江西省南昌市五校2019-2020高二数学(理)上学期期中试题(带解析Word版)
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江西省南昌市五校2019-2020高二数学(理)上学期期中试题(带解析Word版)

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资料简介
2019-2020 学年度第一学期高二理科数学期中联考试卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求) 1.直线 的倾斜角和斜率分别是( ) A. , B. 、 C. ,不存在 D. 不存在, 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线方程可得出该直线的倾斜角和斜率. 【详解】由题意可知,直线 的倾斜角为 ,斜率分别为 . 故选:B. 【点睛】本题考查利用直线的方程得出直线的倾斜角和斜率,属于基础题. 2.与椭圆 的焦点坐标相同的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先确定已知椭圆的焦点在 x 轴上,求出焦点坐标,接着分别求出四个选项中曲线的焦点坐标, 再与已知椭圆的焦点坐标进行比较,即可得答案. 【详解】椭圆 的焦点在 轴上,且 , 所以 ,所以椭圆的焦点坐标为 . 1y = 4 π 1 0 0 2 π 1y = 0 0 2 2 124 8 x y+ = 2 215 15x y− = 2 2 125 9 x y− = 2 2 120 12 x y+ = 2 2 19 25 x y+ = 2 2 124 8 x y+ = x 2 224, 8a b= = 2 2 2 24 8 16c a b= − = − = ( 4,0)±对 A 选项,双曲线方程 ,其焦点在 x 轴上,且 , 故其焦点坐标为 ,与已知椭圆的焦点坐标相同; 对 B 选项,其焦点在 x 轴上,且 ,故其焦点坐标为 ; 对 C 选项,其焦点在 x 轴上,且 ,故其焦点坐标为 ; 对 D 选项,其焦点在 y 轴上. 故选 A. 【点睛】本题考查椭圆、双曲线焦点坐标的求解,主要考查两种曲线中 之间的关系. 3.抛物线 的焦点坐标是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先将抛物线方程化为标准方程,进而可得出焦点坐标. 【详解】因为 可化为 , 所以 ,且焦点 轴负半轴, 因此焦点坐标为 故选 C 【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题,熟记抛物线的标准方程即可,属于基础 题型. 4.已知直线 与直线 平行,则实数 m 的值为( ) A. 3 B. 1 C. -3 或 1 D. -1 或 3 【答案】B 在 2 2 2 215 15 115 xx y y− = ⇔ − = 2 15 1 16c = + = ( 4,0)± 2 25 9 34c = + = ( 34,0)± 2 20 12 8c = − = ( 2 2,0)± , ,a b c 28y x= − ( )0, 2− ( )2,0− 10, 32  −   1 ,032  −   28y x= − 2 1 8 = −x y 12 8 = −p y 10, 32  −   3 3 0mx y m+ + − = ( 2) 2 0x m y+ + + =【解析】 【分析】 两直线平行应该满足 ,利用系数关系及可解得 m. 【详解】 两直线平行 ,可得 (舍去).选 B. 【点睛】两直线平行的一般式对应关系为: ,若是已知斜率,则有 , 截距不相等. 5.已知方程 表示双曲线,则 的取值范围是( ) A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 对双曲线的焦点位置进行分类讨论,得出关于 的不等式组,解出即可. 【 详 解 】 若 方 程 表 示 焦 点 在 轴 上 的 双 曲 线 , 则 , 解 得 ; 若方程 表示焦点在 轴上的双曲线,则 ,解得 . 因此,实数 的取值范围是 . 故选:D. 【点睛】本题考查双曲线的方程,解题时要对双曲线的焦点位置进行分类讨论,考查分类讨 论思想的应用,属于基础题. 6.已知双曲线 ,四点 , 中恰有 三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为( ) 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = ≠  ∴ 3 3 1 2 2 m m m −= ≠+ 1, 3m m= = − 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = ≠ 1 2k k= 2 2 11 2 x y m m + =+ − m 1m > − 2m > 1m < − 2m > 1 2m− < < m 2 2 11 2 x y m m + =+ − x 1 0 2 0 m m + >  − > ( ) ( )1 24,2 , 2,0P P ( ) ( )3 44,3 , 4,3P P−A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析:先判断 , 在双曲线上,则 一定不在双曲线上,则 在双曲线上,则可得 ,求出 ,再根据离心率公式计算即可. 详解:根据双曲线的性质可得 , 在双曲线上,则 一定不在双曲线 上,则 在双曲线上, 解得 故选 C. 点睛:本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法,属于基础题 7.已知变量 、 满足 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 作出不等式组所表示的可行域如图所示,将所求代数式变形为 ,将 视为可行域中的点 与点 连线的斜率,利用数形结合思想得出 的取值 范围,即可得出代数式 的取值范围. 【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示: 5 2 5 2 7 2 7 2 ( )3 4,3P − ( )4 4,3P ( )1 4,2P ( )2 2,0P 2 16 92 14a b = − =, ,b c ( )3 4,3P − ( )4 4,3P ( )1 4,2P ( )2 2,0P 2 16 92 14a b ∴ = − =, 2 2 2 23 7 7b c a b c= ∴ = + = ∴ =, , , 7 .2 ce a ∴ = = x y 2 2 0 1 1 0 x y x x y − + ≥  ≤  + − ≥ 4 2 x y x + + + 3 ,32      5 5,3 2      2 3,3 2      1 ,22      4 212 2 x y y x x + + += ++ + 2 2 y x + + ( ),P x y ( )2, 2A − − 2 2 y x + + 4 2 x y x + + + 2 2 0 1 1 0 x y x x y − + ≥  ≤  + − ≥,代数式 的几何意义为可行域中的点 与点 连线的斜率, 由图象可知,当点 与可行域的顶点 重合时,直线 的斜率最大,此时 取 得最大值 . 当点 与可行域的顶点 重合时,直线 的斜率最小,此时 取得最小值 . 因此, 的取值范围是 . 故选:B. 【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的取值范围,利用代数式的几何意义并结合数 形思想求解是解题的关键,考查数形结合思想的应用,属于中等题. 8.椭圆 与直线 交于 、 两点,过原点与线段 中点的直线的斜率 为 ,则 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设出 、 两点的坐标,把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到 、 两点的 横纵坐标的和,则 、 中点坐标可求,由斜率公式列式可得 的值. ( ) ( )2 24 212 2 2 x yx y y x x x + + ++ + += = ++ + + 2 2 y x + + ( ),P x y ( )2, 2A − − P ( )0,1B PA 4 2 x y x + + + 5 2 P ( )1,0D PA 4 2 x y x + + + 5 3 4 2 x y x + + + 5 5,3 2      2 2 1ax by+ = 1 2y x= − A B AB 2 a b 2 4 3 6 2 2 2 3 A B A B A B a b【 详 解 】 设 点 , , 联 立 , 得 : , ①. , = . 设 是线段 的中点,∴ ( ).∴直线 的斜率为 . 则 ,代入①满足△>0( >0, >0). 故选:C. 【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了一元二次方程的根与系数关系,考查了 斜率公式的应用,属于中档题. 9.已知圆 和点 , 是圆 上任意一点,线段 的垂直平分线 交 于点 , ,则点 的轨迹为( ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】A 【解析】 【分析】 作出图形,利用中垂线的定义得出 ,从而可得出 为定值,再利用椭 圆的定义可得出点 的轨迹图形. 【详解】如下图所示: ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 1 1 2 ax by y x  + =  = − ( ) 24 4 1 0a b x bx b+ − + − = ( ) ( )( )24 4 4 1 4 16 4b a b b a b ab∆ = − − + − = + − 1 2 1 2 4 4 1 4 bx x a b bx x a b  + = + − = + ⇒ 1 2 2 2 4 x x b a b + = + ∴ ( )1 21 2 1 2 2 21 2 1 2 2 2 2 x xy y x x − ++ − + −= = ( )1 2 41 1 4 4 b ax x a b a b − + = − =+ + M AB M 2 ,4 4 b a a b a b+ + OM 4 22 2 4 a aa b b b a b + = = + 22a b = a b ( )2 2 2: 2A x y r+ + = ( )2,0B P A BP AP M 4r > M BM PM= MA MB+ M由垂直平分线的性质可知 ,则 , 所以,动点 的轨迹是以 、 分别为左、右焦点的椭圆. 故选:A. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用,在运用椭圆定义判断动点的轨迹时,需要满足椭圆定义 的几个条件,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题. 10.已知抛物线 的焦点为 ,准线为 , 是 上一点, 是直线 与 的一个 交点,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设点 , ,利用 求出点 的横坐标,然后利用抛物线的定义可得 出 . 【详解】抛物线 的准线 的方程为 ,焦点为 . 设点 , , ,即 , 则 ,解得 ,因此, . 故选:D. 【点睛】本题考查抛物线定义的应用,同时也考查了共线向量的坐标运算,解题的关键就是 求出点 的横坐标,考查运算求解能力,属于中等题. BM PM= 4MA MB MA PM AP r AB+ = + = = > = M A B 2: 4C y x= F l P l Q PF C 3QP QF=  QF = 8 4 6 3 ( )1,P t− ( ),Q x y 3QP QF=  Q QF C l 1x = − ( )1,0F ( )1,P t− ( ),Q x y 3QP QF=   ( ) ( )1 , 3 1 ,x t y x y− − − = − − ( )1 3 1x x− − = − 2x = 2 1 3QF = + = Q11.已知圆 ,圆 , 分别为圆 上的点, 为 轴上的动点,则 的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出圆 关于 轴的对称圆的圆心坐标 A,以及半径,然后求解圆 A 与圆 的圆心距减去两 个圆的半径和,即可求得 的最小值,得到答案. 【详解】如图所示,圆 关于 轴的对称圆的圆心坐标 ,半径为 1, 圆 的圆心坐标为 ,,半径为 3, 由图象可知,当 三点共线时, 取得最小值, 且 的最小值为圆 与圆 的圆心距减去两个圆的半径之和, 即 , 故选 D. 【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解,以及两个圆的位置关系的应用,其中解 答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键,着重考查了数形结合法,以及推理与运 算能力,属于基础题. 12.已知 、 分别为双曲线的左、右焦点, 为坐标原点,以原点为圆心, 为半径的 2 2 1 :( 2) ( 3) 1C x y− + − = 2 2 2 :( 3) ( 4) 9C x y− + − = ,M N 1 2,C C P x | | | |PM PN+ 17 17 1− 6 2 2− 5 2 4− 1C x 2C | | | |PM PN+ 1C x 3(2, )A − 2C (3,4) , ,P M N | | | |PM PN+ | | | |PM PN+ 3C 2C 2 2 2 3 1 (3 2) ( 3 4) 4 5 2 4AC − − = − + − − − = − 1F 2F O 1OF圆与双曲线左支的一个交点为 ,若 与双曲线右支有交点,则双曲线的离心率的取值范 围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设点 在 轴上方,设双曲线的方程为 , ,联立双曲线与 圆的方程,求出点 的坐标,由题意得出直线 的斜率小于 ,由此可求出双曲线的离心 率的取值范围. 【详解】设点 在 轴上方,设双曲线的方程为 , , 以原点为圆心, 为半径的圆的方程为 , 联立圆与双曲线的方程得 ,解得 , 则点 , 所以,直线 的斜率为 , 化简得 ,两边平方并化简得 , . 所以,双曲线的离心率 . 因此,双曲线的离心率的取值范围是 . 故选:A. P 1PF ( )5,+∞ ( )1, 5 ( )15,+∞ ( )1, 15 P x ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > ( )1 ,0F c− P 1PF b a P x ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > ( )1 ,0F c− 1OF 2 2 2x y c+ = 2 2 2 2 2 2 2 1 0, 0 x y a b x y c x y  − =  + =    2 2 2 a b cx c by c  += −  = 2 2 2 ,a b c bP c c  +−    1PF 2 2 2 2 2 2 2 b b bck aa b c c a b cc c = = < + − +− 2 2 2a b c c ab+ < − 2b a> 2b a ∴ > 2 1 5c be a a  = = + >   ( )5,+∞【点睛】本题考查双曲线离心率取值范围的求解,考查利用联立双曲线与圆的方程求交点坐 标,解题的关键就是得出直线与渐近线斜率的大小关系,考查计算能力,属于难题. 二、填空题(本大题共 4 个小题. 每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 、 满足约束条件 ,则 的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 作出不等式组所表示的可行域,平移直线 ,根据直线 在 轴上的截距最 小,找到使得目标函数 取得最小值时的最优解,代入即可. 【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示: 平移直线 ,当直线 经过可行域的顶点 时,直线 在 轴 上的截距最小,此时 取得最小值,即 , 故答案为: . 【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值问题,一般利用平移直线 的方法,使得目标函数对应的直线在坐标轴上的截距取得最值来得到,考查数形结合思想的 应用,属于中等题. 14.将参数方程 ( 为参数),转化成普通方程为_______. x y 1 0 1 0 1 x y x y y − + ≥  + − ≤  ≥ − 2z x y= − 2z x y= − 2z x y= − x 2z x y= − 1 0 1 0 1 x y x y y − + ≥  + − ≤  ≥ − 2z x y= − 2z x y= − ( )0,1A 2z x y= − x z min 0 2 1 2z = − × = − 2− 1 1 x t ty t  =  = + t【答案】 ( 且 ) 【解析】 【分析】 由 得出 ,代入 可将参数方程化为普通方程,再由普通方程以及参数方程 得出 的范围,即可得出结果. 【详解】由 得出 ,代入 得 ,则 ,由 可得 . 所以,参数方程 ( 为参数)化成普通方程为 ( 且 ). 故答案为: ( 且 ). 【点睛】本题考查将参数方程化为普通方程,一般利用换元消参法与平方消参法,同时也要 注意相应变量取值范围的求解,考查计算能力,属于中等题. 15.已知 是抛物线 的焦点,点 ,抛物线上有某点 ,使得 取 得最小值,则点 的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】 作出图形,作 垂直于抛物线准线于点 ,利用抛物线的定义得出 ,可得出 ,利用 、 、 三点共线可得出点 的坐标. 【详解】如下图所示,抛物线 的焦点为 ,准线为直线 , 过点 作 垂直于抛物线准线于点 ,由抛物线的定义得 , 则 ,当且仅当 、 、 三点共线时, 取最小值. 1 1y x = + 1x ≠ − 0x ≠ 1x t = 1t x = 1 ty t = + x 1x t = 1t x = 1 ty t = + 1 1 1 11 xy x x = = ++ 1x ≠ − 1x t = 0x ≠ 1 1 x t ty t  =  = + t 1 1y x = + 0x ≠ 1x ≠ − 1 1y x = + 0x ≠ 1x ≠ − F 2 8y x= ( )2,2 3A P PA PF+ P 3 ,2 32      PB B PF PB= PA PF PA PB+ = + A P B P 2 8y x= ( )2,0F : 2l x = − P PB B PF PB= PA PF PA PB+ = + A P B PA PF+此时,直线 的方程为 ,联立直线 的方程与抛物线的方程 , 解得 ,因此,点 的坐标为 . 故答案为: . 【点睛】本题考查抛物线上的点到定点和焦点的距离和的最值问题,一般要利用抛物线的定 义进行转化,借助三点共线来得出最小值,考查数形结合思想,属于中等题. 16.下列说法中所有正确的序号是_________ ①两直线的倾斜角相等,则斜率必相等; ②若动点 到定点 和定直线 的距离相等,则动点 的轨迹是抛物线; ③已知 、 是椭圆 两个焦点,过点 的直线与椭圆交于 、 两点,则 的周长为 ; ④曲线的参数方程为 为参数 ,则它表示双曲线且渐近线方程为 ; ⑤已知正方形 ,则以 、 为焦点,且过 、 两点的椭圆的离心率为 . 【答案】③④⑤ 【解析】 【分析】 的 PA 2 3y = PA 2 2 3 8 y y x  = = 3 2 2 3 x y  =  = P 3 ,2 32      3 ,2 32      M ( )1,2 3 2 7 0x y+ − = M 1F 2F 2 24 2 1x y+ = 1F A B 2ABF∆ 2 2 4tan (2 cos x t ty t = = ) 1 2y x= ± ABCD A B C D 2 1−利用直线斜率与倾斜角的关系可判断出命题①的正误;根据抛物线的定义可判断出命题②的 正误;利用椭圆的定义可判断出命题③的正误;将曲线的方程化为普通方程,即可判断出命 题④的正误;利用椭圆的定义以及离心率的定义可判断出命题⑤的正误. 【详解】对于命题①,当两直线的倾斜角都为 时,两直线的斜率都不存在,命题①错误; 对于命题②,由于点 在直线 上,所以,动点 的轨迹不是抛物线,命题 ②错误; 对于命题③,椭圆的标准方程为 ,该椭圆的焦点在 轴,其长半轴长为 , 所以, 的周长为 ,命题③正确; 对于命题④, ,即 , 所以,曲线 方程为 ,所表示的图形为双曲线,其渐近线方程为 , 命题④正确; 对于命题⑤,设正方形 的边长为 ,则 , 设椭圆的长轴长为 ,则 , 所以,该椭圆的离心率为 ,命题⑤正确. 因此,正确命题的序号为③④⑤. 故答案为:③④⑤. 【点睛】本题主要考查命题真假的判断,涉及解析几何中直线、椭圆、双曲线以及抛物线的 定义与几何性质,着重于定义与性质的理解,综合性较强,难度不大,属于中等题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答题应根据要求写出必要的文字说明,证明过程 的 2 π ( )1,2 3 7 0x y+ − = M 2 2 11 1 4 2 x y+ = y 2 2a = 2ABF∆ 4 2 2a = ( )2 2 2 2 2 2 4 sin cos4 4tan 4cos cos t t y tt t + = = = + 2 2 44 xy = + 2 2 14 16 y x− = 1 2y x= ± ABCD 2c 2 2 2BD AC c= = 2a ( )2 2 2 2 2 1 2a AD BD c c c= + = + = + 1 2 1 2 1 ce a = = = − +或演算步骤) 17.平面直角坐标系中,已知 三个顶点的坐标分别为 , , . (1)求 边上的高所在的直线方程; (2)求 的面积. 【答案】(1) ;(2)5 【解析】 【分析】 (1)写出 BC 边所在的直线的斜率,即可求出 BC 边上高的斜率,根据点斜式写出方程;(2) 利用点到直线的距离求三角形的高,再根据两点间的距离求三角形的底 BC,即可得解. 【详解】(1)直线 的斜率 ,则 边上高所在直线斜率 , 则 边上的高所在的直线方程为 ,即 . (2) 的方程为 , . 点 到直线 的距离 , , 则 的面积 【点睛】本题主要考查了直线方程的点斜式,垂直直线斜率间的关系,点到直线的距离,属 于中档题. 18.(1)求经过点 、 且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程; (2)求与双曲线 有公共焦点,且过点 的双曲线标准方程. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 ABC∆ ( 1,2)A − ( 3,4)B − (0,6)C BC ABC∆ 3 2 1 0x y+ − = BC 6 4 2 0 ( 3) 3BCk −= =− − BC 3 2k = − BC 32 ( 1)2y x− = − + 3 2 1 0x y+ − = BC 2 63y x= + 2 3 18 0x y− + = A BC 2 2 | 2 ( 1) 3 2 18| 10 13 133 2 d × − − × += = + 2 2| | (0 3) (6 4) 13BC = + + − = ABC∆ 1 1 10 13| | 13 52 2 13S BC d= = × × = ( )3,2 2P − ( )6, 2 3Q − 2 2 12 x y− = ( )2, 2 2 2 14 3 y x− = 2 2 12 yx − =(1)设双曲线的方程 ,将点 、 的坐标代入双曲线的方程,求出 、 的值,即可得出双曲线的标准方程; (2)设所求双曲线的标准方程为 ,求出双曲线的焦点坐标,利用 定义求出 的值,即可求出 的值,由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】(1)依题意,设双曲线的方程为 , 双曲线过点 、 两点, ,解得 . 因此,双曲线的标准方程为 ; (2)双曲线 双曲线的焦点为 , 设所求双曲线的方程为 ,则 , 由双曲线定义得 , ,则 ,因此,所求双曲线的标准方程为 . 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解,考查待定系数法以及利用双曲线的定义求双曲线 的标准方程,考查运算求解能力,属于基础题. 19.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),直线 的参数方程 为 ( 为参数). (1)求曲线 和直线 的普通方程; (2)求曲线 上的点到直线 的距离的最大距离. 【答案】(1) , ;(2) . ( )2 2 1 0Ax By AB− = > P Q A B ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > a b ( )2 2 1 0Ax By AB− = >  ( )3,2 2P − ( )6, 2 3Q − 3 8 1 6 12 1 A B A B − =∴ − = 1 3 1 4 A B  = −  = − 2 2 14 3 y x− = 2 2 12 x y− = ( )3,0± ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2 2 3a b+ = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 2 2 3 2 6 1 6 1 2a = + + − − + = + − − = 1a\ = 2b = 2 2 12 yx − = xOy C 3cos sin x y θ θ =  = θ l 8 4 1 x t y t = +  = − t C l C l 2 2: 19 xC y+ = : 4 12 0l x y+ − = 17【解析】 【分析】 (1)由 可将曲线 的参数方程化为普通方程,在直线 的参数方程中利用 加减消元法消去参数 ,可得出直线 的普通方程; (2)设曲线 的上任意一点的坐标为 ,利用点到直线的距离公式以及辅助角 公式可得出曲线 上的点到直线 距离的最大值. 【详解】(1)由 ,得 ,由于 ,所以, . 由 ,得 ,两式相加得 . 因此,曲线 的普通方程为 ,直线 的普通方程为 ; (2)设曲线 上任意一点 的坐标为 ,则点 到直线 的距离为 ,其中 , 当 时,椭圆 上的点到 的距离的最大值为 . 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化,同时也考查了椭圆上的点到直线距离的最值, 一般利用参数方程结合三角函数的有界性求解,考查化归与转化思想的应用,属于中等题. 20.(1)已知圆 过点 ,且与直线 相切于点 ,求圆 的 方程; (2)已知圆 与 轴相切,圆心在直线 上,且圆 被直线 截得的弦长为 ,求圆 的方程. 【答案】(1) ; (2) 或 . 2 2cos sin 1θ θ+ = C l t l C ( )3cos ,sinθ θ C l 3cos sin x y θ θ =  = cos 3 sin x y θ θ  =  = 2 2cos sin 1θ θ+ = 2 2 13 x y  + =   8 4 1 x t y t = +  = − 8 4 4 4 4 x t y t = +  = − 4 12x y+ = C 2 2 19 x y+ = l 4 12 0x y+ − = C P ( )3cos ,sinθ θ P l ( ) ( )5sin 123cos 4sin 12 12 5sin 17 17 17 d θ ϕθ θ θ ϕ+ −+ − − += = = 3tan 4 ϕ = ( )sin 1θ ϕ+ = − C l 17 1C ( )2,3A − 4 3 18 0x y− + = ( )3,2B − 1C 2C y 2 0x y− = 2C y x= 2 14 2C ( ) ( )2 21 1 25x y− + + = ( ) ( )2 24 2 16x y− + − = ( ) ( )2 24 2 16x y+ + + =【解析】 【分析】 (1)求出过点 且垂直于直线 的直线方程,并求出线段 的垂直平分线方 程,联立两直线方程可得出圆心坐标,求出圆心到点 的距离作为圆的半径,由此可得出圆 的标准方程; (2)设圆心 的坐标为 ,可知圆 的半径为 ,求出圆心 到直线 的 距离 ,利用弦长的一半、 、圆的半径之间的关系并结合勾股定理求出 的值,即可得出 圆 的标准方程. 【详解】(1)由题意知圆心必在过切点 且垂直切线 的直线上, 可求得此直线为 , 直线 的斜率为 ,线段 的中点坐标为 ,则线段 的垂直平 分线方程为 ,即 , 可知圆心必在线段 的垂直平分线 上, 联立 ,可求得圆心 ,则 , 因此,圆 的方程为 ; (2)设圆心 ,半径 , 圆心到直线 的距离为 , 由半弦长、弦心距、半径的关系得 , , 当 时,圆心 ,半径 ,此时圆 为 ; 当 时,圆心 ,半径 ,此时圆 为 . 因此,圆 的方程为 或 . B 4 3 18 0x y− + = AB B 1C 2C ( )0 02 ,y y 2C 02y 2C y x= d d 0y 2C ( )3,2B − 4 3 18 0x y− + = 3 4 1 0x y+ + = AB 3 2 12 3ABk −= =− + AB 5 5,2 2  −   AB 5 5 2 2y x − = − +   y x= − AB y x= − 3 4 1 0 y x x y = −  + + = ( )1 1, 1C − ( ) ( )2 2 1 3 1 2 1 5r BC= = − − + + = 1C ( ) ( )2 21 1 25x y− + + = 2 0 0(2 , )C y y 02r y= 0x y− = 0 0 02 2 2 y y y− = 2 2 0 04 14 2 yy = + 0 2y∴ = ± 0 2y = ( )4,2 4r = 2C ( ) ( )2 24 2 16x y− + − = 0 2y = − ( )4, 2− − 4r = 2C ( ) ( )2 24 2 16x y+ + + = 2C ( ) ( )2 24 2 16x y− + − = ( ) ( )2 24 2 16x y+ + + =【点睛】本题考查圆的标准方程的求解,解题时要明确圆心的位置以及圆的半径长,考查运 算求解能力,属于中等题. 21.已知 是抛物线 上一点,经过点 的直线 与抛物线 交于 、 两点(不同于点 ),直线 、 分别交直线 于点 、 . (1)求抛物线方程及其焦点坐标; (2)求证:以 为直径的圆恰好经过原点. 【答案】(1)抛物线方程为 ,焦点坐标为 ;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)将点 坐标代入抛物线 的方程,求出 的值,可得出抛物线 的方程,并求出抛 物线 的焦点坐标; (2)设 , , 、 ,设直线 的方程为 , 其中 ,将直线 的方程与抛物线 的方程联立,列出韦达定理,利用向量共线求出点 、 的坐标,然后将韦达定理代入 ,利用向量数量积的坐标运算计算出 ,即可证明出结论成立. 【详解】(1)将 代入 ,得 ,因此,抛物线方程为 ,焦点坐标 为 ; (2)设 , , 、 . 因为直线 不经过点 ,所以直线 一定有斜率,设直线 方程为 , 与抛物线方程联立得到 ,消去 ,得 , 则由韦达定理得 , . , , 的 ( )2,2E 2: 2C y px= ( )2,0 l C A B E EA EB 2x = − M N MN 2 2y x= 1 ,02      E C p C C 2 1 1,2 yA y       2 2 2,2 yB y       ( )2,M m− ( )2,N n− l 2x t y= + 0t ≠ l C M N OM ON⋅  0OM ON⋅ =  ( )2,2E 2 2y px= 1p = 2 2y x= 1 ,02      2 1 1,2 yA y       2 2 2,2 yB y       ( )2,M m− ( )2,N n− l E l l ( )2 0x ty t= + ≠ 2 2 2 x ty y x = +  = x 2 2 4 0y ty− − = 1 2 2y y t+ = 1 2 4y y = − 2 1 12, 22 yEA y  = − −    ( )4, 2EM m= − −, ,即 , 显然, , , , 则点 ,同理可求得点 的坐标为 , 所以, , ,因此,以 为直径的圆过原点. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解,同时也考查了直线与抛物线位置关系的综合问题,考 查圆过定点问题的证明,一般将直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理设而不求法求解, 考查运算求解能力,属于中等题. 22.在平面直角坐标系 中,动圆 与圆 外切,与圆 内切. (1)求动圆圆心 的轨迹方程; (2)直线 过点 且与动圆圆心 的轨迹交于 、 两点.是否存在 面积的最 大值,若存在,求出 的面积;若不存在,说明理由. 【答案】(1) ;(2)存在, 面积的最大值为 ,理由见解析. 【解析】 【分析】 ( 1 ) 设 动 圆 的 半 径 为 , 利 用 几 何 关 系 转 化 两 圆 内 切 和 外 切 的 问 题 , 可 得 出 ,可得知点 的轨迹是以点 、 为焦点的椭圆,并设该椭圆的方程为 ,利用椭圆的定义求出 的值,可求出 的值,由此可得出动点 的 轨迹方程; //EA EM   ( ) ( )2 1 12 2 4 22 ym y  ∴ − ⋅ − = − −   ( )( )( ) ( )1 1 1 2 2 2 4 22 m y y y − − + = − − 1 2y ≠ ( )( )12 2 8m y∴ − + = − ( )1 1 1 2 282 2 2 ym y y −∴ = − =+ + ( )1 1 2 22, 2 yM y  −− +  N ( )2 2 2 22, 2 y y  −− +  ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 4 2 44 2 24 42 2 2 4 y y y yy yOM ON y y y y y y  − + +− −  ⋅ = + = ++ + + + +   ( )4 4 2 44 04 2 4 t t × − − += + =− + + OM ON∴ ⊥ MN xOy P ( )2 2: 1 1M x y+ + = ( )2 2: 1 9N x y− + = P l ( )1,0E − P A B AOB∆ AOB∆ ( )2 2 1 24 3 x y x+ = ≠ − AOB∆ 3 2 P r 4PM PN+ = P M N ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > a b P(2)设直线 的方程为 ,设点 、 ,将直线 的方程与椭圆的方 程联立,列出韦达定理,并计算出 的面积关于 的表达式,换元 ,利 用双勾函数的单调性可得出 面积的最大值. 【详解】(1)设点 ,动圆 的半径为 , 由题意知, , , 由椭圆定义可知,动圆圆心 在以 、 为焦点的椭圆上, 设该椭圆的方程为 ,且 , , . 由于圆 内切于圆 于点 ,则 . 因此,动圆圆心 的轨迹方程为 ; (2)存在 面积的最大值. 因为直线 过点 ,可设直线 的方程为 或 (舍). 则 ,整理得 . 由 . 设点 、 ,则 , . 则 , 因 . 设 ,则 ,则 . 设 在区间 上为增函数,所以 . 所以 ,当且仅当 时取等号,即 . 为 l 1x my= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l AOB∆ m 2 1 1t m= + ≥ AOB∆ ( ),P x y P r 1PM r= + 3PN r= − 4 2PM PN MN∴ + = > = P M N ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2a = 2 2 1a b− = 3b∴ = M N ( )2,0− 2x ≠ − P ( )2 2 1 24 3 x y x+ = ≠ − AOB∆ l ( )1,0E − l 1x my= − 0y = 2 23 4 12 1 x y x my  + =  = − ( )2 23 4 6 9 0m y my+ − − = ( ) ( ) ( )2 2 26 36 3 4 144 1 0m m m∆ = + + = + > ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2 6 3 4 my y m + = + 1 2 2 9 3 4y y m = − + ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 6 9 12 14 43 4 3 4 3 4 m my y y y y y m m m +   − = + − = − × − =   + + +    2 1 2 2 1 1 12 112 2 3 4AOB mS OE y y m∆ += ⋅ − = × × + 2 1 1t m= + ≥ 2 2 1m t= − ( ) 22 6 6 6 13 13 1 4 3 AOB t tS tt t t ∆ = = =+− + + ( ) 13g t t t = + [ )1,+∞ ( ) ( )min 1 4g t g= = 3 2AOBS∆ ≤ 0m = ( )max 3 2AOBS∆ =因此, 面积的最大值为 . 【点睛】本题考查利用椭圆的定义求动点的轨迹方程,同时也考查了直线与椭圆中三角形面 积最值的计算,在计算最值时,一般利用基本不等式或函数单调性来求解,考查运算求解能 力,属于中等题. AOB∆ 3 2

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