2019-2020 学年上学期高二期中考试数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题）
1.设 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】 等价于 ，故 推不出 ；
由 能推出 。
故“ ”是“ ”的必要不充分条件。
故选 B。
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断；
(2)集合法：根据由 p，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进
行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
2.已知等差数列 中, ， ，则 的值是（ ）
A. 64 B. 31 C. 30 D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等差数列的等和性即可.
【详解】因为 是等差数列,所以 ,
x∈R 0 5x< < 1 1x − <
1 1x − <
1 1x − < 0 2x< < 0 5x< < 1 1x − <
1 1x − < 0 5x< <
0 5x< < | 1| 1x − <
{ }na 7 9 16+ =a a 4 1a = 12a
{ }na 7 9 12 4a a a a= ++所以 ．
故选：D．
【点睛】若 是等差数列,且 ,则
本题考查了等差数列的性质,属于基础题．
3.己知关于 x 不等式 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
二次函数恒成立问题利用判别式小于 0 列式求解即可．
【详解】不等式 在 R 上恒成立,
即 ,
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数恒成立问题,属于基础题．
4.椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ）
A. -21 B. 21 C. 或 21 D. 或 21
【答案】C
【解析】
试题分析：当焦点在 轴时 ，当焦点
在 轴时 ，故选 C
考点：椭圆方程及性质
5.已知双曲线 的焦点在 轴上，若焦距为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
的
12 7 9 4 16 1 15a a a a= + − = − =
{ }na ( , , , *)m n p q m n p q N+ = + ∈ m n p qa a a a+ = +
2 2 0x ax a− + >
( )0,8 ( ),0−∞ ( )8,+∞ ( )3,+∞
2 2 0x ax a− + > 2 4 2 0 ( 8) 0a a a a∆ = − × < ⇒ − <
( )0,8a∈
2 2
19 4
x y
k
+ =+
4
5 k
19
25
− 19
25
x 2 2 2 5 16 199, 4 5 9 25 25
ka b k c k k
−= = + ∴ = − ∴ = ∴ = −
y 2 2 2 5 164 , 9 5 214 25
ka k b c k kk
−= + = ∴ = − ∴ = ∴ =+
2 2
13 2
x y
a a
+ =− −
y 4 a =
3
2 5 7 1
2【答案】D
【解析】
因为双曲线 的焦点在 轴上，所以该双曲线的标准方程为
（其中 ）.又因为焦距为 ，所以 .所以 .
故本题正确答案为 D.
6.不等式 的解集是 ，则 等于 （ ）
A. 14 B. 14 C. 10 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据不等式的解集得到方程的解为 或 ，进而求出 a 与 b 的数值，即可得到答案．
【详解】由题意可得：不等式 ax2+bx+2＞0 的解集 ，
所以方程 ax2+bx+2=0 的解为 或 ，
所以 a-2b+8=0 且 a+3b+18=0，
所以 a=-12，b=-2，
所以 值是-14．
故选 B．
【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握不等式的解集与方程的解之间的关系，并且结合正
确的运算．
7.已知数列 ，如果 ， ， ，……， ，……，是首项为 1，公比为
的等比数列，则 =
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
2 2
13 2
x y
a a
+ =− −
y
2 2
12 3
y x
a a
− =− −
2a < 4
243 2 2a a − + − =
1
2a =
2 2 0ax bx+ + > 2 2ax a
+= +a b
− −
1
2
− 1
3
1 1{ | }2 3x x− < <
1
2
− 1
3
a b+
{ }na 1a 2 1a a− 3 2a a− 1n na a −−
1
3 na
3 112 3n（ ）− 1
3 112 3n−−（ ） 2 113 3n
−（ ）
1
2 113 3n−−（ ）分析：累加法求解。
详解： ， ，
解得
点睛：形如 的模型，求通项公式，用累加法。
8.已知等差数列 的公差 ,且 成等比数列，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为 是等比数列,所以有 ,利用基本量法求得首项和公差之间的关系
,再写出通项公式代入 即可求值．
【详解】等差数列 中,因为 成等比数列,
所以有 ,即 ,解得 ,
所以该等差数列的通项为
则 ．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比中项的用法,属基础题型．
9.已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则 的最小值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵正项等比数列 的公比为 3，且
1
1
1( )3
n
n na a −
−− = 2
1 2
1( )3
n
n na a −
− −− = 3
2 3 2 1
1 1( )3 3
n
n na a a a−
− −− = − =
3 112 3n na = −（ ）
( )1n na a f n−− =
{ }na 0d ≠ 1 3 9, ,a a a 1 3 9
2 4 10
a a a
a a a
+ +
+ +
9
14
11
15
13
16
15
17
1 3 9, ,a a a 3 1
2
9a a a= ⋅
1d a= 1 3 9
2 4 10
a a a
a a a
+ +
+ +
{ }na 1 3 9, ,a a a
3 1
2
9a a a= ⋅ 2
1 1 1( 2 ) ( 8 )a d a a d⋅ +=+ 1d a=
na nd=
1 3 9
2 4 10
(1 3 9) 13
(2 4 10) 16
a a a d
a a a d
+ + + += =+ + + +
{ }na 3 2
29m na a a= 2 1
2m n
+
1 1
2
3
4
3
2
{ }na 2
29m na a a=∴
∴
∴ ，当且仅当 时
取等号.
故选 C.
点睛：利用基本不等式解题的注意点：
（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个
条件必须同时成立．
（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形
式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．
（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．
10.己知数列 的通项公式是 ．设数列 的前 n 项和为 ，则
使 成立的最小自然数 n 的值是（ ）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】
由 ,再由数列的裂项相消求和,可得前 n 项和 ,再由对
数不等式的解法可得 n 的最小值．
【详解】 ,可得前 n 项和
,当 时
则 ,即 ,所以使 成立的最小自然数 n 的值是 16．
故选：D．
【点睛】本题考查数列的裂项相消求和,对数不等式的解法,考查运算能力,属于基础题．
11.我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果
2 2 2 4 2
2 2 2 23 3 3 9m n m na a a a− − + −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
6m n+ =
1 2 1 1 2 1 1 5 3( )( ) (2 ) ( 2)6 2 6 2 2 6 2 4
m nm n m n n m
× + + = × + + + ≥ × + = 2 4m n= =
{ }na ( )*
2 1n
na log n Nn
= ∈+
{ }na nS
4nS < −
2 2 2log log log 1)1 (n n nna n
−= +=+ nS
2 2 2log log log 1)1 (n n nna n
−= +=+
1 2 2 2 2 2 2 2... log 1 log 2 log 2 log 3 ... log log ( 1)n nS a a a n n= + + + = − + − + + − +
2log ( 1)n= − + 4nS < − 2 2log ( 1) 4 log ( 1) 4n n− + < − ⇒ + >
1 16n + > 15n > 4nS < −
2 2
2 2 1( 0)x y xa b
+ = ≥
2 2
2 2 1( 0)y x xb c
+ = > > 0 1 2, ,F F F 1 2,A A
1 2,B B ,x y 0 1 2F F F∆ 1 ,a b
7 ,12
3,1 5,3 5,4
0 1 2F F F 1
2 2
2 0 2
1 3, 32 2OF b c OF c OF= − = = = = 1b∴ = 2 2 2 3 71 4 4a b c∴ = + = + =
7
2a = 7 , 12a b= =
1 21,0 1,0F F−( ) ， ( )
2 22AF F B=│ │ │ │ 1AB BF=│ ││ │
2
2 12
x y+ =
2 2
13 2
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
2 2
15 4
x y+ =【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可设 ，则 ，得 ，在 中求得
，再在 中，由余弦定理得 ，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定
义有 ．在 中，由余弦定理推论得
．在 中，由余弦定理得 ，
解得 ．
所求椭圆方程为 ，故
选 B．
法二：由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有
．在 和 中，由余弦定理得
，又 互补，
，两式消去 ，得 ，
解得 ． 所求椭圆方程为
，故选 B．
2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = = 1 2AF n= 1AF B△
1
1cos 3F AB∠ = 1 2AF F△ 3
2n =
2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = =
1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − = 1AF B△
2 2 2
1
4 9 9 1cos 2 2 3 3
n n nF AB n n
+ −∠ = =⋅ ⋅ 1 2AF F△ 2 2 14 4 2 2 2 43n n n n+ − ⋅ ⋅ ⋅ =
3
2n =
2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴
2 2
13 2
x y+ =
2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = =
1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − = 1 2AF F△ 1 2BF F△
2 2
2 1
2 2
2 1
4 4 2 2 2 cos 4 ,
4 2 2 cos 9
n n AF F n
n n BF F n
+ − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ =
+ − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = 2 1 2 1,AF F BF F∠ ∠
2 1 2 1cos cos 0AF F BF F∴ ∠ + ∠ = 2 1 2 1cos cosAF F BF F∠ ∠, 2 23 6 11n n+ =
3
2n = 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴
2 2
13 2
x y+ =【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，
很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
二、填空题（本大题共 4 小题）
13.记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 ，则 S4=___________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到
．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】详解：设等比数列的公比为 ，由已知
，即
解得 ，
所以 ．
【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式
计算，部分考生易出现运算错误．
一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算
，避免繁分式计算．
14.己知命题 p： ， ，且 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是
______．
1 3
31 4a S= =，
5
8
q
4S
q
2 2
3 1 1 1
31 4S a a q a q q q= + + = + + = 2 1 04q q+ + =
1
2q = −
4
4
1
4
11 ( )(1 ) 52
11 81 ( )2
a qS q
− −−= = =− − −
3 3
4 3 4 3 1
3 1 5( )4 2 8S S a S a q= + = + = + − =
[ ]1,1m∃ ∈ − 2 5 3 2a a m− − < +【答案】
【解析】
【分析】
命题 p 是假命题,则利用其否定为真命题,再参变分离进行求解即可．
【详解】∵命题 p： , 是假命题,则
∴ 恒成立,
∴ ,
∴ 或 ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查特称命题的否定与恒成立问题,属于基础题型．
15.规定记号“⊙”表示一种运算，定义 （a，b 为非负数），若
，则实数 k 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知新定义可转化不等式得 ,化简后解二次不等式及绝对值不等式即可求
解．
【详解】由
∵ ,
∴ ,
∴ , ,
∴ |,
∴
故答案为： ．
,
( ] [ ), 1 6,−∞ − ∪ +∞
[ ]1,1m∃ ∈ − 2 5 3 2a a m− − < +
[ ]1,1m∀ ∈ − 2 5 3 2a a m− − ≥ +
2 5 3 3a a− − ≥ 2 5 6 0a a− − ≥
1a ≤ − 6a ≥
( ] [ ), 1 6,−∞ − ∪ +∞
a b ab a b= + +
21 3k
1 2 1 2 0 0
1 42MF FS F F y y= ⋅ ⋅ =△
1 2
2 2
0
1 4 8 2 4 15 , 4 4 152MF FS y= × × − = ∴ =△ 0 15y =
( )2
2
0
15
136 20
x∴ + = 0 3x = 0 3x = −
M∴ ( )3, 15
2 2
116 12
x y+ =
2 2
1169 144
x y+ =
2 2
1169 144
y x+ =
a可得到椭圆的方程；
（2）由题意知，根据椭圆的几何性质，求得 的值，即可得到椭圆的方程.
【详解】(1)由焦距是 4，可得 c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．
由椭圆的定义知，
，
所以 a＝4，所以 b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在 y 轴上，
所以椭圆的标准方程为 .
(2)由题意知，2a＝26，即 a＝13，
又因为 c∶a＝5∶13，所以 c＝5，
所以 b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为
或 .
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理应用
椭圆的标准方程和几何性质求得 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于
基础题.
18.(1)设函数 ,若对于 , 恒成立,求实数 x 的取
值范围；
(2)关于 x 的方程 的两个根,一个在区间 内，另一个在区间
，求实数 m 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】
【分析】
(1)将 看做主元,写成关于 的不等式,再根据恒成立的方法求最值即可；
(2)构造函数,根据方程 根一个在区间 内,另一个在区间 ,有的
, ,a b c
( ) ( )2 22 22a 3 2 2 3 2 2 8= + + − =
2 2x y 116 12
+ =
2 2x y 1169 144
+ =
2 2y x 1169 144
+ =
, ,a b c
2( ) 6f x mx mx m= − + − [ ]2,2m∈ − ( ) 0f x <
28 2( 1) 6 0x m x m− − + − = (0,1)
(1,2)
( 1,2)− (6,10)
m m
(0,1) (1,2)从而求实数 m 的取值范围即可.
【详解】(1)对于 , 恒成立,即 ,
可得 ,由于 恒成立
令 看成关于 m 的一次函数,且在 上单调递增,
∴ 时取得最大值为
∴ ,
解得 ,
故得 x 的取值范围为 ；
(2)记 ,
∵方程的一根在区间（0,1）上,另一根在区间（1,2）上,
∴有
即 ；
解得： ；
∴实数 m 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了变元的思想,通过变元,转化为 m 的函数,利用函数的单调性求函数最大值；
再把恒成立问题转化为求函数的最值问题的过程中,体现了转化的思想方程；还考查了对根的
讨论,函数与方程思想,以及学生的计算能力,要正确建立关于零点的不等式,属于中档题．
19.设{an}是等差数列，a1=–10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前 n 项和为 Sn，求 Sn 的最小值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得 的通项公式；
.
(0) 0, (1) 0, (2) 0f f f> < >
[ ]2,2m∈ − ( ) 0f x < 2 6 0mx mx m− + − <
2( 1) 6 0m x x− + − < 2 1 0x x− + >
2( 1) 6y m x x= − + − [ ]2,2m∈ −
2m = 22( 1) 6x x− + −
22( 1) 6 0x x− + − < 2 2 0x x− − <
1 2x− < <
( 1,2)−
2( ) 8 2( 1) 6 0f x x m x m= − − + − =
(0) 0, (1) 0, (2) 0f f f> < >
( )
( )
6 0
8 2 1 6 0
32 2 1 2 6 0
m
m m
m m
−
− − + −
− − × + −
＞
＜
＞
6 10m< <
(6,10)
2 12na n= − 30−
{ }na(Ⅱ)首先求得 的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.
【详解】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，
因为 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ,
所以 ；
当 或者 时， 取到最小值 .
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟
练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
20.某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元．为增加企业竞争力，决定优化产
业结构，调整出 名员工从事第三产业，调整后平均每人每年创造利润为
万元 ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 ．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则最多调
整出多少名员工从事第三产业？
（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润条件下，若
要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 的取值范围是
多少？
【答案】（1）最多调整 500 名；（2） ，
【解析】
【分析】
（1）根据题意可列出 ，进而解不等式求得 的范围，确定问
题的答案．
（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总
利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求 的范围．
【详解】（1）设调整出 名员工，则由题意，得 ，即
，又 ，所以 ．
nS
{ }na d
2 3 4+10 +8 +6a a a， ， 2
3 2 4( +8) ( +10)( +6)a a a=
2(2 2) (3 4)d d d− = − 2d = 10 2( 1) 2 12na n n= − + − = −
2 12na n= −
2 210 2 12 11 12111 ( )2 2 4n
nS n n n n
− + −= × = − = − −
5n = 6n = nS 30−
*( )x x N∈ 310( )500
xa −
( 0)a > 0.2 %x
a
(0 5]
10(1000 )(1 0.2 %) 10 1000x x− + × x
a
x 10(1000 )(1 0.2 %) 10 1000x x− + ×
2 500 0x x− 0x > 0 500< x即最多调整 500 名员工从事第三产业．
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为 万元，
从事原来产业的员工的年总利润为 万元，
则 ，所以 ，
所以 ，即 在 时恒成立．
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ，
又 ，所以 ．所以 的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，
解决实际问题的能力．
21.已知椭圆 C： 的左、右顶点分别为 A，B，离心率为 ，点 P（1，
）为椭圆上一点．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）如图，过点 C（0，1）且斜率大于 1 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，记直线 AM 的斜率
为 k1，直线 BN 的斜率为 k2，若 k1=2k2，求直线 l 斜率的值．
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由椭圆离心率可得 a=2c，进而可得 ，则椭圆的标准方程为
310( )500
xa x−
110(1000 )(1 )500x x− +
3 110( ) 10(1000 )(1 )500 500
xa x x x− − +
2
23 11000 2500 500
xax x x x− + − −
22 1000500
+ +xax x
2 1000 1500
+ +xa x ( ]0,500x∈
2 1000 2 2 4500
x
x
+ =
2 1000
500
x
x
= 500x = 5a
0a > 0 5a< a ( ]0,5
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = ＞ ＞ 1
2
3
2
2 2
14 3
x y+ = 3
2
3b c=，将 P 的坐标代入计算可得 c 的值，即可得答案；
（2）根据题意，设直线 l 的方程为 y=kx+1，设 M（x1，y1），N（x2，y2），将直线的方程与椭
圆联立，可得（3+4k2）x2+8kx-8=0，由根与系数的关系分析，： ，
，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得
，即 12k2-20k+3=0，解可得 k 的值，即可得答案．
【详解】解：（1）根据题意，椭圆的离心率为 ，即 e= =2，则 a=2c．
又∵a2=b2+c2，∴ ．
∴椭圆的标准方程为： ．
又∵点 P（1， ）为椭圆上一点，∴ ，解得：c=1．
∴椭圆的标准方程为： ．
（2）由椭圆的对称性可知直线 l 的斜率一定存在，设其方程为 y=kx+1．
设 M（x1，y1），N（x2，y2）．
联列方程组： ，消去 y 可得：（3+4k2）x2+8kx-8=0．
∴由韦达定理可知： ， ．
∵ ， ，且 k1=2k2，∴ ，即 ．①
又∵M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上，
∴ ， ．②
2 2
2 2 14 3
x y
c c
+ =
1 2 2
8
3 4
kx x k
+ = − +
1 2 2
8
3 4x x k
= − +
2 2
8 83 10 12 03 4 3 4
k
k k
− + − + = + +
1
2
c
a
3b c=
2 2
2 2 14 3
x y
c c
+ =
3
2 2 2
9
1 4 14 3c c
+ =
2 2
14 3
x y+ =
2 2
14 3
1
x y
y kx
+ =
= +
1 2 2
8
3 4
kx x k
+ = − + 1 2 2
8
3 4x x k
= − +
1
1
1 2
yk x
= +
2
2
1 2
yk x
= −
1 2
1 2
2
2 2
y y
x x
=+ −
2 2
1 2
2 2
1 2
4
( 2) ( 2)
y y
x x
=+ −
( )2 2
1 1
3 44y x= − ( )2 2
2 2
3 44y x= −将②代入①可得： ，即 3x1x2+10（x1+x2）+12=0．
∴ ，即 12k2-20k+3=0．
解得： 或 ．
又由 k＞1，则 ．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方
程，属于综合题．
22.各项为正的数列 满足 ，
（1）当 时，求证：数列 是等比数列，并求其公比；
（2）当 时，令 ，记数列 的前 n 项和为 ，数列 的前 n 项之积为
，求证：对任意正整数 n， 为定值．
【答案】(1)证明见解析，公比为 ．(2) 定值 2．证明见解析
【解析】
【分析】
(1)递推式两边同除 ,得出关于 的方程,进而求得 ,得出结论；
(2)化简整理可得 ,求出 , 关于 的表达式代入计算即可得出结论．
【详解】证明：(1)当 时, ,
∴ ,
令 ,则 ,化为 ,因为 所以解得 ．
( )21
1 2
4 22
2 2
xx
x x
+− =+ −
2 2
8 83 10 12 03 4 3 4
k
k k
− + − + = + +
1
6k = 3
2k =
3
2k =
{ }na ( )2
*
1 1
1
2
n
n n
aa a a n Nλ+= = + ∈，
1naλ += { }na
2λ = 1
2n
n
b a
= + { }nb nS { }nb
nT 12n
n nT S+ +
1 5
2
+
na 1n
n
a
a
+ 1 1 5
2
n
n
a
a
+ +=
12
n
n
n
ab a +
= nS nT na
1naλ +=
2
1
1
n
n n
n
aa aa+
+
= +
1
1
1n n
n n
a a
a a
+
+
= +
1 0n
n
a qa
+ = > 1 1q q
= + 2 1 0q q− − = 0q > 1 5
2q
+=∴数列 是等比数列,其公比 ．
（2）当 时, ,∴ ,
∴ ．
∴
因为 , 所以 ．
即
又 ,因
所以 ,
∴ ,又
即
∴ 为定值．
∴对任意正整数 n, 为定值 2．
【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的判断,求和公式,考查了推理能力与计算能力,
属于中档题．
为
{ }na 1 5
2q
+=
2λ =
2
1 2
n
n n
aa a+ = + 2
1 (2 2)2 n n n n na a a a a+ =+ +=
1
1
2 2
n
n
n n
ab a a +
= =+
1 2 1
1 2 3
2 3 1 1
... ...2 2 2 2
n
n n n
n n
aa a aT b b b b a a a a+ +
= = ⋅ =
1
1
2a = 1
1
1
1
1 1
22n
n
n
n
a
a a ++
+ ⋅=
1
1
1 1
2n
n
nT a+
+
⋅=
2
1 12 2
n n
n
n n n
a ab a a a+ +
= = 2 2
1 12 2 )2(n n n n n na a a a a a+ += + ⇒ = −
( )2
1
1 1 1
2 1 1
2 2
n nn
n n n n n n
a aa
a a a a a a
+
+ + +
−= = −
1 2 2 3 1 1 1
1 2
1 1 1.. 1 1 1 1 1....
n n
n
n
nS b b b a a a a a a a a+ +
− + −= + + + = + + − = −
1
1 2a
=
1
12
n
nS a +
= −
1
1 1
1 12 2 1 1 12 22n
n
n n
n n
na aT S +
+ +
+ ++ = +⋅ − =
12n
n nT S+ +
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