2019—2020 学年度上学期期中考试高二数学（理）试卷
一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，共 60 分）
1.命题 ： ， ，则（ ）
A. ： ， B. ： ，
C. ： ， D. ： ，
【答案】D
【解析】
由含量词的命题的否定可得选项 D 成立。选 D。
2.在参数方程 ( ， 为参数)所表示 曲线上有 两点，它们对应
的参数值分别为 ， ，则线段 的中点 M 对应的参数值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据参数的几何意义求解即可。
【详解】如图：
由直线参数方程的参数 的几何意义可知，
， ，因为 是 的中点，所以 .
选 D.
的
p 0x R∃ ∈ 2
0 05 6 0x x− + <
p¬
0x R∃ ∈ 2
0 05 6 0x x− + ≥ p¬
0x R∃ ∉ 2
0 05 6 0x x− + <
p¬ x R∀ ∈ 2 5 6 0x x− + > p¬ x R∀ ∈ 2 5 6 0x x− + ≥
cos
sin
x a t
y b t
θ
θ
= +
= +
，
0 θ π > 2 16y x=
3y x= ± 3
2y x= ±
3
3y x= ± 3
2y x= ±
c a b c a b
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 2 16y x=
∴ ( )4,0
4c∴ =
2ce a
= = 2a∴ =
2 2 2c a b= + 2 3b =
3by x xa
= ± = ±【点睛】本题考察双曲线渐近线方程，利用共焦点求得 是关键
5.若 满足不等式组 ，则 的最大值是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
由题，画出可行域，将目标函数转化为关于 的表达式，再根据图形求解即可
【详解】根据二元一次不等式组，画出目标可行域，将 转化为 ，要
求 的最大值，即求 对应在可行域内的 轴截距的最大值，如图：
当直线 交阴影部分于点 时， 取到最大值，此时 ，
故选：D
【点睛】本题考查由线性规划区域求目标函数的最大值，属于基础题
6.椭圆 以点 为中点的弦所在直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可设弦的两端点为 ，结合点差法可求得斜率，再由点斜式即可求得直
线方程
c
,x y
2 0
1 0
5 0
y
x y
x y
− ≥
− + ≥
+ − ≤
2 z x y= +
y
2 z x y= + 1
2 2
zy x= − +
z 1
2 2
zy x= − + y
1
2 2
zy x= − + A z ( )2,3A 8z =
2 2
116 9
x y+ = 32, 2A
8 -6 -7 0x y = 3 4 0x y+ = 3 4 -12 0x y+ =
4 -3 0x y =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y【详解】由题意，该弦所在的直线斜率存在，设弦的两端点为 代入椭
圆 得 ， 两 式 相 减 得 直 线 的 斜 率 为
， 因 此 所 求 直 线 方 程 为 ， 即
.
故选：C
【点睛】本题考查椭圆中由弦的中点坐标求弦的直线方程，点差法的应用，推导结论可作为
常规结论加以记忆：若直线与椭圆相交弦的中点为 ，且直线的斜率为 ，则有
，属于中档题
7.直线 （t 为参数）被曲线 所截的弦长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
将 方 程 ， 分 别 化 为 普 通 方 程
，所以圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线的距离为 ，所以弦长 .故选 A.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定
理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
2 2 2 2
1 1 2 21 , 116 9 16 9
x y x y+ = + = A B
( )
( )1 21 2
1 2 1 2
9 9 4 3
16 16 3 4
x xy y
x x y y
+− ×= − = − = −− + ×
3 3 ( 2)2 4y x− = − −
3 4 -12 0x y+ =
( )0 0,x y k
2
0
2
0
y bkx a
⋅ = −
41 5
31 5
x t
y t
= +
= − −
2 cos( )4
πρ θ= +
7
5
5
7
7
10
14
5
41 5
31 5
x t
y t
= +
= − −
2 cos( )4
πρ θ= +
2 23 4 1 0, 0x y x y x y+ + = + − + = 1 1( , )2 2
− 2
2
2 2
1 13 4 ( ) 1 12 2
103 4
× + × − +
=
+
2 2 72 5r d= − =（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
8.设点 分别是双曲线 的右顶点、右焦点,直线 交
该双曲线的一条渐近线于点 ,若 是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：渐近线为 ， ，化简得
， 两 边 除 以 得 ，
，解得 .
考点：圆锥曲线的位置关系.
【思路点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查划归与转化的数学思想方法、数
形结合的数学思想方法，方程的思想.题目的突破口就在等腰二字.既然是等腰三角形，那么
我们通过计算它的边长，利用边长相等，就可以建立一个方程，利用这个方程，我们就可以
求出离心率.双曲线的渐近线为 ，两条渐近线取其中一条来计算.
9.过抛物线 的焦点作两条垂直的弦 ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由抛物线 ，可知 ，设 的倾斜角为 ，则 的倾斜角为 ，过
焦 点 的 弦 ， 所 以
，故选 D.
考点：抛物线的标准方程及其简单的几何性质.
( ), ,0A F c ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
2ax c
=
P PAF∆
3 3 2 2
by xa
= ( )
22 2 2 2
2
2, , ,a ab a a bP AP AF a c ac c c c
= − + = −
3 3 2 22 2 0c a a c ac+ − − = 3a 3 22 2 0e e e− − + =
( ) ( ) ( )( )2 2 21 2 1 2 1 0e e e e e− − − = − − = 2e =
by xa
= ±
2 4y x= ,AB CD 1 1
AB CD
+ =
2 4 1
2
1
4
2 4y x= 2 4p = 1l θ 2l
2
π θ−
2 2
2
2 2 2,sin cossin ( )2
p p pAB CD πθ θθ
= = =
−
2 21 1 sin cos 1
2 2 4AB CD p p
θ θ+ = + =10.过双曲线 的右支上一点 ，分别向圆 和圆
作切线，切点分别为 ，则 的最小值为（ ）
A. 10 B. 13 C. 16 D. 19
【答案】B
【解析】
试题分析：由题可知， ，
因此
，故选 B．
考点：圆锥曲线综合题．
11.已知点 是椭圆 上除顶点外的一动点， 、 为椭圆的两个焦点， 是坐
标原点，若 是 的角平分线上的点，且 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：如图，延长 交点为 ，连接 因为 是 的平分线，且
，可得 所以 , 为 的中点.又 为 的中点，
所以 .设 ，根据圆锥曲线的统一
定义可得 ，所以 ，因为点 是椭圆上异
于顶点的一点，所以 ，所以 故选 B.
2
2 115
yx − = P ( )2 2
1 : 4 4C x y+ + =
( )2 2
2 : 4 1C x y− + = ,M N 2 2PM PN−
2 2 2 2
1 2| | ( | 4) ( | 1)PM PN PC PC− = − − −
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2| | | | 3 ( )( ) 3PM PN PC PC PC PC PC PC− = − − = − + −
1 2 1 22( ) 3 2 3 13PC PC C C= + − ≥ − =
P
2 2
116 8
x y+ = 1F 2F O
M 1 2F PF∠
1 0F M PM⋅ = OM
[0,3) (0,2 2) [2 2,3) [0,4]
2 1,PF F M N .OM PM 1 2F PF∠
1 · 0F M MP =
1 ,F M MP⊥ 1PN PF= M 1F N O 1 2F F
2 2 1 2
1 1 1
2 2 2OM F N PN PF PF PF= = − = − ( )0 0,P x y
1 0 2 0,PF a ex PF a ex= + = − 0 02 2OM e x x= = P
( )0 0,4x ∈ ( )0,2 2 ,OM ∈考点：椭圆的定义、几何性质及向量垂直关系的应用.
【方法点晴】本题重点考查了椭圆定义的应用，属于中档题.本题解答的难点是题意的转化，
根据题目给出的条件和椭圆的特征建立 与椭圆上的点 的关系.根据圆锥曲线的统一定
义和焦半径公式建立 与点 横坐标的关系，从而求得 的取值范围，要特别注意点
是椭圆上异于顶点的任意一点，也就是说 ，保证解答的准确性.
12.椭圆 上一点 关于原点的对称点为 ， 为其右焦点，若
，设 ，且 ，则该椭圆离心率的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
由题知 AF⊥BF，根据椭圆的对称性， AF′⊥BF′（其中 F′是椭圆的左焦点），因此四边形
AFBF′是矩形，于是，|AB|=|FF′|=2c， ， ，根据椭圆的定
义，|AF|+|AF′|=2a，∴ ，
∴椭圆离心率 ，
而 ，
故 e 的最大值为 ，故选 A．
OM P
OM P OM P
( )0 0,4x ∈
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > A B F
AF BF⊥ ABF α∠ = [ , ]12 4
π πα ∈
6
3
3
2
2
2
2 sinAF c α= 2 cosAF c α′ =
2 sin 2 cos 2c c aα α+ =
1 1
sin cos 2 sin 4
ce a πα α α
= = =+ +
3, , , ,sin ,112 4 4 3 2 4 2
π π π π π πα α α ∈ ∴ + ∈ + ∈
6
3椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两
种方法：
①求出 a，c，代入公式 ；
②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝a2－c2 转化为 a，c 的齐次式，
然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可
得 e(e 的取值范围)．
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13.若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是
___________.
【答案】
【解析】
【分析】
可先将 化简得 ，由充分不必要条件再确定参数满足条件即
可
【 详 解 】 由 ， “ ” 是
“ ”的充分不必要条件， ，解得
故答案为：
【点睛】本题考查由充分不必要条件求参数，属于中档题
14.过抛物线 的焦点 作直线 与其交于 两点，若 ，则
___________.
【答案】
【解析】
【分析】
可结合抛物线第一定义，将 转化为 ，结合抛物线方程求出点 ，再由
两点求得直线 方程，解得 点横坐标，再结合第一定义即可求解
ce a
=
0 1x≤ ≤ ( - )[ -( 2)] 0x a x a + < a
( 1,0)−
( - )[ -( 2)] 0x a x a + < ( ), 2x a a∈ +
( )( - )[ -( 2)] 0 , 2x a x a x a a+ < ⇒ ∈ + 0 1x≤ ≤
( - )[ -( 2)] 0x a x a + < 0
2 1
a
a
( )1,0a∈ −
( 1,0)−
2 4y x= F l , A B 4A F = B F =
4
3
4A F =
2A
px + A ,A F
AB B【 详 解 】 由 ， 焦 点 坐 标 为 ， ， 结 合 抛 物 线 定 义 可 得 ；
，即 ，联立 两点，
可求出直线 的方程为： ，
联立抛物线方程可得： .
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，韦达定理在解析几何中的应用，属于中档题
15.已知在直角坐标系中曲线 的参数方程为 （ 为参数且 ），在以原点 为
极点，以 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线 的极坐标方程为 ，则曲
线 与 交点的直角坐标为__________．
【答案】（2，2）
【解析】
试题分析：由曲线 的参数方程为 （ 为参数且 ），消去参数 得到曲线
的普通方程为： ；曲线 的极坐标方程为 化为
直角坐标方程得 ；由方程组： 解得 ，（ 舍去），故曲
线 与 交点的直角坐标为（2，2）．
考点：1．参数方程与普通方程的互化；2．极坐方程与直角坐标方程的互化；３．曲线的交
点．
16.已知曲线 （ 且 ）与直线 相交于 两点，且
（ 为原点），则 的值为_____________.
2 4y x= (1,0) | | 4A F =
| | 4 32A A
pA F x x= + = ⇒ = (3,2 3)A ,A F
l 3( 1)y x= −
2
1 2 1 2
10 1 1 43 10 3 0, , 3, ,| |3 3 3 2 3
px x x x x x BF− + = + = = = = + =
4
3
1C
2
2
1
{ 1
x t t
y t t
= +
= +
t 0t ≠ O
x 2C ( )
4 R
πθ ρ= ∈
1C 2C
1C
2
2
1
{ 1
x t t
y t t
= +
= +
t 0t ≠ t 1C
2C ( )
4 R
πθ ρ= ∈
1C 2C
2 2
1y x
b a
− = · 0a b ≠ a b≠ 2 0x y+ − = P Q，
· 0OP OQ = O 1 1
b a
−【答案】
【解析】
试题分析： 则 ，设 ， ，联立
直 线 的 方 程 和 双 曲 线 的 方 程 消 去 得 ，
， 且
，由
得 ，化简得 .
考点：直线与圆锥曲线位置关系，向量运算.
【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，向量运算.两个向量的数量积等于零，也就
是说这两个向量垂直，转化为代数式子就是 ，由此可以想到利用根与系数关系
求出 .联立直线的方程和曲线的方程，消去 ，写出根与系数关系，然后带入数量
积，化简就可以得到 .根与系数关系运算量较大，注意检验计算是否正确.
三、解答题（共 6 小题，共 70 分）
17.已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程是 （t 是参数），以原
点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
．
（1）判断直线 与曲线 C 的位置关系；
（2）设点 为曲线 C 上任意一点，求 的取值范围．
【答案】（1）相离；（2） .
【解析】
试题分析：
1
2
0OP OQ⋅ = 0OP OQ⊥ = ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y
2 2
1{
2
y x
b a
y x
− =
= − +
y ( ) 2 4 4 0a b x ax a ab− − + − =
1 2 1 2
4 4,a a abx x x xa b a b
−+ = ⋅ =− −
( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2
4 82 2 2 4 4a ab ay y x x x x x x a b a b
−= − + − + = − + + = − +− −
4 8 44 0a ab a a
a b a b a b
− − + + =− − −
1 1 1
2b a
− =
1 2 1 2,x x y y y
1 1 1
2b a
− =
xOy l
2
2
2 4 22
x t
y t
=
= +
，
2cos 4
πρ α = +
l
( , )M x y x y+
2, 2 − 本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程的应用以
及直线和圆的位置关系的判断。（1）把直线、曲线方程化为直角坐标方程后根据圆心到直线
的距离和半径的关系判断即可。（2）利用圆的参数方程，根据点到直线的距离公式和三角函
数的知识求解。
试题解析：
（1）由 ，消去 得直线的普通方程为：
由 ，得 .
∴ ，
即 .
化为标准方程得： .
∴ 圆心坐标为 ，半径为 1，
∵ 圆心到直线 的距离 ，
∴ 直线 与曲线 相离.
（2）由 为曲线 上任意一点，可设 ，
则 ，
∵
∴
,
2
2
2 4 22
x t
y t
=
= +
t 4 2y x= +
2cos 4
πρ θ = + 2cos cos 2sin sin 2cos 2sin4 4
π πρ θ θ θ θ= − = −
2 2 cos 2 sinρ ρ θ ρ θ= −
2 22 2 0x x y y− + + =
2 2
2 2 12 2x y
− + + =
2 2,2 2
−
4 2 0x y− + =
2 2 4 22 2 5 1
2
d
+ +
= = >
l C
( ),M x y C
2
2 (0 2 )
2
2
x cos
y sin
θ
θ π
θ
= + < ≤
= − +
sin cos 2sin 4x y
πθ θ θ + = + = +
0 2θ π< ≤
2 2sin 24
πθ − ≤ + ≤ ∴ 的取值范围是 .
18.设命题 ：函数 的定义域为 ；命题 ：关于 的方程
有实根.
（1）如果 是真命题，求实数 的取值范围.
（2）如果命题“ ”为真命题，且“ ”为假命题，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 实数 的取值范围为 ;(2) 实数 的取值范围是 或 .
【解析】
试 题 分 析 ： （ 1 ） 由 函 数 的 定 义 域 为 可 得
，可得实数 的取值范围为 ；（2）化简命题
可得 ，由 为真命题， 为假命题，可得 一真一假，分两种情况讨论，对
于 真 假以及 假 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数 的取
值范围.
试题解析：（1）若命题 是真命题，则有①当 时定义域为 ，不合题意
②当 时，由已知可得
故所求实数 的取值范围为
（2）若命题 是真命题，则关于 的方程 有实根，令 ，
∴
若命题“ ”为真命题，且“ ”为假命题，则 一真一假
若 真 假，则 ；若 假 真，则
x y+ 2, 2 −
p ( ) 2lg 2 4
af x ax x = − + R q x
2 4x x a− =
p a
p q∨ p q∧ a
a ( )2 +∞， a 1
4a ≤ 2a >
( ) 2lg 2 4
af x ax x = − + R
0 0
2 21 4 • 016
a a
a a aa
> > ⇒ > < −∆ = − < 或 a ( )2 +∞， q
1
4a ≤ p q∨ p q∧ ,p q
p q p q a
p 0a = { | 0}x x <
0a ≠
0 0
2 21 4 • 016
a a
a a aa
> > ⇒ > < −∆ = − < 或
a ( )2 +∞，
q x 2 4x x a− = 2 , 0xt t= >
2
2 1 1 1
2 4 4y t t t = − = − − + ≤
1
4a ≤
p q∨ p q∧ ,p q
p q
2
21
4
a
a
a
> ⇒ > >
p q
2 1
1 4
4
a
a
a
≤ ⇒ ≤ ≤综上：实数 的取值范围是 或 .
19.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，（t 为参数），在极坐标系（与
直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的
方程为 ．
（1）求圆 C 的直角坐标方程；
（2）若直线 过点 ，圆 C 与直线 交于点 ，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）直接利用转换关系把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程．（2）将直线的参
数方程和圆联立，整理成一元二次方程，进一步利用根和系数的关系 求
出结果．
解析：
(1)
(2)证明：把
得证。
20.已知直线 恒过定点 ，圆 经过点 和点 ，
且圆心在直线 上.
（1）求定点 的坐标与圆 的方程；
（2）已知点 为圆 直径的一个端点，若另一个端点为点 ，问：在 轴上是否存在一点
，使得 为直角三角形，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ， ；（2）存在， 或 .
【解析】
【分析】
a 1
4a ≤ 2a >
xOy l
1 cos
2 sin
x t
y t
，α
α
= +
= +
xOy
6sinρ θ=
l (1,2)P l ,A B | | | |PA PB+
( )22 3 9x y+ − = 2 7
1 2PA PB t t=
( )22 2 2 2ρ 6sinθ ρ 6ρsinθ x y 6y x y 3 9= = + = + − =
( ) ( )22 21 cosα x y 3 9 t 2t cosα sin α 7 02 sin α
x t
y t
= + + − = + − − = = +
代入 中得
1 2 1 2 1 2t t 7 PA PB t t t t 7 = − ∴ = = =
: ( 1) 2 5 3 0( )l k x y k k R− − + − = ∈ P C (4,0)A P
- 2 1 0x y + =
P C
P C Q y
(0, )M m PMQ∆ m
(3,1) 2 2 14 8 40 0x y x y+ − − + = 5m = 65
3（1）可采用分离参数法求出直线恒过的定点 ，设圆 的方程为 ，
将 两点代入一般方程，又圆心 过直线，故有 ，联立求
解即可；
（2）由 为直径对应的两个端点，根据对称关系先求得点 ，可判断点 在圆外，
故直角存在两种情况，以点 为直角和以点 为直角，结合两直线垂直斜率之积为-1 即可求
得点
【详解】（1）由 得， ，
令 ，得 ，即定点 坐标为 .
设圆 的方程为 ，
由条件得 ，解得 .
所以圆 的方程为 .
（2）圆 的标准方程为 ， ，设点 关于圆心
的对称点为 ，则有 ，解得 ， ，故点 的坐标为 .
因为 在圆外，所以点 不能作为直角三角形的顶点，
若点 为直角三角形的顶点，则有 ，
若点 是直角三角形的顶点，则有 ，
综上， 或
【点睛】本题考查直线过定点的求法，圆的标准方程的求法，点关于点对称的求法，由点与
圆的位置关系和两直线垂直求参数值，属于中档题
的
.
p C 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + =
,A P ,2 2
D E
2 1 02 2
D E − − − + =
,P Q Q (0, )M m
P Q
M
( 1) 2 5 3 0k x y k− − + − = ( 3) ( 2 5) 0k x x y− − + − =
3 0
2 5 0
x
x y
− =
+ − =
3
1
x
y
=
= P (3,1)
C 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + =
16 4 0
9 1 3 0
2 1 02 2
D F
D E F
D E
+ + = + + + + =
− − − + =
14
8
40
D
E
F
= −
= −
=
C 2 2 14 8 40 0x y x y+ − − + =
C 2 2( 7) ( 4) 25x y− + − = 4 1 3
7 3 4CPk
−= =− (3,1)P
(7,4) ( )0 0,x y 0
0
3 14
1 8
x
y
+ =
+ = 0 11x = 0 7y = Q (11,7)
M M
P 1 3 1, 50 3 4
m m
− ⋅ = − =−
Q 7 3 651,0 11 4 3
m m
− ⋅ = − =−
5m = 65
321.已知直线 与椭圆 相交于 两点.
（1）若椭圆的离心率为 ，焦距为 2，求线段 的长；
（2）若向量 与向量 互相垂直（其中 为坐标原点），当椭圆 离心率 时，
求椭圆的长轴长的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由已知可先求得椭圆的标准方程，再联立直线与椭圆方程求得关于 的一元二次方程，
结合韦达定理和弦长公式即可求得；
（2）设 ，由向量 与向量 互相垂直可得 ，同时联
立直线与椭圆方程可得 ，消去 得： ，结合韦达定理和前式代
换，最终可整理得 ，结合 即可得到关于 的不等式，进而求出长
轴长的范围
【详解】（1） ,即 ， ，则 .
∴椭圆的方程为 ，联立 消去 得： ，
设 ，则 .
；
的
- 1y x= + 2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
+ = > > A B、
3
3
A B
OA OB O 1 2,2 2e
∈
8 3
5 6
x
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y OA OB
1 2 1 2 0x x y y+ =
2 2
2 2 1
1
x y
a b
y x
+ =
= − +
y 25 6 3 0x x− − =
2
2
12 1 1a e
= + −
1 2,2 2e
∈
a
3 ,2 23e c= =
3
2 3
c = 3a∴ = 2 2 2b a c= − =
2 2
13 2
x y+ =
2 2
13 2
1
x y
y x
+ =
= − +
y 25 6 3 0x x− − =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 2
6 3,5 5x x x x+ = = −
( ) ( )2 22 2
1 2 1 2 1 2 1 2| 1 4 1 ( 1) 4AB k x x x x x x x x∴ = + ⋅ + − = + − ⋅ + −
26 12 8 32 5 5 5
= + = （2）设 ，
，即 ，
由 消去 得 ，
由 ，
整理得 .
又 ，
得：
整理得： ①， ，代入①式得
，适合条件
由此得 ，故长轴长的最大值为 .
【点睛】本题考查椭圆中弦长的求法，韦达定理在解决椭圆实际问题中的应用，不等式在解
析几何中的应用，运算推理能力，属于难题
22.如图，已知动圆 过定点 且与 轴相切，点 关于圆心 的对称点为 ，点
的轨迹为
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
0OA OB OA OB⊥ ∴ ⋅ =
1 2 1 2 0x x y y+ =
2 2
2 2 1
1
x y
a b
y x
+ =
= − +
y ( ) ( )2 2 2 2 2 22 1 0a b x a x a b+ − + − =
( ) ( )( )22 2 2 2 22 4 1 0a a a b b∆ = − − + − >
2 2 1a b+ >
( )2 22
1 2 1 22 2 2 2
12 ,
a bax x x xa b a b
−
+ = =+ +
( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21 1 1y y x x x x x x∴ = − + − + = − + +
1 2 1 2 0x x y y∴ + = ( )1 2 1 22 1 0x x x x− + + =
( )2 2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 0
a b a
a b a b
−
∴ − + =+ +
2 2 2 22 0a b a b+ − = 2 2 2 2 2 2b a c a a e∴ = − = −
2 2
2 2
1 1 12 1 , 11 2 1a ae e
= + ∴ = + − −
2 21 2 1 1 1 3, , 12 2 4 2 2 4e e e≤ ≤ ∴ ≤ ≤ ∴ ≤ − ≤
2
2 2
4 1 7 1 7 32, 1 3,3 1 3 1 6 2ae e
∴ ≤ ≤ ∴ ≤ + ≤ ∴ ≤ ≤− −
2 2 1a b+ >
42 6 42 2 66 2 3a a≤ ≤ ∴ ≤ ≤ 6
M (1,0)F y F M 'F 'F
H（1）求曲线 的方程；
（2）一条直线经过点 ，且交曲线 于 、 两点，点 为直线 上的动点.
①求证： 不可能是钝角；
②是否存在这样的点 ，使得 是正三角形？若存在，求点 的坐标；否则，说明理由.
【答案】（1） ；（2）①证明见解析；②存在， .
【解析】
【分析】
（1）可设 ，可由 与 关于圆心 对称，求得圆心 ，再由半径处
处相等建立等式 ，化简即可求解；
（2）设直线 ， ，联立方程得关于 的表达式，
结合韦达定理和向量 的表示方法，即可求证；
（3）可假设存在点 ，设 的中点为 ，由直线 和 垂直关系求出点 ，由韦达
定理和弦长公式求得弦 ，结合 即可求解具体的 的值，进而求解点
；
【详解】（1）设 ，因为点 在圆 上，且点 关于圆心 的对称点为 ，
则 ，而 ，则 ，化简得：
，所以曲线 的方程为 .
H
F H A B C -1x =
ACB∠
C ABC∆ C
2 4y x= ( 1, 8 2)C − ±
( , )F x y′ F F ′ M 1,2 2
x yM
+
2 2( 1) | 1|
2 2
x y x− + +=
: 1AB x my= + ( ) ( )1 1 2 2, , , , ( 1, )A x y B x y C n− y
CA CB⋅
C AB N AB CN N
| |AB 3| | | |2CN AB= m
C
( , )F x y′ (1,0)F M F M F ′
1,2 2
x yM
+
2 2( 1)FF x y′ = − + 2 2( 1) | 1|
2 2
x y x− + +=
2 4y x= H 2 4y x=（2）①设直线 ， ,
由 ，得 ，
则 .
，
，
则 不可能是钝角.
②假设存在这样的点 ，设 的中点为 ，由①知 ;
，则 ，则 ，
则 ，而
，由 得， ，所以存在点
.
【点睛】本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，韦达定理，向量法在解析几何中的具体应用，
由特殊三角形的关系求解参数值，运算推理能力，综合性强，属于难题
: 1AB x my= + ( ) ( )1 1 2 2, , , , ( 1, )A x y B x y C n−
2
1
4
x my
y x
= +
=
2 4 4 0y my− − =
2
1 2 1 2 1 2 1 24 , 4, 4 2, 1y y m y y x x m x x+ = = − + = + =
( )1 11,CA x y n= + − ( )2 21,CB x y n= + −
( ) 2 2
1 2 1 2 1 2 1 21 (2 ) 0CA CB x x x x y y n y y n m n⋅ = + + + + − + + = − ≥
ACB∠
C AB N ( )22 1,2N m m+
2
2, 2 2
m nCN AB mm
−⊥ ∴ = −+ 32 4n m m= + ( )31,2 4C m m− +
( ) ( ) ( )2 22 3 2 2| | 2 2 2 2 2 1 1CN m m m m m= + + + = + +
( )2 2
1 2| | 1 4 1AB m y y m= + ⋅ − = + 3| | | |2CN AB= 2m = ±
( 1, 8 2)C − ±
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