江西省南昌市五校2019-2020高二数学（理）上学期期中试题（带解析Word版）

2019-2020 学年度第一学期高二理科数学期中联考试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求） 1.直线 的倾斜角和斜率分别是（ ） A. ， B. 、 C. ，不存在 D. 不存在， 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线方程可得出该直线的倾斜角和斜率. 【详解】由题意可知，直线 的倾斜角为 ，斜率分别为 . 故选：B. 【点睛】本题考查利用直线的方程得出直线的倾斜角和斜率，属于基础题. 2.与椭圆 的焦点坐标相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先确定已知椭圆的焦点在 x 轴上，求出焦点坐标，接着分别求出四个选项中曲线的焦点坐标， 再与已知椭圆的焦点坐标进行比较，即可得答案. 【详解】椭圆 的焦点在 轴上，且 ， 所以 ，所以椭圆的焦点坐标为 . 1y = 4 π 1 0 0 2 π 1y = 0 0 2 2 124 8 x y+ = 2 215 15x y− = 2 2 125 9 x y− = 2 2 120 12 x y+ = 2 2 19 25 x y+ = 2 2 124 8 x y+ = x 2 224, 8a b= = 2 2 2 24 8 16c a b= − = − = ( 4,0)±对 A 选项，双曲线方程 ，其焦点在 x 轴上，且 ， 故其焦点坐标为 ，与已知椭圆的焦点坐标相同； 对 B 选项，其焦点在 x 轴上，且 ，故其焦点坐标为 ； 对 C 选项，其焦点在 x 轴上，且 ，故其焦点坐标为 ； 对 D 选项，其焦点在 y 轴上. 故选 A. 【点睛】本题考查椭圆、双曲线焦点坐标的求解，主要考查两种曲线中 之间的关系. 3.抛物线 的焦点坐标是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标. 【详解】因为 可化为 ， 所以 ，且焦点 轴负半轴， 因此焦点坐标为 故选 C 【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础 题型. 4.已知直线 与直线 平行，则实数 m 的值为（ ） A. 3 B. 1 C. -3 或 1 D. -1 或 3 【答案】B 在 2 2 2 215 15 115 xx y y− = ⇔ − = 2 15 1 16c = + = ( 4,0)± 2 25 9 34c = + = ( 34,0)± 2 20 12 8c = − = ( 2 2,0)± , ,a b c 28y x= − ( )0, 2− ( )2,0− 10, 32  −   1 ,032  −   28y x= − 2 1 8 = −x y 12 8 = −p y 10, 32  −   3 3 0mx y m+ + − = ( 2) 2 0x m y+ + + =【解析】 【分析】 两直线平行应该满足 ，利用系数关系及可解得 m. 【详解】 两直线平行 ，可得 （舍去）.选 B. 【点睛】两直线平行的一般式对应关系为： ，若是已知斜率，则有 ， 截距不相等. 5.已知方程 表示双曲线，则 的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 对双曲线的焦点位置进行分类讨论，得出关于 的不等式组，解出即可. 【 详 解 】 若 方 程 表 示 焦 点 在 轴 上 的 双 曲 线 ， 则 ， 解 得 ； 若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则 ，解得 . 因此，实数 的取值范围是 . 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线的方程，解题时要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查分类讨 论思想的应用，属于基础题. 6.已知双曲线 ,四点 ， 中恰有 三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ） 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = ≠  ∴ 3 3 1 2 2 m m m −= ≠+ 1, 3m m= = − 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = ≠ 1 2k k= 2 2 11 2 x y m m + =+ − m 1m > − 2m > 1m < − 2m > 1 2m− < < m 2 2 11 2 x y m m + =+ − x 1 0 2 0 m m + >  − > ( ) ( )1 24,2 , 2,0P P ( ) ( )3 44,3 , 4,3P P−A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：先判断 ， 在双曲线上，则 一定不在双曲线上，则 在双曲线上，则可得 ，求出 ，再根据离心率公式计算即可． 详解：根据双曲线的性质可得 ， 在双曲线上，则 一定不在双曲线 上，则 在双曲线上， 解得 故选 C． 点睛：本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法，属于基础题 7.已知变量 、 满足 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 作出不等式组所表示的可行域如图所示，将所求代数式变形为 ，将 视为可行域中的点 与点 连线的斜率，利用数形结合思想得出 的取值 范围，即可得出代数式 的取值范围. 【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示： 5 2 5 2 7 2 7 2 ( )3 4,3P − ( )4 4,3P ( )1 4,2P ( )2 2,0P 2 16 92 14a b = − =， ,b c ( )3 4,3P − ( )4 4,3P ( )1 4,2P ( )2 2,0P 2 16 92 14a b ∴ = − =， 2 2 2 23 7 7b c a b c= ∴ = + = ∴ =， ， ， 7 .2 ce a ∴ = = x y 2 2 0 1 1 0 x y x x y − + ≥  ≤  + − ≥ 4 2 x y x + + + 3 ,32      5 5,3 2      2 3,3 2      1 ,22      4 212 2 x y y x x + + += ++ + 2 2 y x + + ( ),P x y ( )2, 2A − − 2 2 y x + + 4 2 x y x + + + 2 2 0 1 1 0 x y x x y − + ≥  ≤  + − ≥，代数式 的几何意义为可行域中的点 与点 连线的斜率， 由图象可知，当点 与可行域的顶点 重合时，直线 的斜率最大，此时 取 得最大值 . 当点 与可行域的顶点 重合时，直线 的斜率最小，此时 取得最小值 . 因此， 的取值范围是 . 故选：B. 【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的取值范围，利用代数式的几何意义并结合数 形思想求解是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 8.椭圆 与直线 交于 、 两点，过原点与线段 中点的直线的斜率 为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设出 、 两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到 、 两点的 横纵坐标的和，则 、 中点坐标可求，由斜率公式列式可得 的值． ( ) ( )2 24 212 2 2 x yx y y x x x + + ++ + += = ++ + + 2 2 y x + + ( ),P x y ( )2, 2A − − P ( )0,1B PA 4 2 x y x + + + 5 2 P ( )1,0D PA 4 2 x y x + + + 5 3 4 2 x y x + + + 5 5,3 2      2 2 1ax by+ = 1 2y x= − A B AB 2 a b 2 4 3 6 2 2 2 3 A B A B A B a b【 详 解 】 设 点 ， ， 联 立 ， 得 ： ， ①． ， ＝ ． 设 是线段 的中点，∴ （ ）．∴直线 的斜率为 ． 则 ,代入①满足△＞0（ ＞0， ＞0）． 故选：C． 【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了 斜率公式的应用，属于中档题． 9.已知圆 和点 ， 是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线 交 于点 ， ，则点 的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】A 【解析】 【分析】 作出图形，利用中垂线的定义得出 ，从而可得出 为定值，再利用椭 圆的定义可得出点 的轨迹图形. 【详解】如下图所示： ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 1 1 2 ax by y x  + =  = − ( ) 24 4 1 0a b x bx b+ − + − = ( ) ( )( )24 4 4 1 4 16 4b a b b a b ab∆ = − − + − = + − 1 2 1 2 4 4 1 4 bx x a b bx x a b  + = + − = + ⇒ 1 2 2 2 4 x x b a b + = + ∴ ( )1 21 2 1 2 2 21 2 1 2 2 2 2 x xy y x x − ++ − + −= = ( )1 2 41 1 4 4 b ax x a b a b − + = − =+ + M AB M 2 ,4 4 b a a b a b+ + OM 4 22 2 4 a aa b b b a b + = = + 22a b = a b ( )2 2 2: 2A x y r+ + = ( )2,0B P A BP AP M 4r > M BM PM= MA MB+ M由垂直平分线的性质可知 ，则 ， 所以，动点 的轨迹是以 、 分别为左、右焦点的椭圆. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用，在运用椭圆定义判断动点的轨迹时，需要满足椭圆定义 的几个条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个 交点，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设点 ， ，利用 求出点 的横坐标，然后利用抛物线的定义可得 出 . 【详解】抛物线 的准线 的方程为 ，焦点为 . 设点 ， ， ，即 ， 则 ，解得 ，因此， . 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线定义的应用，同时也考查了共线向量的坐标运算，解题的关键就是 求出点 的横坐标，考查运算求解能力，属于中等题. BM PM= 4MA MB MA PM AP r AB+ = + = = > = M A B 2: 4C y x= F l P l Q PF C 3QP QF=  QF = 8 4 6 3 ( )1,P t− ( ),Q x y 3QP QF=  Q QF C l 1x = − ( )1,0F ( )1,P t− ( ),Q x y 3QP QF=   ( ) ( )1 , 3 1 ,x t y x y− − − = − − ( )1 3 1x x− − = − 2x = 2 1 3QF = + = Q11.已知圆 ，圆 ， 分别为圆 上的点， 为 轴上的动点，则 的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出圆 关于 轴的对称圆的圆心坐标 A，以及半径，然后求解圆 A 与圆 的圆心距减去两 个圆的半径和，即可求得 的最小值，得到答案． 【详解】如图所示，圆 关于 轴的对称圆的圆心坐标 ，半径为 1， 圆 的圆心坐标为 ,，半径为 3， 由图象可知，当 三点共线时， 取得最小值， 且 的最小值为圆 与圆 的圆心距减去两个圆的半径之和， 即 ， 故选 D． 【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解 答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运 算能力，属于基础题． 12.已知 、 分别为双曲线的左、右焦点， 为坐标原点，以原点为圆心， 为半径的 2 2 1 :( 2) ( 3) 1C x y− + − = 2 2 2 :( 3) ( 4) 9C x y− + − = ,M N 1 2,C C P x | | | |PM PN+ 17 17 1− 6 2 2− 5 2 4− 1C x 2C | | | |PM PN+ 1C x 3(2, )A − 2C (3,4) , ,P M N | | | |PM PN+ | | | |PM PN+ 3C 2C 2 2 2 3 1 (3 2) ( 3 4) 4 5 2 4AC − − = − + − − − = − 1F 2F O 1OF圆与双曲线左支的一个交点为 ，若 与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范 围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设点 在 轴上方，设双曲线的方程为 ， ，联立双曲线与 圆的方程，求出点 的坐标，由题意得出直线 的斜率小于 ，由此可求出双曲线的离心 率的取值范围. 【详解】设点 在 轴上方，设双曲线的方程为 ， ， 以原点为圆心， 为半径的圆的方程为 ， 联立圆与双曲线的方程得 ，解得 ， 则点 ， 所以，直线 的斜率为 ， 化简得 ，两边平方并化简得 ， . 所以，双曲线的离心率 . 因此，双曲线的离心率的取值范围是 . 故选：A. P 1PF ( )5,+∞ ( )1, 5 ( )15,+∞ ( )1, 15 P x ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > ( )1 ,0F c− P 1PF b a P x ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > ( )1 ,0F c− 1OF 2 2 2x y c+ = 2 2 2 2 2 2 2 1 0, 0 x y a b x y c x y  − =  + =    2 2 2 a b cx c by c  += −  = 2 2 2 ,a b c bP c c  +−    1PF 2 2 2 2 2 2 2 b b bck aa b c c a b cc c = = < + − +− 2 2 2a b c c ab+ < − 2b a> 2b a ∴ > 2 1 5c be a a  = = + >   ( )5,+∞【点睛】本题考查双曲线离心率取值范围的求解，考查利用联立双曲线与圆的方程求交点坐 标，解题的关键就是得出直线与渐近线斜率的大小关系，考查计算能力，属于难题. 二、填空题（本大题共 4 个小题. 每小题 5 分，共 20 分） 13.已知 、 满足约束条件 ，则 的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 作出不等式组所表示的可行域，平移直线 ，根据直线 在 轴上的截距最 小，找到使得目标函数 取得最小值时的最优解，代入即可. 【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示： 平移直线 ，当直线 经过可行域的顶点 时，直线 在 轴 上的截距最小，此时 取得最小值，即 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线 的方法，使得目标函数对应的直线在坐标轴上的截距取得最值来得到，考查数形结合思想的 应用，属于中等题. 14.将参数方程 （ 为参数），转化成普通方程为_______. x y 1 0 1 0 1 x y x y y − + ≥  + − ≤  ≥ − 2z x y= − 2z x y= − 2z x y= − x 2z x y= − 1 0 1 0 1 x y x y y − + ≥  + − ≤  ≥ − 2z x y= − 2z x y= − ( )0,1A 2z x y= − x z min 0 2 1 2z = − × = − 2− 1 1 x t ty t  =  = + t【答案】 （ 且 ） 【解析】 【分析】 由 得出 ，代入 可将参数方程化为普通方程，再由普通方程以及参数方程 得出 的范围，即可得出结果. 【详解】由 得出 ，代入 得 ，则 ，由 可得 . 所以，参数方程 （ 为参数）化成普通方程为 （ 且 ）. 故答案为： （ 且 ）. 【点睛】本题考查将参数方程化为普通方程，一般利用换元消参法与平方消参法，同时也要 注意相应变量取值范围的求解，考查计算能力，属于中等题. 15.已知 是抛物线 的焦点，点 ，抛物线上有某点 ，使得 取 得最小值，则点 的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】 作出图形，作 垂直于抛物线准线于点 ，利用抛物线的定义得出 ，可得出 ，利用 、 、 三点共线可得出点 的坐标. 【详解】如下图所示，抛物线 的焦点为 ，准线为直线 ， 过点 作 垂直于抛物线准线于点 ，由抛物线的定义得 ， 则 ，当且仅当 、 、 三点共线时， 取最小值. 1 1y x = + 1x ≠ − 0x ≠ 1x t = 1t x = 1 ty t = + x 1x t = 1t x = 1 ty t = + 1 1 1 11 xy x x = = ++ 1x ≠ − 1x t = 0x ≠ 1 1 x t ty t  =  = + t 1 1y x = + 0x ≠ 1x ≠ − 1 1y x = + 0x ≠ 1x ≠ − F 2 8y x= ( )2,2 3A P PA PF+ P 3 ,2 32      PB B PF PB= PA PF PA PB+ = + A P B P 2 8y x= ( )2,0F : 2l x = − P PB B PF PB= PA PF PA PB+ = + A P B PA PF+此时，直线 的方程为 ，联立直线 的方程与抛物线的方程 ， 解得 ，因此，点 的坐标为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查抛物线上的点到定点和焦点的距离和的最值问题，一般要利用抛物线的定 义进行转化，借助三点共线来得出最小值，考查数形结合思想，属于中等题. 16.下列说法中所有正确的序号是_________ ①两直线的倾斜角相等，则斜率必相等； ②若动点 到定点 和定直线 的距离相等，则动点 的轨迹是抛物线； ③已知 、 是椭圆 两个焦点，过点 的直线与椭圆交于 、 两点，则 的周长为 ； ④曲线的参数方程为 为参数 ，则它表示双曲线且渐近线方程为 ； ⑤已知正方形 ，则以 、 为焦点，且过 、 两点的椭圆的离心率为 . 【答案】③④⑤ 【解析】 【分析】 的 PA 2 3y = PA 2 2 3 8 y y x  = = 3 2 2 3 x y  =  = P 3 ,2 32      3 ,2 32      M ( )1,2 3 2 7 0x y+ − = M 1F 2F 2 24 2 1x y+ = 1F A B 2ABF∆ 2 2 4tan (2 cos x t ty t = = ) 1 2y x= ± ABCD A B C D 2 1−利用直线斜率与倾斜角的关系可判断出命题①的正误；根据抛物线的定义可判断出命题②的 正误；利用椭圆的定义可判断出命题③的正误；将曲线的方程化为普通方程，即可判断出命 题④的正误；利用椭圆的定义以及离心率的定义可判断出命题⑤的正误. 【详解】对于命题①，当两直线的倾斜角都为 时，两直线的斜率都不存在，命题①错误； 对于命题②，由于点 在直线 上，所以，动点 的轨迹不是抛物线，命题 ②错误； 对于命题③，椭圆的标准方程为 ，该椭圆的焦点在 轴，其长半轴长为 ， 所以， 的周长为 ，命题③正确； 对于命题④， ，即 ， 所以，曲线 方程为 ，所表示的图形为双曲线，其渐近线方程为 ， 命题④正确； 对于命题⑤，设正方形 的边长为 ，则 ， 设椭圆的长轴长为 ，则 ， 所以，该椭圆的离心率为 ，命题⑤正确. 因此，正确命题的序号为③④⑤. 故答案为：③④⑤. 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，涉及解析几何中直线、椭圆、双曲线以及抛物线的 定义与几何性质，着重于定义与性质的理解，综合性较强，难度不大，属于中等题. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程 的 2 π ( )1,2 3 7 0x y+ − = M 2 2 11 1 4 2 x y+ = y 2 2a = 2ABF∆ 4 2 2a = ( )2 2 2 2 2 2 4 sin cos4 4tan 4cos cos t t y tt t + = = = + 2 2 44 xy = + 2 2 14 16 y x− = 1 2y x= ± ABCD 2c 2 2 2BD AC c= = 2a ( )2 2 2 2 2 1 2a AD BD c c c= + = + = + 1 2 1 2 1 ce a = = = − +或演算步骤） 17.平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别为 ， ， . （1）求 边上的高所在的直线方程； （2）求 的面积. 【答案】（1） ；（2）5 【解析】 【分析】 （1）写出 BC 边所在的直线的斜率，即可求出 BC 边上高的斜率，根据点斜式写出方程；（2） 利用点到直线的距离求三角形的高，再根据两点间的距离求三角形的底 BC，即可得解. 【详解】（1）直线 的斜率 ，则 边上高所在直线斜率 ， 则 边上的高所在的直线方程为 ，即 . （2） 的方程为 ， . 点 到直线 的距离 ， ， 则 的面积 【点睛】本题主要考查了直线方程的点斜式，垂直直线斜率间的关系，点到直线的距离，属 于中档题. 18.（1）求经过点 、 且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程； （2）求与双曲线 有公共焦点，且过点 的双曲线标准方程． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 ABC∆ ( 1,2)A − ( 3,4)B − (0,6)C BC ABC∆ 3 2 1 0x y+ − = BC 6 4 2 0 ( 3) 3BCk −= =− − BC 3 2k = − BC 32 ( 1)2y x− = − + 3 2 1 0x y+ − = BC 2 63y x= + 2 3 18 0x y− + = A BC 2 2 | 2 ( 1) 3 2 18| 10 13 133 2 d × − − × += = + 2 2| | (0 3) (6 4) 13BC = + + − = ABC∆ 1 1 10 13| | 13 52 2 13S BC d= = × × = ( )3,2 2P − ( )6, 2 3Q − 2 2 12 x y− = ( )2, 2 2 2 14 3 y x− = 2 2 12 yx − =（1）设双曲线的方程 ，将点 、 的坐标代入双曲线的方程，求出 、 的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）设所求双曲线的标准方程为 ，求出双曲线的焦点坐标，利用 定义求出 的值，即可求出 的值，由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】（1）依题意，设双曲线的方程为 ， 双曲线过点 、 两点， ，解得 . 因此，双曲线的标准方程为 ； （2）双曲线 双曲线的焦点为 ， 设所求双曲线的方程为 ，则 ， 由双曲线定义得 ， ，则 ，因此，所求双曲线的标准方程为 . 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，考查待定系数法以及利用双曲线的定义求双曲线 的标准方程，考查运算求解能力，属于基础题. 19.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程 为 （ 为参数）. （1）求曲线 和直线 的普通方程； （2）求曲线 上的点到直线 的距离的最大距离. 【答案】（1） ， ；（2） . ( )2 2 1 0Ax By AB− = > P Q A B ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > a b ( )2 2 1 0Ax By AB− = >  ( )3,2 2P − ( )6, 2 3Q − 3 8 1 6 12 1 A B A B − =∴ − = 1 3 1 4 A B  = −  = − 2 2 14 3 y x− = 2 2 12 x y− = ( )3,0± ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2 2 3a b+ = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 2 2 3 2 6 1 6 1 2a = + + − − + = + − − = 1a\ = 2b = 2 2 12 yx − = xOy C 3cos sin x y θ θ =  = θ l 8 4 1 x t y t = +  = − t C l C l 2 2: 19 xC y+ = : 4 12 0l x y+ − = 17【解析】 【分析】 （1）由 可将曲线 的参数方程化为普通方程，在直线 的参数方程中利用 加减消元法消去参数 ，可得出直线 的普通方程； （2）设曲线 的上任意一点的坐标为 ，利用点到直线的距离公式以及辅助角 公式可得出曲线 上的点到直线 距离的最大值. 【详解】（1）由 ，得 ，由于 ，所以， . 由 ，得 ，两式相加得 . 因此，曲线 的普通方程为 ，直线 的普通方程为 ； （2）设曲线 上任意一点 的坐标为 ，则点 到直线 的距离为 ，其中 ， 当 时，椭圆 上的点到 的距离的最大值为 . 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，同时也考查了椭圆上的点到直线距离的最值， 一般利用参数方程结合三角函数的有界性求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 20.（1）已知圆 过点 ，且与直线 相切于点 ，求圆 的 方程； （2）已知圆 与 轴相切，圆心在直线 上，且圆 被直线 截得的弦长为 ，求圆 的方程． 【答案】（1） ； （2） 或 . 2 2cos sin 1θ θ+ = C l t l C ( )3cos ,sinθ θ C l 3cos sin x y θ θ =  = cos 3 sin x y θ θ  =  = 2 2cos sin 1θ θ+ = 2 2 13 x y  + =   8 4 1 x t y t = +  = − 8 4 4 4 4 x t y t = +  = − 4 12x y+ = C 2 2 19 x y+ = l 4 12 0x y+ − = C P ( )3cos ,sinθ θ P l ( ) ( )5sin 123cos 4sin 12 12 5sin 17 17 17 d θ ϕθ θ θ ϕ+ −+ − − += = = 3tan 4 ϕ = ( )sin 1θ ϕ+ = − C l 17 1C ( )2,3A − 4 3 18 0x y− + = ( )3,2B − 1C 2C y 2 0x y− = 2C y x= 2 14 2C ( ) ( )2 21 1 25x y− + + = ( ) ( )2 24 2 16x y− + − = ( ) ( )2 24 2 16x y+ + + =【解析】 【分析】 （1）求出过点 且垂直于直线 的直线方程，并求出线段 的垂直平分线方 程，联立两直线方程可得出圆心坐标，求出圆心到点 的距离作为圆的半径，由此可得出圆 的标准方程； （2）设圆心 的坐标为 ，可知圆 的半径为 ，求出圆心 到直线 的 距离 ，利用弦长的一半、 、圆的半径之间的关系并结合勾股定理求出 的值，即可得出 圆 的标准方程. 【详解】（1）由题意知圆心必在过切点 且垂直切线 的直线上， 可求得此直线为 ， 直线 的斜率为 ，线段 的中点坐标为 ，则线段 的垂直平 分线方程为 ，即 ， 可知圆心必在线段 的垂直平分线 上， 联立 ，可求得圆心 ，则 ， 因此，圆 的方程为 ； （2）设圆心 ，半径 ， 圆心到直线 的距离为 ， 由半弦长、弦心距、半径的关系得 ， ， 当 时，圆心 ，半径 ，此时圆 为 ； 当 时，圆心 ，半径 ，此时圆 为 . 因此，圆 的方程为 或 . B 4 3 18 0x y− + = AB B 1C 2C ( )0 02 ,y y 2C 02y 2C y x= d d 0y 2C ( )3,2B − 4 3 18 0x y− + = 3 4 1 0x y+ + = AB 3 2 12 3ABk −= =− + AB 5 5,2 2  −   AB 5 5 2 2y x − = − +   y x= − AB y x= − 3 4 1 0 y x x y = −  + + = ( )1 1, 1C − ( ) ( )2 2 1 3 1 2 1 5r BC= = − − + + = 1C ( ) ( )2 21 1 25x y− + + = 2 0 0(2 , )C y y 02r y= 0x y− = 0 0 02 2 2 y y y− = 2 2 0 04 14 2 yy = + 0 2y∴ = ± 0 2y = ( )4,2 4r = 2C ( ) ( )2 24 2 16x y− + − = 0 2y = − ( )4, 2− − 4r = 2C ( ) ( )2 24 2 16x y+ + + = 2C ( ) ( )2 24 2 16x y− + − = ( ) ( )2 24 2 16x y+ + + =【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，解题时要明确圆心的位置以及圆的半径长，考查运 算求解能力，属于中等题. 21.已知 是抛物线 上一点，经过点 的直线 与抛物线 交于 、 两点（不同于点 ），直线 、 分别交直线 于点 、 . （1）求抛物线方程及其焦点坐标； （2）求证：以 为直径的圆恰好经过原点. 【答案】（1）抛物线方程为 ，焦点坐标为 ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）将点 坐标代入抛物线 的方程，求出 的值，可得出抛物线 的方程，并求出抛 物线 的焦点坐标； （2）设 ， ， 、 ，设直线 的方程为 ， 其中 ，将直线 的方程与抛物线 的方程联立，列出韦达定理，利用向量共线求出点 、 的坐标，然后将韦达定理代入 ，利用向量数量积的坐标运算计算出 ，即可证明出结论成立. 【详解】（1）将 代入 ，得 ，因此，抛物线方程为 ，焦点坐标 为 ； （2）设 ， ， 、 . 因为直线 不经过点 ，所以直线 一定有斜率，设直线 方程为 ， 与抛物线方程联立得到 ，消去 ，得 ， 则由韦达定理得 ， . ， ， 的 ( )2,2E 2: 2C y px= ( )2,0 l C A B E EA EB 2x = − M N MN 2 2y x= 1 ,02      E C p C C 2 1 1,2 yA y       2 2 2,2 yB y       ( )2,M m− ( )2,N n− l 2x t y= + 0t ≠ l C M N OM ON⋅  0OM ON⋅ =  ( )2,2E 2 2y px= 1p = 2 2y x= 1 ,02      2 1 1,2 yA y       2 2 2,2 yB y       ( )2,M m− ( )2,N n− l E l l ( )2 0x ty t= + ≠ 2 2 2 x ty y x = +  = x 2 2 4 0y ty− − = 1 2 2y y t+ = 1 2 4y y = − 2 1 12, 22 yEA y  = − −    ( )4, 2EM m= − −， ，即 ， 显然， ， ， ， 则点 ，同理可求得点 的坐标为 ， 所以， ， ，因此，以 为直径的圆过原点. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线位置关系的综合问题，考 查圆过定点问题的证明，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解， 考查运算求解能力，属于中等题. 22.在平面直角坐标系 中，动圆 与圆 外切，与圆 内切． （1）求动圆圆心 的轨迹方程； （2）直线 过点 且与动圆圆心 的轨迹交于 、 两点．是否存在 面积的最 大值，若存在，求出 的面积；若不存在，说明理由. 【答案】（1） ；（2）存在， 面积的最大值为 ，理由见解析. 【解析】 【分析】 （ 1 ） 设 动 圆 的 半 径 为 ， 利 用 几 何 关 系 转 化 两 圆 内 切 和 外 切 的 问 题 ， 可 得 出 ，可得知点 的轨迹是以点 、 为焦点的椭圆，并设该椭圆的方程为 ，利用椭圆的定义求出 的值，可求出 的值，由此可得出动点 的 轨迹方程； //EA EM   ( ) ( )2 1 12 2 4 22 ym y  ∴ − ⋅ − = − −   ( )( )( ) ( )1 1 1 2 2 2 4 22 m y y y − − + = − − 1 2y ≠ ( )( )12 2 8m y∴ − + = − ( )1 1 1 2 282 2 2 ym y y −∴ = − =+ + ( )1 1 2 22, 2 yM y  −− +  N ( )2 2 2 22, 2 y y  −− +  ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 4 2 44 2 24 42 2 2 4 y y y yy yOM ON y y y y y y  − + +− −  ⋅ = + = ++ + + + +   ( )4 4 2 44 04 2 4 t t × − − += + =− + + OM ON∴ ⊥ MN xOy P ( )2 2: 1 1M x y+ + = ( )2 2: 1 9N x y− + = P l ( )1,0E − P A B AOB∆ AOB∆ ( )2 2 1 24 3 x y x+ = ≠ − AOB∆ 3 2 P r 4PM PN+ = P M N ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > a b P（2）设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线 的方程与椭圆的方 程联立，列出韦达定理，并计算出 的面积关于 的表达式，换元 ，利 用双勾函数的单调性可得出 面积的最大值. 【详解】（1）设点 ，动圆 的半径为 ， 由题意知， ， ， 由椭圆定义可知，动圆圆心 在以 、 为焦点的椭圆上， 设该椭圆的方程为 ，且 ， ， . 由于圆 内切于圆 于点 ，则 . 因此，动圆圆心 的轨迹方程为 ； （2）存在 面积的最大值. 因为直线 过点 ，可设直线 的方程为 或 （舍）． 则 ，整理得 ． 由 ． 设点 、 ，则 ， . 则 ， 因 ． 设 ，则 ，则 . 设 在区间 上为增函数，所以 ． 所以 ，当且仅当 时取等号，即 ． 为 l 1x my= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l AOB∆ m 2 1 1t m= + ≥ AOB∆ ( ),P x y P r 1PM r= + 3PN r= − 4 2PM PN MN∴ + = > = P M N ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2a = 2 2 1a b− = 3b∴ = M N ( )2,0− 2x ≠ − P ( )2 2 1 24 3 x y x+ = ≠ − AOB∆ l ( )1,0E − l 1x my= − 0y = 2 23 4 12 1 x y x my  + =  = − ( )2 23 4 6 9 0m y my+ − − = ( ) ( ) ( )2 2 26 36 3 4 144 1 0m m m∆ = + + = + > ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2 6 3 4 my y m + = + 1 2 2 9 3 4y y m = − + ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 6 9 12 14 43 4 3 4 3 4 m my y y y y y m m m +   − = + − = − × − =   + + +    2 1 2 2 1 1 12 112 2 3 4AOB mS OE y y m∆ += ⋅ − = × × + 2 1 1t m= + ≥ 2 2 1m t= − ( ) 22 6 6 6 13 13 1 4 3 AOB t tS tt t t ∆ = = =+− + + ( ) 13g t t t = + [ )1,+∞ ( ) ( )min 1 4g t g= = 3 2AOBS∆ ≤ 0m = ( )max 3 2AOBS∆ =因此， 面积的最大值为 ． 【点睛】本题考查利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，同时也考查了直线与椭圆中三角形面 积最值的计算，在计算最值时，一般利用基本不等式或函数单调性来求解，考查运算求解能 力，属于中等题. AOB∆ 3 2