江苏省2019-2020高二数学下学期期中试题（Word版含答案）

1 江苏省 2019—2020 学年度第二学期期中考试 高 二 数 学 （试题满分：150 分 考试时间：120 分钟） 2020.5 一、选择题 （一）单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，计 40 分．在每小题所给的 A.B.C.D.四个选项中，只有 一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑. 1．化简：퐴25 = （　　） A．10 B．20 C．30 D．40 2．下列导数运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3． (푎 + 푏)5的展开式中푎3푏2的系数为（ ） A．20 B．10 C．5 D．1 4．已知 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 5．在某项测试中，测量结果 服从正态分布 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．设 ,且 0≤ ＜13,若512020 +푎能被 13 整除,则 （　　） A．0 B．1 C．11 D．12 7．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 的值的范围是：3.1415926＜ ＜3.1415927，为纪念祖冲之 在圆周率的成就，把 3.1415926 称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖 率”，让同学们把小数点后的 7 位数字 1，4，1，5，9，2，6 进行随机排列，整数部分 3 不变，那么可以 得到大于 3.14 的不同数字有（ ） 2 1 1' x x   =   (sin ) cosx ' x= − (3 )' 3x x= 1(ln )x ' = x ( ) 3 10P AB = ( ) 3 5P A = ( )|P B A 9 50 1 2 9 10 1 4 ξ ( )( )21, 0N σ σ > ( )0 1 0.4P ξ< < = ( )0 2P ξ< < = 0.4 0.8 0.6 0.2 a N∈ a a = π π2 A．2280 B．2120 C．1440 D．720 8．若关于 的不等式 有正整数解，则实数 的最小值为（ ） A． B． C． D． （二）多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分．在每小题所给的 A.B.C.D.四个选项中，有多项 是正确的，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．请在答题卡上将正确选项按填涂要 求涂黑. 9．定义在 上的可导函数 的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ） A．-3 是 的一个极小值点； B．-2 和-1 都是 的极大值点； C． 的单调递增区间是 ； D． 的单调递减区间是 ． 10．将高二(1)班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配 方法有多少种？下列结论正确的有（ ） A． B． C． D．18 11．已知 的展开式中第 5 项的二项式系数最大，则 n 的值可以为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 12．关于函数 ， ，下列说法正确的是（ ） A．当 时， 在 处的切线方程为 ； B．当 时， 存在唯一极小值点 ，且 ； C．对任意 ， 在 上均存在零点； D．存在 ， 在 上有且只有一个零点. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题 卡相应位置． x 1 1 27 k x x   ≤   k 9 8 7 6 R ( )y f x= ( )f x ( )f x ( )f x ( )3,− +∞ ( )f x ( ), 3−∞ − 1 1 1 1 3 2 1 3C C C C 2 3 4 3C A 1 2 2 3 4 2C C A ( )na b+ ( ) sinxf x e a x= + ( , )x π∈ − +∞ 1a = ( )f x (0, (0))f 2 1 0x y− + = 1a = ( )f x 0x ( )01 0f x− < < 0a > ( )f x ( , )π− +∞ 0a < ( )f x ( , )π− +∞3 13．已知甲、乙、丙 3 名运动员击中目标的概率分别为 0.7，0. 8，0.85，若他们 3 人向目标各发 1 枪，则 目标没有被击中的概率为__________. 14．已知函数f(푥) = 푥2,当∆푥→0时，f(1 + ∆푥) ― 푓(1) ∆푥 →퐴,则퐴= __________. 15．设随机变量 ξ 的概率分布列为푃(휉 = 푘) = 푐 푘 + 1，푘 = 0，1，2，3，则푃(휉 = 2) = __________. 16. 若对任意 ，恒有 ，则实数 的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共 6 小题，计 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分） 高二某班级有 5 名男生，4 名女生排成一排.（以下结果用数字作答） （1）从中选出 3 人排成一排，有多少种排法？（2）若 4 名女生互不相邻，有多少种不同的排法？ 18．（本小题满分 12 分） 已知函数 在 和 处取得极值. （1）求 ， 的值；（2）求 在 内的最值. 19．（本小题满分 12 分） 某次数学知识比赛中共有 6 个不同的题目，每位同学从中随机抽取 3 个题目进行作答，已知这 6 个题 目中，甲只能正确作答其中的 4 个，而乙正确作答每个题目的概率均为 ，且甲、乙两位同学对每个题 目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求乙同学答对 2 个题目的概率； （2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是 ， ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数 ， 的 概率分布和数学期望. 0x > ( ) 11 2 lnaxa x xxe  + ≥ +   a ( ) 3 2 3f x ax bx x= + − 1x = − 3x = a b ( )f x [ ]4,4− 2 3 m n m n4 20.（本小题满分 12 分） 已知 ． （1）设 ， ①求 ；②若在 中，唯一的最大的数是 ，试求 的值； （2）设 ，求 ． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 （ ），且 的最小值为 0. （1）求实数 a 的值； （2）若直线y = 푏与函数f(푥)图象交于퐴,퐵两点,퐴(x1,푓(x1)), 퐵(x2,푓(x2)),且 ，퐴,퐵两点的中点푀的横 坐标为x0,证明：x0 > 1. 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 ，其中 . （1）若푎 = 1，证明：푓(푥) ≤ 0； *( ) ( 2) ,nf x x n N= + ∈ 2 0 1 2( ) n nf x a a x a x a x= + + + + 0 1 2 na a a a+ + + + 0 1 2, , , , na a a a 4a n 2 0 1 2( ) ( 1) ( 1) ( 1)n nf x b b x b x b x= + + + + + + + 1 1 1 n r r br= +∑ ( ) 2 lnf x x x a x= − + 0a < ( )f x 1 2x x< 2( ) ln , ( ) xf x x x ax g x e e= − + = − 0a >5 （2）用 表示 和 中的较大值，设函数 ，讨论函数 在 上的零点的个数. 江苏省 2019—2020 学年度第二学期期中考试 高二数学（参考答案） 1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A 【解析】因为不等式有正整数解，所以 ，于是 转化为 ， 显然不 是不等式的解，当 时， ，所以 可变形为 ．令 ， 则 ，∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减，而 ， 所以当 时， ，故 ，解得 ．故选 A． 9. ACD 10．BC 11．ABC 12．ABD 【解析】当 时， ，求出 ，得到 在 处的切线的点 斜式方程，即可判断选项 A；求出 的解，确定 单调区间，进而求出 极 max{ , }m n m n ( ) max{ ( ), ( )}h x f x g x= ( )h x (0, )+∞ 0x > 1 1 27 k x x   ≤   ln 3ln3k x x ≥ 1x = 1x > ln 0x > ln 3ln3k x x ≥ ln 3ln3x x k ≥ ( ) ln xf x x = ( ) 2 1 ln xf x x −′ = ( )f x ( )0,e ( ),e +∞ 2 3e< < *x∈N ( ) ( ){ }max ln3max 2 , 3 3f f f= = ln3 3ln3 3 k ≥ 9k ≥ 1a = ( ) sinxf x e x= + ( ), (0), (0)f x f f′ ′ ( )f x (0, (0))f ( ) 0, ( ) 0f x f x′ ′> < ( )f x ( )f x6 值点个数，以及极值范围，可判断选项 B；令 ，当 时，分离参数可得 ，设 ，求出 的极值最值，即可判断选项 C，D 的真假. 13．0.009 14．2 15． 16． 【解析】由题意可知，不等式 变形为 . 设 ，则 . 当 时 ，即 在 上单调递减. 当 时 ，即 在 上单调递增. 则 在 上有且只有一个极值点 ，该极值点就是 的最小值点. 所以 ，即 在 上单调递增. 若使得对任意 ，恒有 成立. 则需对任意 ，恒有 成立. 即对任意 ，恒有 成立，则 在 恒成立. ( ) sin 0xf x e a x= + = 0a ≠ 1 sin x x a e − = sin( ) , ( , )x xg x xe π= ∈ − +∞ ( )g x 2a e ≥ ( ) 11 2 lnaxa x xxe  + ≥ +   ( ) ( )2 21 ln 1 lnax axe e x x+≥+ ( ) ( ) ( )1 ln 0f t t t t= + > ( ) ( ) ( )( ) 11 ln 1 ln ln 1f t t t t t t t ′ ′′ = + + + = + + ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1ln 1 tt tf t tt t ′ − ′ ′= + + = − = ′   ′ 0 1t< < ( ) 0f t′′ < ( )f t′ ( )0,1 1t > ( ) 0f t′′ > ( )f t′ ( )1,+∞ ( )f t′ ( )0, ∞+ 1t = ( )f t′ ( ) ( ) 11 ln1 1 2 01f t f′ ′≥ = + + = > ( )f t ( )0, ∞+ 0x > ( ) 11 2 lnaxa x xxe  + ≥ +   0x > ( ) ( )2axf e f x≥ 0x > 2axe x≥ 2ln xa x ≥ ( )0, ∞+7 设 则 . 当 时， ，函数 在 上单调递增 当 时， ，函数 在 上单调递减 则 在 上有且只有一个极值点 ，该极值点就是 的最大值点. 所以 ，即 . 17．【解析】（1）由题意，有 5 名男生，4 名女生排成一排，共 9 人 从中选出 3 人排成一排，共有 种排法； （2）可用插空法求解，先排 5 名男生有 种方法，5 个男生可形成 6 个空，将 4 个女生插入空 中，有 种方法，故共有 种方法. 18．【解析】 （1） .由题可得 的根为-1 和 3， ∴ ，解得 .检验单调性符合. （2）由（1）得 ， ， ∴ 在 和 内单调递增； 在 内单调递减.(需要列表) 又∵ ， ， ， ， ( ) ( )( )2ln , 0,xg x xx = ∈ +∞ ( ) ( ) ( ) 2 2 2ln 2ln 2 2lnx x x x xg x x x ′ ′− −′ = = 0 x e< < ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0,e x e> ( ) 0g x′ < ( )g x ( )0,e ( )g x ( )0, ∞+ x e= ( )g x ( ) ( )max 2g x g e e = = 2a e ≥ 3 9 504A = 5 5A 4 6A 5 4 5 6 43200A A = ( ) 2' 3 2 3f x ax bx= + − ( )' 0f x = 21 3 3 11 3 b a a − + = − − × = − 1 3 1 a b  =  = − ( ) 3 21 33f x x x x= − − ( ) 2' 2 3f x x x= − − ( )f x ( ), 1−∞ − ( )3,+∞ ( )f x ( )1,3− ( ) 764 3f − = − ( ) 51 3f − = ( )3 9f = − ( ) 204 3f = −8 ∴ ； . 19．【解析】（1）记事件 A:乙答对 2 题,故所求的概率 푃(퐴) = 퐶23(2 3)2(1 3) = 4 9 . 答：甲答对 1 题乙答对 2 题的概率为4 9. （2） 的所有取值有 1，2，3，푚~퐻(3,4,6) 푃(푚 = 1) = 퐶14퐶22 퐶36 = 1 5，푃(푚 = 2) = 퐶24퐶12 퐶36 = 3 5，푃(푚 = 3) = 퐶34 퐶36 = 1 5， 푚 1 2 3 푃 1 5 3 5 1 5 故퐸(푚) = 1 × 1 5 +2 × 3 5 +3 × 1 5 = 2或퐸(푚) = 3 × 4 6 = 2. 由题意可知푛 ∼ 퐵(3,2 3)， 푃(n = 1) = 퐶13(2 3)1(1 3)2 = 2 9 ，푃(푛 = 2) = 퐶23(2 3)2(1 3) = 4 9 ，푃(푛 = 3) = 퐶33(2 3)3 = 8 27， n 1 2 3 푃 2 9 4 9 8 27 故퐸(푛) = 1 × 2 9 +2 × 4 9 +3 × 8 27 = 2或퐸(푛) = 3 × 2 3 = 2. 答：甲、乙两位同学答对题目数푚,푛的数学期望均为 2. 20．【解析】（1）因为 ， ①令 ，则 ； ( ) ( )min 764 3f x f= − = − ( ) ( )max 51 3f x f= − = m 2 0 1 2( ) ( 2)n n nf x x a a x a x a x= + + + + +=  1x = 0 1 2 3n na a a a+ + + =+9 ②因为二项式 展开式的通项为： ， 又在 中，唯一的最大的数是 ， 所以 ，即 ，解得 ，即 ， 又 ，所以 或 ； （2）因为 ， 根据二项展开式的通项公式，可得， ， 所以 ， 则 . 21．【解析】（1） （ ）. 因为 ，所以 ， 令푓′(푥) = 0得 ， ， 且 ， ，在 上푓′(푥) > 0；在 上푓′(푥) < 0； 所以函数 在 时，取最小值 0，又 ，所以 ，解得 . （2）由（1）得 ，函数 ， (2 )nx+ 1 2r n r r r nT C x− + = 0 1 2, , , , na a a a 4a 4 4 5 5 4 4 3 3 2 2 2 2 n n n n n n n n C C C C − − − −  >  > 4 5 4 5 4 5 4 3 4 3 4 3 2 2 n n n n A A A A A A A A  × >  > × 14 11 n n  11 14n< < *n N∈ 12n = 13 [ ] 2 0 1 2( ) ( 2) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)nn n nf x x x b b x b x b x= + + + = + + + + + += + r r nb C= 1 1 1 1 ! 1 ( 1)! 1= 1 1 !( )! 1 ( 1)!( )! 1 1 1 nr r r n n nC Cr r r n r n r n r nbr + + +⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅+ + − + + − ++ ( ) 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2 ( 1) 1 21 1 2 1 1 1 n n n n n n n r r n nbr C C Cn n n + + + = + + + − + − − −= ⋅ + +⋅⋅⋅+ =+ ++ = +∑ ( ) 222 1 a x x af x x x x − +′ = − + = 0x > 0a < 1 8 0a− > 1 1 1 8 4 ax − −= 2 1 1 8 4 ax + −= 1 0x < 2 0x > 1 1 8 ,4 a + − +∞    1 1 80, 4 a + −    ( )f x 1 1 8 4 ax + −= ( )1 0f = 1 1 8 14 a+ − = 1a = − 1a = − ( ) 2 lnf x x x x= − −10 设푓(푥1) = 푓(푥2) = 푏（푏 > 0），则 ，设 （ ）， 则 ， ， 所以 为减函数，所以 ， 即 ，所以 ，即 ， 又 ，所以 ，又当 时， 为增函数， 所以 ，即 .即x0 > 1. 22．【解析】（1）f′(푥) = 1 푥 ―2푥 + 1 = ―(푥 ― 1)(2푥 + 1) 푥 , 푥 ∈ (0,1),푓′(푥) > 0,푓(푥)增；푥 ∈ (1, + ∞),푓′(푥) < 0,푓(푥)减； ∴ f(푥) ≤ 푓(1) = 0. （2）在区间 上， ，所以 ， 所以 在区间 上不可能有零点.下面只考虑区间 上和 处的情况. 由题意 的定义域为 ， . 令 可得 （负值舍去）. 在 上 为增函数，在 上 ， 为减函数， 所以 . ①当 时， ，所以 . 1 20 1x x< < < ( ) ( ) ( )2h x f x f x= − − 0 1x< ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 ln 2 2 ln 2 2 2 ln ln 2h x x x x x x x x x x= − − − − + − + − = − − + − ( ) ( ) 2 1 1 2 22 2 2 02 2 2 2 h x x x x x x x ′ = − − = − ≤ − =− − + −    ( )h x ( ) ( )1 1 0h x h> = ( ) ( ) ( )1 1 12 0h x f x f x= − − > ( ) ( )1 12f x f x− < ( ) ( )1 22f x f x− < 1 1 1x > ( )f x 1 22 x x− < 1 2 2x x+ > (1, )+∞ ( ) 0>g x ( ) max{ ( ), ( )} ( ) 0h x f x g x g x= ≥ > ( )h x (1, )+∞ (0,1) 1x = ( )f x (0, )+∞ 21 2 1( ) 2 x axf x x ax x − + +′ = − + = ( )0 0f x′ = 2 0 8 4 a ax + += 0(0, )x ( ) 0f x′ > ( )f x 0( , )x +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x max 0( ) ( )f x f x= 1a = 0 1x = max( ) (1) 0f x f= =11 因为在区间 上， ，且 ，所以此时 存在唯一的零点 . ②当 时， .因为 ，所以 . 所以 .于是 恒成立. 结合函数 的性质，可知此时 存在唯一的零点 . ③当 时， ，所以 在 上递增. 又因为 ， ， 所以 在区间 上存在唯一的零点 . 结合函数 的性质，可知 是 唯一的零点. 综上所述：当 时， 在 上有唯一的零点 ； 当 时， 在 上也有 1 个零点. (0,1) ( ) 0 2 0 8 14 a ax + += > ( )f x (0,1) (1) 1 0f a= − > 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1ln 1 02 2 4 2 2 4 2 2 2 4f a a a a a a    = − + < − − + = − − − ( )h x (0, )+∞