江苏省2019-2020高一数学下学期期中试题（Word版含答案）

江苏省 2019——2020 学年度第二学期期中考试 高 一 数 学 （试题满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，计 60 分．每小题所给的 A.B.C.D.四个结 论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑。 1．若直线 经过坐标原点和 ，则它的倾斜角是（ ） A． B． C． 或 D． 2． 的值等于（ ） A． B． C． D． 3．过点 A（1，2）作圆 x2+（y﹣1）2＝1 的切线，则切线方程是（ ） A．x＝1 B．y＝2 　　　　C．x＝2 或 y＝1 D．x＝1 或 y＝2 4．平面 平面 ，点 ， ， ， ， ，过 ， ， 确定的平面记为 ，则 是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．以上都不对 5．已知 、 为锐角，若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 6．圆 与圆 的公切线共有（ ） A．1 条 　　　 B．2 条 　　　 C．3 条 　　 D．4 条 7．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ，则 的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 8．已知直线 过圆 的圆心，则 的最小值为（ ） A．3 　　　　B． 　　 C．6 　　　　　　　　D． l (3, 3)− 135° 45° 45° 135° 45− ° 2 2cos 15 sin 15 sin15 cos15° ° ° °− + 3 4 5 4 1 2 3 4 + 4 3 4 + α  lβ = A α∈ B α∈ C β∈ C l∉ AB l R∩ = A B C γ β γ∩ AC CR BC α β 3cos 5 α = ( ) 1tan 3 β α− = tan β = 13 9 9 13 3 1 3 2 24 0x x y− + = 2 2 4 3 0x y x+ + + = ABC∆ A B C a b c sin :sin :sin 3:7 :8A B C = ABC∆ 2 2+ =mx ny ( )0, 0m n> > ( ) ( )2 21 2 5x y− + − = 1 2 m n + 3 2 3+ 3 2 2+9．已知锐角三角形 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的取值范围为（ ） A． 　　　B． 　　　 C． 　 D． 10．在平面直角坐标系中， 、 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆 与直线 相切，则圆 面积的最小值（ ） A． B． C． D． 11．在 中， 为 边上一点，若 是等边三角形，且 ，则 的面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 12．在 中，内角 所对的边分别为 ，角 为锐角，若 ， 则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分．只要求写出最后结果，并将正 确结果填写到答题卡相应位置． 13．下列说法中正确的有 个． ①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面； ②一个平行四边形确定一个平面； ③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等； ④已知两个不同的平面 和 ，若 ，且 ，则点 在直线 上． 14．在 中，已知 ，则 =__________． 15．在 中， ， 的平分线 交 于 ， ，则 =_____． ABC , ,A B C , ,a b c 2, 2a B A= = b (0,4) (2,2 3) (2 2,2 3) (2 2,4) A B x y AB C 3 2 1 0x y+ − = C 52 π 54 π 56 π 58 π ABC∆ D BC ABD∆ 4 3AC = ADC∆ 4 3 6 3 8 3 10 3 ABC∆ , ,A B C , ,a b c tan 6 tan tan tan A B C A +⋅ 7 3 3 3 5 2 3 3 2 3 2 lα β = A l ABC∆ 2, 2, 45a b B= = = ° A ABC∆ BAC∠ AD B 4 cosc b A= α β ,A Aα β∈ ∈ 60BAC∠ =  BC D 3AB AC= AC AD16．在平面四边形 中， ， , ．若 ，则 的最小值为 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，计 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤． 17．（本小题满分 10 分： ）已知两条直线 ， 相交于 点. （1）求交点 的坐标； （2）求过点 且与直线 垂直的直线 的方程． 18．（本小题满分 12 分： ）已知函数 ， ． （1）当 时，求函数 的值域； （2）若 ， ，求 的值． 19．（本小题满分 12 分： ）如图，在正方体 中，E、F、G、H 分别是棱 、 、 、 的中点． （1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线 与 所成的角的大小． OPMN 90PON∠ =  3OP = 1ON = 3 5MP MN+ ( ) 3sin cosf x x x= − x∈R [0, ]x π∈ ( )f x α 10 6 13f πα + =   1 1 1 1ABCD A B C D− AB BC 1 1C D EF GH 1A D EF 4MO MP⋅ =  5 5′ ′+ 1 : 2 4 0l x y− + = 2 : 3 2 0l x y+ − = P P P 3 0x y− + = l 6 6′ ′+ [0, ]2 π∈ sin 2α 6 6′ ′+ 1CC20．（本小题满分 12 分： ）如图，在直角 中， ， ， ，点 在线段 上． （1）若 ，求 的长； （2）点 是线段 上一点， ，且 ，求 的值． 21．(本小题满分 12 分： )如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边 为半圆的直径， 为半圆的圆心， ， ，现要将此铁皮剪出一个三角 形 ，使得 ， ． (1)设 ，求三角形铁皮 的面积； (2)求剪下的铁皮三角形 的面积的最大值． 22．（本小题满分 12 分： ）在平面直角坐标系 中，已知圆 过坐标原点 且圆心在曲线 上． （1）求圆 M 面积的最小值； （2）设直线 与圆 交于不同的两点 ，且 ，求圆 的方程； （3）设直线 与（2）中所求圆 交于点 、 ， 为直线 上的动点，直 ACB△ 2ACB π∠ = 3CAB π∠ = 2AC = M AB 3sin 3CMA∠ = CM N CB 7MN = 1 2BMN ACBS S=△ △ BM BN+ AD O 1AB = 2BC = PMN MN BC⊥ 30MOD∠ =  PMN PMN xOy M O xy 3= 43 3: +−= xyl M C D、 |||| ODOC = M 3=y M E F P 5=x 5 7′ ′+ 5 7′ ′+ PM PN= 4 4 4′ ′ ′+ +线 ， 与圆 的另一个交点分别为 ， ，求证：直线 过定点．PE PF M G H GH答案 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8． D 9．C 10．A 11．A 12．B 13．2 14． 15． 16． 17．解：（1）由 得： ， ； （2） 直线 斜率为 ， 直线 斜率 . ，即： . 18．解：（1） ，则当 时， ， ， ，所以函数 的值域为 ． （2） ，即 ， ，故 ； ． 19．解：（1）取 的中点 ∵E、F、I 分别是正方形 中 、 、 的中点 ∴ ∴在平面 中，延长 与 必交于 C 右侧一点 P，且 30° 4 3 9 298 5 2 4 0 3 2 0 x y x y − + =  + − = 0 2 x y =  = ( )0,2P∴  3 0x y− + = 1 ∴ l 1k = − ( ): 2 1 0l y x∴ − = − − 2 0x y+ − = ( ) 2sin 6f x x π = −   [0, ]x π∈ 5[ , ]6 6 6x π π π− ∈ − 1sin( ) [ ,1]6 2x π− ∈ − 2sin( ) [ 1,2]6x π− ∈ − ( )f x [ 1,2]− 102sin6 13f πα α + = =   5sin 13 α = 0, 2α π∈     12cos 13 α = 5 12 120sin 2 2sin cos 2 13 13 169 α α α= = × × = CD I ABCD AB BC CD 1 2CF EI∥ ABCD EF DC PC CI=同理，在平面 中，延长 与 必交于 C 右侧一点 Q，且 ∴P 与 Q 重合 进而，直线 与 相交 方法二：∵在正方体 中，E、H 分别是 、 的中点 ∴ ∴ 是平行四边形 ∴ 又∵F、G 分别是 、 的中点 ∴ ∴ ， ∴ 、 是梯形 的两腰 ∴直线 与 相交 （2）解：∵在正方体 中， ∴ 是平行四边形 ∴ 又∵E、F 分别是 、 的中点 ∴ 1 1CC D D HG DC QC CI= EF GH 1 1 1 1ABCD A B C D− AB 1 1C D 1 1 2EB CD HC∥ ∥ 1EBC H 1EH BC∥ BC 1CC 1 1 2FG BC∥ ∥EH FG EH FG≠ EF GH EFGH EF GH 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AA CC∥ 1 1ACC A 1 1/ /AC AC AB BC / /EF AC∴ ∴ 与 所成的角即为 与 所成的角 （或： 与 所成的角即为 及其补角中的较小角）① 又∵在正方体 中， 为等边三角形 ∴ ② ∴由①②得直线 与 所成的角为 20．（1）在 中，已知 ， ， ，由正弦 定理，得 ，解得 ． （2）因为 ，所以 ，解得 ． 在 中，由余弦定理得， ， 即 ， ， 故 ． 1 1EF AC 1A D EF 1A D 1 1AC 1A D EF 1 1DAC∠ 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AC D∆ 1 1 60DAC∠ = ° 1A D EF 60° CAM 3CAM π∠ = 3sin 3CMA∠ = 2AC = sin sin CM AC CAM CMA =∠ ∠ 3sin 23 2 3sin 3 3 AC CM CMA π⋅ × = = =∠ 1 2BMN ACBS S=△ △ 1 1 1sin 2 2 32 6 2 2BM BN π⋅ ⋅ ⋅ = × × × 4 3BM BN⋅ = BMN∆ ( )22 2 2 32 cos 2 16 2MN BM BN BM BN BM BN BM BN π  = + − ⋅ = + − ⋅ ⋅ +    ( )22 3( 7) 2 4 3 1 2BM BN  = + − × × +    ( ) ( )22 19 8 3 4 3BM BN+ = + = + 4 3BM BN+ = +9 21．（1）由题意知 ， ， ， ，即三角形铁皮 的面积为 ； （2）（2）设 ，则 ，因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性， 所以只需考察 。 ， ， 令 ，由于 ，所以 ， 则有 ，所以 ， 且 ，所以 ， 故 ， 而函数 在区间 上单调递增， 1 1 1 2 12 2 2OM AD BC= = = × = 3sin sin 1 sin30 1 2MN OM MOD CD OM MOD AB∴ = ∠ + = ∠ + = × + = 3 2 3cos 1 1 cos30 1 2 2BN OA OM MOD += + ∠ = + × = + = 1 1 3 2 3 6 3 3 2 2 2 2 8PMNS MN BN∆ + +∴ = ⋅ = × × = PMN 6 3 3 8 + MOD x∠ = 0 x π< < 0 2x π< ≤ sin sin 1MN OM x CD x= + = + cos cos 1BN OM x OA x= + = + ( ) ( ) ( )1 1 1sin 1 cos 1 sin cos sin cos 12 2 2PMNS MN BN x x x x x x∆∴ = ⋅ = + ⋅ + = + + + sin cos 2 sin 4t x x x π = + = +   0 2x π< ≤ 3 4 4 4x π π π< + ≤ 2 sin 12 4x π ≤ + ≤   1 2t≤ ≤ ( )22 sin cos 1 2sin cost x x x x= + = + 2 1sin cos 2 tx x −= ( ) ( )2 221 1 1 11 2 1 12 2 4 4PMN tS t t t t∆  −= + + = + + = +   ( )21 14y t= + 1, 2  10 故当 时， 取最大值，即 ， 即剪下的铁皮三角形 的面积的最大值为 ． 22．解：（Ⅰ）由题意可设圆 M 的圆心为 ， 则半径为 （当且仅当 时取等号）， 所以圆 M 的面积最小值为 ． （Ⅱ）由 ，知 ． 所以 ，解得 ． 当 时，圆心 M 到直线 的距离 小于半径，符合 题意； 当 时，圆心 M 到直线 的距离 大于半径， 不符合题意． 所以，所求圆 M 的方程为 ． （Ⅲ）设 ， ， ，又知 ， ， 所以 ， ． 因为 ，所以 ． 2t = y ( )2 max 1 3 2 22 14 4y += + = PMN 3 2 2 4 + 3( , )x x 2 2 2 2 3 32 2 3x xx x + ≥ × = 2 3x = 2 3π |||| ODOC = lOM ⊥ 33 2 == tkOM 1±=t 1=t )3,1( 43 3: +−= xyl )13(2 −=d 1−=t )3,1( −− 43 3: +−= xyl )13(2 +=d 4)3()1( 22 =−+− yx ),5( 0yP ),( 11 yxG ),( 22 yxH )3,1(−E )3,3(F GEPE kx yyk =+ −=−= 1 3 6 3 1 10 FHPF kx yyk =− −=−= 3 3 2 3 2 20 PFPE kk =3 2 2 2 2 2 1 2 1 )3( )3( )1( )3(9 − −=+ −× x y x y11 将 ， 代入上式， 整理得 ． ① 设直线 的方程为 ，代入 ， 整理得 ． 所以 ， ． 代入①式，并整理得 ， 即 ， 解得 或 ． 当 时，直线 的方程为 ，过定点 ； 当 时，直线 的方程为 ，过定点 第二种情况不合题意（G、H 只可能在直径的异侧），舍去 2 1 2 1 )1(4)3( −−=− xy 2 2 2 2 )1(4)3( −−=− xy 020)(72 2121 =++− xxxx GH bkxy += 4)3()1( 22 =−+− yx 032)2322()1( 222 =−+−−++ bbxkkbxk 221 1 2322 k kkbxx + −−−=+ 2 2 21 1 32 k bbxx + −=⋅ 033710)327( 22 =+−+−+ bkbkb 0)35)(32( =−+−+ kbkb kb 23 −= kb 53 −= kb 23 −= GH 3)2( +−= xky )3,2( kb 53 −= GH 3)5( +−= xky )3,5(