辽宁省沈阳市城郊联合体2019-2020高二数学（理）上学期期中试题（带解析Word版）

辽宁省沈阳市城郊市重点联合体 2019-2020 学年高二（上）期中 数学试卷（理科）B 卷 一、选择题（本大题共 12 小题） 1.设 M＝2a(a－2)＋3，N＝(a+1)(a－3)，a∈R，则有(　　) A. M＞N B. M≥N C. M＜N D. M≤N 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： 恒成立，所以 ．故 A 正确． 考点：作差法比较大小． 2.已知 m n，则下列不等式中一定成立的是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据不等式的基本性质，结合特殊值，可得正确选项． 【详解】∵m n，则取 m=1，n=0，a=0，b=2，c=0，可排除 A，B，D． 对 C，∵m＞n，∴-m＜-n，∴ 成立，故 C 正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 3.在△ABC 中， ，则 （ ） A. B. C. 或 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用余弦定理构造方程，解方程求得结果. ( ) ( )( )2 2 1 3M N a a a a− = − − + − ( )2 22 4 2 3a a a a= − − − − 2 2 3a a= − + ( )21 2 0a= − + > M N> > m a n b+ > + mc nc> a m a n− < − 2 2ma na> > a m a n− < − 3, 3, 30b c B= = =  a = 3 2 3 3 2 3【详解】由余弦定理： 可得： 解得： 或 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查基础运算能力. 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S6=12，则 a3+a4=（　　 ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 将 S6 转化为用 a3 和 a4 表达的算式，即可得到 a3+a4 的值． 【详解】由等差数列{an} 前 n 项和为 Sn，得 S6= = =12，解得 a3+a4=4. 故选：B． 【点睛】本题考查了等差数列 前 n 项和公式，考查了等差中项的性质，属于基础题． 5.已知 ABC 的周长为 18，且 sinA：sinB：sinC=4：3：2，则 cosA=（　　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由正弦定理得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=4：3：2，可设 a=4k，b=3k，c=2k，由余弦定理可 得 cosA 值． 【详解】∵由正弦定理得：在 ABC 中，sinA：sinB：sinC=a：b：c=4：3：2，∴可设 a=4k， b=3k，c=2k，k＞0， ∴由余弦定理可得：cosA= = =- ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题． 的 的 的 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 33 9 6 2a a= + − × 3a = 2 3 C 1 6 62 a a+ × 3 4 62 a a+ × ∆ 2 3 2 3 − 1 4 1 4 − ∆ 2 2 2 2 b c a bc + − 2 2 29 4 16 2 3 2 k k k k k + − × × 1 46.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 ，则 =（　　 ） A. B. C. 17 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 由等比数列的性质可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10（各项不为 0）成等比数列，即可得出． 【详解】由等比数列的性质可得：S5，S10-S5，S15-S10（各项不为 0）成等比数列， 不妨设 S5=1，由 ，可得 S10=5．∴（5-1）2=1×（S15-5），解得 S15=21，则 = ． 故选：B． 【点睛】本题考查了等比数列的前 n 项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 7.设 ABC 的三条边分别为 a、b、c，三角形面积为 ，则∠C 为（　　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果． 【详解】设 ABC 的三条边分别为 a、b、c，三角形面积为 ， 所以 ，整理得 tanC=1，由于 0＜C＜π，所以 C= ． 故选：C 【点睛】本题考查了正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力，属于基 础题． 8.已知等比数列 满足 ， 则 （ ） 10 5 5S S = 15 10 S S 7 3 21 5 10 5 5S S = 15 10 S S 21 5 ∆ 2 2 2 4 a b cS + −= 6 π 3 π 4 π 2 π ∆ 2 2 2 4 a b cS + −= 1 2 2 4 abcosCabsinC = 4 π { }na 5 8 2a a+ = 6 7· 8a a = − 2 11a a+ =A. 5 B. -5 C. 7 D. -7 【答案】D 【解析】 【分析】 根据等比数列的性质，可以求出 的值，连同已知 ，可以求出 的值，进而求出首项和公比，分类求出 的值。 【详解】等比数列 有 ，而 ， 联立组成方程组， 或 ，设公比为 当 时，解得 ， 当 时，解得 ， ，故本题选 D。 【点睛】本题考查了等比数列的性质、通项公式。 9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S16＜0，S17＞0，则 Sn 的最小值为（　　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知结合等差数列的求和公式可得，a1+a16＝a8+a9＜0，a1+a17＝2a9＞0，从而可得 a8＜0，a9 ＞0，即可判断． 【详解】∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S16＜0，S17＞0， ， ∴a1+a16=a8+a9＜0， ，∴a1+a17=2a9＞0，∴a8＜0，a9＞0，∴a1＜0，d＞0，则当 n=8 时， 5 8a a⋅ 5 8 2a a+ = 5 8,a a 2 11a a+ { }na 5 8 6 7· · 8a a a a= = − 5 8 2a a+ = 5 8 5 5 8 8 8 4 2 2 a a a a a a = − = ⇒ + = = −  5 8 2 4 a a = −  = q 5 8 4 2 a a =  = − 1 4 3 4 1 2 a q q  =  = − 10 1 12 11 8 1 7;q aa qa a+ = + = − + = − 5 8 2 4 a a = −  = 1 4 3 2 2 a q q  = −  = − 12 10 11 1 1 8 7a q aa a q= + = − = −+ 16S 17S 8S 9S ( )1 16 16 16 02 a aS × +∴ = < ( )1 17 17 17 02 a aS × +∴ = >Sn 取最小值 S8． 故选：C． 【点睛】本题考查了等差数列前 n 项和与等差数列性质的简单应用，属于基础题． 10.设变量 x、y 满足 ，则 2x+3y 的最大值为（　　 ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 先画出满足约束条件的平面区域，结合目标函数 z＝2x+3y 的几何意义取最大值时对应的最优 解点的坐标，代入目标函数即可求出答案． 【详解】变量 x、y 满足 的平面区域如图所示： 令 z=2x+3y 可得 y=- x+ ，则 为直线 2x+3y-z=0 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大， 作直线 l：2x+3y=0，把直线向上平移可得过点 A 时 2x+3y 最大，由 可得 x=1，y=3， 此时 z=11． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标 函数的最优解点的坐标是解答本题的关键，属于基础题． 2 0 4 0 3 x y x y y − ≤  ≤ + ≤  ≤ ≤ 2 0 4 0 3 x y x y y − ≤  ≤ + ≤  ≤ ≤ 2 3 3 z 3 z 3 4 y x y =  + =11.在 ABC 中，若 ，则△ABC 是（　　 ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 利用倍角公式降幂，再把 B 用 A 和 C 表示，然后利用两角和与差的余弦公式变形求解即可． 【 详 解 】 由 ， 得 sinAsinC= ， 则 2sinAsinC=1+cosB=1-cos （A+C）=1-cosAcosC+sinAsinC， ∴cosAcosC+sinAsinC=1，即 cos（A-C）=1．∵-π＜A-C＜π，∴A-C=0，得 A=C．∴ ABC 是 等腰三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的形状判断，考查三角函数的恒等变换应用，属于基础题． 12.已知 x＞0，y＞0 且 x+y=1，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用“1”的代换的思想，由已知可得 =（ ）（x+y）=5+ ，再利用基本不 等式可求最值． 【详解】∵x＞0，y＞0 且 x+y=1，∴ =（ ）（x+y）=5+ =5 ， 当且仅当 且 x+y=1，当且仅当 x=3 ，y= 时取等号， ∆ 2 2 BsinAsinC cos= 2 2 BsinAsinC cos= 1 2 cosB+ ∆ 2 3 x y + 3 2+ 10 5 2 6+ 2 6 2 3 x y + 2 3 x y + 2 3y x x y + 2 3 x y + 2 3 x y + 2 3 2 35 2y x y x x y x y + ≥ + ⋅ 2 6+ 2 3y x x y = 6− 6 2−≥ = ，即最小值是 ． 故选：A． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，基本不等式的性质，考查转化思想，“1”代换的应用， 考查计算能力，属于基础题． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13.在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a5•a6=27，则 log3a1+log3a2+…+log3a10=______． 【答案】15 【解析】 【分析】 由等比数列及对数的运算性质可知：log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a1•a2•…•a10）＝log3 （3）15＝15． 【详解】由等比数列{an}的性质可得：a1•a10=a2•a9=…=a5•a6， 由对数的运算性质可知：log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1•a2•…•a10）=log3（27）5=log3 （3）15=15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查对数的运算性质，等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题． 14.对于 x∈R，式子 恒有意义，则常数 m 的取值范围是______ 【答案】[0，4） 【解析】 分析】 由题意， 恒成立，分 m=0 及 m≠0 两种情况讨论即可． 【详解】对于 x∈R，式子 恒有意义，所以被开方数需要恒大于 0，即 mx2-mx+1 ＞0 恒成立， 当 m=0 时， ，显然恒成立， 当 m≠0 时，要使 mx2-mx+1＞0 恒成立，则 ，解得 0＜m＜4， 【 ∴ 2 3 x y + 5 2 6+ 3 2+ 3 2+ 2 1 1mx mx− + 2 1 0mx mx− + > 2 1 1mx mx− + 2 1 1 0mx mx− + = > 2 0 4 0 m m m >  − max( ) 1 2 6f x = − 6 2x = ( ) 31 2f x x x  = − +   6 2x = 1 2 6− ( ) 31 2f x x x  = − +   0x > 32 2 6x x + ≥ 32 2 6x x  − + ≤ −   ( ) 1 2 6f x ≤ − 32x x = 2 3 2x = 0x > 6 2x = ( )max 1 2 6f x = − 6 2x = ABC△ BC a= AC b= a b 2 2 3 2 0x x− + = 2cos( ) 1A B+ = C（2）求 的长． 【答案】 , 【解析】 试题分析：解：（1） ，所以 （2）由题意得 ∴ = ∴ 考点：本题考查余弦定理，三角函数 诱导公式的应用 点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题 19.在公差不为零的等差数列{an}中，a4=10，且 a3、a6、a10 成等比数列． （1）求{an}的通项公式； （2）设 bn= ，求数列{bn}的前 n 项和 . 【答案】（1）an= n+6； （2） . 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列以及等比数列关系，求出公差，然后求解数列的通项公式即可； （2）化简数列{bn}的通项公式，判断数列是等比数列，然后求数列的和． 【详解】（1）设数列{an}的公差为 d，且 a4=10，则 a3=a4-d=10-d，a6=a4+2d=10+2d， a10=a4+6d=10+6d， 由 a3，a6，a10 成等比数列，得 ，即（10-d）（10+6d）=（10+2d）2， 整理得 10d2-10d=0，解得 d=1 或 d=0（舍），∵a4=10，d=1，∴a1=7， 所以，an=a1+（n-1）d=n+6． （2）由（1）得 ，当 n=1 时，b1=2；当 n≥2 时， ． 的 AB 120oC = 10c = ( ) ( ) 1cos cos cos 2C A B A Bπ = − + = − + = −  120C =  2 3{ 2 a b ab + = = 2 2 2 2 22 cos 2 cos120AB AC BC AC BC C a b ab= + − ⋅ ⋅ = + −  ( ) ( )222 2 2 3 2 10a b ab a b ab+ + = + − = − = 10AB = 62 na − nS 12 2n nS += − 2 3 10 6a a a= 62 2na n nb −= = 1 1 2 22 n n n n b b − − = =故数列{bn}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以， ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的应用，等比数列的求和，考查计算能力， 属于基础题． 20.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且 （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）求 的最大值. 【答案】(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A 的大小； (Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得 的最大值. 【详解】(Ⅰ) ， ,即 . ， . (Ⅱ) ， ，∴当 即 时， 取得最大值 1. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题 中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、 余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 21.设函数 f（x）＝|x﹣a|+3x，其中 a＞0． （1）当 a＝1 时，求不等式 f（x）＞3x+2 的解集； （2）若不等式 f（x）≤0 的解集为{x|x≤﹣1}，求 a 的值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 ( ) 12 1 2 2 21 2 n n nS + − = = −− 2 sin (2 )sin (2 )sin .a A b c B c b C= + + + sin sinB C+ sin sinB C+ ( ) ( )2 sin 2 sin 2 sina A b c B c b C= + + + ( ) ( )22 2 2a b c b c b c∴ = + + + 2 2 2a b c bc= + + 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + − = −∴ = 120A∴ = ° sin sin sin sin(60 )B C B B+ = + °− ( )3 1cos sin sin 602 2B B B= + = °+ 0 60B° < < ° 60 90B°+ = ° 30B = ° sin sinB C+ { | 1 3}x x x< − >或 2a =【分析】 （1）将 f（x）＞3x+2 化简，解绝对值不等式； （2）解不等式 f（x）≤0 用 a 表示，同一个不等式的解集相等，得到 a． 【详解】（1）当 a＝1 时，f（x）＝|x﹣1|+3x＞3x+2，可化为|x﹣1|＞2．由此可得 x＞3 或 x＜﹣1． 故不等式 f（x）＞3x+2 的解集为{x|x＞3 或 x＜﹣1}． （2） 由 f（x）≤0 得：|x﹣a|+3x≤0 此不等式化为不等式组： 或 ．即 a≤x≤ ，或 x≤﹣ ， 因为 a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣ }，由题意可得﹣ ＝﹣1，故 a＝2 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法以及参数的求解，属于基础题． 22. 设数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ． 【答案】（1） （2）略 【解析】 【详解】试题分析：（1）当 时， ． 当 时， ． ∵ 不适合上式, 3 0 x a x a x   − + ≤  3 0 x a a x x ∈Ν 1nT < 2n ≥ 1 1 1 2 1 2 1 2 3(1 ) (1 ) 02 2 2n n n n n n n nT T+ + + + − −− = − − − = > 1( 2)n nT T n+< ≥ 1 2 1 3 1, 12 4 4T T= = − = 2 1T T< 2nT T≥ *1 ( )4nT n≥ ∈N *1 1( )4 nT n≤ < ∈N点评：中档题，本题综合考查等差数列、等比数列的基础知识，本解答从确定通项公式入手， 明确了所研究数列的特征。“分组求和法”、“错位相消法”、“裂项相消法”是高考常常考 到数列求和方法。先求和，再利用“放缩法”证明不等式，是常用方法。