铁人中学 2019-2020 学年高二上期中考试数学
（文）试题
一、选择题（本大题共 12 小题）
1.函数 的导数为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据完全平方公式对 展开，再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可
求解.
【详解】因为 ,
则函数的导函数 ,
故选：D.
【点睛】本题主要考查导数的计算,要求熟练掌握常见初等函数的求导公式,属于基础题.
2.已知曲线 上一点 ，则 A 处的切线斜率等于( )
A. 9 B. 1 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函数 的导数，然后在导数中令 ，可得出所求切线的斜率.
【 详 解 】 对 函 数 求 导 得 ， 故 该 曲 线 在 点 处 的 切 线 斜 率 为
，
故选：A.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线的斜率，解题时要熟知导数的几何
意义，考查对导数概念的理解，属于基础题.
2(2 1)y x= +
2 1y x′ = + 2(2 1)y x=′ + 3(2 1)y x=′ +
4(2 1)y x=′ +
2(2 1)y x= +
2 2(2 1) 4 4 1y x x x= + = + +
( ) ( )'24 4 1 8 4 4 2 1y x x x x′ = + + = + = +
32 3y x x= + ( )1,5A
32 3y x x= + 1x =
32 3y x x= + 26 3y x′ = + A
26 1 3 9× + =3.命题“∀x>0，都有 x2－x≤0”的否定是 （ ）
A. ∃x0>0，使得 x02－x0≤0 B. ∃x0>0，使得 x02－x0>0
C. ∀x>0，都有 x2－x>0 D. ∀x≤0，都有 x2－x>0
【答案】B
【解析】
【分析】
利用全称命题“ ”的否定为特称命题“ ”即可得结果
【详解】因为全称命题 否定是特称命题，且需要改写量词，所以全称命题“ ，都有
”的否定是特称命題“ ，使得 ”，故选 B.
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否
定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、
存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.
4.双曲线 的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，化简后求得双曲线的渐近线的方程.
【详解】依题意，令 ，即 ，也即 .
故选：B.
【点睛】本小题主要考查已知双曲线方程求双曲线的渐近线方程，属于基础题.
5.设函数 在 处存在导数，则 （ ）
的
( ),x M p x∀ ∈ ( ),x M p x∃ ∈ ¬
0x∀ >
2 0x x− ≤ 0 0x∃ > 2
0 0 0x x− >
2
2 14
x y− =
4 5
5x = ± 2 0x y± = 2 0x y± =
2 5
5x = ±
2
2 04
x y− =
2
2 04
x y− = 1
2y x= ± 2 0x y± =
( )f x 1x =
0
(1 ) (1)lim 3x
f x f
x∆ →
+ ∆ − =∆A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用在某点处的导数的定义来求解.
【详解】 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查在某点处导数的定义，一般是通过构造定义形式来解决，侧重考查数
学建模和数学运算的核心素养.
6.已知椭圆 C： 的左右焦点为 F1,F2 离心率为 ，过 F2 的直线 l 交 C
与 A,B 两点，若△AF1B 的周长为 ，则 C 的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】若△AF1B 的周长为 4 ,
由椭圆的定义可知 , ,
, ,
，
所以方程为 ，故选 A.
考点：椭圆方程及性质
7.函数 在区间[－1，1]上的最大值是（ ）
1 (1)3 f ′ (1)f ′ 3 (1)f ′ (3)f ′
0 0
(1 ) (1) 1 (1 ) (1) 1lim lim (1)3 3 3x x
f x f f x f fx x∆ → ∆ →
+ ∆ − + ∆ − ′= =∆ ∆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3
3
4 3
2 2
13 2
x y+ =
2
2 13
x y+ =
2 2
112 8
x y+ =
2 2
112 4
x y+ =
3
4 4 3a = 3a∴ =
3
3
ce a
= = 1c∴ =
2 2b∴ =
2 2
13 2
x y+ =
3 2( ) 3 2f x x x= − +A. 4 B. 2 C. 0 D. －2
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得函数在区间 上的极值，然后比较极值点和区间端点的函数值，由此求得函数在区
间 上的最大值.
【 详 解 】 令 ， 解 得 或 .
，故函数的最大值为 ，所以本小题选 B.
【点睛】本小题主要考查函数在闭区间上的最大值和最小值问题，考查导数的运算，属于基
础题.
8.函数 的极值点是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数进行求导得 ，求方程 的根，再判断根的两边导数值不同号，
从而得到函数 的极值点.
【详解】函数的导数为 ，
当 得 或 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 是极小值点.
当 时， ，当 时， ，
所以 不是极值点.故选 .
【点睛】本题主要考查函数的极值与导数之间的关系，若 为函数的极值点，则必需满
足两个条件：一是 ，二是在 左右两边的单调性相反．同时熟练掌握复合函数的
导数公式是解决本题的前提．
[ ]1,1−
[ ]1,1−
( )' 23 6 0f x x x= − = 0x = 2x =
( ) ( ) ( ) ( )0 2, 2 2, 1 2, 1 0f f f f= = − − = − = 2
( ) ( )23 1 2f x x= − +
0x = 1x = 1x = − 1 1x = 0
32( ) 6 ( 1)f x x x′ = − ( ) 0f x′ =
( )f x
2 23 3( ) 2( 1) (3 ) 6 ( 1)f x x x x x′ = − × = −
( ) 0f x′ = 0x = 1x =
1x > ( ) 0f x′ > 0 1x< < ( ) 0f x′ <
1x =
0x < ( ) 0f x′ < 0 1x< < ( ) 0f x′ <
0x = B
0x x=
'
0( ) 0f x = 0x9.抛物线的顶点在原点，对称轴是 轴，点 在抛物线上，则抛物线的方程为()
A. B. C. D.
或
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据题意设出抛物线的方程 ，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲
线的方程，代入求得参数的值，最后得到答案.
【详解】根据题意设出抛物线的方程 ，
因为点 在抛物线上，
所以有 ，解得 ，
所以抛物线的方程是： ，
故选 B.
【点睛】该题考查的是有关抛物线的方程的求解问题，涉及到的知识点有根据抛物线所过的
一个点，以及抛物线的对称轴求抛物线的方程的问题，注意开口方向不明确时抛物线方程的
设法，属于简单题目.
10.若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析： ，∵函数 在区间 单调递增，∴
在 区 间 上 恒 成 立 ． ∴ ， 而 在 区 间 上 单 调 递 减 ，
∴ ．∴ 的取值范围是 ．故选：D．
考点：利用导数研究函数的单调性.
x ( 5,2 5)−
2 2y x= − 2 4y x= − 2 2y x=
2 4y x= − 2 36y x= −
2 ( 0)y mx m= ≠
2 ( 0)y mx m= ≠
( 5,2 5)−
20 5m= − 4m = −
2 4y x= −
( ) lnf x kx x= − ( )1,+∞ k
( ], 2−∞ − ( ], 1−∞ − [ )2,+∞ [ )1,+∞
( ) lnf x kx x= − ( )1,+∞
( )1,+∞ ( )1,+∞
[ )1,+∞11.下列说法错误的是（ ）
A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”
B. “ ”是“ ”的充分而不必要条件
C. 若 且 为假命题，则 、 均为假命题
D. 命题 “存在 ，使得 ”，则非 “任意 ，均有 ”
【答案】C
【解析】
【分析】
A 中命题的逆否命题是条件与结论互换并且同时否定；
B 中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；
C 中 且 为假命题，则 、 中至少有一个为假命题；
D 中非 是特称命题的否定，为全称命题；
逐一判断即可得解.
【详解】解：对于选项 A，命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，
则 ”，即原命题为真命题；
对于选项 B，当 时， ，当 ， 或 ，即原命题为真命题；
对于选项 C，若 且 为假命题，则 、 中至少有一个为假命题，即原命题为假命题；
对于选项 D，命题 “存在 ，使得 ”，则非 “任意 ，均有
”， 即原命题为真命题；
故选 C.
【点睛】本题考查了命题 逆否命题的真假、充分必要条件、复合命题的真假及特称命题的
否定，重点考查了逻辑推理能力，属中档题.
12.已知 分别是椭圆 的左，右焦点， 为椭圆上一点，且
（ 为坐标原点）， ，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
的
2 3 2 0x x− + = 1x = 1x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠
1x > | | 1x >
p q p q
:p x∈R 2 1 0x x+ + < :p x∈R 2 1 0x x+ + ≥
p q p q
p
2 3 2 0x x− + = 1x = 1x ≠
2 3 2 0x x− + ≠
1x > | | 1x > | | 1x > 1x > 1x <
p q p q
:p x∈R 2 1 0x x+ + < :p x∈R
2 1 0x x+ + ≥
1 2,F F
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > P
1 1( ) 0PF OF OP+ =
O 1 22PF PF=
6 3
2
−
6 5− 6 3− 6 5
2
−【答案】C
【解析】
【分析】
：取 的中点 ，连接 ，根据向量的加减法的几何意义和三角形中位线的性质，以及已
知 ，对这个等式，进行化简，得到 ，再根据椭圆的定义，结
合 ，可以求出离心率.
【详解】如下图所示：取 的中点 ，连接 ，
， ， ，
， ，因为 ，所以设 ， ，
..由椭圆的定义可知： ， ，
， ，
， ，故本题选 C.
..【点睛】本题考查了借助向量的加减法的几何意义和向量的垂直，考查了椭圆的定义及离
心率.本题考查了运算能力.
二、填空题（本大题共 4 小题）
13.已知双曲线 的焦距为 4.则 a 的值为________.
【答案】
1PF A OA
( )1 1· 0PF OF OP+ =
1 2PF F P⊥
1 22PF PF=
1PF A OA
1 2
12 , 2OA OF OP OA F P∴ = + =
1 2OF OP F P∴ + =
1 1( ) 0PF OF OP⋅ + =
1 2 0PF F P∴ ⋅ =
1 2PF F P∴ ⊥
1 22PF PF=
2PF m= 1 2PF m=
2 1 2 2PF PF a m m+ = = +
2 2( 2 1)
1 2
m a a∴ = = −
+
1 2 2F F c= 2 2 2 2 24 2 3 3 4 (3 2 2)c m m m a∴ = + = = × −
2
2
2 9 6 2 ( 6 3)c
a
∴ = − = − 6 3e∴ = −
2
2
2 1( 0)x y aa
− = >
3【解析】
【分析】
根据双曲线方程，得到焦距为 ，求解，即可得出结果.
【详解】因为双曲线 的焦距为 4，
所以 ，解得 .
故答案为
【点睛】本题主要考查由双曲线的焦距求参数的问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常
考题型.
14.已知 ， ，且 是 的充分不必要条件，则 的取值范围为
________．
【答案】
【解析】
【分析】
解不等式 ，得 ，由题意得出 ，可得出关于实
数 的不等式组，解出即可.
【详解】解不等式 ，得 ，
由于 是 的充分不必要条件， ， ，解得 .
当 时，则有 ；当 时，则有 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数的取值范围，同时也考查了绝对值不等式的解
法，一般转化为集合的包含关系求解，同时也要注意等号能否成立，考查化归与转化思想的
应用，属于基础题.
15.函数 的递减区间为_______
2 2 22 2 2 1= + = +c a b a
2
2
2 1( 0)x y aa
− = >
2 2 22 2 2 1 4= + = + =c a b a 3a =
3
: 4p x a− < : 2 3q x< < q p a
[ ]1,6−
4x a− < 4 4a x a− < < + ( ) ( )2,3 4, 4a a− +
a
4x a− < 4 4a x a− < < +
q p ( ) ( )2,3 4, 4a a− +
4 3
4 2
a
a
+ ≥∴ − ≤ 1 6a− ≤ ≤
1a = − ( ) ( )2,3 5,3− 6a = ( ) ( )2,3 2,6
a [ ]1,6−
[ ]1,6−
21( ) ln 2f x x x= −【答案】 ，
【解析】
【分析】
先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的递减区间.
【详解】函数的定义域为 ， ，故当 时， ，也
即函数的递减区间为 .
故填： .
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查函数定义域的求法，考查导数的
运算，属于基础题.
16.函数 的图象在 处的切线方程是________.
【答案】
【解析】
【分析】
求函数的导数，利用导数的几何意义求得斜率，由点斜式写出切线方程.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故所求切线方程为 .
故答案 ： .
【点睛】本题主要考查导数几何意义，以及导数的基本运算．比较基础．
三、解答题（本大题共 6 小题）
17.求下列函数的导数：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） .
为
(1, )+∞
( )0, ∞+ ( ) 2
' 1 1 xf x xx x
−= − = 1x > ( )' 0f x <
( )1,+∞
( )1,+∞
1 3( ) exf x x−= − 1x =
2 2 0x y+ − =
1 3( ) exf x x−= −
1 2( ) e 3xf x x′ −= −
1 1 1 1(1) e 1 0, (1) e 3 2f f− ′ −= − = = − = −
0 2( 1), 2 2 0y x x y− = − − + − =即
2 2 0x y+ − =
22 ln cosy x x x= + +
3exy x=【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（1）由导数的计算公式，进而计算，即可求解，得到答案；
（2）由导数的乘法法则，进行计算、变形，即可求解，得到答案．
【详解】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得 .
（Ⅱ）由导数的乘法法则，可得 .
【点睛】本题主要考查了导数的计算，其中解答中熟练掌握导数的计算公式是解答的关键，
着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18.（Ⅰ）已知某椭圆过点 ，求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）求与双曲线 有共同的渐近线，经过点 的双曲线的标准方程．
【答案】（Ⅰ） . （Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设出椭圆的方程，代入两个点的坐标即可求得椭圆的标准方程。
（Ⅱ）根据与已知双曲线共有渐近线，可设出双曲线方程为 ；代入点的坐标求得
λ 的值即可求得双曲线的标准方程。
【详解】（Ⅰ）设椭圆方程为
，解得 ，所以椭圆方程为 .
（Ⅱ）设双曲线方程为 ，代入点
解得
14 sinx xx
+ − ( )2 33 exx x+
( )2 12 (ln ) (cos ) 4 siny x x x x xx
′= + + = + −′ ′ ′
( ) ( ) ( )3 3 2 3e e 3 ex x xy x x x x
′ ′= + = +′
6( 2,1),( 1, )2
−
2 2
14 3
y x− = (3, 2)M −
2 2
14 2
x y+ =
2 2
16 8
x y− =
2 2
4 3
y x λ− =
2 2 1( 0, 0, )mx ny m n m n+ = > > ≠
∴
2 1
3 12
m n
m n
+ = + =
1 1,4 2m n= = 2 2
14 2
x y+ =
2 2
4 3
y x λ− = ( )3, 2M −
2λ = −
即双曲线方程为 .
【点睛】本题考查了双曲线标准方程的求法，双曲线的性质及渐近线应用，属于基础题。
19.命题 ：函数 有意义，命题 ：实数 满足 ．
（1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】(1) （2，3）．(2) [1，2]．
【解析】
【分析】
（1）由函数 有意义化简 ，求解分式不等式化简 ，再由
为真，得 ， 同时为真，取交集得答案；
（2）由 是 的充分不必要条件，得 ⫋ ，再由两角和端点值间的关系列不等式
组求解．
【详解】解：（1）由 ，得 ，
即 ，其中 ，
得 ， ，
则 ： ， ．
若 ，则 ： ，
由 ，解得 ．
即 ： ．
若 为真，则 ， 同时为真，
即 ，解得 ，
∴实数 的取值范围是 ．
2 2
24 3
y x∴ − = −
2 2
16 8
x y− =
p ( )( )2 2lg 4 3 0y x ax a a= − + − > q x 3 02
x
x
− p q
p q∧ p q
q p ( )2,3 ( ),3a a
2 24 3 0x ax a− + − > 2 24 3 0x ax a− + <
( )( )3 0x a x a− − < 0a >
3a x a< < 0a >
p 3a x a< < 0a >
1a = p 1 3x< <
3 02
x
x
− ( )2,0 3
2
y x m= + ,A B
M
( )1,1C ABC∆ 1 m
2x
4
+ 10
2
= ±
, ,a b c , ,a b c
> 0∆ m
AB C AB
1 12ABCS AB d∆ = ⋅ = m > 0∆ m
2a = 3
2
c
a
= 3c = 2 2 2 1b a c∴ = − =
∴ M
2
2 14
x y+ =（Ⅱ）设 ，
联立 得：
，解得：
，
又点 到直线 的距离为：
，解得：
【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、韦达定理、弦
长公式、点到直线距离公式的应用，需要注意的是联立后要利用判别式大于零确定参数的取
值范围.
22.已知函数
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）当 时， 在定义域内恒成立，求实数 的值.
【答案】（Ⅰ）当 时，单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时，单调递
增区间为 ，单调递减区间为
（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出函数 的的定义域以及导函数，分类讨论 ， ， 情况下导数的
正负，由此得到答案；
.
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
2 14
y x m
x y
= + + =
2 25 8 4 4 0x mx m+ + − =
( )2 264 20 4 4 0m m∴∆ = − − > 5 5m− < <
1 2
8
5
mx x∴ + = − 2
1 2
4 4
5
mx x
−=
( )2 2
1 2 1 2
4 22 4 55AB x x x x m∴ = ⋅ + − = ⋅ −
C AB 2
md =
21 1 4 2 5 12 2 5 2ABC
mS AB d m∆∴ = ⋅ = × ⋅ − ⋅ = ( )10 5, 52m = ± ∈ −
10
2m∴ = ±
21( ) ln2f x x a x= −
( )f x
0a > 1( ) 2f x ≥ a
0a ≤ (0, )+∞ 0a >
( , )a +∞ (0, )a
1a =
( )f x 0a = 0a < 0a >（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得函数 的最小值，要使 在定义域内恒成立，则
恒成立，令 ，利用导数求出 的最值，从而得到实数 的值。
【详解】（Ⅰ）由题可得函数 的的定义域为 ， ；
（1） 当 时， 恒成立，则 单调递增区间为 ，无单
调递减区间
（2） 当 时， 恒成立，则 单调递增区间 ，无
单调递减区间；
（3） 当 时，令 ，解得： ，令 ，解
得： ，则 单调递增区间为 ， 单调递减区间为
；
综述所述：当 时，单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时，单调递增区
间为 ，单调递减区间为 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为
，则 ；
所以 在定义域内恒成立，则 恒成立，即 ，
令 ，先求 的最大值： ，令
，解得： ，令 ，解得： ，令
，解得： ，所以 的单调增区间为 ，单调减
区间为 ，则
所以当 时， 恒成立，即 在定义域内恒成立，
故答案为
【点睛】本题主要考查函数的单调性，以及利用导数研究函数的最值，考查学生转化的思想
和运算求解能力，属于中档题。
为
( )f x 1( ) 2f x ≥ min
1( ) 2f x ≥
min( ) ( )g a f x= ( )g a a
( )f x ( )0, ∞+ ( )= af x x x
′ −
0a = ( )= 0f x x′ > ( )f x (0, )+∞
0a < ( )= 0af x x x
− >′ ( )f x (0, )+∞
0a > ( )= 0af x x x
− >′ x a> ( )= 0af x x x
−
( , )a +∞ (0, )a
0a > ( )f x ( , )a +∞
(0, )a min
1 1( ) ( ) ln (1 ln )2 2f x f a a a a a a= = − = −
1( ) 2f x ≥ min
1( ) 2f x ≥ 1 1(1 ln )2 2a a− ≥
1( ) (1 ln )2g a a a= − 1( ) (1 ln )2g a a a= − 1( ) ln2g a a= −′
1( ) ln 02g a a′ = − > 0 1a< < 1( ) ln 02g a a′ = − = 1a =
1( ) ln 02g a a′ = − < 1a > 1( ) (1 ln )2g a a a= − ( )0,1
( )1,+∞ max
1( ) (1) 2g a g= =
1a = 1 1(1 ln )2 2a a− ≥ 1( ) 2f x ≥
1a =
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