数学试卷（理科） 第 1 页（共 6 页）
绝密★启用前 试卷类型：A
2020 年茂名市高三级第二次综合测试
数学试卷(理科）2020.5
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5 页，23 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷草稿纸和答题
卡上的非答题区域均无效.
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对
应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
5．考试结束后，请将答题卡上交.
第一部分 选择题(共 60 分）
1. 若 ，则复数 的虚部为（ ）
A.2 B.1 C. D.-1
2．已知集合 , ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3. 已知 ，且 则 （ ）
A.0 B. C.1 D.
4. 下列命题错误的是（ ）
A．“x＝2”是“x2−4x+4＝0”的充要条件
B．命题“若 ，则方程 x2+x−m＝0 有实根”的逆命题为真命题
C．在△ABC 中，若“A＞B”，则“sinA＞sinB”
D．命题 p：“∃x0∈R，x02−2x0+4＞0”，则﹁p：“∀x∈R，x2−2x+4＜0”
5. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来
的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文
化阴阳术数之源。河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居
上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑
点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为 5 的概率为（ ）
( ) 2 , ,x i i y i x y R− = + ∈ yix +
i
U R= { }2lg(4 )A x y x= = − { }2 1x xB = − ≤ < A B =
( 2,2)− ( 2,1)− [ 2,2]− [ 2,2)−
π 1sin 6 2
θ
=
− π0, 2
∈
θ πcos 3
θ − =
1
2
3
2
1
4m ≥ −数学试卷（理科） 第 2 页（共 6 页）
A. B.
C. D.
6. “辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个
算法，是由欧几里得在公元前 300 年左右首先提出
的，因而又叫欧几里得算法.如图所示一个当型循环
结构的“辗转相除法”程序框图. 当输入 m=1995，
n=228，输出的 m 是( )
A. 3 B. 19 C. 57 D. 114
7.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 8cm,细沙全部在
上部时，其高度为圆锥高度的 （细管长度忽略不计）.当细沙全部漏入下部后，
恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
8.设偶函数 满足 ，则使不等式 成立的 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.圆 M: 与双曲线 （ ， ）的两条渐近线相切于 A、B 两点，
若 ，则 C 的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
10.某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下：
(1)若购买饲料不超过 2000 元，则不给予优惠；
(2)若购买饲料超过 2000 元但不超过 5000 元，则按标价给予 9 折优惠；
(3)若购买饲料超过 5000 元，其 5000 元内的给予 9 折优惠，超过 5000 元的部分给予 7 折优惠．
某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，分别为 2880 元和 4850 元；
方案二：一次性付款购买.
5
1
25
6
25
7
25
8
2
1
4 5π 8 5π 3 17π 4 17π
( )f x 1( ) ( ) 2( 0)2
xf x x= + ≥ ( ) 91 4f x − < x
( , 1) (3, )−∞ − +∞ ( 1,3)− (0,2) ( ,0) (2, )−∞ +∞
( )2 2 4x m y− + = C:
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b >
32AB =
3
32 3 3
否
结束
输出 m
是r＞0?
r=1
开始
输入 m, n
求m除以n的余数r
m=n
n=r数学试卷（理科） 第 3 页（共 6 页）
若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（ ）元
A.540 B.620 C.640 D.800
11. 已知六棱锥 的底面是正六边形， 平面 ， .则下列命题中正确的
有( )．
①平面 PAB⊥平面 PAE；
②PB⊥AD；
③直线 CD 与 PF 所成角的余弦值为 ；
④直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°;
⑤CD∥平面 PAE.
A. ①④ B. ①③④ C. ②③⑤ D. ①②④⑤
12.若关于 x 的方程 在 上有唯一实数解，则实数 m 的取值范围（ ）
第Ⅱ部分非选择题（共 90 分）
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知向量 ， ，若 ( )，则 .
14． 的展开式中，常数项是 .
15.已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ,则 .
16．在 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且 ，则
的 a，b 的等量关系式为 ，其面积的最大值为 .(本题第一空 2 分，第二空 3 分）
三.解答（本大题共 5 小题，每题 12 分共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.设 ，数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ，正项的等差数列 的首
项为 2，且 成等比数列.
(1) 求 和 的通项公式；
(2) 求证： .
18.如图，已知 内接于圆 ， 是圆 的直径，四边形 为平行四边形， 是 的中点，
P ABCDEF− PA ⊥ ABC 2PA AB=
5
5
( )1 12 3 04 2
x x
m m m ⋅ + − ⋅ + =
( ),1−∞
4
3]3
20.A 或，（ ]3
20.B ，（
4
1]9
20.C 或，（ ]9
20.D ，（
4 2= −( , )a 1 1= −( , )b ⊥b +a k b k =
62( )xx
+
( ) 21ln( 1) 2f x x x= + + ( )( )1, 1f α 22sin sin cosα α α+ =
ABC∆ 6cos (2 cos ), 6A a C c= − = ABC∆
*n N∈ { }na n nS nnn ass +=+ 22 1 2
1
1 =a { }nb
321 ,1, bbb −
{ }na { }nb
1 2
2
7nb b ba a a+ + + >=+ bab
y
a
xC xy 342 =
1l 2+= xy
2l 02 =+− ybx PBPA ≠
APB∠数学试卷（理科） 第 5 页（共 6 页）
20.2020 年初全球爆发了新冠肺炎疫情，为了防控疫情，某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产
品，该产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本 （元）与生产该产品的数量
（千件）有关，根据已经生产的统计数据，绘制了如下的散点图.
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数
对两个变量的关系进行拟合。参考数据（其中 ）：
0.41 0.1681 1.492 306 20858.44 173.8 50.39
（1）求 关于 的回归方程，并求 y 关于 u 的相关系数（精确到 0.01）.
（2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产
品单价定为 80 元，则签订 9 千件订单的概率为 0.7，签订 10 千件订单的概率为 0.3；若单价定为 70 元，
则签订 10 千件订单的概率为 0.3，签订 11 千件订单的概率为 0.7.已知每件产品的原料成本为 30 元，根据
（1）的结果，要想获得更高利润，产品单价应选择 80 元还是 70 元，请说明理由.
参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小
二乘估计分别为： ， ，相关系数 .
y x
by a x
= + 1
i
i
u x
=
u
2u 6
2
1
ui
i=
∑ 6
1
i
i
y
=
∑ 6
2
1
i
i
y
=
∑ 6
1
i i
i
u y
=
∑ 0.4834 5252.44×
y x
( )1 1,u υ ( )2 2,u υ ( ),n nu υ uυ α β= +
1
22
1
ˆ
υ υ
β =
=
−
=
−
∑
∑
n
i i
i
n
i
i
u nu
u nu
ˆˆα υ β= − u 1
2 22 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
u nu
r
u nu n
υ υ
υ υ
=
= =
−
=
− −
∑
∑ ∑数学试卷（理科） 第 6 页（共 6 页）
21. 已知函数 ， .
（1）若 ,求证： 有且只有两个零点
（2） 有两个极值点 , ,且不等式 恒成立，试求
实数 的取值范围.
(二)选考部分：共 10 分 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答
时，请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22. (本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C: (θ为参数)，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程 ，点 M( ).在直线 l 上，直线 l 与曲线 C 交于 A，
B 两点.
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的参数方程；
（2）求△OAB 的面积.
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f(x)=|x+1|−|x−2|.
（1）若 f(x)≤1，求 x 的取值范围；
( ) ln 1af x x x
= + − a R∈
ea 1= )(xf
ax
axxxafxg +−−+=
2
2 2)()( 1x 2 1 2( )x x x< 21)( mxxg ≥
m
2cos ,
3sin ,
x
y
θ
θ
= =
cos( )4 aπρ θ − = 2, 4
π数学试卷（理科） 第 7 页（共 6 页）
（2）若 f(x)最大值为 M，且 a+b+c=M，求证：a2+b2+c2≥3.
2020 年茂名市高三级第二次综合测试
数学试题参考答案和评分标准(理科数学）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D C D A C D A A C B A
2．【解析】因为 ， ，所以 . 故选 D.
3.【解析】法一：由 且 ，得 ，
法二：由 ，所以 ，
所以 .故选 C.
4.【解析】由 x2−4x+4＝0⇔(x−2)2=0⇔ x−2=0⇔ x＝2，∴A 正确；
命题“若 ，则方程 x2+x−m＝0 有实根”的逆命题为命题“若方程 x2+x−m＝0 有实根，则 ”， 若
方程 x2+x−m＝0 有实根⇒△=1+4m≥0⇒ ，∴B 正确；
在△ABC 中，若 A＞B⇒a＞b⇒sinA＞sinB(根据正弦定理)∴C 正确,故选 D.
5.【解析】因为阳数为：1，3，5，7，9；阴数为：2，4，6，8，10，所以从阴数和阳数中各取一数的所
有组合共有： 个,满足差的绝对值为 5 的有:(1，6)，(3，8)，(5，10)，(7，2)，（9，4)共 5 个,则 p=
故选 A
6. 【解析】输入 m=2020，n=303，又 r=1.
①r=1＞0，2020÷303=6··············202，
r=202，m=303，n=202；
②r=202＞0，303÷202=1············101
{ }2 2A x x= − < < { }2 1B x x= − ≤ < [ 2,2)A B = −
π 1sin 6 2
θ − =
π0, 2
θ ∈ 3
= πθ
π 1sin 6 2
θ − =
π 3cos 6 2
− =
θ
πcos 3
θ −
π πcos 6 6
θ = − −
π π π πcos cos sin sin 16 6 6 6
θ θ = − ⋅ + − =
1
4m ≥ − 1
4m ≥ −
1
4m ≥ −
2555 =×
5
1
25
5 ==p数学试卷（理科） 第 8 页（共 6 页）
r=101，m=202，n=101；
③r=101＞0，202÷101=2··············0.
r=0，m=101，n=0；
④r=0，则 r＞0 否，输出 m=101，故选 C.
7.【解析】细沙在上部容器时的体积为 ，流入下部后的
圆锥形沙锥底面半径为 4，设高为 h，则 ， ， 下
部 圆 锥 形 沙 锥 的 母 线 长 ， 此 沙 锥 的 侧 面 积
.故选 D.
8. 【 解 析 】 易 知 在 上 为 单 调 递 减 ， 且 ， 由 得 ，
，
又因为 为偶函数，所以 ，所以 .故选 A.
9. 【解析】如图所示， ,
所示
故选 A
10. 【解析】【解析】依题意可得，方案一：第一次付款 2880 元时，因为 ，所以该款的原价
享受了 9 折优惠，则其原价为 元；第二次付款 4850 元时，因为 ，所以其原来
的价格为 元．所以分两次购买饲料的原价为 3200+5500=8700 元.
方案二：若一次性付款，则应付款为： 元，所以节省
元. 故选 C
11.【解析】∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB，在正六边形 ABCDEF 中，AB⊥AE，PA AE=A，∴AB⊥平
面 PAE，且 AB 面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PAE，故①成立；
∵AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直，∴②不成立；
∵CD//AF, 直线 CD 与 PF 所成角为∠PFA，在 Rt△PAF 中, ,∴ ,∴③成立
在 Rt△PAD 中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，故④成立．
∵CD∥AF∥平面 PAF，平面 PAF 平面 PAE=PA，∴直线 CD∥平面 PAE 也不成立，即⑤不成立．故选 B
21 162 43 3V
ππ= × × × =
21 1643 3h
ππ× × × = 1h∴ = ∴
2 24 1 17l = + = ∴
4 17 4 17S π π= × × =侧
( )f x (0, )+∞ 9(2) 4f = ( ) 91 4f x − <
( )1 (2)f x f− <
( )f x 1 2 1 2x x− > − < −或 3 1x x> < −或
32AB = | | 2,MA MA OA= ⊥
330 , 3
bAOM a
∠ = ∴ =
2 2 2 3
3
c a be a a
+∴ = = =
2880 2000>
32000.9
2880 = 4850 4500>
4850 4500 5000 55000.7
− + =
(8700 5000) 0.7 5000 0.9 7090− × + × =
(2880 4850) 7090 640+ − =
⊂
2PA AF= 5cos 5PFA∠ =
A
B
Mo x
y数学试卷（理科） 第 9 页（共 6 页）
12.【答案】
【解析】设 ，所以当 时， ，
此时，由题意得 ， 有唯一实数解 ，
有唯一实数解, 令 ，由对勾函数的性质可知
时， 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 在 单调递增，在 上单调递减，
且当 时， ，当 时 ，结合 的图象可知，
若 与 的图象有唯一交点，
即方程 在 上有唯一实数解，此时 m 的取值范围是
.故选 A
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．【答案】3
解析：∵ ，∴ ，即 ，
由已知得 ，∴
14．【答案】60
【解析】试题分析： 的展开式的通项为 ( ，1，2，…，5)，
令 得 ，所以常数项是 60.
15.【答案】
【解析】由 ，在点 处切线斜率 ，即
2 3{ | 0 , }3 4m m m< ≤ =或
1
2
x
t =
( ),1x∈ −∞ 1 ,2t ∈ +∞
( )2 2 3 0mt m t m+ − + = 1 ,2t ∈ +∞
2
3 3
12 1 2
tm t t t t
= =+ + + +
1 ,2t ∈ +∞
( ) 1 2u t t t
= + +
1 ,2t ∈ +∞
( ) 1 2u t t t
= + + 1 ,12
1 ,2
+∞
( )
3y u t
= 1 ,12
1 ,2
+∞
1
2t =
3 2
1 3
2
y
u
= =
1t = 3
4y = ( )
3y u t
=
y m= ( )
3y u t
=
( )1 12 3 04 2
x x
m m m ⋅ + − ⋅ + =
( ),1−∞
2 3{ | 0 , }3 4m m m< ≤ =或
( )b a kb⊥ + ( ) 0b a kb⋅ + = 2| | 0b a k b⋅ + =
4 2 6,b a⋅ = − − = − | | 2b = 6 2 0 3.k k− + = ⇒ =
62( )xx
+
3 66 6 2
6 6
2C ( ) ( ) 2 C
r
r r r r rx xx
−− −= 0r =
3 6 02
r − = 4r =
24
13
1'( ) 1f x xx
= ++
( )( )1, 1f 3
2k = 3tan 2
α =数学试卷（理科） 第 10 页（共 6 页）
所以
16．【答案】b=2a ; 12
【解析】等式 中 6 换为 c 得： 由正弦定理有：
，移项整理得： ，即 ，所以
，以 为 轴， 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，则
，设 ，则 化简得：
如图，顶点 C 在圆 上,记圆
心为 显然当 时，三角形 ABC 的面积最大, 这时 .
三.解答（本大题共 5 小题，每题 12 分共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.解：（1）由 得， …………… ……………………………1 分
即
………………………………………………………………………………………………2 分
是以首项 ，公比为 的等比数列 ………………………………………………………………3 分
……………………………………………………………………………4 分
设等差数列 的公差为 d，由 ，且 成等比数列.
即 ………………………………………………………………5 分
……………………………………………………………………………………6 分
……………………………………………………………………… …………… ………7 分
（2）由（1）得 …………………………………………… ……………………8 分
= …………………………………………… …………………9 分
=
………
…………… ……………………………10 分
= ………
…………………… ……………………………11 分
=
………………………………………………… ………12 分
2 2
2
2 2 2
2sin sin cos 2tan tan 242sin sin cos sin cos tan 1 13
α α α α αα α α α α α
+ ++ = = =+ +
)cos2(cos6 CaA −= )cos2(cos CaAc −=⋅
)cos2(sincossin CAAC −= ACA sin2)sin( =+ AB sin2sin =
CBCA 2= AB x AB y
)0,3(),0,3( BA − ( , )C x y 2222 )3(2)3( yxyx +−=++
2 2( 5) 16( 0)x y y− + = ≠ 2 2( 5) 16( 0)x y y− + = ≠
)0,5(E ABCE ⊥ 1 122ABCS AB CE∆ = × =
nnn ass +=+ 22 1 nnnn aass == ++ 11 22-2
∴
2
11 =+
n
n
a
a
∴ { }na 2
1
2
1
∴ n
na ）（
2
1=
{ }nb 21 =b 321 ,1, bbb −
∴ )22(2)1( 2 dd +=+ 03-2-2 =dd
0>d ∴ 3=d
∴ 13 −= nbn
13
13 )2
1( −
− == n
nb aa n
∴
nbbb aaa +++ 21 1352 −+++ naaa
1352 )2
1()2
1()2
1( −+++ n
3
3132
)2
1(-1
)2
1()2
1(-)2
1( −n
3 12 1 1 2- ( )7 7 2 7
n− =<
∴
5
52
xy 342 = )0,3( 3
02 =+− yx 222 byx =+
bd ==
+
= 1
11
2数学试卷（理科） 第 12 页（共 6 页）
∴ ………………………………………………………………………………3 分
∵椭圆 的方程是 ……………………………………………… ………………4 分
（2）b=1，直线 与 y 轴交点 P（0，2），………………………………………………5 分
设椭圆上 A、B 两个动点的坐标为： . AB 方程为：
由
………………………………………………………………6 分
……………………………8 分
又 的平分线在 y 轴上
.........10 分
m= , ……………………………………………………………………… ……11 分
直线 恒过定点 ………………………………………… ……………… …12 分
20.【解析】（1）令 ，则 可转化为 ，
因为 ， …………………………………………………………………………………1 分
所以 ，……………………………………2 分
则 ，………………………………………………………………3 分
所以 ，因此 y 关于 的回归方程为 ； ……………… …………………4 分
与 u 的相关系数为：
4222 =+= cba
C
2
2 14
x y+ =
:2l 02 =+− yx
1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 ,mkxy +=
0448)41(4)(4
14
22222
2
2 =−+++⇒=++⇒
=+
+=
mkmmkxx
yx
mkxy
,41
44,41
8
2
2
21221 k
m
mkxx +
−=+−=+得：
211
1
1
1 2,222
x
mkKx
mkx
mkx
x
yK PBPA
−+=−+=−+=−= 同理得：
APB∠
044
168
44
28222 22
21
21 =−
+−=−
−−+=+−+=+
m
mkk
m
mmkkxx
xxmkKK PBPA
)())((
,0, ≠∴≠ kPBPA 2
1
2
1: += kxyAB )2
1,0(
1u x
= by a x
= + y a bu= +
306 516y = =
6
1
6
2 2
1
6 173.8 6 0.41 51 1001.492 6
48.34ˆ
0.4830.168 416
i i
i
i
i
u y uy
b
u u
=
=
− − × ×= = = =− ×−
∑
∑
51ˆˆ 100 0.41 10a y bu= − = − × =
10 100ˆy u= + x 10010ˆy x
= +
y数学试卷（理科） 第 13 页（共 6 页）
，………………6 分
（2）法一：（i）若产品单价为 80 元，记企业利润为 （元），
订单为 9 千件时，每件产品的成本为 元，
企业的利润为 （元），…………………………………………………7 分
订单为 10 千件时，每件产品的成本为 元，
企业的利润为 （元），…………………………………………………………8 分
企业利润 （元）的分布列为
260000 300000
0.7 0.3
所以 （元）；………………………………………9 分
（ii）若产品单价为 70 元，记企业利润为 （元），
订单为 10 千件时，每件产品的成本为 元，
企业的利润为 （元），
订单为 11 千件时，每件产品的成本为 元，
企业的利润为 （元），……………………………………………10 分
企业利润 （元）的分布列为
200000 230000
0.3 0.7
所以 （元），……………………… …………………11 分
故企业要想获得更高利润，产品单价应选择 80 元. …………………………………12 分
法二：（i）若产品单价为 80 元，记企业的产量为 （千件），其分布列为
9 10
0.7 0.3
6
1
2 6 6
2 2 2 2
1 1
48.34 48.346
0.96
0.4834 5252.44 50 39
6
.
6
i i
i
i i
i i
u y uy
r
u u y y
=
= =
−
= = = ≈
× − −
∑
∑ ∑
X
100 10010 30 409 9
+ + = +
10080 40 9000 2600009
− + × =[ ( )]
10
10010 30 50+ + =
80 50 10000 300000− × =( )
X
X
P
260000 0.7 300000 0.3 272000EX = × + × =
Y
10
10010 30 50+ + =
70 50 10000 200000− × =( )
100 10010 30 4011 11
+ + = +
10070 40 11000 23000011
− + × =[ ( )]
Y
Y
P
200000 0.3 230000 0.7 221000EY = × + × =
>EX EY又
X
X
P数学试卷（理科） 第 14 页（共 6 页）
所以 ………………………………………………………………………8 分
企业的利润为：
………………………………
…………………9 分
（ii）若产品单价为 70 元，记企业的产量为 （千件），其分布列为
10 11
0.3 0.7
所以 ……………………………………………… …………………10 分
企业的利润为：
…………………………………………………11 分
故企业要想获得更高利润，产品单价应选择 80 元. ……………………12 分
21. 解:(1) 定义域为 ，
，又
…………………………………………………………1 分
所以 在 是减函数，在 是增函数 …………………………………………2 分
又 ，
所以 在 有唯一零点，且在 也有且只有唯一零点，…………………………3 分
同理 ，
所以 在 有唯一零点，且在 也有且只有唯一零点 …………………………4 分
所以 有且只有两个零点 ……………………………………………………… …………………5 分
（2） 定义域为 ，
有两个极值点 ， ，即
， 有两不等实根 …… 6 分
，
且 ， …………………………………………………………………7 分
9 0.7 10 0.3 9.3EX = × + × =
10080 40 9300 2720009 3[ ( )].
− + × =
Y
X
P
10 0.3 11 0.7 10.7EY = × + × =
10070 40 10700 22100010 7[ ( )].
− + × =
272000>221000又
1ln)( −+=
x
axxf ),0( +∞
2
/ 12)( x
ax
x
axxf
−=−−=
ea 1=
( )f x )1,0( e ),1( +∞
e
01111ln)1( −=−+= eeeef
( )f x )1,1( 3 ee )1,0( e
01111ln)1( =−+=
ee
eeef ln)(
( )f x ),( ee
1 ),1( +∞
e
)(xf
xxxaxg 2ln)( 2 −+= ),0( +∞
)(xg 1x ( )2 1 2x x x<
02222)(
2
/ =−+=−+=
x
xxaxx
axg 022 2 =+− axx )0(, 2121 xxxx ⇒ < <
2
1 2 1 11, 2 2x x a x x+ = = −数学试卷（理科） 第 15 页（共 6 页）
从而 , …………………………………………………………………………8 分
由不等式 恒成立，得
恒成立 …………………………………………………10 分
令 ,
当 时 恒成立，所以函数 在 上单调递减，
， …………………………………………………………………11 分
故实数 的取值范围是 …………………………………………………………12 分
(二)选考部分：
22.解：（Ⅰ）将曲线 C: 消去参数得，曲线 C 的普通方程为： .……………1 分
∵点 M( )在直线 上，∴a= = . ……… …………………2 分
∴ ，展开得 (ρcosθ+ρsinθ)= , 又 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴直线 l 的直角坐标方程为 x+y−2=0, …………………………………………………………………4 分
显然 l 过点(1, 1), 倾斜角为 .
∴直线 l 的参数方程为 (t 为参数). ………………………………………………………5 分
（Ⅱ）法一：由（Ⅰ），将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程得：
， …………………………………………………………………6 分
整理得 ，显然△＞0
设 A, B 对应的参数为 t1, t2, 则由韦达定理得 ， . ………………………7 分
由参数 t 的几何意义得|AB|=| t1−t2|= = ， …………8 分
1 2
10 12x x< < < <
21)( mxxg ≥
1
1
2
111
2
1
2
11
2
1
2
1
1
2222
x
xxxxx
x
xaxx
x
xgm −
−+−=+−=≤ ln)(ln)(
( )1 1 1
1
11 2 ln1x x xx
= − − +−
1 1( ) 1 2 ln 01 2h t t t t tt
= − − + <
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