江苏省2019-2020高二数学4月月考试题（Word版含答案）

1 江苏省 2019—2020 学年度第二学期 4 月考 高 二 数 学 （试题满分：150 分 考试时间：120 分钟） 2020.04 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，计 40 分．在每小题所给的 A.B.C.D.四 个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑. 1．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．已知某物体的运动方程是 ，则当 时的瞬时速度是（ ） A． B． C． D． 3．若 ，则 等于（ ） A．－4 B．4 C．－64 D．－63 4．已知等比数列 的公比 ，且 ， ，则 的前 2020 项 和等于（　　） A. 2020 　　　 B. 　　　　 C. １ 　　 　　D. ０ 5．高三要安排毕业晚会的 4 个音乐节目，2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要 求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ） A．1800 B．3600 C．4320 D．5040 6．已知点 在直线 上，点 在曲线 上，则 ， 两点间距离的最 小值为（ ） A． B． C． D．3 Rθ ∈ | |12 12 π πθ − < 1sin 2 θ < 3 9 ts t= + 3t s= 2 /m s 3 /m s 4 /m s 5 /m s 6 6 2 210 6)32( xaxaxaax ++++=−  621 aaa +++  { }na 0q < 2 1a = 2 1+2n n na a a+ += { }na 1− P 2 1y x= + Q = lny x x+ P Q 3 5 5 2 5 5 2 5 52 7．已知双曲线 的实轴长为 ，虚轴的一个端点与抛物线 的焦点重合，直线 与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平 行，则 的值为（ ） A. ４ B.３ C. ２ D. １ 8．设定义在 上函数 的导函数 满足 ,则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分．在每小题所给的 A.B.C.D.四个选 项中，有多项是正确的，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．请 在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑. 9．将四个不同的小球放入三个分别标有 1、2、3 号的盒子中，不允许有空盒子的放法有 多少种？下列结论正确的有（ ）. A． B． C． D．18 10．在 的展开式中，系数最大的项是第（ ） 项. A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 11．在平面直角坐标系 中，椭圆 上存在点 ，使得 ，其中 、 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数 有两个零点 ， ，则下列的判断中，不正确的是（ ） A. B. C. D.有极小值点 ，且 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 4 2 2 2 ( 0)x py p= > 1y kx= − p (0, )+∞ ( )f x ( )f x′ ( ) xf x e′ > ( ) ( ) 22 1f f e− > ( ) ( ) 22 1f f e− < ( ) ( ) 22 1f f e e− > − ( ) ( ) 22 1f f e e− < − 1 1 1 1 3 2 1 3C C C C 2 3 4 3C A 1 2 2 3 4 2C C A 18( )a b− xOy ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > P 1 23PF PF= 1F 2F 1 4 1 2 3 5 6− 3 4 ( ) xf x e ax= − 1x 2x a e< 1 2 2x x+ < 1 2 1x x > 0x 1 2 02x x x+ 0y > 2 1 1x y + = 22 2x y m m+ > + m 2 1( ) , ( ) ln 2 xf x e g x x= = + , (0, )a R b∀ ∈ ∃ ∈ +∞ ( ) ( )f a g b= b a− 2 9 96x xA A −> x N∈ 3x ≥ 5 6 7 1 1 7 10m m mC C C − = 3 3 1 2 n x x  −   2x 3 2( ) 3 ( , )f x ax bx x a b R= + − ∈ (1 (1))f， 2 0y + = ( )f x4 （2）若经过点 可以作出曲线 的三条切线，求实数 的取值范围． 20.（本小题满分 12 分） 如图，在多面体 中，四边形 为矩形，四边形 为直角梯形， 平面 平面 ， ， ， ， 为线段 上动点． （1）若 为 中点，求证： 平面 ； （2）线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 所成的锐二面角大小为 ？ 若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由． 21.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 的左焦点为 ,离心率为 ，点 在椭圆上 且位于第一象限，直线 被圆 截得的线段的长为 ， . （1）求直线 的斜率； （2）求椭圆的方程； （3）设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，求直线 （ 为原点）的斜率 的取值范围. 22.（本小题满分 12 分） 设函数 ，其中 . （1）讨论函数 极值点的个数，并说明理由； （2）若 成立，求 的取值范围. 2 2 2 2+ =1( 0)x y a ba b > > 3 3 4 2 2+ 4 bx y = 2 ( ) ( ) ( )2ln 1f x x a x x= + + − a R∈ ( )f x ( )0, 0x f x∀ > ≥ a (2, )M m ( )y f x= m ABCDEF CDEF ABCD CDEF ⊥ ABCD = =90BAD ADC∠ ∠ ° 1 12AB AD CD= = = = 3ED M EA M EA //AC MDF EA M MDF ABCD 3 π AM ( ,0)F c− M FM c 4 3| | 3FM = FM P FP OP O5 高二数学 4 月份月考参考答案 一、单项选择题 1．A 2．C 3．D 4．Ｄ 5．B 6．B 7．Ａ 8．C 二、多项选择题 9．BC 10．BD 11．BCD 12．ABC 【12 详解】 对于①，∵ ， ∴ ，令 ， 当 时， 在 上恒成立， ∴ 在 上单调递增． 当 时，由 ，解得 ；由 ，解得 ； ∴ 在 单调递减，在 单调递增． ∵函数 有两个零点 ， ， ∴ ， ，即 ，即 ， 解得： ；所以 A 不正确； 对于 B，因为函数 有两个零点 ， ， 所以 ， 是方程 的两根，因此 ， ， 所以 ， 取 ， ，∴ ， ，∴ ， ( ) xf x e ax= − ( ) xf x e a′ = − ( ) 0xf x e a′ = − > 0a ≤ ( ) 0xf x e a′ = − > x∈R ( )f x R 0a > ( ) 0f x′ > lnx a> ( ) 0f x′ < lnx a< ( )f x ( ,ln )a−∞ (ln , )a +∞ ( ) xf x e ax= − 1x 2x 0a > (ln ) 0f a < ln ln 0ae a a− < ln 0a a a− < a e> ( ) xf x e ax= − 1x 2x 1x 2x 0xe ax− = 1 1lnx ax= 2 2lnx ax= ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2ln 2ln ln 2 lnx x a x x a x x x x+ = = + > + 2 2 ea = 2(2) 2 0f e a= − = 2 2x = (0) 1 0= >f 10 1x< (0) 1 0= >f 10 1x< < 1 2 1x x > ( ,ln )a−∞ (ln , )a +∞ 0 lnx a= 1 2 02 2lnx x x a+ < = ( , )2 π π ( 4,2)− 11+ ln 22 9! 9!6(9 )! (11 )!x x > ⋅− − 1 6 (9 )! (11 ) (10 ) (9 )!x x x x >− − ⋅ − ⋅ − 2 21 104 0x x− + > 8x < 13x > 3 9x≤ ≤ x N∈ { }3,4,5,6,7 2 3 1 1( )2 n r r r r nT C x − + = − 2 5 =0 103 n n − × ∴ =7 （2） 展开式中所有的有理项为 19．（I）f'（x）=3ax2+2bx﹣3． 根据题意，得 即 解得 所以 f（x）=x3﹣3x． （II）设切点为（x0，y0），则 y0=x03﹣3x0，f'（x0）=3x02﹣3，切线的斜率为 3x02﹣3 则 3x02﹣3= ，即 2x03﹣6x02+6+m=0． ∵过点 M（2，m）（m≠2）可作曲线 y=f（x）的三条切线， ∴方程 2x03﹣6x02+6+m=0 有三个不同的实数解， ∴函数 g（x）=2x3﹣6x2+6+m 有三个不同的零点， ∴g（x）的极大值为正.极小值为负 则 g'（x）=6x2﹣12x．令 g'（x）=0，则 x=0 或 x=2，列表： 由 ，解得实数 m 的取值范围是﹣6＜m＜2． 20． 10 2 =2 23 r r − ∴ = 2 2 10 1 45( )2 4C∴ − = 10 2 2,5,83 r Z r − ∈ ∴ = 2 2 2 2 5 5 8 8 2 10 10 10 2 1 45 1 63 1 45( ) ( ) ( )2 4 2 8 2 256 xC x C C x x −− − −= ， = ， =8 21．(I)由已知有 ，又由 ，可得 ， ， 设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，由已知有 ，解得 . 2 2 1 3 c a = 2 2 2a b c= + 2 23a c= 2 22b c= FM ( 0)k k > FM ( )y k x c= + 2 2 2 2 2 21 kc c b k      + =        +  3 3k =9 (II)由(I)得椭圆方程为 ，直线 的方程为 ，两个方程联 立，消去 ，整理得 ，解得 或 ，因为点 在第一象 限，可得 的坐标为 ，由 ，解得 ，所以椭圆方程为 (III)设点 的坐标为 ，直线 的斜率为 ，得 ，即 , 与椭圆方程联立 ，消去 ，整理得 ，又由已知，得 ，解得 或 ， 设直线 的斜率为 ，得 ，即 ，与椭圆方程联立，整理可得 . ①当 时，有 ，因此 ，于是 ，得 2 2 2 2 13 2 x y c c + = FM ( )y k x c= + y 2 23 2 5 0x cx c+ − = 5 3x c= − x c= M M 2 3, 3c c       2 2 2 3 4 3( ) 03 3FM c c c  = + + − =    1c = 2 2 13 2 x y+ = P ( , )x y FP t 1 yt x = + ( 1)y t x= + ( 1)x ≠ − 2 2 ( 1) 13 2 y t x x y = + + = y 2 2 22 3 ( 1) 6x t x+ + = 2 2 6 2 23( 1) xt x −= >+ 3 12 x− < < − 1 0x− < < OP m ym x = ( 0)y mx x= ≠ 2 2 2 2 3m x = − 3 , 12x  ∈ − −   ( 1) 0y t x= + < 0m > 2 2 2 3m x = − 2 2 3,3 3m  ∈   10 ②当 时，有 ，因此 ，于是 ，得 综上，直线 的斜率的取值范围是 22． ( )1,0x ∈ − ( 1) 0y t x= + > 0m < 2 2 2 3m x = − − 2 3, 3m  ∈ −∞ −    OP 2 3 2 2 3, ,3 3 3    −∞ −       111213 （4）当 时，设 0a < ( ) ( )ln 1h x x x= − +14