2019-2020 学年江苏省宿迁市沭阳县高二(上)
期中数学试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.数列 的通项公式 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数列前几项，归纳猜想出数列 的通项公式.
【详解】依题意，数列 的前几项为： ；
；
；
……
则其通项公式 .
故选：C.
【点睛】本小题主要考查归纳推理，考查数列通项公式的猜想，属于基础题.
2.已知数据 的均值为 2，那么数据 的均值为
（ ）
A. 2 B. 5 C. 7 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据均值线性变换公式，求得新数据的均值.
1 2 3 4, , , ,3 5 7 9
… na
2 1
n
n − 2 3
n
n − 2 1
n
n + 2 3
n
n +
{ }na
{ }na 1
1 1
3 2 1 1a = = × +
2
2 2
5 2 2 1a = = × +
3
3 3
7 2 3 1a = = × +
2 1n
na n
= +
1 2 10, , ,x x x… 1 2 102 3, 2 3, ,2 3x x x+ + … +【详解】由数据 的均值为 ，
则数据 的均值为 .
故选：C.
【点睛】本小题主要考查数据均值的线性运算：若 （ ）的均值为 ，则
（ ）的均值为 .属于基础题.
3.已知 ，那么下列不等式中一定成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 a，b 的符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．
详解】若 ， ，则 ，
则 ，故 A 不成立；
不一定成立，如 a=-5,b=6,故 B 不成立；
∵ ， ，∴ ,故 C 不成立，
， ，则 ，成立，故 D 正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键 比较基
础．
4.某市的 A，B，C 三个学校共有学生 3000 名，且这三个学校学生人数之比为 3:3:4.如果用分
层抽样的方法从所有学生中抽取 1 个容量为 200 的样本，那么学校 C 应抽取的学生数为（ ）
A. 60 B. 70 C. 80 D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得 学校学生占的比例，由此求得 学校应抽取的学生数.
【
1 2 10, , ,x x x… 2x =
1 2 102 3,2 3, ,2 3x x x+ + … + 2 3 2 2 3 7X x= + = × + =
ix 1,2,i = x iax b+
1,2,i = ax b+
0, 0a b< >
0b a− < a b> 2a ab< 1 1
a b
<
0a < 0b > 0a− >
0b a− >
a b>
0a < 0b > 2 0a ab> >
1 0a
< 1 0b
> 1 1
a b
<
.
C C【详解】学校 C 中的学生占的比例为 ，
故学校 C 应抽取的人数为 ，
故选：C.
【点睛】本小题主要考查分层抽样有关计算，属于基础题.
5.已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 的值为（ ）
A. -4 B. -2 C. -6 D. -8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据递推关系依次求得 和 的值.
【详解】依题意，数列 的前 项和为 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
故选：A.
【点睛】本小题主要考查根据数列递推关系式求某一项，属于基础题.
6.已知各项为正数的等比数列 中， ， ，则公比 q＝
A. 4 B. 3 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ，利用等比数列 性质，结合各项为正数求出 ，从而可得结果.
【详解】 ， ，
，
的
4 2
3 3 4 5
=+ +
2200 805
× =
{ }na n nS ( )2 1n nS a= + 2a
1a 2a
{ }na n nS
1n = ( )1 1 12 1a S a= = + 1 2a = −
2n = ( )2 2 1 22 2S a a a= + = + 2 4a = −
{ }na 2 1a = 4 6 64a a =
2
4 6 64a a = 5 8a =
2
4 6 5 64a a a= = 5 0a >
5 8a∴ =，故选 C.
【点睛】本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列基本量运算，意在考查灵活运用所学
知识解决问题的能力，属于简单题.
7.不等式 的解集是 ，则 的值为（ ）
A. 14 B. -14 C. 10 D. -10
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集与一元二次不等式对应的一元二次方程的根的对应关系，求得
的值，进而求得 的值.
【详解】不等式 的解集是 ，可得 是一元二次方程
的两个实数根，
，
解得 ，
，
故选：D.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式对应的一元二次方程的根
的对应关系，考查根与系数关系，属于基础题.
8.设 是等比数列，有下列四个命题：
① 是等比数列；
② 是等比数列；
③ 是等比数列；
35
2
8 8, 21
a q qa
∴ = = = =
2 2 0ax bx+ + > 1 1| 2 3x x − < 1 1| 2 3x x − < − ( )f x ( )g x
( ) ( )f x g x
( ) ( )f x g x
( ) ( )f x g x<
x
( ) ( ) 0f x g x− ≥
( )3 2 2 2( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1)f x g x x x x x x x x− = + − − = − − = − +
1x > −
1 0x∴ + > 2( 1) 0x − ≥
2( 1) ( 1) 0x x∴ − +
( ) ( )f x g x∴ 故选：A.
【点睛】本小题主要考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
11.放射性物质的半衰期 定义为每经过时间 ，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器
中有两种放射性物质 ， ，开始记录时容器中物质 的质量是物质 的质量的 2 倍，而 120
小时后两种物质的质量相等，已知物质 的半衰期为 7.5 小时，则物质 的半衰期为（ ）
A. 10 小时 B. 8 小时 C. 12 小时 D. 15 小时
【答案】B
【解析】
【分析】
由 16．设 mB＝1．则 mA＝2．设物质 B 的半衰期为 t．由题意可得：2 ，
解得 t．
【详解】由题意得 16．
又不妨设 mB＝1．则 mA＝2．
设物质 B 的半衰期为 t．
由题意可得：2 ，解得 t＝8．
故选：B．
【点睛】本题考查了指数函数的实际应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.正数 满足 ,且 恒成立,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
略
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在 的汽车
大约有________辆.
T T
A B A B
A B
120
7.5
=
120
161 1( ) ( )2 2
t× =
120
7.5
=
120
161 1( ) ( )2 2
t× =
,a b 2 1a b+ = 2 2 12 4 2ab a b t− − ≤ − t
2( , ]2
−∞ 2[ , )2
+∞ 2 2[ , ]2 2
− 1[ , )2
+∞
[50,60]【答案】60
【解析】
【分析】
先求得区间 的频率，由此求得时速在 的汽车的数量.
【详解】由已知可得样本容量为 200，
又 数据落在区间的频率为
时速在 的汽车大约有
故答案为：60
【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算频数，属于基础题.
14.已知数列 满足 ，则数列 的通项公式为 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用累乘法求得数列 的通项公式.
【详解】数列 满足 ，
则当 时， ，
所有的式子相乘得 ，整理得 （首项符合通项）.
故 .
故答案为：
[50,60] [50,60]
0.03 10 0.3× =
∴ [50,60] 200 0.3 60× =
{ }na 1 1
11, n n
na a an+
+= = { }na na =
n
{ }na
{ }na 1 1
11, n n
na a an+
+= =
2n
2
1 1
2,1 1
n
n
a an
a n a−
= … =−
1
na na
=
na n=
na n=
n【点睛】本小题主要考查累乘法求数列的通项公式，属于基础题.
15.已知函数 ，则不等式 的解集是___________．
【答案】
【解析】
试题分析： 函数 ， ，由 解得 ，由
解得 ，故不等式的解集为 .
考点：分段函数解不等式.
16.设正实数 满足 ，则 的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
设 ，得到 ，代入 ，利用一元二次方程有解，判别式为非
负数列不等式，解不等式求得 的可能取值范围，利用基本不等式确定 的取值范围.
【详解】设 ，所以 ，代入 ，
得 ，化简得 ，
方程有根 ，
化简 ，解得 或者
由 ，所以 ，所以 ，
所以 .
即 的最小值为 .
故答案为：
( ) ( )
( )2
2 1{ 6 9 1
x xf x x x x
>= − + ≤ ( ) ( )1f x f>
( ) ( )
( )2
2 1{ 6 9 1
x xf x x x x
>= − + ≤
,a b 1 1b
a b
+ = 2a b+
5 2 6+
2 ( 0)t a b t= + > 2b t a= − 1 1b
a b
+ =
t t
2 ( 0)t a b t= + > 2b t a= − 1 1b
a b
+ =
2 1 12
t a
a t a
− + =−
2 26 (1 5 ) 0a t a t+ − + =
2 2(1 5 ) 24 0t t∆ = − −
2 10 1 0t t− + 5 2 6t + 5 2 6t −
1 11 2b
a b a
+ = 4a 2 8t a b= + >
5 2 6t +
2a b+ 5 2 6+
5 2 6+【点睛】本小题主要考查表达式最小值的求法，考查一元二次方程有实数根的条件，考查化
归与转化的数学思想方法，属于中档题.
三、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明或演算步骤.
17.甲、乙两个同学分别抛掷 1 枚质地均匀的骰子.
（1）求他们抛掷点数相同的概率；
（2）求他们抛掷骰子的点数之和是 3 的倍数的概率.
【答案】(1) ,(2)
【解析】
【分析】
（1）列举出所有的基本事件，确定抛掷点数相同的事件数，根据古典概型概率计算公式，计
算出所求概率.
（2）根据（1）中列举出的基本事件，确定抛掷骰子的点数之和是 的倍数的事件数，根据古
典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】（1）甲、乙两个同学分别抛掷 1 枚质地均匀的骰子，基本事件：共有 36 个，用
来表示两枚骰子向上的点数
记“他们抛掷点数相同”为事件 A，则 A 包含基本事件：（ ；
，共 6 种，
故 .
（2）记“他们抛掷骰子的点数之和是 3 的倍数”为事件 B，则 B 包含基本事件有：
， 共 12 种.
故 .
【点睛】本小题主要考查列举法计算古典概型概率问题，属于基础题.
1
6
1
3
3
( , )a b
(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5)
(6,6)
1( ) 6P A =
(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3) (4,5),(5,4),(3,6),(6,3),(6,6)
1( ) 3P B =18.设等差数列 的前 项和为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ,(2)
【解析】
【分析】
（1）将已知条件转化为 的形式列方程组，解方程组求得 的值，进而求得数列
的通项公式.
（2）根据等差数列前 项和公式计算出 .
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由 ，得 ，解得 ，
；
（2）由 ，
得 .
【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前 项和公式，属于
基础题.
19.近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本 （单
位：万元）与日产量 （单位：吨）之间的函数关系式为 ，
现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为 万元，除尘后
当日产量 时，总成本 .
（1）求 的值；
（2）若每吨产品出厂价为 59 万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最
大利润为多少？
{ }na n nS 3 1124, 0a S= =
na
{ }na n nS
48 8na n= − 24 44n n− +
1,a d 1,a d { }na
n nS
{ }na 1a d
3 1124, 0a S= =
1
1
2 24
11 1011 02
a d
a d
+ = ×+ =
1 40
8
a
d
=
= −
48 8na n∴ = −
1 40, 8a d= = −
2( 1)40 ( 8) 4 442n
n nS n n n
−= + × − = − +
n
y
x 22 (15 4 ) 120 2y x k x k= + − + +
k
1x = 253y =
k【答案】(1)2,(2) 除尘后日产量为 11 吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为 6 万元.
【解析】
【分析】
（1）利用原来的成本加上卫生综合整治后增加的成本，求得除尘后总成本的表达式，利用
， ，求得 的值.
（2）由（1）求得除尘后总成本 的表达式，进而求得总利润的表达式，由此求得每吨产品
利润的表达式，利用基本不等式求得每吨产品的利润的最大值，以及此时对应的日产量.
【详解】（1）由题意，除尘后
，
当日产量 时，总成本 ，
故 ，
解得 .
（2）由（1） ，
总利润 ，
每吨产品的利润 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
除尘后日产量为 11 吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为 6 万元.
【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查利用基本不等式求最值，属于基础
题.
20.数列 中， .
（1）求 ；
（2）求数列 前 项和 ；
（3）设 ，存在数列 使得 ，试求数列 的前 项和.
【答案】（1） ,（2） ,（3）
的
1x = 253y = k
y
2 22 (15 4 ) 120 2 2 (15 3 ) 120 2y x k x k kx x k x k= + − + + + = + − + +
1x = 253y =
2 15 3 120 2 253k k+ − + + =
2k =
22 9 242y x x= + +
2 259 2 9 242 50 2 242, ( 0)L x x x x x x= − − − = − − >
121 12150 2 50 4 6L x xx x x
= − + − ⋅ =
121x x
= 11x =
∴
{ }na 3 11, ( 1,2, 3 )n na S a n+= = = …
1 2,a a
{ }na n nS
2logn nb S= { }nc 3 4 1n n nc b b+ +⋅ ⋅ = { }nc n
1 2
1 1,2 2a a= = ( )1 2 *1 2 22
n n
nS n N− −= ⋅ = ⋅ ∈
2 4
n
n +【解析】
【分析】
（1）根据 ，求得 的值.
（2）利用 ，化简后证得 是等比数列，由此求得 的通项公式.
（3）由（2）求得 的通项公式，进而求得 的通项公式，利用裂项求和法求得数列
的前 项和.
【详解】（1） ，
，
.
（2） ，
是首项为 ，公比为 2 的等比数列.
.
（3） ，
，
.
【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查裂项求和法，考查对数运算，属
于基础题.
21.一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对 10 名成年人的脚掌 与身高 进行测
量，得到数据（单位：cm）作为样本如表所示：
.
1n nS a += 1 2,a a
1 1n n n nS a S S+ += = − { }nS { }nS
{ }nb { }nc { }nc
n
1 2 1 2 3,a a a a a= + =
1 32 1a a∴ = =
1 2
1 1,2 2a a∴ = =
1 1n n n nS a S S+ += = −
1
12 , 2n
n n
n
SS S S
+
+∴ = =
{ }nS∴ 1 1
1
2S a= =
( )1 2 *1 2 22
n n
nS n N− −∴ = ⋅ = ⋅ ∈
2
2log , 2n
n n nb S S −= =
3 42, 1, 2n n nb n b n b n+ +∴ = − = + = +
1 1 1( 1)( 2) 1, ( 1)( 2) 1 2n nc n n c n n n n
∴ ⋅ + + = = = −+ + + +
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 4 1 2 2 2 2 4n
nc c c n n n n
∴ + +…+ = − + − +…+ − = − = + + + +
x y脚掌长（ ） 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
身高（ ） 141 146 154 160 169 176 181 188 197 203
（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点
在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程 ；
（2）若某人的脚掌长为 26.5cm，试估计此人的身高；
（3）在样本中，从身高 180cm 以上的 4 人中随机抽取 2 人进行进一步的分析，求所抽取的 2
人中至少有 1 人身高在 190cm 以上的概率.
（参考数据： ， ， ，
， ）
【答案】（1） ,（2）脚长为 26.5cm 的人，身高约为 185.5cm；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.
（2）将 代入（1）中求得的回归直线方程，求得身高的估计值.
（3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】（1）由题意知， ，
，
关于 的线性回归方程为 ；
（2）当 时， ，
即脚长为 26.5cm 的人，身高约为 185.5cm；
x
y
ˆˆ ˆy bx a= +
( )( )
( )
10
1
10 2
1
ˆ i i
i
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑
( )( )10
1
577.5i i
i
x x y y
=
− − =∑ ( )10 2
1
82.5i
i
x x
=
− =∑
24.5x = 171.5y =
ˆ 7y x= 5
6
26.5x =
( )( )
( )
10
1
10 2
1
577.5ˆ 782.5
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
= = =
−
∑
∑
ˆˆ 171.5 7 24.5 0a y bx= − = − × =
∴ y x ˆ 7y x=
26.5x = ˆ 7 26.5 185.5y = × =（3）记身高在 180cm 以上的 4 人为 A，B，C，D，其中 C，D 为身高 190cm，从这 4 人中随机
抽取 2 人的情形有：AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 种，其中有 C 或 D 的有 5 种，
所求概率为 .
【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查古典
概型概率计算问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题.
22.已知函数 的值域为 ，记函数 .
（1）求实数 的值；
（2）存在 使得不等式 成立，求实数 的取值范围；
（3）若关于 的方程 有 5 个不等的实数根，求实数 的取值范
围.
【答案】（1）1,(2) ,(3)
【解析】
【分析】
（1）利用配方法，结合二次函数的性质求得 的值.
（2）将原问题转化为“存在 成立”，利用换元法，结
合二次函数的性质，求得 的取值范围.
（3）首先判断 不是方程的根. 当 时，利用换元法 ，
将原方程转化为 .通过研究 的单调性和值域，结合方程根的个数，求得
的取值范围，由此求得 的取值范围.
【详解】（1）因为 ，
即有 时， ，
即 ，解得 . .
（2）由已知可得 ，
∴ 5
6P =
2( ) 2 ( )f x x x a a R= − + ∈ [0, )+∞ ( )( ) f xg x x
=
a
[ 1,1]x∈ − ( ) 12 2x xg m +⋅ m
x (| ( ) 1|) | ( ) 1|
kg f x k f x
− = − − k
1
2m ≤ 0k >
a
21 1 1[ 1,1], 1 22 2 2x xx m
∈ − + − ⋅ ≥
m
0, 2x x= = 0,2x ≠ 2| ( ) 1| 2t f x x x= − = −
( 1)[( ( 1)] 0t t k− − + = t
1k + k
2 2( ) 2 ( 1) 1f x x x a x a= − + = − − +
1x = (1) 0f =
1 0a − = 1a = ( ) ( )21f x x= −
( ) 1( ) 2f xg x xx x
= = + −由 可转化为，存在 成立，
令 ，
则问题转化为存在 使不等式 成立，
记 ，则 .
（3）当 ，2 时， ，所以 不是方程的根；
当 时，令 ，
则当 时， 单调递减，且 ，
当 单调递增，且 ，
当 时， 单调递减，且 ，
当 时， 单调递增，且 ，
故原方程有 5 个不等实根可转化为
即为 ，
所以 或 ，
当 ，方程有 3 个不等根，
故要使得原方程有 5 个不等实根，只要 ，即 ，
所以 的取值范围是 .
【点睛】本小题主要考查根据二次函数值域求参数，考查根据方程根的个数求参数的取值范
围，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
( ) 12 2x xg m +⋅
21 1 1[ 1,1], 1 22 2 2x xx m
∈ − + − ⋅
1 1 ,22 2xt = ∈
1 ,22t ∈
( )21 2 12 t t m− +
21( ) ( 1)2h t t= − max
1 1( ) (2) ,2 2h t h m= = ∴
0x = ( ) 1 0f x − = 0,2x =
0,2x ≠ 2| ( ) 1| 2t f x x x= − = −
( , 0)x ∈ −∞ 2 2t x x= − (0, )t ∈ +∞
2(0, 1], 2x t x x∈ = − (0,1]t ∈
(1,2)x∈ 2 2t x x= − (0,1)t ∈
(2, )x∈ +∞ 2 2t x x= − (0, )t ∈ +∞
2 ( 2) ( 1) 0t k t k− + + + =
( 1)[( ( 1)] 0t t k− − + =
1t = 1t k= +
1t =
1 1t k= + > 0k >
k 0k >
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