日 15:00-17：00】 高 2020 级高三下期 5 月月考 理 科 数 学 试 题 卷 第 I 卷（选择题) 一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分,每小题有且只有一项是正确的）. 1.已知复数 ，则 ( ) A． B． C． D． 2.已知非空集合 ，则满足条件的集合 的个数是 ( ) A． B． C． D． 3.函数 过点 的切线方程为 ( ) A. B． C． D. 4.双曲线 的渐近线与圆 的位置关系是 ( ) A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 5.已知 ，则 ( ) A． B． C． D． 6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县） 人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶 算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了 利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 ， 的 值分别为 ， ，则输出 的值为（ ） A. B. C. D. 7.甲、乙、丙、丁 4 人排成一纵列，现已知甲不排首位，则乙不 排末位的概率为 ( ) A． B． C． D． 8.下列说法中正确的个数是 ( ) ①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行 ②三个平面最多将空间分为 8 个部分 ③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形 ④过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直 )2)(1( iiz +−= =⋅ zz 2 5 10 18 { }022 > ba 1=+ ba ba 1 1 3 ++ ，于点，中，在 DBCADAABC ⊥=∠∆ 090 ACABAD 4 3 4 1 += =∠C 7 CBA 、、 32=AB O OABC −− 060 OC OAB ABCO −3 三、解答题：本大题 6 个小题，共 70 分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内.必须写出必要的文字 说明、演算步骤或推理过程. 17.王先生家住杏坛小区，他工作在科学城，从家开车到公司上班路上有 两条路线， 路线上有 三个路口，遇到红灯的概率均为 ； 路线上有 两个路口，遇到红灯的概率依次为 .各路口遇到 红灯情况相互独立. (1)若走 路线，求最多遇到 次红灯的概率； (2)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助王先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并 说明理由． 18.数列 满足 ， 且 . （1）设 ，证明：数列 是等差数列； （2）设 ，求数列 的前 项和为 . 19. 如图，在三棱台 中， 分别为 上的点， 平面 （1） （2） 20. （原创）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，过焦点 的直线交抛物线 于 ， （1）若 垂直 于点 ，且 ，求 的长; 21, LL 1L 321 ,, AAA 2 1 2L 21, BB 5 3,4 3 1L 1 { }na 11 =a 32 =a nn nn nn n aa aa aa a − −=− + + ++ + 1 1 12 2 2 ( )∗∈ Nn 1 n n n n ab a a+ = − { }nb ( ) 1 21 + += nn n n aa ac { }nc n nS DEFABC − ，EFBC 2= ,BCAB ⊥ ,CFBC ⊥ HG、 BCAC、 ,// ABEDFGH 平面 ;EGHBC 平面求证： ⊥ ,22, ===⊥ CFBCABCFAB若 .的余弦值求二面角 DFGE −− E 2 4y x= F l F E BA、 1AA l 1A 61 π=∠AFA AF4 （2） 为坐标原点,求 的外心 的轨迹方程. 21.（原创）已知 （1）当 时，求 在 上的最大值； （2）若对任意 均有两个极值点 ， （i） （ii） 注： 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4 - 4 坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 . （1）求曲线 的极坐标方程； （2）射线 : （ ）与曲线 交于两点 ,并与曲线 交于点 ， 求 的取值范围. 23.选修 4 - 5 不等式选讲（10 分） 已知函数 . （1）当 时，解不等式 ； （2）若 ，求证： O OAB∆ C ).1(2 1)( 2 −−−= xbaxexf x 4,2 == ba )(xf [ ]2,1 )(,0 xfa > )(, 2121 xxxx < 的取值范围；求实数b .)()( 21 exfxfea >+= 时，证明：当 .71828.2 为自然对数的底数⋅⋅⋅=e xOy 1C 1 cos 1+sin x y φ φ = +  = φ x 2C 2)sin1( 22 =+ θρ 1C OA θ α= 0 2 πα< < 1C BA, 2C C OC OBOA ⋅ axxf −=)( 2−=a 42)( 2 +−< xxxf 2)( ≤xf ( ) .12)2( +≤+ aaxf5 高 2020 级高三下学期 5 月月考理科数学参考答案 一.选择题：CCDADB；DBBBCA. 二.填空题：13. 14. 15. 16. 三.解答题: 17.解　(1)设走 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件， 则 (2)设选择 路线遇到红灯次数为 ，随机变量 服从二项分布， ～ ， 所以 设选择 路线遇到红灯次数为 , 的可能取值为 . 随机变量 的分布列为 因为 ，所以选择 路线上班最好． 18.解：（1） 2 1 32 + 060 3 1L .2 1 2 1 2 1 2 1)( 2 1 3 3 0 3 =    ××+    ×= CCAP 1L X X X      2 13，B ( ) .2 3 2 13 次=×=XE 2L Y Y 2,1,0 ( ) ( ) ( ) .20 9 5 3 4 32 20 9 5 3 4 1 5 2 4 31 10 1 5 2 4 10 =×== =×+×== =×== YP YP YP ， ， Y Y 0 1 2 P 1 10 9 20 9 20 .20 27 20 9220 9110 10)( 次=×+×+×=YE )()( YEXE > 2L nn nn nn n aa aa aa a − −=− + + ++ + 1 1 12 2 2 6 即 ，所以数列 是公差为 1 的等差数列. （2） ,即 ，累乘可得 19. 证明：因为平面 ， ， ，所以 . 因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ， 因为 所以 ， 为 的中点． 同理 为 的中点，所以 ，因为 ，所以 ， 又 且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ， 又 ，所以 . 又 所以 . 分别以 所在的直线为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 , 则 设平面 的一个法向量为 ， 因为 则 ，取 ． 1 1n nb b+ − = { }nb nn n nn nnn nn nn nn n nn nnn nn n aa a aa aaa aa aa aa a aa aaa aa a −+=− +−=− − −+=− +−=− ++ + + + ++ + ++ +++ ++ + 11 1 1 1 12 1 12 112 12 2 2222 ,1 1 112 1 +−=−∴ +++ + nn n nn n aa a aa a 2 1,2 1 1 −== nbb n所以因为 12 12,2 1 1 1 − +=−=− + + n n a anaa a n n nn n 12 −= nan ( )      +−−+=−=+= + 12 1 12 1 2 1114 41 2 2 1 2 nnn n aa ac nn n n 1221 ++=+⋅⋅⋅++= n nncccS nn ( )1 ABEDFGH 平面// BEABEDBCFE =∩平面平面 HFGHFBCFE =∩平面平面 HFBE // EFBC // BHFE EFBH = ，EFBC 2= BHBC 2= H BC G AC ABGH // BCAB ⊥ BCGH ⊥ EFHC // EFHC = EFCH HECF // BCCF ⊥ BCHE ⊥ ，平面 HGHHEEGHGHHE =∩⊂ ,, .EGHBC 平面⊥ ( ) GHHEABGHHECFCFAB ⊥⊥ ，所以解：因为 //,//,2 HEHBHG ,, x y z xyzH − )101(),001(),110(),100( ，，，，，，，， DGFE − EFG ),, 111 zyxm （= )101(),010( −=−= ，，，， EGEF    =− =− 0 0 11 1 zx y )1,0,1(,11 == mx 得取7 设平面 的一个法向量为 ， 因为 则 ，取 , 21.解 FGD ),,( 222 zyxn = ( ) )10,0(111 ，，，， =−= GDFG    = =−+ 0 0 2 222 z zyx )0,1,1(12 −== nx ，得 2 1,cos =⋅= nm nmnm .2 1的余弦值为角为锐二面角，所以二面又二面角 DFGEDFGE −−−− ( ) 3 4 6cos 2 1 ,3 34 6cos ,66120 1 1 1111 ==== =∠=∠=∠= ππ ππ FA AFpFA FOAFAAAFAAAAF 得，由解： ( ) ( ) ( ) 2 58 2 1 44)22(2 2 5222 42,42 24,1,2422,422 044 4 1 ),(1:),,(,2,,2,2 2 322 2 22 33 222 2 2 22 +=∴ =+=+++++−= +=+++= ++−=++−= +=+−==+−=⋅=+ =−−    = += ∈+= yxC tbaaaabbaay tabbax bbxbyaaxay OBOA tbaabtbabatba tyy xy tyx RttyxAByxCbbBaaA 的轨迹方程为外心 联立可得 的中垂线方程分别为、易得 即有 得由 直线设 ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] 1)1()( 2,1,0)( 08)2(2,1)( 02)(,42)( 2,1),1(41 max ' 2'' ''' 2 −==∴ +∞→+∞→>=− =>∴ ↓+∞↑ −=−= >−> +=>∴ >↑∞+∴ >=↑∞+ ≥−+=+−−= >−+−+= −+−+=+−>+∴ −>∴ ↓