湖北省七市州教科研协作体2020届高三数学（理）5月联考试题（Word版含答案）

2020 年 5 月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试 理科数学 一､选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡ 1.已知(a+2i) ·i=b-2i,其中 a,b 为实数,i 是虚数单位,则复数 A.2 +2i B.2-2i C.-2 +2i D. -2- 2i 2.已知集合 , 若 A∩B={1},则实数 a 的值为 A. -1 B.0 C.1 D.±1 3.设 a ,则 a,b,c 的大小关系为 A.a>b>c B. c>b> a C. b>a >c D. b>c> a 4.执行如图所示的程序框图,则输出 n 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 5.若等比数列 }的前 n 项和为 且 ,则 D.3 6.据《九章算术》记载,商高是我国西周时期的数学家,曾经和周公讨论过“勾 3 股 4 弦 5”的问题,比毕达哥拉斯 早 500 年｡如图,现有△ABC 满足“勾 3 股 4 弦 5”,其中 AC=3,BC=4,点 D 是 CB 延长线上的一点,则 a bi+ = 2{ , ,0}, {1,2}A a a B= = 11 32 4 1 1log 2, ( ) , ( )2 3b c= = = { }na ,nS 6 3 6S S = 9 6 S S = 11. 6A 31. 6B 5.6C AC AD⋅ = A.3 B.4 C.9 D.不能确定 7.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x∈(-∞,0］时, ,若实数 m 满足 ,则 m 的取值范围是 A.(0,2］ C. (0,8］ 8.已知定义在正整数集上的函数 和 则当 x∈［0,2020］时,y =f(x)图像在 y=g(x) 图像上方的点的个数为 A.505 B.504 C.1010 D.1009 9.如果两个方程的曲线经过若千次平移或对称变换后能够完全重合,则称这两个方程为“互为镜像方程对”,给出 下列四对方程: ①y=sinx 与 ②y= 2lnx 与 与 与 则“互为镜像方程对”的是 A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 10.第七届世界军人运动会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在中国武汉举行｡某电视台在 19 日至 24 日六天中 共有 8 场直播(如下表所示),逸凡打算选取其中的三场观看｡但由于工作较忙,观看的任意两场直播中间至少间隔一 天( 如 21 日观看直播则 22 日不能观看直播),则逸凡选择观看的不同种数是 日期 19 日 20 日 21 日 22 日 23 日 24 日 时间 全天 全天 上午 下午 全天 全天 上午 下午 内容 飞行比赛 赛前训练 射击 游泳 击剑 篮球 障碍跑 定向越野 A.8 B.10 C.12 D.14 2( ) 2f x x x= − + 2(log ) 3f m ≤ 1.[ ,2]2B 1.[ ,8]8D ( ) sin 2 xf x π= ( ) cos ,2 xg x π= cos( )6y x π= + 2lny x= 2 4x y=③ 2 4y x= 3y x=④ 3 23 3 2.y x x x= − + +11.已知 P,A,B,C 是半径为 3 的球面上四点,其中 PA 过球心, 则三棱锥 P- ABC 的体 积是 12.已知斜率为 k(k >0)的直线 l 过抛物线 的焦点 F,与抛物线 C 交于 A,B 两点,过 A,B 作 x 轴的垂 线,垂足分别为 若 则直线 l 的斜率 k 等于 A.1 二､ 填空题:本题共 4 小题, 每小题 5 分,共 20 分｡ 13.若变量 x,y 满足约束条件 ，则 z=x-2y 的最小值是___. 展开式中的常数项等于＿＿＿. 15.已知双曲线 的左顶点为 A,过 A 作双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为 M,N,且 （O 为坐标原点),则此双曲线的离心率是＿＿＿. 16.对于正整数 n,设 是关于 x 的方程 的实数根｡记 ,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,则 __ ;设数列 的前 n 项和为 则 ＿＿＿. 三､解答题:共 70 分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答｡第 22､23 题为选考题,考生根 据要求作答｡ (一)必考题:共 60 分｡ 17.(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (1)求 C 的大小; 2, 2 3,AB BC AC= = = . 3A .2 2B 2 6. 3C 2 15. 3D 2: 6C y x= 1 1, .A B 1 1 2,ABB ABA S S =  . 3B . 5C .2 2D 2 4 y x y x x y ≥  ≤  + ≤ 7114.( 1)(3 )x x x + − 2 2 2 2: 1( 0)x yC a b a b − = > > 4| | | |5MN OA= nx 2 12 1 log 3n n x n n x +− = + 1[ ]2n n a x = 1a = { }na ,nS 2020S = 2 2 2 2sin sin .sin b c a B A ab A + − −=(2)若△ABC 的周长为 18,面积为 求△ABC 外接圆的面积｡ 18. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD// BC,AD⊥AB,PA⊥平面 ABCD,过 AD 的平面与 PC,PB 分别交于点 M,N,连接 MN. (1)证明:BC// MN; (2)若 PA=AD=AB=2BC=2,平面 ADMN⊥平面 PBC,求二面角 P- BM- D 的正弦值｡ 19. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,椭圆 C: 的焦距为 2,且过点 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 左焦点 的直线 l(不与坐标轴垂直)与椭圆 C 交于 A,B 两点,若点 满足|HA| = |HB| ,求 |AB|. 20. (本小题满分 12 分)已知函数 (1)当 a=0 时,求 f(x)在(0 f(0))处的切线方程; 6 3, 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b + = > > 2(1, ).2 1F 1( ,0)3H − ( ) ln( 1) sin .xf x e x a x= + + +(2)若 f(x)≥1 对任意 x∈[0,π]恒成立,求实数 a 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分)一只蚂蚁在如图所示的棱长为 1 米的正四面体的棱上爬行,每次当它到达四面体顶点 后,会在过此顶点的三条棱中等可能的选择一条棱继续爬行(包含来时的棱) ,已知蚂蚁每分钟爬行 1 米,t=0 时蚂蚁 位于点 A 处. (1) 2 分钟末蚂蚁位于哪点的概率最大; (2)记第 n 分钟末蚂蚁位于点 A,B,C,D 的概率分别为 ①求证: ； ②辰辰同学认为,一段时间后蚂蚁位于点 A､B､C､D 的概率应该相差无几,请你通过计算 10 分钟末蚂蚁位于 各点的概率解释辰辰同学观点的合理性. 附: ， . (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22､23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)[选修 4-4:坐标系与参数方程] ( ), ( ),n nP A P B ( ), ( ).n nP C P D ( ) ( ) ( )n n nP B P C P D= = 9 5 10 51 1( ) 5 10 ,( ) 1.7 103 3 − −≈ × = × 9 9 10 41 1( ) 1.9 10 ,( ) 9.8 102 3 − −≈ × = ×在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数).以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是ρ+3cosθ=0. (1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)设 P( -2,0),直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求 23. (本小题满分 10 分)[选修 4- -5:不等式选讲] 已知函数 f(x) =|x+2|-|x-1|. (1)求不等式 f(x)≥-2 的解集; (2)设 a,b,c 为正实数,若函数 f(x)的最大值为 m,且 a +b +2c=m ,求证: 12 2 3 2 x t y t  = − −  = | |.APO BPOS S−   2 9 .4ab ac bc c+ + + ≤2020 年 5 月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试 数学（理工农医类）参考答案 一、选择题 二、填空题 　　13. 14. 15. 16. （第一空 分，第二空 分） 三、解答题 （一）必考题 17. 解: （1） ， ∴ ………………………6 分 （2） ， ， ………………………8 分 ， 又 ， ， …………10 分 由正弦定理得外接圆直径 ，半径 ……………………12 分 18. 解:（1）证明： ， ， . ……………………………2 分 又 平面 ，平面 平面 ∥ ……………………………4 分 （2）以 为坐标原点， 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 又 ， ，又 ， 又 ∥ ， ……………………………6 分 又 ，且平面 平面 又 的中点， 1 5 DADBB 6 10 CACBB 11 12 DD 4− 2835− 5 2 0 1010 2 3 2 2 2 2sin sin 2=sin b c a B A b a ab A a + − − −= 2 2 2ab b a c∴ = + − 2 2 2 1cos 2 2 b a c aC ab + −∴ = = ( )0,x π∈ 3C π= 1 sin 6 32ABCS ab C∆ = = 24ab∴ = 18a b c+ + = 18a b c∴ + = − 2 2 2 2( ) 3c b a ab a b ab= + − = + − 2 2(18 ) 72c c∴ = − − 7c∴ = 142 sin 3 cR C = = 14 3 R = 27 49( ) 33 S π π= =圆 ADBC // ADMNADADMNBC 平面平面 ⊂⊄ , ∴ ADMNBC 平面// BC ⊂ PBC PBC  ADMN MN= BC∴ MN A AB AD AP、 、 x y z、 、 2 2PA AD AB BC= = = = (2,0,0) (0,2,0) (0,0,2) (2,1,0)B D P C∴ 、 、 、 PA ABCD⊥ 平面 PA BC∴ ⊥ BC AB⊥ BC AB∴ ⊥ 平面P BC AN∴ ⊥ BC MN AN MN∴ ⊥ ADMN BC⊥平面 平面P PBC  ADMN MN= AN BC∴ ⊥ 平面P AN B∴ ⊥ P PA AB＝ N PB∴ 是的中点， ， ……………………………8 分 又 的法向量为 设平面 的法向量为 ，则 令 ，则 ， ……………………………10 分 设 与平面 所成的角为 ，则 . ………………12 分 19. 解: （1）由题可知 ，又 ， 又 ， 椭圆 的方程为 …………………4 分 （2）设 ， ， 中点 ，直线 的方程为： 由 可得 ………………………6 分 ………………………8 分 ………………………10 分 或 ………………………12 分 M PC∴ 是 11 12M∴ （，，） 1 01N（，，） PBM平面 1 01AN＝（，，） BMD n x y z＝（ ， ， ） 11 12 31 12 n BM x y z n DM x y z  ⋅ = ⋅  ⋅ = ⋅     （ ， ， ）（- ，，）=0 （ ， ， ）（，- ，）=0 1z = 2 2x y= =， 2 21n∴＝（ ，，） 3 2cos , 23 2 AN n∴ = =  PBM平面 BMD θ 2 2 θ =si n 1c = 2 2 1 1 12a b + = 2 2 1a b= + 2 2 2 1 1 12( 1)a a ∴ + =− 4 22 5 2 0a a∴ − + = 2 2( 2)(2 1) 0a a∴ − − = 2 1a > 2 2a∴ = 2 1b = ∴ C 2 2 12 x y+ = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y AB 0 0( , )P x y AB ( 1)y k x= + 2 2 ( 1) 12 y k x x y = + + = 2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k+ + + − = 2 1 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 2 2 1 kx x k kx x k  −+ = +∴ − ⋅ = + 1 2 2 2 2 1 ky y k ∴ + = + 2 2 2 2( , )2 1 2 1 k kP k k −∴ + + HA HB= 1PH ABk k∴ ⋅ = − 2 2 2 2 1 12 1 2 1 3 k k kk k +∴ ⋅ = −− ++ 2 1k∴ = 1k∴ = ± : 1ABl y x∴ = + 1y x= − − 24 4 21 1 ( )3 3AB∴ = + − =20.解：（1）当 时， ， ……………………2 分 ， 在 处的切线方程为 ……………………4 分 （2） 当 时， 成立 当 时， ……………………………6 分 当 时， ，令 ， 则 ， 在 上单调递 增，即 在 上单调递增，又 …………………8 分 ①当 时， ， 在 上单调递增， 则 ，∴ 在 上单调递增；又 恒成立 …………………10 分 ②当 时， ， 在 上单调递增， 存在唯一的零点 ，使得 ， 当 时， ∴ 在 上单调递减， ∴ 时， 不恒成立 ∴当 时， 恒成立，则 …………………12 分 21．解：（I）由题可知，在 1 钟末蚂蚁位于 点的概率分别为 0， ， ， 故 2 分钟末位于 点的概率 ……………………2 分 位于 的概率等于 ； 同理，位于 的概率也等于 2 分钟末蚂蚁位于 点的概率最大； ……………………4 分 （注：若只给出结论，而没有推理过程的只给１分） 0a = ( ) ln( 1)xf x e x= + + (0) 1f∴ = 1'( ) 1 xf x e x = + + 0'(0) 1 2k f e∴ = = + = ( )f x∴ (0 (0))f， 2 1y x= +  [0, ]x π∈ ( ) ln( 1) sin 1xf x e x a x= + + + ≥ 0a ≥ [ ]0, sin 0 ( ) ln( 1) sin ln( 1) 1x xx x f x e x a x e xπ∈ ∴ ≥ ∴ = + + + ≥ + + ≥ ( ) 1f x∴ ≥ 0a < 1'( ) cos1 xf x e a xx = + ++ 1( ) cos1 xg x e a xx = + ++ 2 1'( ) sin( 1) xg x e a xx = − −+ 2 11, 1, sin 0( 1) xe a xx ≥ ≤ − ≥+ '( ) 0 ( )g x g x∴ ≥ ∴ [0, ]π ( )f x′ [0, ]π '(0) 2f a= + 2a ≥ − '(0) 2 0f a= + ≥ ( ) 0f x′∴ ≥ '( )f x [0, ]x π∈ '( )f x ≥ '(0) 2 0f a= + ≥ ( )f x [0, ]x π∈ (0) 1f = ( )f x∴ ≥ (0) 1f = 2a < − (0) 2 0g a= + (0) ( ) 0g g π∴ ⋅ < (0) ( ) 0f f π′ ′∴ ⋅ < '( )f x [0, ]π ∴ 0 (0, )x π∈ '( ) 0f x = ∴ 0(0, )x x∈ '( ) 0f x < ( )f x 0[0, ]x x∈ 0( )f x < (0) 1f = 2a < − ( )f x ≥ 1 [0, ]x π∈ ( )f x ≥ 1 2a ≥ − A B C D、 、 、 1 3 1 3 1 3 A 1 1 1 1 1 1 1( ) 3 3 3 3 3 3 3P A = ⋅ + ⋅ + ⋅ = B 1 1 1 1 2( ) 3 3 3 3 9P B = ⋅ + ⋅ = C D、 2 9 A（2）①记第 分钟末蚂蚁位于 点的概率分别为 则 ， ……………………6 分 同理： ，相减得 ，又 ， ， 同理可得 ……………………8 分 ②∵ ，∴ ∴数列 是公比为 的等比数列， ， ， ……………………10 分 ，同理 ， 又 ∴10 分钟末蚂蚁位于 点的概率相差无几，第 分钟末蚂蚁位于 点的概率之差将会更小，所以辰辰的话合理.…………………12 分　　 　　（二）选考题 22.【选修 4—4：坐标系与参数方程】 解:（1）（I）直线 曲线 ： ………………………5 分 （2）方法一：联立直线 与曲线 得： 化简得： ， ∴ 到直线 的距离 ………………………8 分 ．………………10 分 方法二：联立直线 与曲线 得： l l l l n A B C D、 、 、 ( ) ( ) ( ) ( )n n n nP A P B P C P D、 、 、 +1 1 1= ( )= (1 )3 3n n n n nB A C D B+ + − +1 1= (1 )3n nC C− +1 1 1 ( )3n n n nB C B C+− = − − 1 1 1 1( ) ( )3 n n nB C B C −− = − ⋅ − 1 1 1 3B C= = 0n nB C− = n nB C= =n nC D = =n n nB C D∴ +1 1= (1 )3n nA A− +1 1 1 1( )4 3 4n nA A− = − − 1{ }4nA − 1 3 − 1 1 1 4 4A − = − 11 1 1( )( )4 4 3 n nA −− = − − 11 1 1( )( )4 4 3 n nA −= + − − 9 10 1 1 1( )( )4 4 3A∴ = + − − 9 10 1 1 1( )( )4 12 3B = + − 9 9 10 5 10 10 1 1 1 1 1 1 1( ( )( ) ) ( ( )( ) ) ( ) 1.7 104 4 3 4 12 3 3A B −∴ − = + − − − + − = − ≈ × = =n n nB C D A B C D、 、 、 ( 10)n n > A B C D、 、 、 : 3 2 3 0x y+ + = C 2 23 9( )2 4x y+ + = C 2 21 3 3 9( 2 ) ( )2 2 2 4t t− − + + = 2 1 2 02t t+ − = 1 2 1 2t t+ = − O 2 2 | 2 3 | 3 1 ( 3) d = = + 1 2 1 1 3 3| | | | | | | |= | |2 2 2 4APO BPOS S AP d BP d t t∆ ∆− = ⋅ − ⋅ ⋅ + = C 2 2 3 2 3 0 3 9( 2 )2 43 x y y y  + + = − − + + = 化简得： ，∴ ………………………8 分 ……………10 分 23. 【选修 4—5：不等式选讲】 解：（1）由题可知， ， ……………2 分 当 时， ； 当 时，成立， ……………4 分 故 的解集为 . ……………5 分 （2）由（1）可知， 的最大值为 ， ……………6 分 . ……………10 分 2 3 3 04 2y y+ − = 1 2 3 4y y+ = − 1 2 1 2 1 1 3| | | | | | | | | | | |= | |2 2 4APO BPOS S OP y OP y y y∆ ∆− = ⋅ − ⋅ + = 3, 2 ( ) 2 1, 2 1 3, 1 x f x x x x − ≤ − = + − <