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绝密★启用前【考试时间：5 月 15 日 15:00-17：00】
高 2020 级高三下期 5 月月考
文 科 数 学 试 题 卷
数学试题共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选
涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.
1. 已知集合 ， ，且 ，那么 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2. 若“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．当 时，下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线 的中心为原点，点 是双曲线 的一个焦点，点 到渐近线的距离为 1，则 的
方程为（ ）
A． B． C． D．
5．数列 满足 ， ， ，则 （ ）
A．5 B．9 C．10 D．15
6．设变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“今有勾八步，股一十
五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15 步，问其内切圆的
直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）
{ }1A x x= > { }B x x m= < A B = R m
1- 0 1 2
:p x a> : 1q x > 3x < − a
1a≥ 1a≤ 3a −≥ 3a −≤
0 1x＜ ＜
3
33 logxx x＜ ＜ 3
33 logx x x＜ ＜ 3
3log 3xx x＜ ＜ 3
3log 3xx x＜ ＜
C ( )2, 0F C F C
2 2 1x y− =
2
2 12
yx − =
2 2
12 3
x y− =
2 2
13 3
x y− =
{ }na 1 1a = 2 3a = ( )1 2n na n aλ+ = − ( )1,2,n = ⋅⋅⋅ 3a =
x y
2 2 0
2 4 0
1 0
x y
x y
x
+ −
− +
−
≥
≥
≤
3 2z x y= −
6− 4− 2 32
A． B． C． D．
8．将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到 的图象，则 为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
9．已知函数 ，则 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，
多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了
圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽
的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 的值为（ ）．
（参考数据： ， ）
A．12 B．18
C．24 D．32
11．已知过抛物线 焦点 的直线 交抛物线于 、 两点（点 在第一象限），若 ，则直
线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
12 ． 已 知 函 数 ， 若 方 程 有 四 个 不 同 的 解 ， ， ， ， 且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13．已知 为实数， 为虚数单位，若 为实数，则 ________．
14．已知正项数列 的前 n 项和为 ，若以 为坐标的点在曲线 上，则数列 的
3
10
π 3
20
π
20
π
10
π
sin 2y x=
4
π ( )f x 2f
π
1−
( ) 1
ln 1f x x x
= − − ( )y f x=
n
sin15 0.2588° = sin 7.5 0.1305° =
2 4y x= F l A B A 3AF FB=
l
3 3
2
1
2
2
( )
2
1 0
log 0
x xf x x x
+= >
， ≤
，
( )f x a= 1x 2x 3x 4x
1 2 3 4x x x x< < < ( )3 1 2 2
3 4
1x x x x x
+ +
( )1,− +∞ [ )1,1− ( ),1−∞ ( ]1,1−
b i 2 i
1 i
b+ ⋅
− b =
{ }na nS ( ),n na S ( )1 12y x x= + { }na3
通项公式为________．
15．在 中， ， ， ， 、 为 的三等分点，则
__________．
16．已知 ， ，有下列 4 个命题：
①若 ，则 的图象关于直线 对称；
② 与 的图象关于直线 对称；
③若 为偶函数，且 ，则 的图象关于直线 对称；
④若 为奇函数，且 ，则 的图象关于直线 对称．
其中正确的命题为__________．（填序号）
三、解答题：（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知向量
(1)若 ，求 的值；
(2)若向量 ，求 的值.
18．新高考取消文理科，实行“ ”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的 3 门普通高中学
业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查 50 人（把年龄在
称为中青年，年龄在 称为中老年），并把调查结果制成下表：
年龄（岁）
频数 5 15 10 10 5 5
了解 4 12 6 5 2 1
（1）请根据上表完成下面 列联表，并判断是否有 95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老
年）有关？
了解新高考 不了解新高考 总计
中青年
中老年
ABC△ AB AC AB AC+ = − 2AB = 1AC = E F BC AE AF =⋅
( )y f x= x∈R
(1 2 ) (1 2 )f x f x+ = − ( )f x 1x =
( 2)y f x= − (2 )y f x= − 2x =
( )f x (2 ) ( )f x f x+ = − ( )f x 2x =
( )f x ( ) ( 2)f x f x= − − ( )f x 1x =
( )1 3, , sin ,cos , ,2 2 3 2m n x x x
π π = − = ∈
m n⊥ x
1
3m n⋅ = 5sin(2 )3x
π−
3 3+
[15,45) [45,75)
[15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75)
2 2×4
总计
附： .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（2）现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 2 人进行深入调查，求事件 A：
“恰有一人年龄在 ”发生的概率.
19．平行四边形 中， ， ， 分别是 的中点.将四边形 沿着
折起，使得平面 平面 ，得到三棱柱 ，
（1）证明： ；
（2）若 ，求三棱柱 的体积.
20．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 1 的直线 截得圆： 的弦长
为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若过点 作互相垂直的两条直线 、 ， 与抛物线 交于 、 两点， 与抛物线 交于 、 两
点， 、 分别为弦 、 的中点，求 的最小值.
21．已知函数 .
（1）当 时，判断 在 上的单调性并加以证明；
（2）若 ， ，求 的取值范围.
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
( )2P K k≥
k
[ )45,55
ABCD 3A
π∠ = 2AB BC= ,E F ,BC AD DCEF EF
ABEF ⊥ DCEF AFD BEC−
DB EF⊥
2AB = AFD BEC−
( )2: 2 0C y px p= > F F l 2 2 2x y p+ =
2 14
C
F 1l 2l 1l C A B 2l C D E
M N AB DE MF NF⋅
2( ) sin 2xf x e x ax x= + − −
0a = ( )f x [ )0,+∞
0x ≥ ( ) 1f x ≥ a5
请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号.
22．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为
（ 为参数）.
（1）当 时，求直线 与曲线 的普通方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两点，直线 倾斜角的范围为 ，且 点的直角坐标为 ，求
的最小值.
23．已知函数 .
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若“ ， ”为假命题，求 的取值范围.
xOy l
cos
2 sin
x t
y t
α
α
=
= + t C
1 cos
1 sin
x
y
θ
θ
= − +
= +
θ
3
πα = l C
l C ,A B l 0, 3
π
P 0,2（ ）
PA PB
PA PB
⋅
+
( ) | 1| | |f x x x a= + − +
1a = − ( ) 1f x −
x R∀ ∈ ( ) | 2 1|f x a< + a6
2020 年高 2020 级高三下期 5 月月考
数 学 试 题 答 案（文科）2020.05
1-12. DACAD BBDAC AD
13． 14． 15． 16．①②③④
17.(1)由 可得 ， .........2 分
即 ，则 ， .........4 分
解得 .........6 分
(2)由题意可得 即 ， .........8 分
由 ∴ ， .........9 分
又 ， .........10 分
所以 . .........12 分
18.（1） 列联表如图所示
了解新高考 不了解新高考 总计
中青年 22 8 30
老年 8 12 20
总计 30 20 50
.........2 分
，.........5 分
所以有 95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联. .........6 分
（2）由表格数据得到抽取的 8 人中：年龄在 中的有 4 人，年龄在 中的有 2 人，年龄在
中的有 2 人. .........9 分
2− na n= 10
9
m n⊥ 0m n⋅ =
1 3sin cos 02 2x x− = tan 3x =
3x
π=
1 3 1sin cos2 2 3x x− = 1sin( )3 3x
π− =
0, ,3 6x
π π − ∈
2 2cos( )3 3x
π− =
5 2sin(2 ) sin(23 3x x
π π− = − − ）
5 1 2 2 4 2sin(2 ) 2 =3 3 3 9x
π− = − × × −
2 2×
2
2 50 (22 12 8 8) 5.556 3.84130 20 20 30K
× × − ×= ≈ >× × ×
[ )45，55 [ )55,65
[ )65,757
从 8 人中抽取 2 人的方法有 28 种，其中恰有一人年龄在 被抽中的方法有 16 种. .........11 分
所以 . .........12 分
19.（1）取 的中点 ，连接 ，易知 是等边三角形.
∴ ， . .........2 分
∵ ，
∴ 平面 ， .........4 分
而 平面 ，
∴ . .........6 分
（2）三棱柱可分为四棱锥 与三棱锥 .
由（1）知 ，而平面 平面 ，且交线为 ，
∴ 平面 .
同理可证 平面 . .........9 分
四棱锥 的体积 ， .........10 分
三棱锥 的体积 ， .........11 分
∴三棱柱 的体积 . .........12 分
20.（1）由已知得直线方程为 ，
圆心到直线 的距离为 ， ......2 分
又 得 ， ......4 分
故抛物线 的方程为 ； .........5 分
（2）由（1）知焦点为 .
由已知可得 ，所以两直线 、 的斜率都存在且均不为 .
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
故直线 的方程为 .
联立方程组 ，消去 ，整理得 . .........7 分
设点 、 ，则 .
[ )45,55
16 4( ) =28 7P A =
EF O , , ,OD OB ED FB ,BEF DEF∆ ∆
OD EF⊥ OB EF⊥
OD OB O∩ =
EF ⊥ BOD
BD ⊂ BOD
DB EF⊥
D ABEF− B CDE−
OD EF⊥ ABEF ⊥ DCEF EF
OD ⊥ ABEF
OB ⊥ DCEF
D ABEF− 1 2 3 3 23B ABEFV − = × × × =
B CDE− 1 1 2 3 3 13 2B CDEV − = × × × × =
AFD BEC− 3D ABEF B CDEV V V− −= + =
: 2
pl y x= −
l 2
42 2
p pd = =
2 2+14=d p 4p =
C 2 8y x=
( )2,0F
AB DE⊥ AB DE 0
AB k CD 1
k
−
AB ( )2y k x= −
( )
2 8
2
y x
y k x
= = −
x 2 8 16 0ky y k− − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2
8y y k
+ =8
因为 为弦 的中点，所以 .
由 ，得 ，故点
同理，可得 . .........9 分
故 ， .
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 的最小值为 . .........12 分
21.（1）当 时， . .........1 分
记 ，则 ，
当 时， ， .
所以 ，所以 在 单调递增， .........3 分
所以 .
因为 ，所以 ，所以 在 为增函数. .........5 分
（2）由题意，得 ，记 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， ，所以 ，
所以 在 为增函数，即 在 单调递增
所以 . .......7 分
①当 ， ， 恒成立，所以 为增函数，即 在 单调递增，
又 ，所以 ，所以 在 为增函数，所以
所以 满足题意. .....9 分
②当 ， ，令 ， ，
( ),M MM x y AB ( )1 2
1 4
2My y y k
= + =
( )2M My k x= −
2
42 2M
M
yx k k
= + = + 2
4 42,M k k
+
( )24 2, 4N k k+ −
( ) ( ) ( )2 22 2 24 2 2 4 4 1NF k k k k= + − + − = +
2
4 2 2
16 16 4 1 kMF k k k
+= + =
( )2 2
2 2
2
4 1 1 1 14 1 16 16 | | 16 2 32k
k kMF NF k k k kk k k
+ +⋅ = ⋅ + = ⋅ = + ≥ × ⋅ =
1k k
= 1k = ±
MF NF⋅ 32
0a = ( ) cos 2xf x e x′ = + −
( ) ( )g x f x′= ( ) sinxg x e x′ = −
0x ≥ 1xe ≥ 1 sin 1x− ≤ ≤
( ) e sin 0xg x x′ = − ≥ ( )g x [ )0,+∞
( ) (0) 0g x g≥ =
( ) ( )g x f x′= ( ) 0f x′ ≥ ( )f x [ )0,+∞
( ) cos 2 2xf x e x ax′ = + − − ( ) ( )g x f x′= ( ) e sin 2xg x x a′ = − −
( ) ( )h x g x′= ( ) cosxh x e x′ = −
0x ≥ e 1x ≥ cos 1x ≤ ( ) cos 0xh x e x′ = − ≥
( )h x [ )0,+∞ ( ) sin 2xg x e x a′ = − − [ )0,+∞
0( ) (0) e sin 0 2 1 2g x g a a′ ′≥ = − − = −
1 2 0a− ≥ 1
2a ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x ( )f x′ [ )0,+∞
(0) 0f ′ = ( ) 0f x′ ≥ ( )f x [ )0,+∞ ( ) (0) 1f x f≥ =
1
2a ≤
1
2a > (0) 1 2 0g a′ = − < ( ) e 1xu x x= − − 0x >9
因为 ，所以 ，故 在 单调递增，
故 ，即 .
故 ，
又 在 单调递增，
由零点存在性定理知，存在唯一实数 ， ，
当 时， ， 单调递减，即 单调递减，
所以 ，此时 在 为减函数，
所以 ，不合题意，应舍去. .......11 分
综上所述， 的取值范围是 . .......12 分
22.（1）
直线 的参数方程为 ，消掉参数
可得直线 的普通方程为 ， .......2 分
的参数方程为 （ 为参数）
可得
曲线 的普通方程为 . .......5 分
（2）将 的参数方程为 （ 为参数）代入圆的方程 得
， .......7 分
设 所对应的参数分别为 ，
则 ， ，
0x > ( ) e 1 0xu x′ = − > ( )u x (0, )+∞
( ) (0) 0u x u> = 1xe x> +
2(2 ) e sin 2 2 2 1 sin 2 2 0ag a a a a a a′ = − − > + − − ≥
( ) sin 2xg x e x a′ = − − (0, )+∞
(0, )m∈ +∞ ( ) 0g m′ =
(0, )x m∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )f x′
( ) (0) 0f x f′ ′< = ( )f x (0, )m
( ) (0) 1f x f< =
a 1
2a ≤
3
πα =
∴ l
1
2
32 2
x t
y t
=
= +
t
l 3 2 0x y− + =
C
1 cos
1 sin
x
y
θ
θ
= − +
= +
θ
1 cos
1 sin
x
y
θ
θ
+ =
− =
∴ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 cos sinx y θ θ+ + − = +
C ( ) ( )2 21 1 1x y+ + − =
l
cos
2 sin
x t
y t
α
α
=
= + t ( ) ( )2 21 1 1x y+ + − =
( )2 2 sin cos 1 0+ + + =t tα α
,A B 1 2,t t
1 2 1PA PB t t⋅ = = 1 2 2 sin cosPA PB t t α α+ = + = +10
所以 ，.......9 分
当 时， 的最小值为 . .......10 分
23.解：（1）当 时， .......2 分
由 ，得 .
故不等式 的解集为 . .......5 分
（2）因为“ ， ”为假命题，
所以“ ， ”为真命题，
所以 . .......7 分
因为 ，
所以 ，则 ，所以 ， .......9 分
即 ，解得 的取值范围为 . .......10 分
1 2
1 1
1 1 2
2 sin cos 42 2 sin 4
PA PB t t
PA PB t t α α πα
⋅ = = = ≥+ + + +
4
πα = PA PB
PA PB
⋅
+
2
4
1a = − ( )
2, 1,
1 1 2 , 1 1,
2, 1.
x
f x x x x x
x
− ≤ −
= + − − = − <
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