2019—2020 学年上学期高二期中考试数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1.过两点 的直线的倾斜角是 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用直线的斜率的定义和公式可得 ，由此求得 的值．
【详解】解： 过两点 ， 的直线的倾斜角是 ，
， ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查直线的斜率的定义和公式，属于基础题．
2.设 是不同的直线， 是两个不同的平面. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. ，则 D. 若 ，则
【答案】A
【解析】
【分析】
分别由线线平行、垂直，线面平行、垂直的判断定理和性质可求解；
【详解】解： ：由线线平行，线面平行，面面垂直知 正确；
：若 ， ， ，则 或 或 、 是异面直线，故 错误；
， ， ， ，则 或 ，或 ，故 错误；
：若 ， ， ，则 ，或 、 是异面直线，故 错误；
故选： ．
【点睛】考查线线平行、垂直，线面平行、垂直的判断定理和性质，属于基础题。
3.若直线 与直线 平行，则两平行线间的距离为（ ）
1, , ,) )3( (2A y B − 135° y
2− 5−
3tan135 11 2
y +° = = −− y
(1, )A y (2, 3)B − 135°
3tan135 11 2
y +∴ ° = = −− 2y∴ = −
B
, ,m n q ,α β
, / / , / /m m n nα β⊥ α β⊥ , ,m nα β α β⊥ ⊂ ⊂ m n⊥
, , ,m n q m q nα⊂ ⊥ ⊥ q α⊥ / / , ,m nα β α β⊂ ⊂ //m n
A A
B α β⊥ m α⊂ n β⊂ m n⊥ //m n m n B
:C m n ⊂ α q m⊥ q n⊥ q α⊥ q α⊂ / /q α C
D / /α β m α⊂ n β⊂ //m n m n D
A
1 : 1 0l ax y+ − = 2 : 1 0l x ay+ + =A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用直线平行的充要条件的应用求出直线的方程，进一步利用平行线间的距离公式的应
用求出结果．
【详解】解：直线 与直线 平行，
则 ，解得 ，
当 时，直线 与直线 重合，故舍去．
当 时，直线 与直线 平行，
故两平行线间的距离 ．
故选： ．
【点睛】本题考查的知识要点：平行线间的距离公式的应用，直线平行的充要条件的应用，
主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
4.向量 ，若 ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 求出 的值，再根据 得出 ，列方程求出 的值，即可计算 的
值．
【详解】解：向量 ，若 ，
则 ，解得 ；
又向量 ，且 ，
则 ，解得 ；
2 2 2
1 : 1 0l ax y+ − = 2 : 1 0l x ay+ + =
2 1 0a − = 1a = ±
1a = − 1 : 1 0l x y− + = 2 : 1 0l x y− + =
1a = 1 : 1 0l x y+ − = 2 : 1 0l x y+ + =
| 1 1| 2
2
d
− −= =
B
(2,1, ) , (2, , 1)a x b y= = − 5a =
a b⊥ x y+
1− 4−
5a = x a b⊥ 0a b =
y x y+
(2,1, )a x= 5a =
2 2 22 1 5x+ + = 0x =
(2, , 1)b y= − a b⊥
4 0 0a b y= + + =
4y = −所以 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了空间向量的数量积与模长公式计算问题，是基础题．
5.在一个平面上，机器人到与点 的距离为 8 的地方绕 点顺时针而行，它在行进过
程中到经过点 与 的直线的最近距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意知机器人的运行轨迹为圆，利用圆心到直线的距离求出最近距离．
【详解】解：机器人到与点 距离为 8 的地方绕 点顺时针而行，
在行进过程中保持与点 的距离不变，
机器人的运行轨迹方程为 ，如图所示；
与 ，
直线 的方程为 ，即为 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
最近距离为 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于基础题．
6.圆 的半径为 4，圆心为 是圆 内一个定点， 是圆上任意一点，线段
4x y+ = −
C
(3, 3)C − C
0( )10,A − (0,10)B
8 2 8− 8 2 8+ 8 2 12 2
C (3, 3)− C
C
∴ 2 2( 3) ( 3) 64x y− + + =
( 10,0)A − (0,10)B
∴ AB 110 10
x y+ =− 10 0x y− + =
C AB | 3 3 10 | 8 2 8
1 1
d
+ += = >
+
∴ 8 2 8−
A
A 1,0 ,( ) ( ,0)1A B− A P BP的垂直平分线与半径 相交于点 ，当点 在圆上运动时，点 的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
数形结合利用垂直平分线的定义得到动点 到定点 、 的距离之和为定值 4（大于两定点
间的距离 ，符合椭圆定义，从而得到椭圆方程．
【详解】解：如图，直线 为线段 的垂直平分线，
连接 ，由线段垂直平分线的性质得： ，
而半径 ，且 、 两点为定点，
，
由椭圆定义得： 点轨迹是以 、 两点为焦点的椭圆，且 ， ，
， ， ，
椭圆方程为： ，
故选： ．
AP Q P Q
2 2
13 4
x y+ = 2 2 16x y+ =
2 2
14 3
x y+ = 2 2( 1) 16x y+ + =
Q A B
2)AB =
l BP
∴ BQ BQ PQ=
AP AQ PQ= + A B
4 2AQ BQ AB∴ + = > =
∴ Q A B 2 4a = 2 2c =
2a∴ = 1c = 3b∴ =
∴ 2 2
14 3
x y+ =
C【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆方程的求法，考查了直线的垂直平分线的性质，
是中档题，也是轨迹方程的常见题型．
7.在长方体 中， ， ，则异面直线 与
所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹
角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以 D 为坐标原点，DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则
,所以 ,
因为 ，所以异面直线 与 所成角的余弦
值为 ，选 C.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空
间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，
求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
8.已知圆 和两点 ，若圆 上存在点 ，
使得 ，则 的最大值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆心 到 距离为 10，可得圆 上的点到点 的距离的最大值为 11，再由
，可得 ，可得 ，则答案可求．
【详解】解：圆 的圆心 ，半径为 1，
圆心 到 的距离为 10，
的
1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB BC= = 1 3AA = 1AD 1DB
1
5
5
6
5
5
2
2
1 1(0,0,0), (1,0,0), (1,1, 3), (0,0, 3)D A B D 1 1( 1,0, 3), (1,1, 3)AD DB= − =
1 1
1 1
1 1
1 3 5cos , 52 5
AD DBAD DB
AD DB
⋅ − += = =
×
1AD 1DB
5
5
2 2 1)6 8):( (C x y− + − = ( ) ( )( ),0 , ,0 0A m B m m− > C P
90APB∠ = ° m
C (0,0)O C O
90APB∠ = ° 1
2PO AB m= = 11m
2 2 1)6 8):( (C x y− + − = ( )6,8C
C (0,0)O圆 上的点到点 的距离的最大值为 11．
再由 可得，以 为直径的圆和圆 有交点，
可得 ，故有 ，
的最大值为 11．
故选： ．
【点睛】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆 上的点到点 的距离的最大值是解题的关
键，属于中档题．
9.已知向量 ， ， 是空间的一个单位正交基底，向量 是空间的另一个基底，
若向量 在基底 ， ， 下的坐标为 ，则它在 下的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可 设 向 量 ， ， ； 由 此 求 出 向 量 、 ， 再 设
，列方程组求出 、 和 即可．
【详解】解：设向量 ， ， ；
则向量 ， ，
∴ C O
90APB∠ = ° AB C
1
2PO AB m= = 11m
m∴
D
C O
a b c , ,b ba a c+ −
p a b c (3,2,1) , ,b ba a c+ −
1 5, ,12 2
5 1,1,2 2
1 51, ,2 2
5 1, ,12 2
( )1,0,0a = ( )0,1,0b = ( )0,0,1c = a b+ a b−
( ) ( )p x a b y a b zc= + + − + x y z
( )1,0,0a = ( )0,1,0b = ( )0,0,1c =
( )1,1,0a b+ = ( )= 1, 1,0a b− − 又向量 ，
不妨设 ，
则 ，
即 ，
解得 ，
所以向量 在 下的坐标为 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了空间向量的坐标表示应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
10.已知 ，从点 射出的光线被直线 反射后，再射到直线 上，
最后经 反射后回到 点，则光线所经过的路程是（ ）
A. B. 6 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设点 关于 轴的对称点 ，点 关于直线 的对称点 ，由对称点可求得
和 的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线
所经过的路程 ．
【详解】解：点 关于 轴的对称点 坐标是 ，设点 关于直线 的
对称点
( )3,2,1p =
( ) ( )p x a b y a b zc= + + − +
( ) ( )3,2,1 , ,x y x y z= + −
3
2
1
x y
x y
z
+ =
− =
=
5
2
1
2
1
x
y
z
=
=
=
p , ,b ba a c+ − 5 1, ,12 2
D
( )( )4,0 , 0,4A B (1,0)P AB OB
OB P
34 3 3 2 5
P y P′ P : 4 0AB x y+ − = P′′
P′ P′′
| |P P′ ′′
P y P′ ( 1,0)− P : 4 0AB x y+ − =
( , )P a b′′，解得 ， ，
光线所经过的路程 ，
故选： ．
【点睛】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上
的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为 的长度，
属于中档题．
11.已知点 在椭圆 上，点 为平面上一点， 为坐标原
点，则当 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
点 在 椭 圆 上 ， 可 得 ， 为 平 面 上 一 点 ，
，根据柯西不等式得到 ， 关系，代入即可．
【详解】解：点 在椭圆 上，可得 ，
为平面上一点， ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，
，
．
故选： ．
【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．
∴
0 11
1 42 2
b
a
a b
− = − + + =
4
3
a
b
=
=
(4,3)P∴ ′′
∴ 2 2| | (4 1) 3 34P P′ ′′ = + + =
A
| |P P′ ′′
(3,1)P
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > ( , )M a b O
OM
3
3
1
3
2
2
6
3
(3,1)P
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2 2
9 1 1a b
+ = ( , )M a b
2 2| |OM a b= + a b
(3,1)P
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2 2
9 1 1a b
+ =
( , )M a b 2 2| |OM a b= +
2 2 2 2 2
2 2
9 1| | ( )( ) (3 1) 4OM a b a b a b
= + = + + + =
2 23a b=
2
2
2
21 3
be a
= − =
6
3e =
D12.已知圆 ，点 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线
， 为切点，则直线 经过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，设 ，分析可得 是圆 与以 为直径的两圆的公共弦，据此可得以
为直径的圆的方程，又由圆 的方程，分析可得直线 的方程，变形可得答案．
【详解】解：根据题意，点 为直线 上一动点，则设 ，
， 是圆 的切线，
， ，
是圆 与以 为直径的两圆的公共弦，
可得以 为直径的圆的方程为 ，①
又圆 的方程为： ，②，
① ②，得 ，
即 ，则该直线必过点 ，
故选： ．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过
定点问题，属于中档题．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.一个结晶体的形状为平行六面体，以同一个顶点为端点的三条棱长均为 6，且它们彼此的
夹角均为 ，则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
2 2: 1C x y+ = P : 4 0l x y+ − = P C
,PA PB ,A B AB
1 1,2 2
1 1,4 2
1 1,4 4
10, 4
(4 , )P m m− AB C PC
PC C AB
P 4 0x y+ − = (4 , )P m m−
PA PB C
CA PA∴ ⊥ CB PB⊥
AB∴ C PC
PC 2 2 2 2[ (2 )] ( ) (2 ) ( )2 2 2 2
m m m mx y− − + − = − +
C 2 2 1x y+ =
− (4 ) 1 0m x my− + − =
( ) 4 1 0m y x x− + − = 1 1,4 4
C
60°
6 6设 ， ， ，根据平行四边形法则，对角线 ，再结合条件，
利用向量的模即可求出对角线长．
【详解】解：设 ， ， ，
因为 ，
所以
，
所以对角线 ．
故答案为: ．
【点睛】本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算，考查空间两点之间的距离运算，根
据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．
14.椭圆 的左右焦点分别为 ，点 在椭圆上，若 ，则
________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由椭圆的方程分析可得 、 的值，计算可得 的值，由椭圆的定义可得 的
值，在△ 中，通过 ， ， ，由勾股定理分析可得答案．
【详解】解：根据题意，椭圆 ，
其中 ， ，
则 ，
AB a= AD b=
1AA c=
1AC a b c= + +
AB a= AD b=
1AA c=
1 1AC AB AD AA a b c= + + = + +
( )22 2 2 2
1 2 2 2 36 36 36 6 6 6 cos60 216AC a b c a b c a b a c b c= + + = + + + + + = + + + × × × ° =
1 6 6AC =
6 6
2 2
19 4
x y+ = 1 2,F F P 1 4PF = 1 2F PF∠ =
90°
a b c 2| |PF
1 2F PF 1| |PF 2| |PF 1 2| |F F
2 2
19 4
x y+ =
3a = 2b =
5c =点 在椭圆上，若 ，则 ，
在△ 中， ， ， ，
则 ，
则有 ，
故答案 ： ．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，注意由椭圆的定义分析得到 的值，是中档题．
15.直线 与曲线 仅有一个公共点，则实数的 的取值范围是
________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据方程可知直线恒过点 ，画出图象，先求出切线时，利用圆心到直线距离为半径可求
出 ，再结合图形求出当直线经过点 ， 时，实数 的取值，即可的 的取值范
围．
【详解】解：如图，
由题知曲线 即 ，表示以 为圆心，2 为半径的半圆，该半
圆位于直线 上方，
直线 恒过点 ，
因为直线与曲线只有一个交点，
由圆心到直线 距离等于半径得 ，解得 ，
由图，当直线经过点 时，直线的斜率为 ，
当直线经过点 时，直线的斜率不存在，
综上，实数 的取值范围是 ，或 ，
为
的
P 1| | 4PF = 2 1| | 2 | | 6 4 2PF a PF= − = − =
1 2F PF 1| | 4PF = 2| | 2PF =
1 2| | 2 2 5F F c= =
2 2 2
1 2 1 2| | | | | |PF PF F F+ =
1 2 90F PF∠ = °
90°
2| |PF
( 2) 4y k x= − + 21 4y x= + - k
3 5,4 12
+∞
(2,4)
k ( 2,1)− (2,1) k k
21 4y x= + - 2 2( 1) 4x y+ − = (0,1)
1y =
( 2) 4y k x= − + (2,4)
2
| 2 3| 2
1
k
k
− =
+
5
12k =
( 2,1)− 4 1 3
2 ( 2) 4
− =− −
(2,1)
k 5
12k = 3
4k >故答案为： ．
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合、
转化的数学思想，属于中档题
16.在正方体 中， 分别为棱 、 的中点， 为棱 （含端
点）上的任一点，则直线 与平面 所成角的正弦值的最小值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，设正方体边长为 2，求出平面 的法向量为 ，直线 与平面
所成角为 ， ，因为 ， ，所以当 时，取到最
小值，代入即可．
【详解】解：如图，建立直角坐标系，设正方体边长为 2， ，
则 ，0， ， ， ， ， ，0， ， ，2， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
，
由 ， ，得 ，令 ， ，故 ，0， ，
由 ，
3 5,4 12
+∞
1 1 1 1ABCD A B C D− ,E F 1AA 1BB M 1 1A B
ME 1D EF
2
5
DEF m ME 1D EF
α
2
2sin cos ,
1 5
m EM
a
α = =
+ ⋅
[0a∈ 2] 2a =
AM a=
(2E 1) (2M a 2) (0D 2) (2F 1)
DEF (m x= y )z
1(0,2,0), ( 2,0,1)EF ED= = −
0m EF⋅ =
1 0m D E⋅ = 0
2 0
y
x z
=
− + = 2z = 1x = (1m = 2)
(0, ,1)EM a=设直线 与平面 所成角为 ，
，
因为 ， ，所以当 时，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】考查立体几何中的最值问题，本题利用向量法求线面所成的角，基础题．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17.若直线 的方程为 .
（1）若直线 与直线 垂直，求 的值；
（2）若直线 在两轴上的截距相等，求该直线的方程.
【答案】（1）1；（2） ， ．
【解析】
【分析】
（1）直线 与直线 垂直，可得 ，解得 ．
（2）当 时，直线 化为： ．不满足题意．当 时，可得直线 与坐标轴的交点
， ．根据直线 在两轴上的截距相等，即可得出．
ME 1D EF α
2
2sin cos ,
1 5
m EM
a
α = =
+ ⋅
[0a∈ 2] 2a =
sinα 2 2
55 5
=
⋅
2
5
l 2 2 0( )ax y a a R+ − − = ∈
l : 2 0m x y− = a
l
0x y− = 2 0x y+ − =
l : 2 0m x y− = 2 2 0a − = a
0a = l 1y = 0a ≠ l
2(0, )2
a + 2 ,0a
a
+
l【详解】解：（1） 直线 与直线 垂直，
，解得 ．
（2）当 时，直线 化为： ．不满足题意．
当 时，可得直线 与坐标轴的交点 ， ．
直线 在两轴上的截距相等， ，解得： ．
该直线的方程为： ， ．
【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间关系、方程的解法，考查了推理
能力与计算能力，属于基础题．
18.椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，已知其短半轴长为 1，半焦距为 1，直线
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）椭圆 上是否存在一点，它到直线 的距离最小，最小距离是多少？
【答案】（1） ；（2）存在， .
【解析】
【分析】
（1）根据题意得 ， 得椭圆的方程．
（2）直线 与椭圆相离，设直线 ，且直线 与椭圆相切时，直线 与椭圆的公共点到
直线 的距离最小．
【详解】解：（1） 焦点在 轴上，已知其短半轴长为 1，半焦距为 1，
， ，
，
椭圆 的方程为： ．
（2）由图象可知，直线 与椭圆相离，设直线 ，且直线 与椭圆相切，
则直线 方程为： ，
l : 2 0m x y− =
2 2 0a∴ − = 1a =
0a = l 1y =
0a ≠ l 2(0, )2
a + 2 ,0a
a
+
l ∴ 2 2
2
a a
a
+ += 2a = ±
∴ 0x y− = 2 0x y+ − =
C x
: 2 3 0l x y+ − =
C
C l
2
2 12
x y+ = 6
2
a b
l / /m l m m
l
x
1b∴ = 1c =
∴ 2 2 2a b c= + =
∴ C
2
2 12
x y+ =
l / /m l m
m ( 2 3)x y n n+ = ≠联立 得， ，
，
或 ，
当 时，直线 与椭圆的公共点到直线 的距离最小，
此时直线 ，最小距离为 ．
【点睛】考查椭圆标准方程以及最值，会用到转化思想，属于中档题．
19.阿波罗尼斯（约公元前 262−190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常
数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆. 若平面内两定点
，动点 满足 .
（1）求点 的轨迹方程；
（2）求 的最大值.
【答案】（1） ；（2）45.
【解析】
【分析】
（1）代入法求轨迹方程，设 ，根据题意得到方程。
（2）由 再转化代入求最大值
【详解】（1）设 ，由题意可知
即
整理得 ，即为点 的轨迹方程 ；
（2） ，
由（1）得： ，将其代入上式得
2
2 12
x y n
x y
+ = + =
2 23 4 2 2 0x nx n− + − =
∴ 2 2 2( 4 ) 4 3 (2 2) 8 24 0n n n∆ = − − × × − = − + =
∴ 3n = 3n = −
3n = m l
: 3m x y+ = | 2 3 3 | 6
22
d
−= =
( 0, 1)k k k> ≠
0,0 ,( ) ( )3,0O A P
1
2
PO
PA
=
P
2 2PO PA+
2 2( 1) 4x y+ + =
( ),P x y
2 2 2 2 25 5( )PO PA PO x y+ = = +
( ),P x y
2 24PA PO= 2 2 2 24( ) ( 3)x y x y+ = − +
2 2( 1) 4x y+ + = P
2 2 2 2 25 5( )PO PA PO x y+ = = +
2 24 ( 1)y x= − +，
又∵
∴当 时， 最大，最大值为 45.
【点睛】本题考查了求轨迹方程，以及考查求最值， 中档题．
20.设圆 的圆心在 轴的正半轴上，与 轴相交于点 ，且直线 被圆 截得的
弦长为 .
（1）求圆 的标准方程；
（2）设直线 与圆 交于 两点，那么以 为直径的圆能否经过原点，若
能，请求出直线 的方程；若不能，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）能， 或 .
【解析】
【分析】
（1）设圆心 ， ，半径为 ，由垂径定理列关于 与 的方程，结合点在圆上联
立求得 与 的值，则圆 的方程可求；
（2）设 ， ， ， 是直线 与圆 交点，联立直线方程与圆的方
程，化为关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式可得 的中点
的坐标，假如以 为直径的圆过原点，则 ，由此列式求解 值，则直线
的方程可求．
【详解】（1）设圆心 ，半径为 ，由垂径定理得
且
解得 ，
∴圆 的方程为 ；
（2）设 是直线 与圆 的交点，
将 代入圆 的方程得：
是
的
2 2 5(3 2 )PO PA x+ = −
3 1x− ≤ ≤
3x = − 2 2PO PA+
C x y ( )0, 6A y x= C
4 2
C
y x m= − + C ,M N MN
MN
2 2( 2) 10x y− + = 1 7y x= − + + 1 7y x= − + −
( ,0)C a 0a > r a r
a r C
1(M x 1)y 2(N x 2 )y y x m= − + C
x MN H
MN 1| | | |2OH MN= m MN
( ),0 , 0C a a > r
2
28
2
a r
+ =
2 26a r+ =
22 , 10a r= =
C 2 2( 2) 10x y− + =
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y y x m= − + C
y x m= − + C 2 22 (4 2 ) 6 0x m x m− + + − =∴ ，
∴ 的中点为 .
以 为直径的圆能过原点，则 ，
∵圆心 到直线 的距离为 ，
∴ .
∴ ，解得 ，
经检验 时，直线 与圆 均相交，
∴ 的方程为 或 .
【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是
中档题．
21.如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，侧棱 底面 ， 垂
直于 和 ， 为棱 上的点， .
（1）若 为棱 的中点，求证： 平面 ；
（2）当 时，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
( )24 4 16 0m m∆ = − − − >
1 2 2x x m+ = + 2
1 2
6
2
mx x
−⋅ =
MN 2 2,2 2
m mH
+ −
MN 1| | | |2OH MN=
( )2,0C MN | 2 |
2
md
−=
2
2 2 ( 2)| | 2 2 10 2
mMN r d
−= − = −
2 2 6 0m m− − = 1 7m = ±
1 7m = ± MN C
MN 1 7y x= − + + 1 7y x= − + −
S ABCD− ABCD SA ⊥ ABCD AB
AD BC M SB 3 , 2 , 1SA AB BC AD= = = =
M SB / /AM SCD
, 3SM MB DN NC= = AMN SAB
3 15
25【解析】
【分析】
（1）取线段 的中点 ，连结 ， ，推导出四边形 为平行四边形，从而
，由此能证明 平面 ．
（2）以 为坐标原点，建立分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴的空间直
角坐标系，利用向量法能求出平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
【详解】（1）证明：取线段 的中点 ，连接 .
在 中， 为中位线
∴ 且 ，
∵ 且 ，
∴ 且
∴四边形 为平行四边形.
∴ .
∵ 平面 平面 ，
∴ 平面 .
（2）解：如图所示以点 为坐标原点，建立分别以 、 、 所在的直线为 轴、
轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，
SC E ME ED AMED
/ /AM DE / /AM SCD
A AD AB AS x y z
AMN SAB
SC E ,ME ED
SBC∆ ME
//ME BC 1
2ME BC=
/ /AD BC 1
2AD BC=
/ /ME AD ME AD=
AMED
/ /AD DE
DE ⊂ ,SCD AM ⊄ SCD
/ /AM SCD
A AD AB AS x y
z (0,0,0) , (0, 3,0) , (2, 3,0) , (1,0,0) , (0,0, 3)A B C D S于是
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
将坐标代入并取 ，得 .
另外易知平面 的一个法向量为 ，
所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦为 .
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，上顶点为 ，右顶点为 ，
直线 与圆 相切于点 .
（1）求椭圆 的方程.
（2）过点 作一条斜率存在的直线 与椭圆 相交于 两点，求 的面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）2.
【解析】
【分析】
1 3 30, ,2 2 2AM AB BS
= + =
3 3 7 3 3(1,0,0) (1, 3,0) , ,04 4 4 4AN AD DC
= + = + =
AMN ( ), ,n x y z= 0
0
AM n
AN n
⋅ =
⋅ =
7y = ( 3 3,7, 7)n = − −
SAB (1,0,0)m =
AMN SAB 3 15
25| || |
m n
m n
⋅ =
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2,F F P Q
PQ 2 2 4
5x y+ = 2 4,5 5M
C
F l C ,A B 2ABF∆
2
2: 14
xC y+ =（1）根据直线和圆相切的等价条件求出切线方程，即可得到结论；
（2）设直线 ， ．联立 利用韦达定理，弦长公式可得
．令 ， ，利用基本不等式求最值即可
【详解】（1）∵
∴ ，
∴ ，即
∴椭圆 .
（2）设直线 的方程为： ，代入椭圆 的方程为：
，
又
∴ ，
令 ，则
此时 ，∴ .
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，三角形面积的最值，利用直线和椭圆的位置关系，
联立方程组，利用设而不求思想结合直线和椭圆相交的弦长公式是解决本题的关键．
: 3l x my= − ( 0)m ≠
2 2
3
4 4
x my
x y
= − + =
2
2
2
14 3 4ABF
mS m∆
+= ⋅ +
2 1t m= + ( 1)t >
2OMk =
4 1 2: 5 2 5PQ y x − = − −
(0,1) , (2,0)P Q 2 , 1a b= =
2
2: 14
xC y+ =
l 3( 0)x my m= − ≠ C
( )2 24 2 3 1 0m y my+ − − =
1 2 1 22 2
2 3 10 , ,4 4
my y y ym m
∆ > + = = −+ +
1 2| | 2 3F F =
( )
2
2
2
1 2 1 2 1 2 2
1 12 3 3 4 4 32 4ABF
mS y y y y y y m∆
+= × × − = + − = +
2 1( 1)t m t= + > 2 2
4 3 4 3 4 3 233 2 3ABF
tS t t t
∆ = = ≤ =+ +
3 , 2t m= = ± ( )
2 max
2ABFS∆ =
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