昆明市 2020 届“三诊一模”高三复习教学质量检测
理科数学
一､选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 或 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用交集定义直接求解.
【详解】解：∵集合 A＝{x|x＜﹣1 或 x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B＝{﹣3，﹣2，3}.
故选：C.
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
2.已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过分母实数化，求出 z 即可.
【详解】解：∵z 满足（1+2i）z＝5i，
∴z＝ ＝ ＝2+i.
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题.
3.在正项等比数列 中，若 ， ， 为其前 项的和，则 （ ）
{ | 1A x x= < − }2x > { }3, 2, 1,0,1,2,3B = − − − A B =
{ }3, 2− − { }2,3
{ }3, 2,3− − { }3, 2,2,3− −
z ( )1 2 5i z i+ = z =
2 i+ 2 i− 2 i− + 2 i− −
5
1 2
i
i+
5 (1 2 )
(1 2 )(1 2 )
i i
i i
−
+ −
{ }na 1 1a = 3 2 2a a= + nS n 6
3
S
S
=
A. 6 B. 9
C. 12 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】
先由 ， 求出公比 q，再利用前 n 项的和公式求出结果.
【详解】解：设正项等比数列{an}的公比为 q，则 q＞0.
∵a1＝1，a3＝a2+2，
∴q2＝q+2⇒q＝2.
∴ ＝ ＝1+q3＝9，
故选：B.
【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的运算，属于基础题.
4.若夹角为 的向量 与 满足 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量数量积 应用，把 两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
则 ，或 （舍），
故选：B.
【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量与模的转化，考查了计算能力，属于基础题.
5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
的
1 1a = 3 2 2a a= +
6
3
S
S
6
3
1
1
q
q
−
−
120° a b 2a b b+ = = a =
2 3
2a b+ =
2a b+ =
2 2
2 4a a b b+ ⋅ + =
2
4 cos120 4 4a a+ + =
2a = 0a =
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图还原几何体，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是 2，底面半径为 1，上方为一个半球去
掉右前方的四分之一，半球的半径为 1，再由圆锥与球的体积公式求解.
【详解】解：由三视图还原几何体如图，
该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是 2，底面半径为 1，
上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为 1，
则该几何体的体积为 .
故选：C.
【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题.
6.执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）
6
7
π π 7
6
π
2π
2 31 3 4 71 2 13 8 3 6
ππ π× × × + × × × =
T =
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 T 的值，模拟程序的运行过程，
分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.
【详解】解：模拟程序的运行，可得
k＝1，S＝0，T＝0，S＝1
满足条件 S＜15，执行循环体，T＝1，k＝2，S＝3
满足条件 S＜15，执行循环体，T＝ ，k＝3，S＝6
满足条件 S＜15，执行循环体，T＝ ，k＝4，S＝10
满足条件 S＜15，执行循环体，T＝ ，k＝5，S＝15
此时，不满足条件 S＜15，退出循环，输出 T 的值为 .
故选：D.
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是
基础题.
7.已知圆 ： 与 轴负半轴的交点为 ，过点 且斜率为 2 的直线 与圆 的另
一个交点为 ，若 的中点 恰好落在 轴上，则 （ ）
A. B. C. D.
3
2
12
7
5
3
8
5
4
3
3
2
8
5
8
5
C ( ) ( )2 2 21 1x y r r− + = > x M M l C
N MN P y MN =
5
2
5
2
5
4
5
4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意画出图形，求出 M 的坐标，写出直线 l 的方程，与圆的方程联立求得 N 点横坐标，再由中点坐标公
式求得 r，进一步求出 M 与 N 的坐标，则答案可求.
【详解】解：取 y＝0，可得 x＝1﹣r 或 x＝1+r，
由题意可得，M（1﹣r，0），
设直线 l 的方程为 y＝2（x+r﹣1），
联立 ，得 5x2+（8r﹣10）x+3r2﹣8r+4＝0.
由 xM+xN＝1﹣r+xN＝ ，得 xN＝ .
由 MN 的中点 P 恰好落在 y 轴上，得 1﹣r+xN＝0，即 r＝ .
∴M（﹣ ，0），N（ ，1），
则|MN|＝ ＝ .
故选：B.
【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算能力，是中档题.
8.若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
2 2 2
2( 1)
( 1)
y x r
x y r
= + −
− + =
10 8
5
r− 5 3
5
r−
5
4
1
4
1
4
2
21 1 14 4
− − +
5
2
y x= lny x ax= + a =
1
e
1
e
− 1 1e
− 11 e
−
先设切点，再对曲线求导，然后令导数等于 1，然后结合 ，即可求出 a 的值.
【详解】解：设切点为（x，y），
由题意 .
∴ ，解得 .
故选：D.
【点睛】本题考查导数的几何意义，利用切点满足的两个条件列方程组是本题的总体思路.属于基础题.
9.抛物线上任意两点 ､ 处的切线交于点 ，称 为“阿基米德三角形”.当线段 经过抛物线焦点
时， 具有以下特征：① 点必在抛物线的准线上；② 为直角三角形，且 ；③
.若经过抛物线 焦点的一条弦为 ，阿基米德三角形为 ，且点 的纵坐标为 4，
则直线 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由△PAB 为“阿基米德三角形”，且线段 AB 经过抛物线 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可
求出点 P（−1，4），从而得到直线 PF 的斜率为−2，又 ，所以直线 AB 的斜率为 ，再利用点
斜式即可求出直线 AB 的方程.
【详解】解：由题意可知，抛物线y2＝4x 的焦点 F 的坐标为（1，0），准线方程为：x＝﹣1，由△PAB 为“
阿基米德三角形”，且线段 AB 经过抛物线 y2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，
∴点 P（﹣1，4），
∴直线 PF 的斜率为： ＝﹣2，
又∵PF⊥AB，
∴直线 AB 的斜率为 ，
ln x ax x+ =
1y ax
′ = +
ln
1 1
x ax x
ax
+ = + =
11a e
= −
A B P PAB△ AB F
PAB△ P PAB△ PA PB⊥
PF AB⊥ 2 4y x= AB PAB△ P
AB
2 1 0x y− − = 2 2 0x y+ − =
2 1 0x y+ − = 2 2 0x y− − =
2 4y x=
PF AB⊥ 1
2
4 0
1 1
−
− −
1
2
∴直线 AB 的方程为：y﹣0＝ ，即 x﹣2y﹣1＝0，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题.
10.已知函数 ，若对任意 不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
函数 ，判断其奇偶性.不等式 ，化为：f（2t2﹣m）≥﹣f（t）＝f（﹣t
），利用其单调性及其二次函数的单调性即可得出.
【详解】解：函数 ，
f（﹣x）＝﹣x3﹣3x＝﹣f（x），∴函数 f（x）为 R 上的奇函数.
f′（x）＝3x2+3＞0，∴函数 f（x）为 R 上的增函数.
不等式 f（2t2﹣m）+f（t）≥0，化为：f（2t2﹣m）≥﹣f（t）＝f（﹣t），
∴2t2﹣m≥﹣t，化为：m≤2t2+t，t∈[﹣1，1].
令 g（t）＝2t2+t＝2 ﹣ ，t∈[﹣1，1].
∴t＝﹣ 时，函数 g（t）取得最小值，g（﹣ ）＝﹣ .
则实数 m 的取值范围是 m≤﹣ .
故选：D.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、二次函数的单调性，考查了推理能力与
计算能力，属于中档题.
11.已知正四棱锥 的高为 2， ，过该棱锥高的中点且平行于底面 的平面截该
正四棱锥所得截面为 ，若底面 与截面 的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（
）
1 ( 1)2 x −
( ) 3 3f x x x= + [ ]1,1t ∈ − ( ) ( )22 0f t m f t− + ≥ m
1m £ 1
2m ≤ − 1
4m ≤ − 1
8m ≤ −
( ) 3 3f x x x= + ( ) ( )22 0f t m f t− + ≥
( ) 3 3f x x x= +
21
4t +
1
8
1
4
1
4
1
8
1
8
P ABCD− 2 2AB = ABCD
1111 DCBA ABCD 1111 DCBA
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面 PAC 是等腰直角
三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为 O，在两个直角三角形△OAM，△A1ON
利用勾股定理，列出方程，可以解出半径 R，则表面积可求.
详解】解：因为正四棱锥 P﹣ABCD，所以底面是正方形，结合高为 2， ，
设底面对角线交点为 M，所以 AC＝4，AM＝2，故 PM＝AM＝CM＝2，
所以△PAC 是等腰直角三角形.
因为截面 A1B1C1D1 过 PM 的中点 N，所以 N 为截面正方形 A1B1C1D1 的中心，且 PM⊥截面 A1B1C1D1.
∴PN＝MN＝A1N＝1，设球心为 O，球的半径为 R，则 A1O＝AO＝R.
在直角三角形 A1ON 中， ，
∴ .
在直角三角形 AOM 中，OA2＝AM2+OM2，即 ，
解得 R2＝5，故 S＝4πR2＝20π.
故选：A.
【点睛】本题考查球的表面积的计算以及正四棱锥的性质.根据对角面是等腰直角三角形，和含有 R 的两个
直角三角形列方程是本题的关键.属于中档题.
12.如图，某公园内有一个半圆形湖面， 为圆心，半径为 1 千米，现规划在 区域种荷花，在
区域修建水上项目.若 ，且使四边形 面积最大，则 （ ）
【
20π 20
3
π
4π 4
3
π
2 2AB =
2 2 2
1 1 1ON AAO N R= − = −
21 1 1OM ON R= − = − −
2 2 24 (1 1)R R= + − −
O OCD OBD
AOC COD∠ = ∠ OCDB cos AOC∠ =
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设∠AOC＝∠COD＝θ（0＜θ＜ ），利用三角形面积公式可得S＝ ，利用导数结合复合
函数的单调性求最值，即可得到使四边形 OCDB 面积最大时 cos∠AOC 的值.
【详解】解：设∠AOC＝∠COD＝θ（0＜θ＜ ），
∵OC＝OB＝OD＝1，
∴四边形 OCDB 面积 S＝ ＝ .
则 ＝ .
由 S′＝0，得 4cos2θ+cosθ﹣2＝0，
可得
又 cosθ 在（0， ）上单调递减，
∴当 θ∈（0， ），即 cosθ∈（ ，1）时，S＝ 单调递减，
当 θ∈（ ， ），即 cosθ∈（0， ）时，S＝ 单调递增，
∴当 cos∠AOC＝ 时，四边形 OCDB 的面积最大.
17 1
8
− 33 1
8
−
17 1
6
− 33 1
6
−
2
π 1 (sin 2 sin )2
θ θ+
2
π
1 11 1 sin 1 1 sin( 2 )2 2
θ π θ× × × + × × × − 1 (sin 2 sin )2
θ θ+
1 (2cos2 cos )2S θ θ′ = + ( )21 4cos cos 22
θ θ+ −
0
33 1cos 8
θ −=
2
π
0
θ 33 1
8
− ( )21 4cos cos 22
θ θ+ −
0
θ
2
π 33 1
8
− ( )21 4cos cos 22
θ θ+ −
33 1
8
−
故选：B.
【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数模型的选择及其应用，训练了利用导数求最值，是
中档题.
二､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.能说明命题“ 且 ， ”是假命题的 的值可以是_______.（写出一个即可）
【答案】-1（任意负数均可）
【解析】
【分析】
全称命题的否定只需举出一个反例即可.例如 x＝－1
，带入.
【详解】解：当 时， ，当且仅当 取等号，
当 时， ，当且仅当 取等号，
∴只需 x 取值为负数，即可.例如 x＝－1 时 .
故答案为：－1
（任意负数均可）.
【点睛】本题考查全称命题的真假，基本不等式应用，属于基础题.
14.已知 是双曲线 ： 的右焦点，点 在 上， 为坐标原点，若 ，
，则 的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
设 P 的坐标，求出 ， 的坐标，由∠POF＝ ，所以 cos∠POF＝ ＝ ＝ ，求出
P 的横坐标，代入 x02+y02＝4b2 进而求出纵坐标，再将 P 坐标代入双曲线的方程可得 a，b 的关系，由 a，b，
c 之间的关系求出离心率.
【详解】解：设 P（x0，y0）由题意可得 x0＞0，设 y0＞0，
＝（x0，y0），由题意|OP|＝2b，可得 x02+y02＝4b2， ＝（c，0），
x R∀ ∈ 0x ≠ 1 2x x
+ ≥ x
0x > 1 2x x
+ ≥ 1x =
0x < 1 2x x
+ ≤ − 1x = −
1 2x x
+ = −
F C ( )2
2
2 1 0yx bb
− = > P C O 2OP b=
3POF
π∠ = C
5
OP OF
3
π 1
2 | | | |
OP OF
OP OF
⋅
⋅
0
2
x c
b c
⋅
⋅
OP OF
由∠POF＝ ，所以 cos∠POF＝ ＝ ＝ ，可得 x0＝b，
y02＝3b2，y0＞0，将 P 点的坐标代入双曲线的方程可得： ﹣3＝1，所以 b2＝4a2，
所以双曲线的离心率 e＝ ＝ ＝ ，
故答案为： .
【点睛】本题考查双曲线的性质，及数量积的应用，属于中档题.
15.河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书.如图是由 9 个单位
正方形（边长为 1 个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从 点沿单位正方形的边以最短路径运动到
点，共有 种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过 点的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
共有 n＝ ＝20 种不同的路线，其中该质点经过 p 点包含的基本事件有 m＝6×2＝12 种，由此能求出该质
点经过 p 点的概率.
【详解】解：一个质点从 A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到 B 点，
共有 n＝ ＝20 种不同的路线，
3
π 1
2 | | | |
OP OF
OP OF
⋅
⋅
0
2
x c
b c
⋅
⋅
2
2
b
a
2
2
c
a
2 2
2
a b
a
+
5
5
A B
3
6C P
3
5
3
6C
3
6C
则在这些路线中，该质点经过 p 点包含的基本事件有 m＝6×2＝12 种，
该质点经过 p 点的概率为 P＝ .
故答案为： .
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
16.定义域为 的偶函数 满足 ，当 时， ，给出下列四
个结论：
① ；
②若 ，则 ；
③函数 在 内有且仅有 3 个零点；
④若 ，且 ，则 的最小值为 4.
其中，正确结论的序号是______.
【答案】①③
【解析】
【分析】
由 得函数 关于点 中心对称，又 为偶函数，所以可推得 的周
期为 4，又得 ，且当 时， ，故可作出函数的图象，结合图象可判断各选项
的真假.
【详解】由 得函数 关于点 中心对称，
又 ， ，
为 上的偶函数， ，
， ，
的周期为 4，
当 时， 得 ，
又当 时， ，所以函数 图象如图：
12 3
20 5
m
n
= =
3
5
R ( )f x ( ) ( )1 1 0f x f x+ + − = [ )0,1x∈ ( ) sin 2
xf x
π=
( ) 1f x <
( ) ( )1 2 0f x f x+ = 1 2 0x x+ =
( )f x ( )0,4
1 2 3x x x< < ( ) ( ) ( )1 2 3f x f x f x= = 3 1x x−
( ) ( )1 1 0f x f x+ + − = ( )f x ( )1,0 ( )f x ( )f x
( )1 0f = [ )0,1x∈ ( ) sin 2
xf x
π=
( ) ( )1 1 0f x f x+ + − = ( )f x ( )1,0
( ) ( )1 1f x f x+ = − − ( ) ( )2f x f x∴ + = − −
( )f x R ( ) ( )f x f x∴ − =
( ) ( )2f x f x∴ + = − ( ) ( ) ( )4 2f x f x f x∴ + = − + =
( )f x∴
0x = ( ) ( )1 0 1 0 0f f+ + − = ( )1 0f =
[ )0,1x∈ ( ) sin 2
xf x
π= ( )f x
由图知， ， ，故①正确；
又 ，从而可知②不正确；
当 时， ，故③正确.
④取 x1＝-1，x2＝0，x3＝1，则 f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝0，但 x3-
x1＝2＜4，即④错误
∴正确的是①③.
故答案为：①③.
【点睛】本题考查函数的图象与性质，分析出函数的对称性和作出函数图象是解题的关键，考查学生的作
图能力和分析能力，属于中档题.
三､解答题：共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第 22､23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.已知三棱柱 ，底面 为等边三角形，侧棱 平面 ， 为 中点，
， 和 交于点 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
.
( )1 1f x− < < ( ) 1f x∴ <
( ) ( )1 2 0f f+ =
( )0,4x∈ ( ) ( ) ( )1 2 3 0f f f= = =
1 1 1ABC A B C− ABC 1AA ⊥ ABC D 1CC
1 2AA AB= 1AB 1A B O
/ /OD ABC
AB 1A BD
2 5
5
【解析】
【分析】
（ 1 ） 取 AB 中 点 E ， 先 利 用 中 位 线 的 性 质 可 证 且 ， 再 由 已 知 条 件 可 得
且 ，进而得到 ，则四边形 EODC 为平行四边形，故 ，
由此得证 平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，求出直线 AB 的方向向量以及平面 的法向量，利用向量的夹角夹角公式
即可得到所求正弦值.
【详解】解：（1）取 中点 ，连结 、 ，
在四边形 中， 为 中点， 为 中点，
所以 为 中位线，
故： 且 ，
因为 为 中点，所以 且 ，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，且 平面 ，
所以 平面 .
（2）取 中点 ，根据已知条件建立如图空间直角坐标系 ，
设 ，则 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ，
设 与平面 所成角为 ，
.
的
1/ /EO BB 1
1
2EO BB=
1 1
1 1
2 2CD CC BB= = 1/ /CD BB / /EO CD / /OD EC
/ /OD ABC
1A BD
AB E CE OE
EODC E AB O 1AB
EO 1ABB△
1/ /EO BB 1
1
2EO BB=
D 1CC 1 1
1 1
2 2CD CC BB= = 1/ /CD BB
/ /EO CD EO CD= EODC
/ /OD EC EC ⊂ ABC
/ /OD ABC
BC F F xyz−
2AB = 1 4AA =
( )1,0,0B ( )0 0 3A , , ( )1 0,4, 3A ( )1,2,0D −
( )1,0, 3BA = − ( )2,2,0BD = − ( )1 1,4, 3BA = −
1A BD ( ), ,n x y z=
1
0
0
BD n
BA n
⋅ = ⋅ =
( )1,1, 3n = −
AB 1A BD θ
( ) ( )
( ) ( ) ( )2 22 2 2 2
1,0, 3 1,1, 3
sin
1 0 3 1 1 3
BA n
BA n
θ
− ⋅ −⋅
= =
⋅ − + + + + −
2 5
5
=
【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量研究线面角问题，考查推理能力及计算能力，属于中
档题.
18.2020 年 1 月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自 2020 年起，
在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）.强基计划聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材
料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大
战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.新材料产业是重要的战略性新兴产业，下图是我国
2011-2019 年中国新材料产业市场规模及增长趋势图.其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元）
，折线图表示新材料产业市场规模年增长率（ ）.
（1）求从 2012 年至 2019 年，每年新材料产业市场规模年增长量的平均数（精确到 0.1）；
（2）从 2015 年至 2019 年中随机挑选两年，求两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过
的概率；
（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大. （结论不要求证明）
【答案】（1）0.5 万亿元（2） （3）从 2017 年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最
大.
【解析】
【分析】
（1）从 2012 年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为 0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（
单位：万亿元），由此能求出年增加的平均数.
%
20%
9
10
（2）设 A 表示事件“从 2015 年至 2019 年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产业市场规模增长率
超过 20%”，利用对立事件概率计算公式能求出两年中至少有一
年新材料产业市场规模年增长率超过 20%的概率.
（3）从 2017 年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大.
【详解】解：（1）从 2012 年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为：
0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6（单位：万亿元），
所以年增加值的平均数为 万亿元.
（2）设 表示事件“从 2015 年至 2019 年中随机挑选两年，两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长
率超过 ”，依题意， .
（3）从 2017 年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.
【点睛】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查折线图、条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题.
19. 的角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求 ；
（2）从三个条件：① ；② ；③ 的面积为 中任选一个作为已知条件，求
周长的取值范围.
【答案】（1） .（2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知利用正弦定理可得 ，由余弦定理求出 ，结合 A 的范围可得 A 的值.
（2）由题意，分类讨论，利用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，正弦函数的图象和
性质等知识即可求解.
【详解】解：（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，因为 ，
所以 .
（2）选择① .
0.3 0.2 0.3 0.5 0.6 0.4 0.8 0.6 0.58
+ + + + + + + ≈
A
20% ( ) 2
3
2
5
91 10
CP A C
= − =
ABC A B C a b c 2 2 2sin sin sin sin sin sinB C A B B C+ = +
A
3a = 3b = ABC 3 ABC
3A
π=
2 2 2b c a bc+ = + cos A
2 2 2sin cos sin sin sinB C A B C+ = +
2 2 2b c a bc+ = +
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −= = ( )0,A π∈
3A
π=
3a =
因为 ， ，
由正弦定理得 ，
即 的周长
，
因为 ，所以 ， ，
即 周长的取值范围是 .
选择② .
因为 ， ，
由正弦定理得 ， ，
即 的周长
,
因为 ，所以 ，所以 ，
即 周长的取值范围是 .
选择③ .
因为 ， ，得 ，
3A
π= 3a =
2sin sin sin
b c a
B C A
= = =
ABC 2sin 2sin 3l a b c B C= + + = + + 22sin 2sin 33B B
π = + − +
3sin 3 cos 3B B= + +
2 3sin 36B
π = + +
20, 3B
π ∈
5
6 6 6B
π π π< + < 1 sin 12 6B
π < + ≤
ABC (2 3,3 3
3b =
3A
π= 3b =
3
2sina B
=
23sin3sin 3cos 33
sin sin 2sin 2
BC Bc B B B
π − = = = +
ABC
3 3cos 3 3 3(1 cos ) 3 3
2sin 2sin 2 2sin 2
B Bl a b c B B B
+= + + = + + = +
26cos 3 32
24sin cos2 2
B
B B
= +
3 3 3
22tan 2
B
= +
20, 3B
π ∈ 0 2 3
B π< < 0 tan 32
B< <
ABC ( )2 3,+∞
3ABCS =
3A
π= 1 3sin 32 4ABCS bc A bc= = =△ 4bc =
由余弦定理得 ，
即 的周长 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 .
即 周长的取值范围是 .
【点睛】本题考查三角形周长取值范围的求法，考查余弦定理、三角形面积等基础知识，考查运算求解能
力，考查函数与方程思想，是中档题.
20.已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ，若 存在两个极值点 ， ，求 的最小值.
【答案】（1）见解析（2）最小值为 .
【解析】
【分析】
（1）求导，令 得 或 ，接下来分 ， 及 讨论即可；
（2）依题意，可得 ，设 ，利用导数求
的最小值即可得出答案.
【详解】解：（1） ，
因为 ，由 得 或 ，
①若 ，则 ，由 得 ； 得 或 ，
所以，若 ，则 在 递增，在 递减，在 递增；
②若 ，则 ， ， 在定义域 递增；
③若 ，则 ，由 得 ； 得 或 ，
2 2 2 2 2( ) 3 ( ) 12a b c bc b c bc b c= + − = + − = + −
ABC 2( ) 12l a b c b c b c= + + = + − + +
2 4b c bc+ ≥ = 2b c= =
24 12 4 6l ≥ − + =
ABC [ )6,+∞
( ) ( ) ( )22 ln 0f x ax a x ax
= − + − >
( )f x
( ) ( ) lng x f x a= − ( )g x 1x 2x ( ) ( )1 2g x g x+
2 2ln 2e
− −
( )' 0f x = 1x = 2x a
= 0 2a< < 2a = 2a >
( ) ( )1 2 ( 2)ln 2ln2
ag x g x a a+ = + − ( ) ( 2)ln 2ln2
xh x x x= + − ( )h x
( ) 2
'
2 2
2 2 ( 2) 2f a ax xa x xx a
x
+ − + += − + = ( )2
( 1)( 2) 0x ax xx
− −= >
0a > ( )' 0f x = 1x = 2x a
=
0 2a< < 2 1a
> ( )' 0f x < 21 x a
< < ( )' 0f x > 0 1x< < 2x a
>
0 2a< < ( )f x ( )0,1 21, a
2 ,a
+∞
2a = 2 1a = ( ) ( )2
'
2
2 1 0xf x x
−= ≥ ( )f x ( )0, ∞+
2a > 2 1a
< ( )' 0f x < 2 1xa
< < ( )' 0f x > 20 x a
< < 1x >
所以，若 ，则 在 递增，在 递减，在 递增.
（2）由 得 ，
由（1）知， 有两个极值点时， 且 ，不妨设 ， ，
， ，
所以 ，
设 ，
则 ，
，
由 得 ， 在 内单调递减，
由 得 ， 在 内单调递增.
所以， 时， .
所以，当 且 时， 的最小值为 .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中
档题.
21.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图 1 所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标 ， ，有一根旋杆将
两个滑标连成一体， ， 为旋杆上的一点，且在 ， 两点之间，且 ，当滑标
在滑槽 内作往复运动，滑标 在滑槽 内随之运动时，将笔尖放置于 处可画出椭圆，记该椭圆为
.如图 2 所示，设 与 交于点 ，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，建立平面
直角坐标系.
2a > ( )f x 20, a
2 ,1a
( )1,+∞
( ) ( ) lng x f x a= − ( ) ( )' 'g x f x=
( )g x 0a > 2a ≠ 1 1x = 2
2x a
=
( ) ( )1 1 2 lng x g a a= = − − ( )2
2 2 ( 2)ln ln2
ag a a aag x = = − + + −
( ) ( )1 2 ( 2)ln 2ln2
ag x g x a a+ = + −
( ) ( 2)ln 2ln2
xh x x x= + −
( ) ( 2)(ln ln 2) 2lnh x x x x= + − −
( )' ln ln 2 1h x x= − +
( )' 0h x < 20 x e
< < ( )h x 20, e
( )' 0h x > 2x e
> ( )h x 2 ,e
+∞
0x > min
2 2( ) 2ln 2h x h e e
= = − −
0a > 2a ≠ ( ) ( )1 2g x g x+ 2 2ln 2e
− −
M N
4MN = D M N 3ND MD= M
EF N GH D
C EF GH O EF x GH y
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ， 是椭圆 的左､右顶点，点 为直线 上的动点，直线 ， 分别交椭圆于 ，
两点，求四边形 面积的最大值.
【答案】（1） （2） .
【解析】
【分析】
（1）由 的值及 ，可得|MD|，|ND|的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求
出椭圆的方程；
（2）由题意设 P 的坐标，进而求出直线 ，直线 的方程，与椭圆联立分别求出 Q，R 的坐标，进而
求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得 P 的坐标.
【详解】解：（1）由题得 ， ，所以椭圆 的长半轴长为 3，短半轴长为 1，
故椭圆 的方程为： .
（2）由对称性可设点 ，其中 ，则直线 的方程为 ，直线 的方程为
.设 ， .
由 ，消 得 ，由于 ，则 .
C
1A 2A C P 6x = 1AP 2A P Q R
1 2AQA R
2
2 19
x y+ = 3 3
MN 3ND MD=
1AP 2A P
1MD = 3ND = C
C
2
2 19
x y+ =
( )6,P t 0t > 1AP ( )39
ty x= + 2A P
( )33
ty x= − ( )1 1,Q x y ( )2 2,R x y
2
2 19
( 3)9
x y
ty x
+ =
= +
x ( )2 29 6 0t y ty+ − =
1
0Ay =
1 2
6
9
ty t
= +
由 ，消 得 ，由于 ，则 .
所以四边形 的面积为
.
由于 ， ，又 在 上是增函数，
所以 ，
故 .
当且仅当 ，即 ，四边形 的面积的最大值为 .
【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和均值不等式的应用，属于中档题.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22､23 题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域
内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修 4- 4：坐标系与参数方程】
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线 的极坐标方程；
（2）设动点 的极坐标为 ，射线 与直线 相交于点 ，且满足 ，求点 轨迹
的极坐标方程.
【答案】（1） .（2） .
【解析】
【分析】
2
2 19
( 3)3
x y
ty x
+ =
= −
x ( )2 21 02t y ty++ =
2
0Ay =
2 2
2
1
ty t
= − +
1 2AQA R
( )
( )( )
2
1 1 2 2 2 22 2
24 31 6 232 9 1 9 1
t tt tS A A y y t t t t
+ = ⋅ − = + = + + + +
( )
( )
2
2 22 2
2
24 3 24
3 43 4
3
t t
t tt t
t t
+
= = ++ + + +
0t >
2 3 2 3tm t
+= ≥ 4y m m
= + )2 3, +∞
4 8 3
3y m m
= + ≥
24 3 34S
m m
= ≤
+
2 3m = 3t = 1 2AQA R 3 3
xOy l
1 2
2 2
3 2
2 2
x t
y t
= −
= +
t O x
l
M ( ),ρ θ OM l A 4OA OM⋅ = M
cos sin 2ρ θ ρ θ+ = ( )2sin 2cos 0ρ θ θ ρ= + >
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
（2）利用极径的应用求出结果.
【详解】解：（1）直线 的普通方程为 ，
所以 的极坐标方程为 .
（2）依题意可知， 点的极坐标为 ，
因为 在直线 上，所以 ，
所以点 轨迹的极坐标方程为 .
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查
学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.
[选修 4--5：不等式选讲]
23.已知 .
（1）解不等式 ；
（2）设 的最小值为 ，实数 ， ， 满足 ，证明： .
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式 的解集；
（2）利用绝对值不等式，求出 m，再利用柯西不等式进行证明.
【详解】解：（1）因为 ，
所以不等式 等价于 或 或 ，
解得 或 或 .
l 2 0x y+ − =
l cos sin 2ρ θ ρ θ+ =
A 4 ,θρ
A l ( )4 sin cos 2θ θρ + =
M ( )2sin 2cos 0ρ θ θ ρ= + >
( ) 2 1 1f x x x= + + −
( ) 4f x ≤
( )f x m a b c 2 2 2a b c m+ + = 6a b c+ + ≤
5 ,13
−
( ) 4f x ≤
( )
3 1, 1
3, 1 1
3 1, 1
x x
f x x x
x x
− − ≤ −
= + − < x M M l C
N MN P y MN =
5
2
5
2
5
4
5
4
y x= lny x ax= + a =
1
e
1
e
− 1 1e
− 11 e
−
A B P PAB△ AB F
PAB△ P PAB△ PA PB⊥
PF AB⊥ 2 4y x= AB PAB△ P
AB
2 1 0x y− − = 2 2 0x y+ − =
2 1 0x y+ − = 2 2 0x y− − =
( ) 3 3f x x x= + [ ]1,1t ∈ − ( ) ( )22 0f t m f t− + ≥ m
1m £ 1
2m ≤ − 1
4m ≤ − 1
8m ≤ −
P ABCD− 2 2AB = ABCD
1111 DCBA ABCD 1111 DCBA
A. B. C. D.
12.如图，某公园内有一个半圆形湖面， 圆心，半径为 1 千米，现规划在 区域种荷花，在
区域修建水上项目.若 ，且使四边形 面积最大，则 （ ）
A. B.
C. D.
二､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.能说明命题“ 且 ， ”是假命题的 的值可以是_______.（写出一个即可）
14.已知 是双曲线 ： 右焦点，点 在 上， 为坐标原点，若 ，
，则 的离心率为______.
15.河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书.如图是由 9 个单位
正方形（边长为 1 个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从 点沿单位正方形的边以最短路径运动到
点，共有 种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过 点的概率为______.
16.定义域为 的偶函数 满足 ，当 时， ，给出下列四
个结论：
① ；
②若 ，则 ；
为
的
20π 20
3
π
4π 4
3
π
O OCD OBD
AOC COD∠ = ∠ OCDB cos AOC∠ =
17 1
8
− 33 1
8
−
17 1
6
− 33 1
6
−
x R∀ ∈ 0x ≠ 1 2x x
+ ≥ x
F C ( )2
2
2 1 0yx bb
− = > P C O 2OP b=
3POF
π∠ = C
A B
3
6C P
R ( )f x ( ) ( )1 1 0f x f x+ + − = [ )0,1x∈ ( ) sin 2
xf x
π=
( ) 1f x <
( ) ( )1 2 0f x f x+ = 1 2 0x x+ =
③函数 在 内有且仅有 3 个零点；
④若 ，且 ，则 的最小值为 4.
其中，正确结论的序号是______.
三､解答题：共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第 22､23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.已知三棱柱 ，底面 为等边三角形，侧棱 平面 ， 为 中点，
， 和 交于点 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
18.2020 年 1 月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自 2020 年起，
在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）.强基计划聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材
料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大
战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.新材料产业是重要的战略性新兴产业，下图是我国
2011-2019 年中国新材料产业市场规模及增长趋势图.其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元）
，折线图表示新材料产业市场规模年增长率（ ）.
（1）求从 2012 年至 2019 年，每年新材料产业市场规模年增长量的平均数（精确到 0.1）；
( )f x ( )0,4
1 2 3x x x< < ( ) ( ) ( )1 2 3f x f x f x= = 3 1x x−
1 1 1ABC A B C− ABC 1AA ⊥ ABC D 1CC
1 2AA AB= 1AB 1A B O
/ /OD ABC
AB 1A BD
%
（2）从 2015 年至 2019 年中随机挑选两年，求两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过
的概率；
（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大. （结论不要求证明）
19. 的角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求 ；
（2）从三个条件：① ；② ；③ 的面积为 中任选一个作为已知条件，求
周长的取值范围.
20.已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ，若 存在两个极值点 ， ，求 的最小值.
21.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图 1 所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标 ， ，有一根旋杆将
两个滑标连成一体， ， 为旋杆上的一点，且在 ， 两点之间，且 ，当滑标
在滑槽 内作往复运动，滑标 在滑槽 内随之运动时，将笔尖放置于 处可画出椭圆，记该椭圆为
.如图 2 所示，设 与 交于点 ，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，建立平面
直角坐标系.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ， 是椭圆 的左､右顶点，点 为直线 上的动点，直线 ， 分别交椭圆于 ，
两点，求四边形 面积的最大值.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22､23 题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域
内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.
20%
ABC A B C a b c 2 2 2sin sin sin sin sin sinB C A B B C+ = +
A
3a = 3b = ABC 3 ABC
( ) ( ) ( )22 ln 0f x ax a x ax
= − + − >
( )f x
( ) ( ) lng x f x a= − ( )g x 1x 2x ( ) ( )1 2g x g x+
M N
4MN = D M N 3ND MD= M
EF N GH D
C EF GH O EF x GH y
C
1A 2A C P 6x = 1AP 2A P Q R
1 2AQA R
【选修 4- 4：坐标系与参数方程】
22.在平面直角坐标系 中，直线 参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线 极坐标方程；
（2）设动点 的极坐标为 ，射线 与直线 相交于点 ，且满足 ，求点 轨迹
的极坐标方程.
[选修 4--5：不等式选讲]
23.已知 .
（1）解不等式 ；
（2）设 的最小值为 ，实数 ， ， 满足 ，证明： .
的
的
xOy l
1 2
2 2
3 2
2 2
x t
y t
= −
= +
t O x
l
M ( ),ρ θ OM l A 4OA OM⋅ = M
( ) 2 1 1f x x x= + + −
( ) 4f x ≤
( )f x m a b c 2 2 2a b c m+ + = 6a b c+ + ≤
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