江西南昌市第二中2019-2020高二数学（理）上学期期中试题（带解析Word版）

2019—2020 学年度上学期期中考试高二数学（理）试卷 一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，共 60 分） 1.命题 ： ， ，则（ ） A. ： ， B. ： ， C. ： ， D. ： ， 【答案】D 【解析】 由含量词的命题的否定可得选项 D 成立。选 D。 2.在参数方程 ( ， 为参数)所表示 曲线上有 两点，它们对应 的参数值分别为 ， ，则线段 的中点 M 对应的参数值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据参数的几何意义求解即可。 【详解】如图： 由直线参数方程的参数 的几何意义可知， ， ，因为 是 的中点，所以 . 选 D. 的 p 0x R∃ ∈ 2 0 05 6 0x x− + < p¬ 0x R∃ ∈ 2 0 05 6 0x x− + ≥ p¬ 0x R∃ ∉ 2 0 05 6 0x x− + < p¬ x R∀ ∈ 2 5 6 0x x− + > p¬ x R∀ ∈ 2 5 6 0x x− + ≥ cos sin x a t y b t θ θ = +  = + ， 0 θ π > 2 16y x= 3y x= ± 3 2y x= ± 3 3y x= ± 3 2y x= ± c a b c a b  ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2 16y x= ∴ ( )4,0 4c∴ = 2ce a = = 2a∴ = 2 2 2c a b= + 2 3b = 3by x xa = ± = ±【点睛】本题考察双曲线渐近线方程，利用共焦点求得 是关键 5.若 满足不等式组 ，则 的最大值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 由题，画出可行域，将目标函数转化为关于 的表达式，再根据图形求解即可 【详解】根据二元一次不等式组，画出目标可行域，将 转化为 ，要 求 的最大值，即求 对应在可行域内的 轴截距的最大值，如图： 当直线 交阴影部分于点 时， 取到最大值，此时 ， 故选：D 【点睛】本题考查由线性规划区域求目标函数的最大值，属于基础题 6.椭圆 以点 为中点的弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 可设弦的两端点为 ，结合点差法可求得斜率，再由点斜式即可求得直 线方程 c ,x y 2 0 1 0 5 0 y x y x y − ≥  − + ≥  + − ≤ 2 z x y= + y 2 z x y= + 1 2 2 zy x= − + z 1 2 2 zy x= − + y 1 2 2 zy x= − + A z ( )2,3A 8z = 2 2 116 9 x y+ = 32, 2A     8 -6 -7 0x y = 3 4 0x y+ = 3 4 -12 0x y+ = 4 -3 0x y = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y【详解】由题意，该弦所在的直线斜率存在，设弦的两端点为 代入椭 圆 得 ， 两 式 相 减 得 直 线 的 斜 率 为 ， 因 此 所 求 直 线 方 程 为 ， 即 . 故选：C 【点睛】本题考查椭圆中由弦的中点坐标求弦的直线方程，点差法的应用，推导结论可作为 常规结论加以记忆：若直线与椭圆相交弦的中点为 ，且直线的斜率为 ，则有 ，属于中档题 7.直线 （t 为参数）被曲线 所截的弦长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 将 方 程 ， 分 别 化 为 普 通 方 程 ，所以圆心坐标为 ，半径为 ， 圆心到直线的距离为 ，所以弦长 .故选 A. 点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法： （１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定 理可以建立等量关系； （２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 2 2 1 1 2 21 , 116 9 16 9 x y x y+ = + = A B ( ) ( )1 21 2 1 2 1 2 9 9 4 3 16 16 3 4 x xy y x x y y +− ×= − = − = −− + × 3 3 ( 2)2 4y x− = − − 3 4 -12 0x y+ = ( )0 0,x y k 2 0 2 0 y bkx a ⋅ = − 41 5 31 5 x t y t  = +  = − − 2 cos( )4 πρ θ= + 7 5 5 7 7 10 14 5 41 5 31 5 x t y t  = +  = − − 2 cos( )4 πρ θ= + 2 23 4 1 0, 0x y x y x y+ + = + − + = 1 1( , )2 2 − 2 2 2 2 1 13 4 ( ) 1 12 2 103 4 × + × − + = + 2 2 72 5r d= − =（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小． 8.设点 分别是双曲线 的右顶点、右焦点,直线 交 该双曲线的一条渐近线于点 ,若 是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：渐近线为 ， ，化简得 ， 两 边 除 以 得 ， ，解得 . 考点：圆锥曲线的位置关系. 【思路点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查划归与转化的数学思想方法、数 形结合的数学思想方法，方程的思想.题目的突破口就在等腰二字.既然是等腰三角形，那么 我们通过计算它的边长，利用边长相等，就可以建立一个方程，利用这个方程，我们就可以 求出离心率.双曲线的渐近线为 ，两条渐近线取其中一条来计算. 9.过抛物线 的焦点作两条垂直的弦 ,则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：由抛物线 ，可知 ，设 的倾斜角为 ，则 的倾斜角为 ，过 焦 点 的 弦 ， 所 以 ，故选 D. 考点：抛物线的标准方程及其简单的几何性质. ( ), ,0A F c ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2ax c = P PAF∆ 3 3 2 2 by xa = ( ) 22 2 2 2 2 2, , ,a ab a a bP AP AF a c ac c c c    = − + = −       3 3 2 22 2 0c a a c ac+ − − = 3a 3 22 2 0e e e− − + = ( ) ( ) ( )( )2 2 21 2 1 2 1 0e e e e e− − − = − − = 2e = by xa = ± 2 4y x= ,AB CD 1 1 AB CD + = 2 4 1 2 1 4 2 4y x= 2 4p = 1l θ 2l 2 π θ− 2 2 2 2 2 2,sin cossin ( )2 p p pAB CD πθ θθ = = = − 2 21 1 sin cos 1 2 2 4AB CD p p θ θ+ = + =10.过双曲线 的右支上一点 ，分别向圆 和圆 作切线，切点分别为 ，则 的最小值为（ ） A. 10 B. 13 C. 16 D. 19 【答案】B 【解析】 试题分析：由题可知， ， 因此 ，故选 B． 考点：圆锥曲线综合题． 11.已知点 是椭圆 上除顶点外的一动点， 、 为椭圆的两个焦点， 是坐 标原点，若 是 的角平分线上的点，且 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：如图，延长 交点为 ，连接 因为 是 的平分线，且 ，可得 所以 , 为 的中点.又 为 的中点， 所以 .设 ，根据圆锥曲线的统一 定义可得 ，所以 ，因为点 是椭圆上异 于顶点的一点，所以 ，所以 故选 B. 2 2 115 yx − = P ( )2 2 1 : 4 4C x y+ + = ( )2 2 2 : 4 1C x y− + = ,M N 2 2PM PN− 2 2 2 2 1 2| | ( | 4) ( | 1)PM PN PC PC− = − − − 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | | | 3 ( )( ) 3PM PN PC PC PC PC PC PC− = − − = − + − 1 2 1 22( ) 3 2 3 13PC PC C C= + − ≥ − = P 2 2 116 8 x y+ = 1F 2F O M 1 2F PF∠ 1 0F M PM⋅ =  OM [0,3) (0,2 2) [2 2,3) [0,4] 2 1,PF F M N .OM PM 1 2F PF∠ 1 · 0F M MP =  1 ,F M MP⊥ 1PN PF= M 1F N O 1 2F F 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2OM F N PN PF PF PF= = − = − ( )0 0,P x y 1 0 2 0,PF a ex PF a ex= + = − 0 02 2OM e x x= = P ( )0 0,4x ∈ ( )0,2 2 ,OM ∈考点：椭圆的定义、几何性质及向量垂直关系的应用. 【方法点晴】本题重点考查了椭圆定义的应用，属于中档题.本题解答的难点是题意的转化， 根据题目给出的条件和椭圆的特征建立 与椭圆上的点 的关系.根据圆锥曲线的统一定 义和焦半径公式建立 与点 横坐标的关系，从而求得 的取值范围，要特别注意点 是椭圆上异于顶点的任意一点，也就是说 ，保证解答的准确性. 12.椭圆 上一点 关于原点的对称点为 ， 为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 由题知 AF⊥BF，根据椭圆的对称性， AF′⊥BF′（其中 F′是椭圆的左焦点），因此四边形 AFBF′是矩形，于是，|AB|=|FF′|=2c， ， ，根据椭圆的定 义，|AF|+|AF′|=2a，∴ ， ∴椭圆离心率 ， 而 ， 故 e 的最大值为 ，故选 A． OM P OM P OM P ( )0 0,4x ∈ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > A B F AF BF⊥ ABF α∠ = [ , ]12 4 π πα ∈ 6 3 3 2 2 2 2 sinAF c α= 2 cosAF c α′ = 2 sin 2 cos 2c c aα α+ = 1 1 sin cos 2 sin 4 ce a πα α α = = =+  +   3, , , ,sin ,112 4 4 3 2 4 2 π π π π π πα α α       ∈ ∴ + ∈ + ∈             6 3椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两 种方法： ①求出 a，c，代入公式 ； ②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝a2－c2 转化为 a，c 的齐次式， 然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可 得 e(e 的取值范围)． 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】 可先将 化简得 ，由充分不必要条件再确定参数满足条件即 可 【 详 解 】 由 ， “ ” 是 “ ”的充分不必要条件， ，解得 故答案为： 【点睛】本题考查由充分不必要条件求参数，属于中档题 14.过抛物线 的焦点 作直线 与其交于 两点，若 ，则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】 可结合抛物线第一定义，将 转化为 ，结合抛物线方程求出点 ，再由 两点求得直线 方程，解得 点横坐标，再结合第一定义即可求解 ce a = 0 1x≤ ≤ ( - )[ -( 2)] 0x a x a + < a ( 1,0)− ( - )[ -( 2)] 0x a x a + < ( ), 2x a a∈ + ( )( - )[ -( 2)] 0 , 2x a x a x a a+ < ⇒ ∈ +  0 1x≤ ≤ ( - )[ -( 2)] 0x a x a + < 0 2 1 a a  ( )1,0a∈ − ( 1,0)− 2 4y x= F l , A B 4A F = B F = 4 3 4A F = 2A px + A ,A F AB B【 详 解 】 由 ， 焦 点 坐 标 为 ， ， 结 合 抛 物 线 定 义 可 得 ； ，即 ，联立 两点， 可求出直线 的方程为： ， 联立抛物线方程可得： . 故答案为： 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，韦达定理在解析几何中的应用，属于中档题 15.已知在直角坐标系中曲线 的参数方程为 （ 为参数且 ），在以原点 为 极点，以 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线 的极坐标方程为 ，则曲 线 与 交点的直角坐标为__________． 【答案】（2，2） 【解析】 试题分析：由曲线 的参数方程为 （ 为参数且 ），消去参数 得到曲线 的普通方程为： ；曲线 的极坐标方程为 化为 直角坐标方程得 ；由方程组： 解得 ，（ 舍去），故曲 线 与 交点的直角坐标为（2，2）． 考点：1．参数方程与普通方程的互化；2．极坐方程与直角坐标方程的互化；３．曲线的交 点． 16.已知曲线 （ 且 ）与直线 相交于 两点，且 （ 为原点），则 的值为_____________. 2 4y x= (1,0) | | 4A F = | | 4 32A A pA F x x= + = ⇒ = (3,2 3)A ,A F l 3( 1)y x= − 2 1 2 1 2 10 1 1 43 10 3 0, , 3, ,| |3 3 3 2 3 px x x x x x BF− + = + = = = = + = 4 3 1C 2 2 1 { 1 x t t y t t = + = + t 0t ≠ O x 2C ( ) 4 R πθ ρ= ∈ 1C 2C 1C 2 2 1 { 1 x t t y t t = + = + t 0t ≠ t 1C 2C ( ) 4 R πθ ρ= ∈ 1C 2C 2 2 1y x b a − = · 0a b ≠ a b≠ 2 0x y+ − = P Q， · 0OP OQ =  O 1 1 b a −【答案】 【解析】 试题分析： 则 ，设 ， ，联立 直 线 的 方 程 和 双 曲 线 的 方 程 消 去 得 ， ， 且 ，由 得 ，化简得 . 考点：直线与圆锥曲线位置关系，向量运算. 【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，向量运算.两个向量的数量积等于零，也就 是说这两个向量垂直，转化为代数式子就是 ，由此可以想到利用根与系数关系 求出 .联立直线的方程和曲线的方程，消去 ，写出根与系数关系，然后带入数量 积，化简就可以得到 .根与系数关系运算量较大，注意检验计算是否正确. 三、解答题（共 6 小题，共 70 分） 17.已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程是 （t 是参数），以原 点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ． （1）判断直线 与曲线 C 的位置关系； （2）设点 为曲线 C 上任意一点，求 的取值范围． 【答案】（1）相离；（2） . 【解析】 试题分析： 1 2 0OP OQ⋅ =  0OP OQ⊥ =  ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2 2 1{ 2 y x b a y x − = = − + y ( ) 2 4 4 0a b x ax a ab− − + − = 1 2 1 2 4 4,a a abx x x xa b a b −+ = ⋅ =− − ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 4 82 2 2 4 4a ab ay y x x x x x x a b a b −= − + − + = − + + = − +− − 4 8 44 0a ab a a a b a b a b − − + + =− − − 1 1 1 2b a − = 1 2 1 2,x x y y y 1 1 1 2b a − = xOy l 2 2 2 4 22 x t y t  =  = + ， 2cos 4 πρ α = +   l ( , )M x y x y+ 2, 2 − 本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程的应用以 及直线和圆的位置关系的判断。（1）把直线、曲线方程化为直角坐标方程后根据圆心到直线 的距离和半径的关系判断即可。（2）利用圆的参数方程，根据点到直线的距离公式和三角函 数的知识求解。 试题解析： （1）由 ，消去 得直线的普通方程为： 由 ，得 . ∴ ， 即 . 化为标准方程得： . ∴ 圆心坐标为 ，半径为 1， ∵ 圆心到直线 的距离 ， ∴ 直线 与曲线 相离. （2）由 为曲线 上任意一点，可设 ， 则 ， ∵ ∴ , 2 2 2 4 22 x t y t  =  = + t 4 2y x= + 2cos 4 πρ θ = +   2cos cos 2sin sin 2cos 2sin4 4 π πρ θ θ θ θ= − = − 2 2 cos 2 sinρ ρ θ ρ θ= − 2 22 2 0x x y y− + + = 2 2 2 2 12 2x y    − + + =          2 2,2 2  −    4 2 0x y− + = 2 2 4 22 2 5 1 2 d + + = = > l C ( ),M x y C 2 2 (0 2 ) 2 2 x cos y sin θ θ π θ  = + < ≤  = − + sin cos 2sin 4x y πθ θ θ + = + = +   0 2θ π< ≤ 2 2sin 24 πθ − ≤ + ≤  ∴ 的取值范围是 . 18.设命题 ：函数 的定义域为 ；命题 ：关于 的方程 有实根. （1）如果 是真命题，求实数 的取值范围. （2）如果命题“ ”为真命题，且“ ”为假命题，求实数 的取值范围. 【答案】(1) 实数 的取值范围为 ;(2) 实数 的取值范围是 或 . 【解析】 试 题 分 析 ： （ 1 ） 由 函 数 的 定 义 域 为 可 得 ，可得实数 的取值范围为 ；（2）化简命题 可得 ，由 为真命题， 为假命题，可得 一真一假，分两种情况讨论，对 于 真 假以及 假 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数 的取 值范围. 试题解析：（1）若命题 是真命题，则有①当 时定义域为 ，不合题意 ②当 时，由已知可得 故所求实数 的取值范围为 （2）若命题 是真命题，则关于 的方程 有实根，令 ， ∴ 若命题“ ”为真命题，且“ ”为假命题，则 一真一假 若 真 假，则 ；若 假 真，则 x y+ 2, 2 −  p ( ) 2lg 2 4 af x ax x = − +   R q x 2 4x x a− = p a p q∨ p q∧ a a ( )2 +∞， a 1 4a ≤ 2a > ( ) 2lg 2 4 af x ax x = − +   R 0 0 2 21 4 • 016 a a a a aa > > ⇒  > < −∆ = − <  或 a ( )2 +∞， q 1 4a ≤ p q∨ p q∧ ,p q p q p q a p 0a = { | 0}x x < 0a ≠ 0 0 2 21 4 • 016 a a a a aa > > ⇒  > < −∆ = − <  或 a ( )2 +∞， q x 2 4x x a− = 2 , 0xt t= > 2 2 1 1 1 2 4 4y t t t = − = − − + ≤   1 4a ≤ p q∨ p q∧ ,p q p q 2 21 4 a a a > ⇒ > > p q 2 1 1 4 4 a a a ≤ ⇒ ≤ ≤综上：实数 的取值范围是 或 . 19.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，（t 为参数），在极坐标系（与 直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的 方程为 ． （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）若直线 过点 ，圆 C 与直线 交于点 ，求 的最小值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）直接利用转换关系把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程．（2）将直线的参 数方程和圆联立，整理成一元二次方程，进一步利用根和系数的关系 求 出结果． 解析： (1) (2)证明：把 得证。 20.已知直线 恒过定点 ，圆 经过点 和点 ， 且圆心在直线 上. （1）求定点 的坐标与圆 的方程； （2）已知点 为圆 直径的一个端点，若另一个端点为点 ，问：在 轴上是否存在一点 ，使得 为直角三角形，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ， ；（2）存在， 或 . 【解析】 【分析】 a 1 4a ≤ 2a > xOy l 1 cos 2 sin x t y t ，α α = +  = + xOy 6sinρ θ= l (1,2)P l ,A B | | | |PA PB+ ( )22 3 9x y+ − = 2 7 1 2PA PB t t=  ( )22 2 2 2ρ 6sinθ ρ 6ρsinθ x y 6y x y 3 9= = + = + − =   ( ) ( )22 21 cosα x y 3 9 t 2t cosα sin α 7 02 sin α x t y t = + + − = + − − = = + 代入 中得 1 2 1 2 1 2t t 7 PA PB t t t t 7    = − ∴ = = = : ( 1) 2 5 3 0( )l k x y k k R− − + − = ∈ P C (4,0)A P - 2 1 0x y + = P C P C Q y (0, )M m PMQ∆ m (3,1) 2 2 14 8 40 0x y x y+ − − + = 5m = 65 3（1）可采用分离参数法求出直线恒过的定点 ，设圆 的方程为 ， 将 两点代入一般方程，又圆心 过直线，故有 ，联立求 解即可； （2）由 为直径对应的两个端点，根据对称关系先求得点 ，可判断点 在圆外， 故直角存在两种情况，以点 为直角和以点 为直角，结合两直线垂直斜率之积为-1 即可求 得点 【详解】（1）由 得， ， 令 ，得 ，即定点 坐标为 . 设圆 的方程为 ， 由条件得 ，解得 . 所以圆 的方程为 . （2）圆 的标准方程为 ， ，设点 关于圆心 的对称点为 ，则有 ，解得 ， ，故点 的坐标为 . 因为 在圆外，所以点 不能作为直角三角形的顶点， 若点 为直角三角形的顶点，则有 ， 若点 是直角三角形的顶点，则有 ， 综上， 或 【点睛】本题考查直线过定点的求法，圆的标准方程的求法，点关于点对称的求法，由点与 圆的位置关系和两直线垂直求参数值，属于中档题 的 . p C 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = ,A P ,2 2 D E     2 1 02 2 D E   − − − + =       ,P Q Q (0, )M m P Q M ( 1) 2 5 3 0k x y k− − + − = ( 3) ( 2 5) 0k x x y− − + − = 3 0 2 5 0 x x y − =  + − = 3 1 x y =  = P (3,1) C 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 16 4 0 9 1 3 0 2 1 02 2 D F D E F D E   + + = + + + + =     − − − + =       14 8 40 D E F = −  = −  = C 2 2 14 8 40 0x y x y+ − − + = C 2 2( 7) ( 4) 25x y− + − = 4 1 3 7 3 4CPk −= =− (3,1)P (7,4) ( )0 0,x y 0 0 3 14 1 8 x y + =  + = 0 11x = 0 7y = Q (11,7) M M P 1 3 1, 50 3 4 m m − ⋅ = − =− Q 7 3 651,0 11 4 3 m m − ⋅ = − =− 5m = 65 321.已知直线 与椭圆 相交于 两点. （1）若椭圆的离心率为 ，焦距为 2，求线段 的长； （2）若向量 与向量 互相垂直（其中 为坐标原点），当椭圆 离心率 时， 求椭圆的长轴长的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由已知可先求得椭圆的标准方程，再联立直线与椭圆方程求得关于 的一元二次方程， 结合韦达定理和弦长公式即可求得； （2）设 ，由向量 与向量 互相垂直可得 ，同时联 立直线与椭圆方程可得 ，消去 得： ，结合韦达定理和前式代 换，最终可整理得 ，结合 即可得到关于 的不等式，进而求出长 轴长的范围 【详解】（1） ,即 ， ，则 . ∴椭圆的方程为 ，联立 消去 得： ， 设 ，则 . ； 的 - 1y x= + 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b + = > > A B、 3 3 A B OA OB O 1 2,2 2e  ∈    8 3 5 6 x ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y OA OB 1 2 1 2 0x x y y+ = 2 2 2 2 1 1 x y a b y x  + =  = − + y 25 6 3 0x x− − = 2 2 12 1 1a e = + − 1 2,2 2e  ∈    a 3 ,2 23e c= = 3 2 3 c = 3a∴ = 2 2 2b a c= − = 2 2 13 2 x y+ = 2 2 13 2 1 x y y x  + =  = − + y 25 6 3 0x x− − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 2 6 3,5 5x x x x+ = = − ( ) ( )2 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2| 1 4 1 ( 1) 4AB k x x x x x x x x∴ = + ⋅ + − = + − ⋅ + − 26 12 8 32 5 5 5  = + =  （2）设 ， ，即 ， 由 消去 得 ， 由 ， 整理得 . 又 ， 得： 整理得： ①， ，代入①式得 ，适合条件 由此得 ，故长轴长的最大值为 . 【点睛】本题考查椭圆中弦长的求法，韦达定理在解决椭圆实际问题中的应用，不等式在解 析几何中的应用，运算推理能力，属于难题 22.如图，已知动圆 过定点 且与 轴相切，点 关于圆心 的对称点为 ，点 的轨迹为 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 0OA OB OA OB⊥ ∴ ⋅ =     1 2 1 2 0x x y y+ = 2 2 2 2 1 1 x y a b y x  + =  = − + y ( ) ( )2 2 2 2 2 22 1 0a b x a x a b+ − + − = ( ) ( )( )22 2 2 2 22 4 1 0a a a b b∆ = − − + − > 2 2 1a b+ > ( )2 22 1 2 1 22 2 2 2 12 , a bax x x xa b a b − + = =+ + ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21 1 1y y x x x x x x∴ = − + − + = − + + 1 2 1 2 0x x y y∴ + = ( )1 2 1 22 1 0x x x x− + + = ( )2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 0 a b a a b a b − ∴ − + =+ + 2 2 2 22 0a b a b+ − = 2 2 2 2 2 2b a c a a e∴ = − = − 2 2 2 2 1 1 12 1 , 11 2 1a ae e  = + ∴ = + − −  2 21 2 1 1 1 3, , 12 2 4 2 2 4e e e≤ ≤ ∴ ≤ ≤ ∴ ≤ − ≤ 2 2 2 4 1 7 1 7 32, 1 3,3 1 3 1 6 2ae e ∴ ≤ ≤ ∴ ≤ + ≤ ∴ ≤ ≤− − 2 2 1a b+ > 42 6 42 2 66 2 3a a≤ ≤ ∴ ≤ ≤ 6 M (1,0)F y F M 'F 'F H（1）求曲线 的方程； （2）一条直线经过点 ，且交曲线 于 、 两点，点 为直线 上的动点. ①求证： 不可能是钝角； ②是否存在这样的点 ，使得 是正三角形？若存在，求点 的坐标；否则，说明理由. 【答案】（1） ；（2）①证明见解析；②存在， . 【解析】 【分析】 （1）可设 ，可由 与 关于圆心 对称，求得圆心 ，再由半径处 处相等建立等式 ，化简即可求解； （2）设直线 ， ，联立方程得关于 的表达式， 结合韦达定理和向量 的表示方法，即可求证； （3）可假设存在点 ，设 的中点为 ，由直线 和 垂直关系求出点 ，由韦达 定理和弦长公式求得弦 ，结合 即可求解具体的 的值，进而求解点 ； 【详解】（1）设 ，因为点 在圆 上，且点 关于圆心 的对称点为 ， 则 ，而 ，则 ，化简得： ，所以曲线 的方程为 . H F H A B C -1x = ACB∠ C ABC∆ C 2 4y x= ( 1, 8 2)C − ± ( , )F x y′ F F ′ M 1,2 2 x yM +     2 2( 1) | 1| 2 2 x y x− + += : 1AB x my= + ( ) ( )1 1 2 2, , , , ( 1, )A x y B x y C n− y CA CB⋅  C AB N AB CN N | |AB 3| | | |2CN AB= m C ( , )F x y′ (1,0)F M F M F ′ 1,2 2 x yM +     2 2( 1)FF x y′ = − + 2 2( 1) | 1| 2 2 x y x− + += 2 4y x= H 2 4y x=（2）①设直线 ， , 由 ，得 ， 则 . ， ， 则 不可能是钝角. ②假设存在这样的点 ，设 的中点为 ，由①知 ; ，则 ，则 ， 则 ，而 ，由 得， ，所以存在点 . 【点睛】本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，韦达定理，向量法在解析几何中的具体应用， 由特殊三角形的关系求解参数值，运算推理能力，综合性强，属于难题 : 1AB x my= + ( ) ( )1 1 2 2, , , , ( 1, )A x y B x y C n− 2 1 4 x my y x = +  = 2 4 4 0y my− − = 2 1 2 1 2 1 2 1 24 , 4, 4 2, 1y y m y y x x m x x+ = = − + = + = ( )1 11,CA x y n= + − ( )2 21,CB x y n= + − ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 (2 ) 0CA CB x x x x y y n y y n m n⋅ = + + + + − + + = − ≥  ACB∠ C AB N ( )22 1,2N m m+ 2 2, 2 2 m nCN AB mm −⊥ ∴ = −+ 32 4n m m= + ( )31,2 4C m m− + ( ) ( ) ( )2 22 3 2 2| | 2 2 2 2 2 1 1CN m m m m m= + + + = + + ( )2 2 1 2| | 1 4 1AB m y y m= + ⋅ − = + 3| | | |2CN AB= 2m = ± ( 1, 8 2)C − ±