湖北高中联考协作体2019-2020高二数学上学期期中试题（带解析Word版）

2019 年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试 高二数学试卷（B 卷） 第Ⅰ卷选择题（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先计算 ，再计算 得到答案. 【 详 解 】 由 已 知 得 ， 所 以 . 故选：B. 【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题型. 2.命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用命题的否定定义得到答案. 【详解】命题“ ， ”的否定是： ， 故选： 【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生对于命题否定的掌握情况. { | 2 3}M x x= − < < { }| 2 1xN x= > M N = { | 0 3}x x M N∩ { | 0}N x x= > { | 2 3} { | 0} { | 0 3}x x xM N x x x− < < ∩ > = < 0x R∃ ∈ 2 4 5 0x x+ + > 0x R∃ ∈ 2 4 5 0x x+ + ≤ x R∀ ∈ 2 4 5 0x x+ + > x R∀ ∈ 2 4 5 0x x+ + ≤ 0x R∃ ∈ 2 4 5 0x x+ + > x R∀ ∈ 2 4 5 0x x+ + ≤ D3.已知双曲线的方程为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点在 轴上 B. 渐近线方程为 C. 虚轴长为 4 D. 离心率为 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线方程确定双曲线焦点、渐近线方程、虚轴长以及离心率，再判断得到答案. 【 详 解 】 双 曲 线 的 方 程 为 ， 则 双 曲 线 焦 点 在 轴 上 ； 渐 近 线 方 程 为 ； 虚轴长为 ；离心率为 ，判断知 正确. 故选： 【点睛】本题考查了双曲线的焦点，渐近线，虚轴长和离心率，意在考查学生对于双曲线基 础知识的掌握情况. 4.设 ， 是实数，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】本题采用特殊值法：当 时， ，但 ，故是不充分条件； 当 时 ， ， 但 ， 故 是 不 必 要 条 件 . 所 以 “ ” 是 “ ”的既不充分也不必要条件.故选 D. 考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质. 5.已知 ， ， ，则（ ） 2 2 14 5 y x− = x 2 5 0x y± = 3 5 2 2 14 5 y x− = y 2 5 0x y± = 2 5 3 2 B B a b 0a b+ > 0ab > 3, 1a b= = − 0a b+ > 0ab < 3, 1a b= − = − 0ab > 0a b+ < 0a b+ > 0ab > ln 2a = 0.2log 2b = 0.12c =A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用单调性分别判断 与 0,1 的大小关系得到答案. 【详解】 ， ， .故 故选：C. 【点睛】本题考查了数值的大小比较，通过比较与 0,1 的大小关系是解题的关键. 6.有下列四个命题 ①“若 ，则 ”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若 ，则 无实根”；④“若 ，则 ”的逆否命题. 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】 分别写出①的逆命题，②的否命题，计算③的判别式，④逆否命题与原命题同真同假，分别 判断得到答案. 【详解】① 逆命题是“若 ，则 ”，应是 ，故①错；②的否命题是“如果 两个三角形不全等，则它们的面积不相等”，错；③判别式 ，有实 根；④由逆否命题与原命题同真同假，若 ，则 ，④错 故选：D 【点睛】本题考查了逆命题，否命题，逆否命题，原命题的真假，意在考查学生的推断能力. 7.记 为等差数列 的前 项和.已知 ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 的 a b c< < b c a< < b a c< < a c b< < , ,a b c 0 ln 2 ln 1a e< = < = 0.2 0.2log 2 log 1 0b = < = 0.1 02 2 1c = > = b a c< < 3b = 2 9b = 1c ≤ 2 2 0x x c+ + = A B A∪ = A B⊆ 2 9b = 3b = 3b = ± 22 4 1 4 4 0c c∆ = − ⋅ ⋅ = − ≥ A B A∪ = B A⊆ nS { }na n 4 0S = 5 10a = 22 8nS n n= − 2 5na n= − 3 10na n= - 21 22nS n n= −【解析】 【分析】 根据条件得到公差与首项的方程组，计算得到答案. 【详解】设数列公差为 ，由题意得 ，所以 所以 ， 故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和的计算，意在考查学生的计算能力. 8.已知向量 ， 满足 ， ， ， 的夹角是 ，则 （ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 ， ， ， 的夹角是 ，计算 得到答案. 【详解】 . 故选：B. 【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力. 9.若 ab≠0，则 ax－y＋b＝0 和 bx2＋ay2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的( ) A. B. C. D. 【答案】C d 1 1 4 34 02 4 10 a d a d × + =  + = 1 6 4 a d = −  = 4 10na n= − 22 8nS n n= − a b | | 1a = | | 2b = a b 120° | 3 |a b− = 2 3 19 | | 1a = | | 2b = a b 120° 2| 3 | 19a b− =  ( )2 2 22| 3 | 3 9 6 9 6 1 2cos120 4 19a b a b a a b b °− = − = − ⋅ = − × × ++ =        | 3 | 19a b− = 【解析】 方程化为 y＝ax＋b 和 .从 B，D 中的两椭圆看 a，b∈(0，＋∞)， 但 B 中直线有 a0，也矛盾，应排除； C 中双曲线的 a>0，b M 2 2 2 4 bx y+ = P Q PQ x y E F EOF△ 3 16 b a【解析】 【分析】 设 ， ， 计算出切线方程得到 的方程为 ， 表示出面积为 ，再利用均值不等式得到答案. 【详解】设 ， ， ， 直线 和 的方程分别为 ， . 因 点 在 和 上，所以 ， . 可知 两点坐标满足方程 ，所以直线 的方程为 可得直线 与 轴和 轴的交点分别为 和 ， 所以 的面积是 . 因为 ，又 ，所以 . 所以 当且仅当 时， 面积取得最小值 . 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥曲线中面积的最值问题，表示出 是 解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 为 ( )0 0,M x y ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y PQ 2 0 0 4 bx x y y+ = 4 0 0 1 | || |2 32EOF bS OE OF x y∆ = = ( )0 0,M x y ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y MP MQ 2 1 1 4 bx x y y+ = 2 2 2 4 bx x y y+ = M MP MQ 2 1 0 1 0 4 bx x y y+ = 2 2 0 2 0 4 bx x y y+ = ,P Q 2 0 0 4 bx x y y+ = PQ 2 0 0 4 bx x y y+ = PQ x y 2 0 ,04 bE x       2 0 0, 4 bF y       EOF△ 4 0 0 1 | || |2 32EOF bS OE OF x y∆ = = 2 2 2 2 2 2 0 0a x b y a b+ = 2 2 2 2 0 0 0 02a x b y ab x y+ ≥ 0 0 2 abx y ≤ 4 3 0 032 16EOF b bS x y a∆ = ≥ 2 2 2 2 2 2 0 0 2 a bb x a y= = EOF△ 3 16 b a 3 16 b a 4 0 0 1 | || |2 32EOF bS OE OF x y∆ = =17.已知命题 ：“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”，命题 ：“方程 表示双曲线”. （1）若 是真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 和 都是真命题，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据方程表示焦点在 轴上的椭圆得到 ，计算得到答案. （2）命题 为真命题时满足 或 ，求交集得到答案. 【详解】（1）命题 ：“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”，则 ， 解得 . （2）命题 ：“方程 表示双曲线”，则 ，解得 或 . 若“ 和 ”都是真命题， ，所以 . 【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数范围，意在考查学生的计算能力. 18. 的内角 的对边分别为 ，设 . （1）求 ； （2）若 ，求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理得到 ，再利用余弦定理得到 得到答案. p 2 2 19 1 x y k k + =− − x q 2 2 12 x y k k + =− p k p q k 1 5k< < 2 5k< < x 9 1 1 0 k k k − > −  − > q 2k > k 0< p 2 2 19 1 x y k k + =− − x 9 1 1 0 k k k − > −  − > 1 5k< < q 2 2 12 x y k k + =− ( )2 0k k− < 2k > k 0< p q 1 5 2 0 k k k < 2 0x y+ + = C P C ,A B PA PB O OP AB 2 2 2x y+ = AB OP C ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = a b组 由此解得 ．又因为点 在圆 上，所以 ．故圆 的方程为 ． （2）设 则 ，且 = 设 ，则由 与圆 相交，求得 的取值范围为[-2，2] 则 的最小值为了 或者令 , ,则 = 因为 ，则 的最小值为了 （3）由题意可知，直线 和直线 的斜率存在且互为相反数， 故可设 所在的直线方程为 ， 所在的直线方程为 ． 由 消去 ，并整理得 ： ． ① 设 ，又已知 P 的横坐标 1 一定是该议程的根，则 、1 为方程①的两相异实数 根，由根与系数的关系得 ．同理，若设点 B ，则可得 ． 于是 ＝ =1． 而直线 的斜率也是 1，且两直线不重合，因此，直线 与 平行． ( ) 3 3 3 0,2 2{ 3 1 1.3 a b b a − −+ + = + × − = −+ 0a b= = P ( )1,1 C 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 0) (1 0) 2r a b= − + − = + + + = C 2 2 2x y+ = ( , )Q x y 2 2 2x y+ = ·PQ MQ  2 2( 1, 1) ( 2, 2) 4 2x y x y x y x y x y− − ⋅ + + = + + + − = + − x y u+ = x y u+ = 2 2 2x y+ = u ·PQ MQ  4− 2 cosx θ= 2 siny θ= ·PQ MQ  2 cos 2 sin 2 2sin( ) 24 πθ θ θ+ − = + − 1 sin( ) 14 θ π− +≤ ≤ ·PQ MQ  4− PA PB PA PB ( )1 1y k x− = − − ( ) 2 2 1 1 ,{ 2 y k x x y − = − + = y ( ) ( ) ( )22 21 2 1 1 2 0k x k k x k+ + − + − − = ( )1 1,A x y ( )1,1 1x 2 1 2 2 1 1 k kx k − −= + ( )2 2,x y 2 2 2 2 1 1 k kx k + −= + ( ) ( )1 21 2 1 2 1 2 1 1 AB k x k xy yk x x x x − + −−= =− − ( )1 2 1 2 2k x x k x x + − − OP OP AB22.已知动圆 过定点 ，并且内切于定圆 . （1）求动圆圆心 的轨迹方程； （2）若 上存在两个点 ， ，（1）中曲线上有两个点 ， ，并且 ， ， 三点共线， ， ， 三点共线， ，求四边形 的面积的最小值. 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】 （1）根据几何关系得到 ，得到轨迹为椭圆，代入数据计算得到答案. （2）直线 斜率不存在时，直接计算面积为 ；当斜率存在时，设 ，联立方程，根据韦达定理得到 ，再利用均值不等 式得到答案. 【详解】（1）设动圆的半径为 ，则 ， ，所以 ， 由椭圆的定义知动圆圆心 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆 ， ，所以 ，动圆圆心 的轨迹方程是 . （2）当直线 斜率不存在时，直线 的斜率为 0，易得 ， ，四边形 的面积 . 当直线 斜率存在时，设其方程为 联立方程得 ，消元得 设 ， ，则 C ( )2 2,0F 2 2 1 :( 2) 36F x y+ + = C ² 8y x= M N P Q M N 2F P Q 2F PQ MN⊥ PMQN 2 2 19 5 x y+ = 1 2 1 26CF CF F F+ = > MN 24S = ( 2)( 0)y k x k= − ≠ ( ) ( ) 22 2 2 1 120 5 9 k S k k + = + r 2| |CF r= 1| | 6CF r= − 1 2 1 26CF CF F F+ = > C 1F 2F 3a = 2c = 5b = C 2 2 19 5 x y+ = MN PQ | | 8MN = | | 6PQ = PMQN 24S = MN ( 2)( 0)y k x k= − ≠ 2 ( 2) 8 y k x y x = −  = ( )2 2 2 24 2 4 0k x k x k− + + = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 2 1 2 8 4 4 x x k x x  + = +  =. ∵ ，∴直线 的方程为 ，得 设 ， ，则 四边形 的面积 ， 令 ， ，上式 令 ， ，∴ ，∴ 综上所述：最小值为 24. 【点睛】本题考查了轨迹方程，面积的最值，意在考查学生的计算能力，忽略斜率不存在的 情况是容易犯的错误. 2 2 2 2 8 8| | 1 4 16 8MN k k k  = + + − = +   PQ MN⊥ PQ 1 ( 2)y xk = − − 2 2 1 ( 2) 19 5 y xk x y  = − −  + = ( )2 2 25 9 36 36 45 0k x x k+ − + − = ( )3 3,P x y ( )4, 4Q x y 3 4 2 2 1 2 2 36 5 9 36 45 5 9 x x k kx x k  + = + − = + ( )22 2 2 2 2 2 30 11 36 36 45| | 1 45 9 5 9 5 9 kkPQ k k k k +− = + − = + + +  PMQN ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 30 1 11 1 1| || | 8 1 1202 2 5 9 5 9 k k S MN PQ k k k k  + +  = = + =  + +   2 1k t+ = 1t > 2 1 ( 4)1 5120 120( 1)(5 4) 5 ( 1)(5 4) tts t t t t  + = = + − + − +    4 ,( 5)t z z+ = > 1 1 1 1 1 15120 120 120 16 41165 ( 5)(5 16) 5 5 2525( 5) 55 z zS z z zz z z          = + = + = + ⋅   − −      + −− −        16 41( 5)5z zz + > > 16 41 05z z + − > 1120 0 245S  > + =  