2020 年 4 月稽阳联考数学科试题卷
一、选择题：本大题 10 小题，每小题 4 分，共 40 分
1．已知全集 ， ， ，则 =
A． B． C． D．
2． 已知 为虚数单位，其中 ，则该复数的共轭复数是
A． B．
C． D．
3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于
A． B．
C． D．
4．若 满足约束条件 ，则 的最大值是
A． B． C． D．
5．已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象是
A． B． C． D．
6．设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设 ，随机变量 的分布列为
-2 -1 1 2
{ 2, 1,0,1,2}U = − − { 2,0,1}A = − { 1,0}B = − ( )UC A B
{ 2, 1,1,2}− − {2} {1,2} {0}
i (1 2 )z ii+ = −
2 1
5 5 i+ 2 1
5 5 i−
2 1
5 5 i− + 2 1
5 5 i− −
32
3
π 1664 3
π−
64 16π− 16
3
π
,x y
3 4 0
3 4 0
0
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
+ ≥
3 2z x y= −
0 2 4 5
( )f x ax b= + ( ) log ( )af x x b= − +
0, 0a b> > 2a b+ ≥ 2 2 2a b+ ≥
10 3a< < X
X
P 1
3
a 1
3 a− 1
3
O
y
x1
-1
O
y
x-1 O
y
x-1 O
y
x-1 O
y
x-1
2
4
2 2
4
2
正视图
侧视图俯视图则当 在 增大时，
A． 增大 B． 减小
C． 先增大后减小 D． 先减小后增大
8．已知椭圆 ， 为椭圆的左,右焦点，过 的直线交椭圆与 两点，
， ，则椭圆的离心率是
A． B． C． D．
9．如图： 中， ， ， 为
中点， 沿 边翻折过程中，直线 与直线 所
成的最大角，最小角分别记为 ，直线 与直线
所成的最大角，最小角分别记为 ，则有
A． B． C． D．
10．已知数列 满足： ， ，则一定存在 ，使数列中：
A．存在 ，有
B．存在 ，有
C．存在 ，有
D．存在 ，有
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分
11．双曲线 的焦距是 _________，渐近线方程是____________．
12．已知角 的终边过点 ，则 =_____________， =____________．
13． 展开式中常数项是___________，最大的系数是___________．
14 ．已知 中， ， 为线段 上
一点, ， ，则 ____________，
的面积是___________ ．
15 ． 已 知 函 数 ， 若 函 数
有三个零点，则 =__________．
a 1(0, )3
( )D X ( )D X
( )D X ( )D X
:C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1 2,F F 2F ,A B
1 90AF B∠ =
2 22 3AF F B=
2 5
5
5
5
3 10
10
10
10
ABC∆ AB BC⊥ 60ACB °∠ = D AC
ABD∆ BD AB BC
1 1,α β AD
BC 2 2,α β
1 2 1 2,α α β β< ≤ 1 2 1 2,α α β β< > 1 2 1 2,α α β β≥ ≤ 1 2 1 2,α α β β≥ >
{ }na 2
1 1 1n n n na a a a+ = + − − + 1a a= a
*n N∈ 1 2 0n na a+ + <
*n N∈ 1 2( 1)( 1) 0n na a+ +− − <
*n N∈ 1 2
5 5( )( ) 04 4n na a+ +− − <
*n N∈ 1 2
3 3( )( ) 02 2n na a+ +− − <
2
2 13
yx − =
α ( 1,2)− tanα sin 2α
5
3
1( )
2
x
x
+
ABC∆ 3, 5AB BC= = D AC
AB BD⊥ 3
4
AD
CD
= AC =
ABC∆
2( ) 2 ( 0)f x x x a a= + + <
( ( ))y f f x= a
A
D C
B
A
D
C
B
A16．某学校高一学生 2 人，高二学生 2 人，高三学生 1 人，参加 三个志愿点的活动，每个活动点
至少 1 人，最多 2 人参与，要求同年级学生不去同一志愿点，高三学生不去 志愿点，则不同的安排方法
有__________________种（用数字作答）．
17．如图：已知矩形 中， ， 为边 的中点，
为边 上的动点（不包括端点）， （ ），设线段
与 的交点为 ，则 的最小值是__________________．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。
18．（本题满分 14 分）已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的周期与 的值；
（Ⅱ）若 ，求函数 的取值范围．
19．（本题满分 15 分）如图，在四棱锥 中，
为等边三角形， ， ，
， 为 中点．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的大小．
20．（本题满分 15 分）已知数列 满足： ， ，记 ，记
为数列 的前 项和．
（Ⅰ）求证： 为等比数列，并求 ；
（Ⅱ）求证： ．
, ,A B C
A
ABCD 1, 2AD AB= = E AB
P DC DP DCλ= 0 1λ< <
AP DE G AG AP⋅
( ) sin sin( )3f x x x
π= + +
( )f x ( )2f
π
[0, ]2x
π∈ 2 ( )y f x=
P ABCD− PAD∆
1 22AB AD CD= = = 90BAD ADC∠ = ∠ =
60PDC∠ = E BC
AD PE⊥
PA PDE
{ }na 2 13 2n n na a a+ += − 1 21, 3a a= =
1
3 1
1n
n
nb a +
+= + nS
{ }nb n
1{ }n na a+ − na
1
7 3 7
2 2n n
nS +
+≤ −
P
G
E
D C
BA21．（本题满分 15 分）已知抛物线 上的点 到焦点的距离为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）如图，已知动线段 （ 在 右边）在直线 上，且
，现过 作 的切线，取左边的切点 ，过 作 的切线，取
右边的切点为 ，当 ，求 点的横坐标 的值．
22．（本题满分 15 分）已知函数 ，函数 ， ， ．
（Ⅰ）求函数 单调区间；
（Ⅱ）若 ， 对 恒成立，求 的取值范围．
（e=2.71828…为自然对数的底数）
)0(: 2 >= aaxyC )1,(bP 4
5
a
AB B A :l 2−= xy
2|| =AB A C M B C
N ABMN // A t
( ) 2 3f x x a x= − − ( ) axg x ke= a R∈ k R∈
( )f x
1 2a≤ ≤ ( ) 1 ( )f x g x− ≤ 3[ , )2x∈ +∞ k
N
M
B
A
O
y
x参考答案
1． B ，所以 =
2． C
3．A
4．D ，有图像知取 ，最大值为 5
5．D 因 ，有图像变换可知
6．A 因为 可知 ，而 ，
7．C 计算可知
8．B 设 ，则 ，可知 ，
， ， ，因 为顶点，则
9．D 翻折到 时， 所成角最小，可知 ， 所成角最小， ，翻折 时，
所成角最大，可知 ，翻折过程中，可知 的投影可与 垂直，所以 所成最
大角 ，所以 ，
10 ． C 图 像 与 有 两 个 交 点
，利用蛛网图，可知当 ，则数列递减，所以
，当 ，则数列递增，并且 趋向 1，可知当
，则数列递减，并且 趋向 1 ，则可知 A ，
B 错 误 ， 又 当 ， ， 则 当
， 一定小于 ，则之后均小于 ，所以 D 错 ，对于 C 可取 ，满足要求
11．4, , 因
12． 由定义知 ， ，则
{ 2, 1,0,1}A B = − − ( )UC A B {2}
2 1
1 2 5 5
iz ii
−= = − −+
2
2 2 4 322 4 3 3V
π ππ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ − =
3
2 2
zy x= − (1, 1)−
0 1, 1 0a b< < − < <
2a b+ ≥
2( ) 22
a b+ ≥
2
2 2 ( )
2
a ba b
++ ≥
2 21 1( ) 3 (2 ) 4( ) 33 6D X a a= − − = − − +
2 2 1 13 , 2 , 2 3 , 2 2F A x F B x F A a x F B a x= = = − = − 2 2 2(5 ) (2 3 ) (2 2 )x a x a x= − + −
3
ax =
1
5 ,3AB a AF a= = 1
3cos 5F AB∠ = 1 5sin 2 5
F AB∠ = A 5
5e =
180 ,AB BC 1 30β = ,AD BC 2 0β = 0
,AB BC 1 90α = AD BC ,AD BC
2 90α =
1 190 , 30α β° °= = 2 290 , 0α β° °= =
21 1y x x x= + − − + y x=
(0,0),(1,1) 1 0a <
0na < 10 1a< < na
1 1a > na
1x > 2 21 3 1 31 1 1 ( ) 1 ( )2 4 2 2y x x x x x x x= + − − + = + − − + < + − − =
1 1a > 2a 3
2
3
2 1
3
2a =
3y x= ± 1, 3, 2,a b c= = =
42, 5
− − tan 2α = − 2 1sin ,cos
5 5
α α −= = 4sin 2 2sin cos 5
α α α= = −
3
2
1
1O
y
x13． ， 的系数最大为
14． 设 在 中，由余弦定理可知 ，可知
, ， ，
15． 可知 因 ，可
知 有三解，有图像知 解得
另解：可知 ， ， ，可知
16．40 分高三学生单独去志愿点，或与其它年级学生合去志愿点，按先分组再分到志愿点的思路，共有
种
17． 因 与 相似， 则 ，
令 ， 则 ， 当 且 仅 当 ， ， 即
取到
18．（本题满分 14 分）
（Ⅰ） （3 分）
所以函数 的周期为 ， （7 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），则 ，（10 分）
因 ， ， （12 分）
则 的取值范围为 （14 分）
（Ⅱ）另解：因 ， ，所以 （11 分）
5 5,4 2
3 2 3
4 5 3
1 5( ) ( ) 42
T C x
x
= = 2 3T T= 5
2
58 9
2 3 , 4AD x CD x= = ABC∆ 2 125 49 9 2 3 7x x x
= + − ⋅ ⋅ ⋅
58
7x = 7 58AC x= = 3sin
58
A∠ = 1 3 93 582 258
S = ⋅ ⋅ ⋅ =
1 5
2a
− −= 2 22 ( 1) 1t x x a x a= + + = + + − ( ) 0f t = 1 1t a= − ± − ( )t f x=
1 1 ( )a f x− ± − = 1 1 1a a− − − = − 1 5
2a
− −=
( ( 1)) 0f f − = 2( 1) 2( 1) 0a a a− + − + = 0a < 1 5
2a
− −=
1 1 1
2 2 2(2 ) 2 2C C C+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
3 1− AGE∆ PGD∆ 1
2
AG AE
GP DP λ= = 2 21 1 (1 2 )1 2 1 2AG AP AP λλ λ⋅ = = ++ +
1 2 (1 3)t tλ= + < <
2 2 3 1 3( ) 1 3 12 2
t tAG AP tt t
− +⋅ = = + − ≥ − 3t =
3 1 (0,1)2
λ −= ∈
3 3( ) sin cos 3sin( )2 2 6f x x x x
π= + = +
( )f x 2π 2 3( ) 3sin2 3 2f
π π= =
( )2
1 cos(2 )33 2
x
y f x
π− +
= = ⋅
[0, ]2x
π∈ 42 [ , ]3 3 3x
π π π+ ∈ 1cos(2 ) [ 1, ]3 2x
π+ ∈ −
( )2y f x= 3[ ,3]4
[0, ]2x
π∈ 2[ , ]6 6 3x
π π π+ ∈ 33sin( ) [ , 3]6 2x
π+ ∈则 （14 分）
19．（本题满分 15 分）解法（1）：
（Ⅰ）证：取 的中点 ，连结 由 可知
面 且 面 则 .（6 分）
（Ⅱ）法一：以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，（ 8 分）
作 连 ，因 ，知 ，由 知 ，
，由 ,在 中，可知 ,则 （10 分）
， ， ,
则
设平面 的法向量为 ，
则 得 为其中一个法向量，（12
分）
设直线 与平面 所成角为 ，则 （14 分）
则直线 与平面 所成角为 .（15 分）
法二：（体积法）
设点 A 到面 PDE 的距离为 ，法一中已知点 P 到面 ABCD 的距离 为 ，则 （9 分）
中， ,所以 为直角三角形，由 可知
，（12 分）
设直线 与平面 所成角为 ，则 ,（14 分）
则直线 与平面 所成角为 .（15 分）
20．（本题满分 15 分）
（Ⅰ）因为 ，所以数列 是公比为 2 的等比数列，（3 分）
则 ， = （7 分）
（Ⅱ）法 1：因 ，所以
则 ，所以 （10 分）
( )2 3[ ,3]4y f x= ∈
AD O , ,PO EO , ,PO AD EO AD PO EO O⊥ ⊥ =
AD ⊥ ,PEO PE ⊂ ,PEO AD PE⊥
O
, ,PQ CD PH OE⊥ ⊥ HQ PH ABCD⊥ 平面 HQ CD⊥ 60PDC∠ = 1DQ =
1OH DQ= = 3PO = Rt PHO∆ 2PH = ( )1,0, 2P
( )0, 1,0A − ( )0,1,0D ( )3,0,0E
( ) ( ) ( )1,1, 2 , 3, 1,0 , 1, 1, 2PD DE PA= − − = − = − − −
PDE ( ), ,n x y z=
3 0
- - 2z=0
x y
x y
− = +
( )1,3, 2n =
PA PDE θ 3sin cos , ,2
PA nPA n
PA n
θ ⋅= = =
⋅
PA PDE 60
h PH 2 6PE =
PDE∆ 2, 10, 6PD DE PE= = = PDE∆ A PDE P ADEV V− −=
1 1 1 12 6 2 2 3 2 33 3 2 2PDE ADES h S h h∆ ∆⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =
PA PDE θ 3sin 2
h
PA
θ = =
PA PDE 60
2 1 12( )n n n na a a a+ + +− = − 1{ }n na a+ −
1
1 2 2 2n n
n na a −
+ − = ⋅ = 1 2 1 2 1 1( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a −= + − + − + + − 2 1n −
3 4 3 7 3 4 3 1n n n n+ + + > + + + 1 1
3 4 3 7 3 4 3 1n n n n
<
+ + + + + +
3 7 3 4 3 4 3 1
3 3
n n n n+ − + + − +< 3 1 3 7 2 3 4n n n+ + + < +又 （13 分）
（15 分）
法（2）（数学归纳法） ，
①当 时， ，右边 ，只要证： ，
只要证： ，只要证： ，所以 成立（9 分）
②假设 成立，即 ，
则当 ， ，要证： ，只要
证： ，只要证： ，
只要证： 成立，所以当 成立（14 分）
由①②可知， 对 成立（15 分）
21．（本题满分 15 分）
（1）抛 物线 即 ，准 线方程为： ， 点 到焦点的 距离为 ，
抛物线 的方程为 （4 分）
（Ⅱ）解 1：设 ， ， ， 切线 的方程为：
，即 ，同理可得切线 的方程为： （7 分）
由于动线段 （ 在 右边）在直线 上，且 ，故可设 ，
1 1 1 1
3 1 3 1 3 7 3 7 2 3 4 3 7 3 4 3 7
2 2 2 2 2n n n n n n
n n n n n n n nb + + + +
+ + + + − + + − + + += = < = −
2 2 3 1 1
7 10 10 13 3 4 3 7 7 3 7( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2n n n n
n n nS + +
+ + +≤ − + − + + − = −
1
3 1
2n n
nb +
+= 1
7 3 7
2 2n n
nS +
+≤ −
1n = 1
4
4S = 7 10
2 4
− 4 10 2 7+ <
2 2( 4 10) (2 7)+ < 40 7< 1n =
n k= 1
7 3 7
2 2k k
kS +
+< −
1n k= + 1 2 1 2
3 4 7 3 7 3 4
2 2 2 2k k k k k
k k kS S+ + + +
+ + += + < − + 1 2
7 3 10
2 2k k
kS + +
+< −
2 2 1
3 4 3 10 3 7
2 2 2k k k
k k k
+ + +
+ + ++ < 3 4 3 10 2 3 7k k k+ + + < +
2 3 4 3 10 6 14k k k+ + < + 1n k= +
1
7 3 7
2 2n n
nS +
+≤ − *n N∈
2: axyC = yax 12 =
ay 4
1−= )1,(bP 4
5
1,4
5
4
11 =∴=+∴ aa
∴ C 2xy =
),(),,( 2
22
2
11 xxNxxM
2xy = xy 2=′∴ ,2 1xk AM =∴ ∴ AM
)(2 11
2
1 xxxxy −=− 2
112 xxxy −= BN 2
222 xxxy −=
AB B A :l 2−= xy 2|| =AB )2,( −ttA )1,1( −+ ttB将 代 入 切 线 的 方 程 得 ， 即
， ，
同理可得 ，（10 分）
，当 时， ，得 （12
分）
， ，
得 或 （舍去） （15 分）
解 法 2 ： 设 设 ， ， ，
切线 的方程为： ，即 ，
同理可得切线 的方程为： （7 分）
由 于 动 线 段 （ 在 右 边 ） 在 直 线 上 ， 且
，
故可设 ，
将 代入切线 的方程得 ，即 ，（11 分）
同理： ，两式相减，可知
，因为 ，所以 ，则 （15 分）
22．（本题满分 15 分）
（1） ， ，所以当 ， ，则
上递增，当 ， ， ，所以 递减， 递增（6 分）
)2,( −ttA AM 2
1122 xtxt −=−
022 1
2
1 =−+− ttxx 22
)2(442 2
2
1 +−−=−−−=∴ ttttttx
212)1()1(1 22
2 ++++=++−+++= ttttttx
21
12
2
1
2
2 xxxx
MN +=−
−= ABMN // 1=MNk 121 =+ xx
22 +−−∴ ttt 121 2 =+++++ ttt 222 22 ++−+−=∴ ttttt
22
22
22 ++++−
−=∴
tttt
tt 0=t 22 +−∴ tt 122 −=+++ tt 0=∴t
),(),,( 2
22
2
11 xxNxxM
2xy = xy 2=′∴
,2 1xk AM =∴
∴ AM )(2 11
2
1 xxxxy −=− 2
112 xxxy −=
BN 2
222 xxxy −=
AB B A :l 2−= xy
2|| =AB
)2,( −ttA )1,1( −+ ttB
)2,( −ttA AM 2
1122 xtxt −=− 022 1
2
1 =−+− ttxx
2
2 22( 1) 1 0x t x t− + + − =
2 2
1 2 1 2 22 ( )+2 1 0x x t x x x− − − − = 121 =+ xx 1 22 ( ) 0t x x− − = 0t =
( ) 2 3f x x a x= − − 2 3( ) 1
2 3 2 3
a x af x
x x
− −′ = − =
− − 0a ≤ ( ) 0f x′ ≥ 3[ , )2
+∞
0a > ( ) 0f x′ =
2 3
2
ax
+=
23 3[ , )2 2
a + 2 3[ , )2
a + +∞
N
M
B
A
O
y
x
N
M
B
A
O
y
x（Ⅱ） ，可知 ，对 恒成立，取 ，
可知 （7 分）
因 ，则 ，则
， ，（10 分）
，（11 分）
设 ， ，
可知 ， ，则函数在 递减， 递增， 递减，
所以 ，所以 （15 分）
( ) 1 ( )f x g x− ≤ 1 2 3 axx a x ke− − − ≤ 3[ , )2x∈ +∞ 3
2x =
3
2
1 0
2
ak
e
≥ >
1a ≥ 2 3 2 3, ax xa x x ke ke− ≥ − ≥
1 2 3 1 2 3 0ax xx a x ke x x ke− − − − ≤ − − − − ≤ 1 2 3 xx x ke− − − ≤
1 2 3
x
x x ke
− − − ≤
1 2 3( ) x
x xh x e
− − −= (2 )( 2 3 2)( )
2 3x
x xh x
e x
− − −′ =
−
( ) 0h x′ = 2x = 7
2x = 3[ ,2)2
7[2, )2
7[ , )2
+∞
max 3 7 3
2 2 2
3 7 1 1 1( ) max{ ( ), ( )} max{ , }2 2 2 2 2
h x h h
e e e
= = = 3
2
1
2
k
e
≥2020 年 5 月稽阳联考数学答案解析
1． B ，所以 =
2． C
3．A
4．D ，有图像知取 ，最大值为 5
5．D 因 ，有图像变换可知
6．A 因为 可知 ，而 ，
7．C 计算可知
8．B 设 ，则 ，可知 ，
， ， ，因 为顶点，则
9．D 翻折到 时， 所成角最小，可知 ， 所成角最小， ，翻折 时，
所成角最大，可知 ，翻折过程中，可知 的投影可与 垂直，所以 所成最
大角 ，所以 ，
10 ． C 图 像 与 有 两 个 交 点
，利用蛛网图，可知当 ，则数列递减，所以
，当 ，则数列递增，并且 趋向 1，可知当
，则数列递减，并且 趋向 1 ，则可知 A ，
B 错 误 ， 又 当 ， ， 则 当
， 一定小于 ，则之后均小于 ，所以 D 错 ，对于 C 可取 ，满足要求
11．4, , 因
{ 2, 1,0,1}A B = − − ( )UC A B {2}
2 1
1 2 5 5
iz ii
−= = − −+
2
2 2 4 322 4 3 3V
π ππ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ − =
3
2 2
zy x= − (1, 1)−
0 1, 1 0a b< < − < <
2a b+ ≥
2( ) 22
a b+ ≥
2
2 2 ( )
2
a ba b
++ ≥
2 21 1( ) 3 (2 ) 4( ) 33 6D X a a= − − = − − +
2 2 1 13 , 2 , 2 3 , 2 2F A x F B x F A a x F B a x= = = − = − 2 2 2(5 ) (2 3 ) (2 2 )x a x a x= − + −
3
ax =
1
5 ,3AB a AF a= = 1
3cos 5F AB∠ = 1 5sin 2 5
F AB∠ = A 5
5e =
180 ,AB BC 1 30β = ,AD BC 2 0β = 0
,AB BC 1 90α = AD BC ,AD BC
2 90α =
1 190 , 30α β° °= = 2 290 , 0α β° °= =
21 1y x x x= + − − + y x=
(0,0),(1,1) 1 0a <
0na < 10 1a< < na
1 1a > na
1x > 2 21 3 1 31 1 1 ( ) 1 ( )2 4 2 2y x x x x x x x= + − − + = + − − + < + − − =
1 1a > 2a 3
2
3
2 1
3
2a =
3y x= ± 1, 3, 2,a b c= = =
3
2
1
1O
y
x12． 由定义知 ， ，则
13． ， 的系数最大为
14． 设 在 中，由余弦定理可知 ，可知
, ， ，
15． 可知 因 ，可
知 有三解，有图像知 解得
另解：可知 ， ， ，可知
16．40 分高三学生单独去志愿点，或与其它年级学生合去志愿点，按先分组再分到志愿点的思路，共有
种
17． 因 与 相似， 则 ，
令 ， 则 ， 当 且 仅 当 ， ， 即
取到
18．（本题满分 14 分）
（Ⅰ） （3 分）
所以函数 的周期为 ， （7 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），则 ，（10 分）
因 ， ， （12 分）
则 的取值范围为 （14 分）
（Ⅱ）另解：因 ， ，所以 （11 分）
42, 5
− − tan 2α = − 2 1sin ,cos
5 5
α α −= = 4sin 2 2sin cos 5
α α α= = −
5 5,4 2
3 2 3
4 5 3
1 5( ) ( ) 42
T C x
x
= = 2 3T T= 5
2
58 9
2 3 , 4AD x CD x= = ABC∆ 2 125 49 9 2 3 7x x x
= + − ⋅ ⋅ ⋅
58
7x = 7 58AC x= = 3sin
58
A∠ = 1 3 93 582 258
S = ⋅ ⋅ ⋅ =
1 5
2a
− −= 2 22 ( 1) 1t x x a x a= + + = + + − ( ) 0f t = 1 1t a= − ± − ( )t f x=
1 1 ( )a f x− ± − = 1 1 1a a− − − = − 1 5
2a
− −=
( ( 1)) 0f f − = 2( 1) 2( 1) 0a a a− + − + = 0a < 1 5
2a
− −=
1 1 1
2 2 2(2 ) 2 2C C C+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
3 1− AGE∆ PGD∆ 1
2
AG AE
GP DP λ= = 2 21 1 (1 2 )1 2 1 2AG AP AP λλ λ⋅ = = ++ +
1 2 (1 3)t tλ= + < <
2 2 3 1 3( ) 1 3 12 2
t tAG AP tt t
− +⋅ = = + − ≥ − 3t =
3 1 (0,1)2
λ −= ∈
3 3( ) sin cos 3sin( )2 2 6f x x x x
π= + = +
( )f x 2π 2 3( ) 3sin2 3 2f
π π= =
( )2
1 cos(2 )33 2
x
y f x
π− +
= = ⋅
[0, ]2x
π∈ 42 [ , ]3 3 3x
π π π+ ∈ 1cos(2 ) [ 1, ]3 2x
π+ ∈ −
( )2y f x= 3[ ,3]4
[0, ]2x
π∈ 2[ , ]6 6 3x
π π π+ ∈ 33sin( ) [ , 3]6 2x
π+ ∈则 （14 分）
19．（本题满分 15 分）解法（1）：
（Ⅰ）证：取 的中点 ，连结 由 可知
面 且 面 则 .（6 分）
（Ⅱ）法一：以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，（ 8 分）
作 连 ，因 ，知 ，由 知 ，
，由 ,在 中，可知 ,则 （10 分）
， ， ,
则
设平面 的法向量为 ，
则 得 为其中一个法向量，（12
分）
设直线 与平面 所成角为 ，则 （14 分）
则直线 与平面 所成角为 .（15 分）
法二：（体积法）
设点 A 到面 PDE 的距离为 ，法一中已知点 P 到面 ABCD 的距离 为 ，则 （9 分）
中， ,所以 为直角三角形，由 可知
，（12 分）
设直线 与平面 所成角为 ，则 ,（14 分）
则直线 与平面 所成角为 .（15 分）
20．（本题满分 15 分）
（Ⅰ）因为 ，所以数列 是公比为 2 的等比数列，（3 分）
则 ， = （7 分）
（Ⅱ）法 1：因 ，所以
则 ，所以 （10 分）
( )2 3[ ,3]4y f x= ∈
AD O , ,PO EO , ,PO AD EO AD PO EO O⊥ ⊥ =
AD ⊥ ,PEO PE ⊂ ,PEO AD PE⊥
O
, ,PQ CD PH OE⊥ ⊥ HQ PH ABCD⊥ 平面 HQ CD⊥ 60PDC∠ = 1DQ =
1OH DQ= = 3PO = Rt PHO∆ 2PH = ( )1,0, 2P
( )0, 1,0A − ( )0,1,0D ( )3,0,0E
( ) ( ) ( )1,1, 2 , 3, 1,0 , 1, 1, 2PD DE PA= − − = − = − − −
PDE ( ), ,n x y z=
3 0
- - 2z=0
x y
x y
− = +
( )1,3, 2n =
PA PDE θ 3sin cos , ,2
PA nPA n
PA n
θ ⋅= = =
⋅
PA PDE 60
h PH 2 6PE =
PDE∆ 2, 10, 6PD DE PE= = = PDE∆ A PDE P ADEV V− −=
1 1 1 12 6 2 2 3 2 33 3 2 2PDE ADES h S h h∆ ∆⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =
PA PDE θ 3sin 2
h
PA
θ = =
PA PDE 60
2 1 12( )n n n na a a a+ + +− = − 1{ }n na a+ −
1
1 2 2 2n n
n na a −
+ − = ⋅ = 1 2 1 2 1 1( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a −= + − + − + + − 2 1n −
3 4 3 7 3 4 3 1n n n n+ + + > + + + 1 1
3 4 3 7 3 4 3 1n n n n
<
+ + + + + +
3 7 3 4 3 4 3 1
3 3
n n n n+ − + + − +< 3 1 3 7 2 3 4n n n+ + + < +又 （13 分）
（15 分）
法（2）（数学归纳法） ，
①当 时， ，右边 ，只要证： ，
只要证： ，只要证： ，所以 成立（9 分）
②假设 成立，即 ，
则当 ， ，要证： ，只要
证： ，只要证： ，
只要证： 成立，所以当 成立（14 分）
由①②可知， 对 成立（15 分）
21．（本题满分 15 分）
（1）抛 物线 即 ，准 线方程为： ， 点 到焦点的 距离为 ，
抛物线 的方程为 （4 分）
（Ⅱ）解 1：设 ， ， ， 切线 的方程为：
，即 ，同理可得切线 的方程为： （7 分）
由于动线段 （ 在 右边）在直线 上，且 ，故可设 ，
将 代 入 切 线 的 方 程 得 ， 即 ，
1 1 1 1
3 1 3 1 3 7 3 7 2 3 4 3 7 3 4 3 7
2 2 2 2 2n n n n n n
n n n n n n n nb + + + +
+ + + + − + + − + + += = < = −
2 2 3 1 1
7 10 10 13 3 4 3 7 7 3 7( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2n n n n
n n nS + +
+ + +≤ − + − + + − = −
1
3 1
2n n
nb +
+= 1
7 3 7
2 2n n
nS +
+≤ −
1n = 1
4
4S = 7 10
2 4
− 4 10 2 7+ <
2 2( 4 10) (2 7)+ < 40 7< 1n =
n k= 1
7 3 7
2 2k k
kS +
+< −
1n k= + 1 2 1 2
3 4 7 3 7 3 4
2 2 2 2k k k k k
k k kS S+ + + +
+ + += + < − + 1 2
7 3 10
2 2k k
kS + +
+< −
2 2 1
3 4 3 10 3 7
2 2 2k k k
k k k
+ + +
+ + ++ < 3 4 3 10 2 3 7k k k+ + + < +
2 3 4 3 10 6 14k k k+ + < + 1n k= +
1
7 3 7
2 2n n
nS +
+≤ − *n N∈
2: axyC = yax 12 =
ay 4
1−= )1,(bP 4
5
1,4
5
4
11 =∴=+∴ aa
∴ C 2xy =
),(),,( 2
22
2
11 xxNxxM
2xy = xy 2=′∴ ,2 1xk AM =∴ ∴ AM
)(2 11
2
1 xxxxy −=− 2
112 xxxy −= BN 2
222 xxxy −=
AB B A :l 2−= xy 2|| =AB )2,( −ttA )1,1( −+ ttB
)2,( −ttA AM 2
1122 xtxt −=− 022 1
2
1 =−+− ttxx，
同理可得 ，（10 分）
， 当 时 ， ， 得
（12 分）
， ，
得 或 （舍去） （15 分）
解法 2：设设 ， ， ，
切线 的方程为： ，即 ，
同理可得切线 的方程为： （7 分）
由于动线段 （ 在 右边）在直线 上，且 ，
故可设 ，
将 代 入 切 线 的 方 程 得 ， 即
，（11 分）
同理： ，两式相减，可知
，因为 ，所以 ，则 （15 分）
22．（本题满分 15 分）
（1） ， ，所以当 ， ，则
上递增，当 ， ， ，所以 递减， 递增（6 分）
（Ⅱ） ，可知 ，对 恒成立，取 ，
22
)2(442 2
2
1 +−−=−−−=∴ ttttttx
212)1()1(1 22
2 ++++=++−+++= ttttttx
21
12
2
1
2
2 xxxx
MN +=−
−= ABMN // 1=MNk 121 =+ xx
22 +−−∴ ttt 121 2 =+++++ ttt 222 22 ++−+−=∴ ttttt
22
22
22 ++++−
−=∴
tttt
tt 0=t 22 +−∴ tt 122 −=+++ tt 0=∴t
),(),,( 2
22
2
11 xxNxxM
2xy = xy 2=′∴ ,2 1xk AM =∴
∴ AM )(2 11
2
1 xxxxy −=− 2
112 xxxy −=
BN 2
222 xxxy −=
AB B A :l 2−= xy 2|| =AB
)2,( −ttA )1,1( −+ ttB
)2,( −ttA AM 2
1122 xtxt −=−
022 1
2
1 =−+− ttxx
2
2 22( 1) 1 0x t x t− + + − =
2 2
1 2 1 2 22 ( )+2 1 0x x t x x x− − − − = 121 =+ xx 1 22 ( ) 0t x x− − = 0t =
( ) 2 3f x x a x= − − 2 3( ) 1
2 3 2 3
a x af x
x x
− −′ = − =
− − 0a ≤ ( ) 0f x′ ≥ 3[ , )2
+∞
0a > ( ) 0f x′ =
2 3
2
ax
+=
23 3[ , )2 2
a + 2 3[ , )2
a + +∞
( ) 1 ( )f x g x− ≤ 1 2 3 axx a x ke− − − ≤ 3[ , )2x∈ +∞ 3
2x =可知 （7 分）
因 ，则 ，则
， ，（10 分）
，（11 分）
设 ， ，
可知 ， ，则函数在 递减， 递增， 递减，
所以 ，所以 （15 分）
3
2
1 0
2
ak
e
≥ >
1a ≥ 2 3 2 3, ax xa x x ke ke− ≥ − ≥
1 2 3 1 2 3 0ax xx a x ke x x ke− − − − ≤ − − − − ≤ 1 2 3 xx x ke− − − ≤
1 2 3
x
x x ke
− − − ≤
1 2 3( ) x
x xh x e
− − −= (2 )( 2 3 2)( )
2 3x
x xh x
e x
− − −′ =
−
( ) 0h x′ = 2x = 7
2x = 3[ ,2)2
7[2, )2
7[ , )2
+∞
max 3 7 3
2 2 2
3 7 1 1 1( ) max{ ( ), ( )} max{ , }2 2 2 2 2
h x h h
e e e
= = = 3
2
1
2
k
e
≥
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