2019 一 2020 学年第二学期高三年级 5 月模拟考试
文科数学
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。)
1.设全集 ，集合 ， ，则
A. B.
C. D.
2.已知复数 ， 为虚数单位，则
A. B.
C. D.
3. 在 中 ， ， 点 为 边 上 一 点 ， 且
，则
A. B. C. D.
4.运行如图所示的程序框图，输出的 x 是
A. B.
C. D.
5.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由
波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的
ABC∆ 2 2, 120AB AC BAC= = ∠ = ° D BC
2BD DC= AB AD⋅ =
3 2 7
3
2
3三边中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3
个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.
现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为
A. B. C. D.
6.若函数 的图象向左平移 个单位长度后关于 轴对称，则函
数 在区间 上的最小值为
A. B.
C. 1 D.
7.设等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 的值等于
A. 54 B. 45 C. 36 D. 27
8.函数 的部分图像大致是
A. B. C. D.
9.已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则实数
的取值范围是
A. B. C. D.
10.在正方体 中，点 M，N 分别是线段 和 上不重合的两个动
( ) ( )
2
8 sin
2
x xf x x x
−= + −点，则下列结论正确的是
A. B. C. 平面 平面 D. 平面 平面
11.已知函数 与 ，则函数 在区间 上所有零点的
和为
A. B.
C. D.
12.已知 是双曲线 上一点， 是左焦点， 是右支上一点， 与
的内切圆切于点 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.若 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为______．
14.某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为 的样
本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在 的同学比支出的钱数
在 的同学多 26 人，则 的值为__________．
n
[ )30,40
[ )10,20 n15.如图所示，平面 BCC1B1⊥平面 ABC，∠ABC＝120°，四边形 BCC1B1 为正方形，且
AB＝BC＝2，则异面直线 BC1 与 AC 所成角的余弦值为_____．
16.设椭圆 的一个焦点为 ，点 为椭圆 内一
点，若椭圆 上存在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围
是_____．
A. B.
C. D.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。)
17. （本小题满分 12 分）
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的面积.
18. （本小题满分 12 分）
随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。某
运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了 40 个用户，
得到用户的满意度评分如下：
用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分
( )2 2
2 2: 1 0x yE a ba b
+ = > > ( )1,0F ( )1,1A − E
E P 9PA PF+ = E
1 ,12
1 1,5 4
1 1,3 2
1 2,2 3
A
3,sin 2sin 1a B C= + = ABC∆1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
78
73
81
92
95
85
79
84
63
86
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
88
86
95
76
97
78
88
82
76
89
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
79
83
72
74
91
66
80
83
74
82
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
93
78
75
81
84
77
81
76
85
89
用系统抽样法从 40 名用户中抽取容量为 10 的样本，且在第一分段里随机抽到的
评分数据为 92.
（1）请你列出抽到的 10 个样本的评分数据；
（2）计算所抽到的 10 个样本的均值 和方差 ；
（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在 之间，则满意度等级为“
级”。试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的 10 个样本，估计该地区满意度
等级为“ 级”的用户所占的百分比是多少？
（参考数据： ）
19. （本小题满分 12 分）
四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， 是等边三角
形， 为 的中点， .
（1）求证： ；（2）若 在线段 上，且 ，能否在棱 上找到一点 ，使平面 平面
？若存在，求四面体 的体积.
20. （本小题满分 12 分）
已知抛物线 的焦点为 ，定点 与点 在抛物线
的两侧，抛物线 上的动点 到点 的距离与到其准线 的距离之和的最小值为
．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设直线 与圆 和抛物线 交于四个不同点，从左到右依次
为 ，且 是与抛物线 的交点，若直线 的倾斜角互补，求
的值．
21（本小题满分 12 分）
.已知函数 ．
求 的单调区间；
若 在区间 上恒成立，求实数 a 的取值范围．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知三点 ， ， ．
（1）求经过 ， ， 三点的圆 的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 的参数
方程为 （ 是参数），若圆 与圆 外切，求实数 的值．
23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
2: 2 ( 0)E y px p= > F (2,3)M F E
E P M l
10
E
1
2y x b= + 2 2 9x y+ = E
, , ,A B C D ,B D E ,BF DF
| | | |AB CD+
( )0,0O 2, 2A
π
2 2, 4B
π
O A B 1C
x 2C
1 ,{ 1
x acos
y asin
θ
θ
= − +
= − + θ 1C 2C a
( ) 5 4f x x x= − + +
( ) 12f x ≥（2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.x ( ) 1f x a≥ − a2019 一 2020 学年第二学期高三年级 5 月模拟考试
文科数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B D A A A A D A A D B
1.B 利用指数函数的性质化简集合 ，利用由一元二次不等式的解法化简集合 ，
利用补集与交集的定义求解即可.
因为 ，
又因为 ，
，故选 B.
2.B
先化简复数 z 求出 z，再求 .
由题得 ，
所以 .故答案为：B
3.D
3.∵
∴ 。故选 D.
4.A
模拟运行如图所示的程序框图知，
该程序运行后输出的 ．故选：A．
5.A
由归纳推理得：设图（3）中 1 个小阴影三角形的面积为 S，则图（3）中阴影
部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为 16S，由几何概型中的面积型
得解
设图（3）中 1 个小阴影三角形的面积为 S，
则图（3）中阴影部分的面积为：9S，
1 1 1 1 2
3 3 3 3 3AD CD AC CB AC AB AC AC AB AC= + = + = − + = +
21 2 4 2 2
3 3 3 3 3AB AD AB AB AC⋅ = + ⋅ = − = 又图（3）中大三角形的面积为 16S，
由几何概型中的面积型可得：
此点取自阴影部分的概率为 ，故选：A.
6.A
利用三角函数图象的变化规律求得： ，利用对称性求得
，由 时，可得 ，由正弦函数的单调性可得结果.
函数 的图象向左平移 个单位长度后，
图象所对应解析式为： ，
由 关于 轴对称，则 ，
可得 ， ，又 ，所以 ，
即 ，
当 时，所以 ， ，故选 A．
7.A
8.D
为奇函数，图象关于原点对称，排除
；当 时，设 ，则 ，即 在
区间 上递增，且 ，又 在区
间 上 ，排除 B；当 时， ，排除 C，故选 D.
9.A
先证明 恒成立，得函数 在 上递减，即当 时，
恒成立，问题转化为 恒成立，即可求出 a 的范围．
设 则 ，当 时 ，
所以 在 上递增，得
( ) ( ) ( ) ( )2
8 sin ,2
x xf x f x f xx x
− +− = = − ∴+ −
A ( )0,1x∈ ( ) sing x x x= − ( )' 1 cos 0g x x= − ≥ ( ) sing x x x= −
( )0,1 ( ) ( )0 0, 0g g x= ∴ > ( )( )2 2 2 1 0,x x x x+ − = + − < ∴
( )0,1 ( ) 0f x < 1x > ( ) 0f x >所以当 时， 恒成立.
若不等式 在 上恒成立，得函数 在 上递减，
即当 时， 恒成立，所以
即 ，可得 恒成立，因为 ,所以 ，故选： ．
10.A
利用排除法，由 与 重合排除选项 ；由 与 重合且 与 重合排除选项 ；
与 重合时，排除选项 ，从而可得结果.
与 重合时， 不成立，排除选项 ；
与 重合且 与 重合时，平面 平面 不成立，排除选项 ；
与 重合时，平面 平面 不成立，排除选项 .故选 A.
11.D
在区间 上所有零点的和，等价于函数 的图象交点横
坐标的和，画出函数 的图象，根据函数 的图象关于 点对称可得
结果.
在区间 上所有零点的和，
等价于函数 的图象交点横坐标的和，
画出函数 的图象，
函数 的图象关于 点对称，则 共有 8 个零点，其和为 16. 故选 D.
12.B
由内切圆得到 ,利用三角形边的关系及双曲线定义即可求解.与 的内切圆切于点 ，∴ ,由双曲线定义
= ,当
且仅当 A,B, 共线时取等故选：B
13.-1
画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数
的最小值．
画出约束条件 表示的平面区域如图所示，
由图形知，当目标函数 过点 A 时取得最小值，由 ，解得 ，
代入计算 ，所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
14. 由频率分布直方图可得支出的钱数在 的同学有
个，支出的钱数在 的同学有 个，又支出的钱数在
的 同 学 比 支 出 的 钱 数 在 的 同 学 多 26 人 ， 所 以
故答案为 100
15. 将 平移到和 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.
过 作 ，过 作 ，画出图像如下图所示，由于四边形 是平行四边
形，故 ，所以 是所求线线角或其补角.在三角形 中，
100 [ )30,40 0.038 10 0.38n n× =
[ )10,20 0.012 10 0.12n n× = [ )30,40
[ )10,20
0.38 0.12 0.26 26 100n n n n− = = ∴ =，故 .
16. 因为点 为椭圆内一点，所以 ，设左焦点 ，则
，又 ，所以
，也就是 即 ，从而 .
17.(1) (2)
（ 1 ） 因 为 ， 所 以 有 ， 由 正 弦 定 理 可 得
， 因 ， 故 ， 所 以 得 到
，∵ 所以 .
（2）法 1:根据正弦定理 ，于是可得 .∵
， ∴ ，又因为 ，由余弦定理得 ，
两式联立得 ，解得 或 （负值舍去）.∴
.
法 2：因为 ，所以 ，代入 得
，所以 .
1 1
5 4e≤ ≤ A 2 2
1 1 1a b
+ < ( )1 1,0F −
12PA PF a PA PF+ = + − 1 1 1AF PA PF AF− ≤ − ≤ 11 1PA PF− ≤ − ≤
2 1 2 1a PA PF a− ≤ + ≤ + 2 1 9 2 1a a− ≤ ≤ + 4 5a≤ ≤ 1 1
5 4e≤ ≤
2
3A
π=
( )3 6 2
6S
−
=
/ /m n 2 sin cos sinc B A b C− =
2sin sin cos sin sinC B A B C− = ( ), 0,B C π∈ sin 0,sin 0B C≠ ≠
1cos 2A = − ( )0,A π∈ 2
3A
π=
3
2 sin sinsin 3
b c
B Cπ = = sin ,sin2 2
b cB C= =
sin 2sin 1B C+ = 2 2b c+ = 2
3A
π= 2 23 b c bc= + +
23 6 1 0c c− + =
61 3{
2 6
3
c
b
= −
=
61 3{
2 6
3
c
b
= +
= −
( )3 6 21 2 3 3 6 2 6sin2 3 4 3 3 6S bc
π −−= ⋅ = ⋅ ⋅ =
2
3A
π=
3C B
π= − sin 2sin 1B C+ =
sin 2sin sin 3cos sin 3cos 13B B B B B B
π + − = + − = =
3 6cos ,sin3 3B B= =因为 ，所以 .根据正弦定理 ，于
是可得 ，∴
18. （1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，
36，40
则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89.
（2）由（1）中的样本评分数据可得
，
则有
所以均值 ，方差 .
（3）由题意知评分在 即 之间满意度等级为“A 级”，
由（1）中容量为 10 的样本评分在 之间有 5 人，
则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为
19. （1）连接 PF，BD 由三线合一可得 AD⊥BF，AD⊥PF，故而 AD⊥平面 PBF，
于是 AD⊥PB；
（2）先证明 PF⊥平面 ABCD，再作 PF 的平行线，根据相似找到 G，再利用等积转
化求体积．连接 PF，BD,
sin 2sin 1B C+ = 3 6sin 6C
−= 3
2 sin sinsin 3
b c
B Cπ = =
2 6 3 62sin , 2sin3 3b B c C
−= = = =
( )3 6 21 2 3 3 6 2 6sin2 3 4 3 3 6S bc
π −−= ⋅ = ⋅ ⋅ =∵ 是等边三角形，F 为 AD 的中点，
∴PF⊥AD，
∵底面 ABCD 是菱形， ，
∴△ABD 是等边三角形，∵F 为 AD 的中点，
∴BF⊥AD，
又 PF，BF⊂平面 PBF，PF∩BF＝F，
∴AD⊥平面 PBF，∵PB⊂平面 PBF，
∴AD⊥PB．
（2）由（1）得 BF⊥AD，又∵PD⊥BF，AD，PD⊂平面 PAD，
∴BF⊥平面 PAD，又 BF⊂平面 ABCD，
∴平面 PAD⊥平面 ABCD，
由（1）得 PF⊥AD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，
∴PF⊥平面 ABCD，
连接 FC 交 DE 于 H,则△HEC 与△HDF 相似，又 ，∴CH= CF，
∴在△PFC 中,过 H 作 GH PF 交 PC 于 G，则 GH⊥平面 ABCD，又 GH 面 GED，则面
GED⊥平面 ABCD，
此时 CG= CP,
∴四面体 的体积 ．所以存在 G 满足 CG= CP, 使平面 平面 ，且 .
20. （1）过 作 于 ，则 ，
当 共线时， 取最小值 ．
解得 或 ．
当 时，抛物线 的方程为 ，
此时，点 与点 在抛物线 同侧，这与已知不符．
∴ ，抛物线 的方程为 ．
（2） ，设 ，
由 ，得 ，
所以 ， ，且由 得 ．
因为直线 的倾斜角互补，所以 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
，
， ，
由 ，得 ，
所以 ，
P 1PP l⊥ 1P 1| | | | | | | | | |PM PP PM PF MF+ = + ≥
, ,P M F 1| | | |PM PP+ 2| | ( 2) 9 102
pMF = − + =
6p = 2p =
6p = E 2 12y x=
M F E
2p = E 2 4y x=
(1,0)F 1 1 2 2 3 3 4 4( , ), ( , ), ( , ), ( , )A x y B x y C x y D x y
2
1
2
4
y x b
y x
= +
=
2 2(4 16) 4 0x b x b+ − + =
2 4 16 4x x b+ = − 2
2 4 4x x b= 0∆ > 2b <
,BF DF 0BF DFk k+ =
2 4 2 4 4 2
2 4 2 4
( 1) ( 1)
1 1 ( 1)( 1)BF DF
y y y x y xk k x x x x
− + −+ = + =− − − −
2 4 4 2( 1) ( 1) 0y x y x− + − = 2 4 4 2
1 1( )( 1) ( )( 1) 02 2x b x x b x+ − + + − =
2 4 2 4
1( )( ) 2 02x x b x x b+ − − =
2 14 ( )(16 4 ) 2 02b b b b+ − − − = 1
2b =
2 2
1 1
2 2
9
y x
x y
= +
+ =
25 2 35 0x x+ − =
1 3
2
5x x+ = −
2 1 4 3
1 1| | | | 1 ( ) 1 ( )4 4AB CD x x x x+ = + − + + −．
21.. ．
，
由 得 ， ，
当 时，在 或 时 ，
在 时 ，
的单调增区间是 和 ，单调减区间是 ；
当 时，在 时 ，
的单调增区间是 ；
当 时，在 或 时 ，
在 时 ．
的单调增区间是 和 ，单调减区间是 ．
由 可知 在区间 上只可能有极小值点，
在区间 上的最大值在区间的端点处取到，
即有 且 ，
解得 ．
即实数 a 的取值范围是 ．
22.（1） ；（2） ．
（1） 对应的直角坐标分别为
，则过 的圆的普通方程为 ，又因
为 ，代入可求得经过 的圆 的极坐标方程为 。
2 4 1 3
5 5 2 36 5( ) (14 )2 2 5 5x x x x= + − − = + =
2 2cos 4
πρ θ = − 2a = ±
( )0,0 , 2, , 2 2,2 4O A B
π π
( ) ( ) ( )0,0 , 0,2 , 2,2O A B , ,O A B 2 2 2 2 0x y x y+ − − =
{ x cos
y sin
ρ θ
ρ θ
=
= , ,O A B 1C 2 2cos 4
πρ θ = − （2）圆 （ 是参数）对应的普通方程为 ，
因为圆 与圆 外切，所以 ，解得 。
23.（1） 或 ；（2）
∵函数 ，∴当 时， ；当 时，
；
当 时，
（1）当 时，不等式 化为 ，解得 ，
当 时，不等式 化为 ，无解，
当 时，不等式 化为 ，解得 ，
综上，不等式的解集为 或
（2） 由上述可知 的最小值为 9，因为不等式 恒成立，所以
，所以 ，故实数 的取值范围为
2
1:{ 1
x acosC y asin
θ
θ
= − +
= − + θ ( ) ( )2 2 21 1x y a+ + + =
1C 2C 2 2 2a+ = 2a = ±
11{ 2x x ≤ − 13
2x ≥
[ ]8,10−
( ) 5 4f x x x= − + + 5x ≥ ( ) 2 1 9f x x= − ≥ 4 5x− < <
( ) 9f x =
4x ≤ − ( ) 2 1 9f x x= − + ≥
5x ≥ ( ) 12f x ≥ 2 1 12x − ≥ 13
2x ≥
4 5x− < < ( ) 12f x ≥ 9 12≥
4x ≤ − ( ) 12f x ≥ 2 1 12x− + ≥ 11
2x ≤ −
11{ 2x x ≤ − 13
2x ≥
( )f x ( ) 1f x a≥ −
1 9a − ≤ 8 10a− ≤ ≤ a [ ]8,10−
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