福建省龙岩市六校2019-2020高二数学上学期期中试题（带解析Word版）

福建省长汀、等六校 2019-2020 学年高二年上学期期中考联考数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题） 1.某校有高一学生 450 人，高二学生 540 人，高三学生 630 人，为了解学生的学习情况，用 分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高一学生中抽取 15 人，则 n 为（　　） A. 45 B. 60 C. 50 D. 54 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意利用分层抽样的定义和方法，求出 n 的值． 【详解】解：根据题意可得 = ，求得 n=54， 故选：D． 【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题． 2.设 m、n 表示不同的直线，α、β 表示不同的平面，且 m⊂α，n⊂β，则“α∥β”是“m∥β 且 n∥α”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 利用线面面面平行的判定与性质定理即可判断出关系． 【详解】解：m、n 表示不同的直线，α、β 表示不同的平面，且 m⊂α，n⊂β， 则“α∥β”⇒“m∥β 且 n∥α”，反之两平面可能相交，不成立． ∴“α∥β”是“m∥β 且 n∥α”的充分不必要条件． 故选：A． 【点睛】本题考查了线面、面面平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理 能力与计算能力，属于基础题． 3.命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0≥x02-1”的否定为（　　） A. , B. , 450 450 540 630+ + 15 n ( )0 0,x∃ ∈ +∞ 2 0 0 1lnx x< − ( ]0 ,0x∃ ∈ −∞ 2 0 0 1lnx x> −C. , D. , 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0≥x02-1” 的否定为：∀x∈（0，+∞），lnx＜x2-1． 故选：C． 【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 4.从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中任取 2 个球，那么下列给出的两个事件互斥而不对立 的是（　　） A. 恰有一个红球与恰有两个红球 B. 至少一个红球与至少一个白球 C. 至少一个红球与都是白球 D. 至少一个红球与都是红球 【答案】A 【解析】 【分析】 利用互斥事件与对立事件的定义直接求解． 【详解】解：从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中任取 2 个球， 在 A 中，恰有一个红球与恰有两个红球不能同时发生，但能同时不发生， ∴恰有一个红球与恰有两个红球是互斥而不对立事件，故 A 正确； 在 B 中，至少一个红球与至少一个白球能同时发生，不是互斥事件，故 B 错误； 在 C 中，至少一个红球与都是白球不能同时发生，不能同时不发生， 故至少一个红球与都是白球不能同时发生是对立事件，故 C 错误； 在 D 中，至少一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故 D 错误． 故选：A． 【点睛】本题考查互斥而不对立事件的判断，考查互斥事件与对立事件的定义等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题． 5.已知椭圆 ，则以点 M（-1，1）为中点的弦所在直线方程为（　　） ( )0,x∀ ∈ +∞ 2 1lnx x< − ( ],0x∀ ∈ −∞ 2 1lnx x> − 2 2 15 4 x y+ =A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 可采用“点差法”，即先设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），分别代入椭圆方程后作差， 可求出直线的斜率，再结合过点 M，写出点斜式方程． 【详解】解：设弦的两个端点为 A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴ ， ，两式相减得 ， ∴ =- • ，① 又∵M（-1，1）为 AB 的中点， ∴x1+x2=-2，y1+y2=2 代入①式得 = ， 即 kAB= ， ∴直线 AB 方程为 y-1= （x+1），即 4x-5y+9=0． 故选：B． 【点睛】本题考查“点差法”，考查基本分析求解能力，属中档题． 6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M 为棱 C1D1 的中点，则异面直线 AM 与 BD 所成角的余弦值为 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 以 D 为原点建立空间直角坐标系，写出 A，M，B，D 坐标，求出对应向量，即可求出结果． 【详解】解：正方体 ABCD-A1B1C1D1，M 为 A1B1 的中点， 4 5 1 0x y+ − = 4 5 9 0x y− + = 5 4 9 0x y− + = 5 4 1 0x y+ − = 2 2 1 1 15 4 x y+ = 2 2 2 2 15 4 x y+ = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 05 4 x x x x y y y y+ − + −+ = 1 2 1 2 y y x x − − 4 5 1 2 2 2 x x y y + + 1 2 1 2 y y x x − − 4 5 4 5 4 5 2 2 3 4 2 6 3 6设正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 1，以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， A（1，0，0），M（0， ，1），B（1，1，0），D（0，0，0）， =（-1， ，1）， ， = ， 所以异面直线 AM 与 BD 所成角的余弦值为 ， 故选：C． 【点睛】本题考查向量法解异面直线所成的角，中档题． 7.一个包装箱内有 6 件产品，其中正品 4 件，次品 2 件．现随机抽出两件产品，则抽到都是 正品的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出基本事件总数 n= =15，抽到都是正品包含的基本事件个数 m= =6，由此能求出抽 到都是正品的概率． 【详解】解：一个包装箱内有 6 件产品，其中正品 4 件，次品 2 件．现随机抽出两件产品， 基本事件总数 n= =15， 抽到都是正品包含的基本事件个数 m= =6， 1 2 AM 1 2 ( )11 0DB = ，， cos AM BD ＜ ， ＞ 11 22 3 622 − + = − ⋅ 2 6 2 3 2 5 3 5 8 15 2 6C 2 4C 2 6C 2 4C则抽到都是正品的概率是 p= ． 故选：B． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题． 8.甲、乙两个数学兴趣小组各有 5 名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图， 若甲、乙两个小组的平均成绩分别是 ， ，标准差分别是 s1，s2，则下列说法正确的是（　　） A. , B. , C. , D. , 【答案】A 【解析】 【分析】 由茎叶图中数据计算平均数和标准差即可． 【详解】解：由茎叶图中数据，计算平均数 = ×（88+89+90+91+92）=90， = ×（85+86+88+88+93）=88， 标准差为 s1= = ， s2= = ， ∴ ＞ ，s1＜s2． 故选：A． 为 6 2 15 5 m n = = 1x 2x 1 2x x> 1 2s s< 1 2x x> 1 2s s> 1 2x x< 1 2s s< 1 2x x< 1 2s s> 1x 1 5 2x 1 5 (2 2 2 2 21 [( 2) 1) 0 1 25 × − + − + + +  2 (2 2 2 2 21 [( 3) 2) 0 0 55 × − + − + + +  7.2 1x 2x【点睛】本题考查了平均数与标准差的计算问题，是基础题． 9.已知 F 是抛物线 x2=y 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段 AB 的中点 到 x 轴的距离为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线 的距离，列出方程求出 A，B 的中点纵坐标，求出线段 AB 的中点到 x 轴的距离． 【详解】解：抛物线 x2=y 的焦点 F（0， ）准线方程 y=- ， 设 A（x1，y1），B（x2，y2） ∴|AF|+|BF|=y1+ +y2+ =3 解得 y1+y2= ， ∴线段 AB 的中点纵坐标为 ， ∴线段 AB 的中点到 x 轴的距离为 ， 故选：C． 【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离 转化为到准线的距离． 10.双曲线 的左焦点为 ，点 A 的坐标为（0，1），点 P 为 双曲线右支上的动点，且△APF1 周长的最小值为 6，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得 AF1|=2，可得|PA|+|PF1|的最小值为 4，设 F2 为双曲线的右焦点，由双曲线的定义 可得|PA|+|PF2|+2a 的最小值为 4，当 A，P，F2 三点共线时，取得最小值，可得 a=1，由离心 3 4 5 4 7 4 1 4 1 4 1 4 1 4 5 2 5 4 5 4 ( )2 2 2 2 1 0 0x y a ba b − = ＞ ， ＞ ( )1 3 0F − ， 2 3 5率公式可得所求值． 【详解】解：由|AF1|= =2，三角形 APF1 的周长的最小值为 6， 可得|PA|+|PF1|的最小值为 4， 又 F2 为双曲线的右焦点，可得|PF1|=|PF2|+2a， 当 A，P，F2 三点共线时，|PA|+|PF2|取得最小值，且为|AF2|=2， 即有 2+2a=4，即 a=1，c= ， 可得 e= = ． 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得最 小值的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 11.如图，在直三棱柱 中， ， ，点 G 与 E 分别 为线段 和 的中点，点 D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点。若 ，则线段 DF 长度的最小值是（ ） 3 1+ 3 c a 3 1 1 1A B C ABC− 2BAC π∠ = 1 2AB AC AA= = = 1 1A B 1C C GD EF⊥A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 建立坐标系，设 ，由 可得 ，然后结合空间两点的距离公式，利用二次函数的性质可得结果. 【详解】 建立坐标系，如图， 令 则 因为 即 ， 时， 最小为 ， 故选：C. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐 2 2 5 5 2 2 , (0 2,0 2)AF x AD y x y= = < < < < 0GD EF GD EF⊥ ⇒ ⋅ =  2 2x y+ = , (0 2,0 2)AF x AD y x y= = < < < < (0,0,0), ( ,0,0), (0, ,0), (1,0,2) (0,2,1) A F x D y G E ( 1, , 2), ( , 2, 1)GD y EF x= − − = − −  , 0GD EF GD EF∴⊥ ⋅ =  2 2x y+ = 2 2 2 2 2 2| | (2 2 ) 5 8 4DF x y y y y y= + = − + = − + 4 5x = 2DF 20 2 5 25 5DF⇒ =标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量， 利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系； （5）根据定理结论求出相应的角和距离. 12.已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， 为椭圆 的右焦点，圆 上有一动点 ， 不同于 两点，直线 与椭圆 交于点 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意得 ， ． 设点 的坐标为 ，则 ． ∴ ， 又 且 ， ∴ 或 ， 故 的取值范围为 ．选 D． 二、填空题（本大题共 4 小题） 13.已知向量 ， ，若 ，则实数 λ=______． 【答案】-10 【解析】 2 2 : 14 3 x yC + = ,A B F C 2 2 4x y+ = P P ,A B PA C Q PB QF k k 3 3, 0,4 4    −∞ − ∪       ( ) 3,0 0, 4  −∞ ∪   ( ) ( ), 1 0,1−∞ − ∪ ( ) ( ),0 0,1−∞  ( ) ( ) ( )2,0 , 2,0 , 1,0A B F− PA PB⊥ Q ( )0 0,x y ( )( ) 2 0 0 0 0 0 0 02 1 2 1QA QF y y yk k x x x x ⋅ = ⋅ =+ − + − ( )( ) 2 0 0 0 12 3 4 2 1 x x x −= + − ( ) ( )0 0 3 2 4 1 x x −= − ( ) ( )0 0 0 4 11 4 113 2 3 2 PB QF QA QF xk k k k x x −  = − = = + ⋅ − −  ( )0 2,2x ∈ − 0 1x ≠ 0 4 11 03 2x  + − 5 2 2 2 14 1 x y t t + =− − 1 2 1 2 2 2 125 9 x y− = 25 9+ 34 34 34 2 2 135 x y+ = 35 1− 34 34 34 4x mx + ≥ 4( )minm x x ≤ +所以 ，或 ， 所以， ，或 ， 所以 a≥3． 所以，实数 a 的取值范围是[3，+∞）． （2）要使任意 x∈B，不等式 x2-mx+4≥0 都成立，又 B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}． 由 x2-mx+4≥0，得 ， 则只要 ，又 ，当且仅当 ，即 x=2 时等号成立． 实数 m 的取值范围（-∞，4]． 【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化方法，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题． 18.已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，抛物线 C 上横坐标为 3 的点 M 到焦点 F 的距离 为 4． （1）求抛物线 C 的方程； （2）过抛物线 C 的焦点 F 且斜率为 1 的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点，求弦长|AB|． 【答案】（1）y2=4x；（2）8. 【解析】 【分析】 （1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得 p 的方程，求得 p，即可得到所 求抛物线方程； （2）求得直线 l 的方程为 y=x-1，设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程，消去 y，可 得 x 的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值． 【详解】解：（1）抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点 F（ ，0），准线方程为 x=- ， ∵|MF|=4，由抛物线的定义可得 ， ∴p=2．故所求抛物线方程为 y2=4x； （2）由（1）得 p=2，焦点 F（1，0），所以直线 l 的方程为 y=x-1， 并设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 1 1 1 4 a a − ≤  + > 1 1 1 4 a a −  0 3 a a >  ≥ 4x mx + ≥ 4( )minm x x ≤ + 4 4x x + ≥ 4x x = 2 p 2 p 3 42 p+ =联立 ，消去 y，得 x2-6x+1=0， 所以 x1+x2=6， 可得 x1+x2+p=8， 所以|AB|=8． 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达 定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 19.某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行深加工以提高产品附加值，已知某农产品成本为 每件 3 元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据： 单价 x（元） 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 销量 y（万件） 80 74 73 70 65 58 数据显示单价 x 与对应的销量 y 满足线性相关关系． （1）求销量 y（件）关于单价 x（元）的线性回归方程 ； （2）根据销量 y 关于单价 x 的线性回归方程，要使加工后收益 P 最大，应将单价定为多少元？ （产品收益=销售收入-成本）． 参考公式： = = ， 【答案】（1） ；（2）6.5 元. 【解析】 【分析】 （1）由题意计算平均数和回归系数，即可写出回归直线方程； （2）由题意写出收益函数 P 的解析式，求出 P 取最大值时对应的 x 值即可． 【详解】解：（1）由题意得， = ×（6+6.2+6.4+6.6+6.8+7）=6.5， = ×（80+74+73+70+65+58）=70； 则 ， 2 1 4 y x y x = −  = ˆˆ ˆy bx a= + ˆb ( ) 1 2 1 ( ) ( ) n i ii n ii x x y y x x = = − − − ∑ ∑ 1 2 2 1 n i ii n ii x y nxy x nx = = − − ∑ ∑ ˆˆa y bx= − ˆ 20 200y x= − + x 1 6 y 1 6 ( )6 1 ( ) 5 1.2 0.3 0 1.5 6 14i i i x x y y = − − = − − − − − − = −∑； 所以 ， 所以所求回归直线方程为 ． （2）由题意可得， ， 整理得 P=-20（x-6.5）2+245， 当 x=6.5 时，P 取得最大值为 245； 所以要使收益达到最大，应将价格定位 6.5 元． 【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算与推理能力，是基础 题． 20.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧面 AA1C1C 是矩形，平面 ABC⊥平面 AA1C1C，AB=2，AC=1， ， ． （1）求证：AA1⊥平面 ABC； （2）在线段 BC1 上是否存在一点 D，使得 AD⊥A1B？若存在求出 的值，若不存在请说明理 由． 【答案】（1）详见解析；（2）存在， ． 【解析】 【分析】 （1）由已知先证明 AA1⊥AC，利用面面垂直的性质可证 AA1⊥平面 ABC． （2）假设存在．设 D（x1，y1，z1）是线段 BC1 上一点，且 （λ∈[0，1]），求出 6 2 1 ( ) 0.25 0.09 0.01 0.01 0.09 0.25 0.7i i x x = − = + + + + + =∑ 14 200 7 ˆ .b −= = − ( )70 20 6.5 200ˆˆa y bx= − = − − × = 20 200ˆy x= − + ( ) ( )( )3 20 2ˆ 00 3P y x x x= − = − + − 5BC = 1 2AA = 1 BD BC 1 2 3 BD BC = 1BD BCλ= ，解得 λ 的值，即可求解． 【详解】解：（1）因为侧面 AA1C1C 是矩形， 所以 AA1⊥AC， 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C，且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC， 所以 AA1⊥平面 ABC． （2）由（1）知 AA1⊥AC，AA1⊥AB． 由题意知 AB=2，AC=1， ， 所以 AB⊥AC， 如图，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 A-xyz， 则 A（0，0，0），B（0，2，0）， ， ， 假设 D（x1，y1，z1）是线段 BC1 上一点，其中 ， ， ， 设 （λ∈[0，1]），即（x1，y1-2，z1）═ ， 解得 x1=λ，y1=2-2λ， ， 所以 ． 若在线段 BC1 上存在一点 D，使得 AD⊥A1B， 则 ，即 ， 得 4-6λ=0，解得 ， 因为 ， ( ) ( )2 2 2 0 2 2 0λ λ λ− ⋅ − =， ， ，， 5BC = ( )1 0 0 2A ，， ( )1 1 0 2C ，， ( )1 1 12BD x y z= − ， ， ( )1 1 2 2BC = − ， ， ( )1 0 2 2A B = − ，， 1BD BCλ=  ( )1 2 2λ −， ， 1 2z λ= ( )2 2 2AD λ λ λ= − ， ， 1 0AD A B⋅ =  ( ) ( )2 2 2 0 2 2 0λ λ λ− ⋅ − =， ， ，， 2 3 λ = [ ]2 013 ∈ ，所以在线段 BC1 上存在一点 D，使得 AD⊥A1B，此时 ． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质，空间向量的数量积的应用，考查空间想象能力以 及计算能力，属于中档题． 21.某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了 100 位同学进行问卷调查，并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50）， [50，60），[60，70），…，[90，100]分成 6 组，制成如图所示频率分布直方图． （1）求图中 x 的值； （2）求这组数据的中位数； （3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取 5 人进行 座谈了解，再从这 5 人中随机抽取 2 人作主题发言，求抽取的 2 人恰在同一组的概率． 【答案】（1）0.02；（2）75；（3）0.4 【解析】 分析】 （1）由面积和为 1，可解得 x 的值； （2）由中位数两侧的面积相等，可解得中位数； （3）列出所有基本事件共 10 个，其中符合条件的共 4 个，从而可以解出所求概率． 【详解】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得 x=0.02． （2）中位数设为 m，则 0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得 m=75． （3）可得满意度评分值在[60，70）内有 20 人，抽得样本为 2 人，记为 a1，a2 满意度评分值在[70，80）内有 30 人，抽得样本为 3 人，记为 b1，b2，b3， 记“5 人中随机抽取 2 人作主题发言，抽出的 2 人恰在同一组”为事件 A， 【 1 2 3 BD BC λ= =基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2）， （a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共 10 个，A 包含的基本事件个数为 4 个， 利用古典概型概率公式可知 P（A）=0.4． 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，中位数和古典概型，属于基础题． 22.已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上的点到焦点的最长距离为 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 P（0，2）的直线 l（不过原点 O）与椭圆 C 交于两点 A、B，M 为线段 AB 的中点． （ⅰ）证明：直线 OM 与 l 的斜率乘积为定值； （ⅱ）求△OAB 面积的最大值及此时 l 的斜率． 【答案】（1） ；（2）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）△AOB 面积的最大值是 ，此时 l 的斜率为± . 【解析】 【分析】 （1）由题意得 ，解得即可求出方程， （2）（i）设直线 l 为：y=kx+2，根据韦达定理和斜率公式即可求出， （ii）先根据弦长公式求出|AB|及原点到直线的距离，再令 =t，表示出三角形的面 积，利用基本不等式即可求出． 【详解】解：（1）由题意得 ，解得 ， ∴a2=2，b2=a2-c2=1， ∴椭圆 C 的方程为 ； （2）（ⅰ）设直线 l 为：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）， ( )2 2 2 2 1 0x yC a ba b + =： ＞ ＞ 2 2 1 2+ 2 2 12 x y+ = 2 2 14 2 1 2 2 2 a c c a  + = + = 22 3k − 1 2 2 2 a c c a  + = + = 2 1 a c  = = 2 2 12 x y+ =由题意得 ，∴（1+2k2）x2+8kx+6=0， ∴△=8（2k2-3）＞0，即 ， 由韦达定理得：x1+x2=- ，x1x2= ， ∴ ， ， ∴ ，∴ ， ∴直线 OM 与 l 的斜率乘积为定值． （ⅱ）由（ⅰ）可知： ， 原点到直线 AB 的距离为 令 =t，则 t＞0， ∴S△AOB= = ≤ = ， 当且仅当 t=2 时等号成立，此时 k=± ，且满足△＞0， ∴△AOB 面积的最大值是 ，此时 l 的斜率为± ． 【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，三角形的面积，弦长 公式，基本不等式，属于中档题． 2 2 2 12 y kx x y = + + = 2 3 2k ＞ 2 8 1 2 k k+ 2 6 1 2k+ 2 4 1 2M kx k = − + 2 22 1 2M My kx k = + = + 1 2 M OM M yk x k = = − 1 2OMk k⋅ = − ( )( )2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 3 1 1 ( ) 4 1 2 k k AB k x x k x x x x k + − = + − = + + − = + 2 1 1 d k = + 22 3k − 2 2 2 4 t t + 2 2 4t t + 2 2 4 2 2 14 2 2 2 14 2