2019～2020 学年山西省高二上学期期中联合考试
数学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先 由 二 次 不 等 式 的 解 法 求 再 利 用 集 合 交 集 的 运 算 可 得
，得解.
【详解】解:因
所以 ,
故选:C.
【点睛】本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，属基础题.
2.在空间直角坐标系 中，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用两点间距离公式计算得到答案.
【详解】 ， ，则 .
故选：
【点睛】本题考查了空间坐标系中两点间的距离，意在考查学生的计算能力.
为
{ } ( )( )| {2 , | }5 2 0A x x B x x x= > − = + − ≤ A B =
( )2,− +∞ [ ]2 2− , ( 2,2]− [ 5, )− +∞
B 5 2 ,| }{x x= − ≤ ≤
{ 2 }2|A B x x= − < ≤
{ }2 ,|A x x= > − ( )( )5 2{ | }0B x x x= + − ≤ ( )( )5 2 0{ | }x x x − ≤= +
5 2 ,| }{x x= − ≤ ≤
{ 2 }2|A B x x= − < ≤
O xyz− ( )0,1,6A ( )1,2,8B − | |AB =
6 2 2 10
( )0,1,6A ( )1,2,8B − 2 2 2| | 1 1 2 6AB = + + =
A3.某中学初一、初二、初三的学生人数分别为 500,600,700,现用分层抽样的方法从这三个年
级中选取 18 人参加学校的演讲比赛,则应选取的初二年级学生人数为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用分层抽样中，每个层次被抽取的概率相等求解即可.
【详解】因为分层抽样中，每个层次在总体中所占的比例与在样本中所占的比例相等，
所以，应选取的初二年级学生人数为 ×18=6，故选 B.
【点睛】分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，
抽取的比例相同.
4.若直线 与 平行，则 的值为（ ）
A. 2 B. 1 或 3 C. 3 D. 2 或 3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线平行得到 ，排除重合情况，计算得到答案.
【详解】因为直线 与 平行
所以 ，解得 或
当 时，这两条直线重合，排除，故 .
故选：
【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，忽略掉重合的情况是容易犯的错误.
5.已知 是三个不同的平面， 是两条不同的直线，下列判断正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ， ，则
600
500 600 700+ +
2 2 0ax y a− + + = 3 ( 5) 5 0x a y+ − + = a
( 5) 2 3a a − = − ×
2 2 0ax y a− + + = 3 ( 5) 5 0x a y+ − + =
( 5) 2 3a a − = − × 2a = 3a =
3a = 2a =
A
, ,α β γ ,m n
α γ⊥ β γ⊥ α β∥
m γ⊥ n γ⊥ m n
α β⊥ m α⊂ n β⊂ m n⊥D. 若 ， ， ，则
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线和平面的位置关系，依次判断每个选项的正误得到答案.
【详解】A. 若 ， ，则 或 相交，错误；
B. 若 ， ，则 ，同时垂直于一个平面的两条直线互相平行，正确；
C. 若 ， ， ，则 或 或异面，错误；
D. 若 ， ， ，则 或异面，错误
故选：
【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.
6.已知两个单位向量 的夹角为 60°,向量 ，则 =
A. B. C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的模计算公式 ，即可求出。
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，故选 A。
【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义应用以及向量的模的计算公式应用。
7.点 到直线 的距离的最小值为（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
α β∥ m α⊂ n β⊂ m n
α γ⊥ β γ⊥ α β∥ ,α β
m γ⊥ n γ⊥ m n
α β⊥ m α⊂ n β⊂ m n⊥ m n
α β∥ m α⊂ n β⊂ m n
B
1 2,e e
1 25 2m e e= − | |m
19 21 2 5
2
a a=
1 2 1e e= =
1 2
11 1 cos60 2e e⋅ = × × =
( )22
1 25 2 1| | 25 2 5 2 4 192e em m= = = − × × × + =−
(sin , 3 cos )P θ θ 8 0x y+ + =
2 3 3 2 5 2利用点到直线的距离公式得到 ，根据三角函数的有界性得到答案.
【详解】点 到直线 的距离为：
.
故选：
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式和三角函数的有界性，意在考查学生的计算能力.
8.已知 ， ， ，则 的 边上的高线所在的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算 ，得到高线的斜率，又高线过点 ，计算得到答案.
【详解】 ，高线过点
∴ 边上的高线所在的直线方程为 ，即 .
故选：
【点睛】本题考查了高线的计算，利用斜率相乘为 是解题的关键.
9.光线自点 射入，经倾斜角为 的直线 反射后经过点 ，则反射光
线还经过下列哪个点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算 ，计算点 关于直线 的对称点为 ，计算得
2sin 83
2
d
πθ + + =
(sin , 3 cos )P θ θ 8 0x y+ + =
2sin 8| sin 3 cos 8| 63 3 2
2 2 2
d
πθθ θ
+ + + + = = ≥ =
C
( )1,0A ( )0,2B ( )2,6C ABC△ BC
2 1 0x y+ − = 2 1 0x y+ + = 6 1 0x y− − = 1 0x − =
2BCk = ( )1,0A
6 2 22 0BCk
−= =− ( )1,0A
BC ( )1 12y x= − − 2 1 0x y+ − =
A
1−
( )2,4 135° : 1l y kx= + ( )5,0
( )14,2 ( )14,1 ( )13,2 ( )13,1
tan135 1k °= = − ( )2,4 : 1l y x= − + ( )3, 1− −到直线方程 ，代入数据计算得到答案.
【详解】 ，设点 关于直线 的对称点为
则 ，解得
所以反射光线所在直线方程为
当 时， ；当 时， .故过点
故选：D.
【点睛】本题考查了直线的对称问题，计算点 关于直线 的对称点是解题的
关键.
10.已知 分别为圆 与圆 上的动点，
为 轴上的动点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算圆 关于 轴对称的圆为 ， 的最小值为
，计算得到答案.
【详解】圆 关于 轴对称 圆为圆
则 的最小值为 .
故选：
【点睛】本题考查了距离的最值问题，转化为圆心距的关系是解题的关键，意在考查学生的
计算能力和转化能力.
11.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图 1 所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱
的
1 ( 5)8y x= −
tan135 1k °= = − ( )2,4 : 1l y x= − + ( ),m n
4 12
4 2 12 2
n
m
n m
− = − + + = − +
3
1
m
n
= −
= −
0 ( 1) 1( 5) ( 5)5 ( 3) 8y x x
− −= ⋅ − = −− −
13x = 1y = 14x = 9
8y = ( )13,1
( )2,4 : 1l y x= − +
,P Q 2 26) 3) 4:( (M x y− + − = 2 24) 2) 1:( (N x y+ + − =
A x | | | |AP AQ+
101 3− 5 5 3− 7 5 3− 5 3 3−
N x ' 2 2:( 4) ( 2) 1N x y+ + + = | | | |AP AQ+
1 2MN ′ − −
2 24) 2) 1:( (N x y+ + − = x 2 2:( 4) ( 2) 1N x y′ + + + =
| | | |AP AQ+ 2 210 5 1 2 5 5 3MN r R′ − − = + − − = −
B的组合体（如图 2）.当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为 平方厘米，半
球的半径为 厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的 2 倍，则 的取值范围
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设圆柱的高度与半球的半径分别为 ，计算容积得到 ，根据高的
关系得到 ，计算得到答案.
【 详 解 】 设 圆 柱 的 高 度 与 半 球 的 半 径 分 别 为 ， 则 ， 则
，
所以酒杯的容积 ，
又 ，所以 ，所以 ，解得 .
故选：
【点睛】本题考查了几何体的体积运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
12.若直线 与函数 的图象恰有 3 个不同的交点，则
的取值范围为（ ）
S
R R
35(0 ]10π， 3[ , )10
S
π +∞ 3( , ]5 10
S S
π π
3[ )10 2
S S
π π，
,h R 3 34
3 2 3
SV R R R
π π= − +
2 25
2 3
SR Rπ π<
,h R 22 2S R Rhπ π= +
2
2
SRh Rπ π= −
3 2 3 2 3 32 2 4
3 3 2 3 2 3
S SV R R h R R R R R R
ππ π π π π = + = + − = − +
0h > 2 02
S Rπ− > 2 25
2 3
SR Rπ π<
3
10 2
S SRπ π 2 2 1m = −故答案为：
【点睛】本题考查了圆和圆的位置关系，根据位置关系得到圆心距和半径之间的关系是解题
的关键.
16.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ， 为 的中点， 为线段 上的动点，则
的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据长度关系得到 ， ，将 翻折至与平面 共面，如
图所示，得到当 为 与 的交点时， 取得最小值，利用余弦定理计算得到答
案.
【详解】 平面 ， ， 平面
易知： ， ，
在 中， .
利用余弦定理得到： ，所以 .
将 翻折至与平面 共面，如图所示：
则图中 ，
当 为 与 的交点时， 取得最小值.
2 2 1−
P ABCD− PD ⊥ ABCD AB AD⊥ AB CD∥
2AD CD PD= = = 1AB = E PC F PB ( )2AF EF+
14 4 2
3
+
2 2cos 3APB∠ =
4BPC
π∠ = PBC PAB
F AE PB AF EF+
PD ⊥ ABCD PD AB∴ ⊥ AB AD⊥ AB ⊥ PAD AB AP∴ ⊥
2 2, 3PA PB= = 2 2=PC 5BC =
Rt PAB
2 2cos 3
APAPB PB
∠ = =
9 8 5 2cos 22 3 2 2
BPC
+ −∠ = =
× × 4BPC
π∠ =
PBC PAB
2 2 2 1 4 2cos cos 4 2 3 3 6APC APB
π − ∠ = ∠ + = − =
F AE PB AF EF+此时， .
故答案为：
【点睛】本题考查了立体几何中的最值问题，将立体问题转化为平面问题是解题的关键，意
在考查学生的空间想象能力和计算能力.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
17.已知直线 经过点 .
（1）若 与直线 平行，求 的方程（结果用一般式表示）；
（2）若 在 轴上的截距与在 轴上的截距相等，求 的方程（结果用一般式表示）.
【答案】（1） （2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）根据平行得到 的斜率为 2，得到点斜式为 ，化简得到答案.
（2）根据直线是否过原点两种情况分别计算得到答案.
【详解】（1）因为 与直线 平行，所以 的斜率为 2，
由点斜式可得， 的方程为 ，即 .
（2）当直线 过原点时， 的斜率为 ，所以 的方程为 .
当直线 不过原点时，设直线 的方程为 ，代入 ，得 ，
所以 的方程为 .
综上所述： 的方程为 或 .
2 2 2 2 4 2 14 4 2( ) (2 2) ( 2) 2 2 2 2 6 3AF EF AE
− ++ = = + − × × × =
14 4 2
3
+
l ( )3, 2−
l 2y x= l
l x y l
2 8 0x y− − = 2 3 0x y+ = 1 0x y+ − =
l ( )2 2 3y x+ = −
l 2y x= l
l ( )2 2 3y x+ = − 2 8 0x y− − =
l l 2
3
− l 2 3 0x y+ =
l l 1x y
a a
+ = ( )3, 2− 1a =
l 1 0x y+ − =
l 2 3 0x y+ = 1 0x y+ − =【点睛】本题考查了直线方程，讨论直线是否过原点是解题的关键，意在考查学生的计算能
力.
18.已知四棱锥 的直观图如图所示，其中 ， ， 两两垂直，
，且底面 为平行四边形.
（1）证明： .
（2）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是该四棱锥的正视图与俯视图，请在
网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）作图见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据 ， 得到 平面 ，得到证明.
（2）直接画出侧视图，利用体积公式直接计算得到答案.
【详解】（1）因为 两两垂直，所以 ， .
因为 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
（2）该四棱锥的侧视图如图所示：
依题意可得四边形 为正方形，四棱锥 的体积为 .
【点睛】本题考查了三视图的应用，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
P ABCD− AB AP AD
2AB AD AP= = = ABCD
PA BD⊥
P ABCD−
8
3
PA AB⊥ PA AD⊥ PA ⊥ ABCD
, ,AB AP AD PA AB⊥ PA AD⊥
AB AD A∩ = PA ⊥ ABCD
BD ⊂ ABC PA BD⊥
ABCD P ABCD− 21 82 23 3
× × =19. 分别为 内角 的对边.已知 .
(1)若 的面积为 ,求 ;
(2)若 ,求 的周长.
【答案】(1) .
(2)
【解析】
【分析】
(1)由已知 ，结合正弦定理可得 ，再结合三角形的面积公式
，将已知条件代入运算即可；
(2)由 ，结合余弦定理得 ,
得解.
【详解】解:(1)由 ,得 .
因为 的面积为 ,
所以 .
(2)因为 ,可得
由余弦定理得 ,
所以 ，
故 的周长为 .
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属基础题.
20.如图，在直四棱柱 中，底面 为正方形， 为 的中点，且
.
, ,a b c ABC∆ , ,A B C , 4 3 6A sin C sin B
π= =
ABC∆ 4 3 b
2 2 47c b− = ABC∆
2b =
1 4 3 37+ +
4 3 sin C sin B= 4 3c b=
1
2S bcsinA=
2 2 47c b− = 2 2 2 32 1 48 2 4 3 372a b c bccos A= + − = + − × × =
4 3 sinC sin B= 4 3c b=
ABC△ 21 1 3 4 32 4S bcsinA bc b= = = =
2b =
2 2 47, 4 3c b c b− = = 1, 4 3b c= =
2 2 2 32 1 48 2 4 3 372a b c bccos A= + − = + − × × =
37a =
ABC△ 1 4 3 37+ +
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD O 1 1AC
2AB =（1）证明： 平面 .
（2）若异面直线 与 所成角的正弦值为 ，求三棱柱 的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）连接 ，连接 交 于 ，连接 ，证明四边形 为平行四边形，得到
证明.
（2）线 与 所成角即直线 与 所成角， ,证明 ，
再计算得到 ，利用体积公式计算得到答案.
详解】（1）连接 ，连接 交 于 ，连接 .
易证 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）由（1）知， ，
所以异面直线 与 所成角即直线 与 所成角，所以 .
因为底面 为正方形，所以 ，又侧棱垂直底面，所以 .
因为 ，所以 平面 ，所以 .
【
OD 1AB C
OD 1AB 22
11 1 1 1ABC A B C−
2 7
1OB BD AC G 1B G 1OB GD
OD 1AB 1B G 1AB 1
22sin 11AB G∠ = 1AC B G⊥
1 7BB =
1OB BD AC G 1B G
1OB DG 1OB DG= 1OB GD 1OD B G
1B G ⊂ 1AB C OD ⊄ 1AB C OD 1AB C
1OD B G
OD 1AB 1B G 1AB 1
22sin 11AB G∠ =
ABCD AC BD⊥ 1BB AC⊥
1BB BD B∩ = AC ⊥ 1 1BB D D 1AC B G⊥因为 ， ，所以 ，所以 .
故三棱柱 的体积 .
【点睛】本题考查了线面平行，体积的计算，计算出 的长度是解题的关键，意在考查学
生的计算能力和空间想象能力.
21.在数列 ， 中， ， ， .
等差数列 的前两项依次为 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据递推公式计算 ， ，利用等差数列公式计算得到答案.
（2）将题目中两式相加得到 ，故 是首项为 2，公比为 2 的等
比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案.
【详解】（1）∵ ，∴ ， ，则 的公差为
故 的通项公式为 .
（2） ，①
，②
2AG = 1
22sin 11AB G∠ = 1 11AB = 1 11 4 7BB = − =
1 1 1ABC A B C− 21 2 7 2 72V = × × =
1BB
{ }na { }nb 1 1 1a b= = 1 3 3 1n n na a b n+ = − − − 1 3 3 1n n nb b a n+ = − + +
{ }nc 2a 2b
{ }nc
( ){ }n n na b c+ n nS
8 10nc n= − 2(4 9)2 36n
nS n += − +
2 2a = − 2 6b =
( )1 1 2n n n na b a b+ ++ = + { }n na b+
1 1 1a b= = 2 2a = − 2 6b = { }nc ( )6 2 8d = − − =
{ }nc 2 8( 1) 8 10nc n n= − + − = −
1 3 3 1n n na a b n+ = − − −
1 3 3 1n n nb b a n+ = − + +① ②得 .
又 ，从而 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
故 .
，
，
，
即 ，
即 .
【点睛】本题考查了通项公式，错位相减法，变换得到 是解题的关键.
22.已知直线 与圆 交于 两点.
（1）求 的斜率的取值范围；
（2）若 为坐标原点，直线 与 的斜率分别为 ， ，试问 是否为定值？若
是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1） （2）是定值 ，详见解析
【解析】
【分析】
（1）变换得到 ，得到直线过点 ，设 ，
利用直线和圆的位置关系得到 ，计算得到答案.
（2）联立 ，根据韦达定理得到 ，计算 ，化简计
算得到答案.
【详解】（1）由 ，可得 .
+ ( )1 1 2n n n na b a b+ ++ = +
1 1 2a b+ = { }n na b+
2n
n na b+ = ( ) ( )8 10 2n
n n na b c n=+ −
22 2 6 2 (8 10)2n
nS n= − × + × + + −
2 3 12 2 2 6 2 (8 10)2n
nS n += − × + × + + −
( )2 3 12 4 8 2 2 2 (8 10)2n n
n nS S n +− = − + + + + − −
( )1 1 14 8 2 4 (8 10)2 (18 8 )2 36n n n
nS n n+ + +− = − + − − − = − −
2(4 9)2 36n
nS n += − +
( )1 1 2n n n na b a b+ ++ = +
:( 2) (1 2 ) 4 2 0l m x m y m+ + − + − = 2 2: 2 0C x x y− + = ,M N
l
O OM ON 1k 2k 1 2k k+
3, 4
−∞ − 1
(2 2) ( 2 4) 0x y m x y+ − + − + = ( )0,2 2 0kx y− + =
2
| 2 | 1
1
k
k
+ <
+
2 2
2
2 0
y kx
x x y
= +
− + =
1 2 2
1 2 2
4 2
1
4
1
kx x k
x x k
− + = − +
⋅ = +
1 2k k+
( 2) (1 2 ) 4 2 0m x m y m+ + − + − = (2 2) ( 2 4) 0x y m x y+ − + − + =由 ，解得 ，所以 恒过定点 .
故可设 的方程为 ，即 .
由已知可得圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 ，
则由直线与圆 相交，可得 .
解得 ，所以 的斜率的取值范围为 .
（2） 是定值
联立 ，消去 ，整理得
设 ， ，由韦达定理得 ，
则
为定值.
【点睛】本题考查了斜率范围和定值问题，利用韦达定理求解是常用方法，需要熟练掌握，
意在考查学生的计算能力.
.
2 2 0
2 4 0
x y
x y
+ − =
− + =
0
2
x
y
=
− l ( )0,2
l ( )2 0y k x− = − 2 0kx y− + =
C ( )2 21 1x y− + = ( )1,0C 1r =
C 2
| 2 | 1
1
k
k
+ <
+
3
4k < − l 3, 4
−∞ −
1 2k k+
2 2
2
2 0
y kx
x x y
= +
− + =
y ( )2 21 (4 2) 4 0k x k x+ + − + =
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
1 2 2
1 2 2
4 2
1
4
1
kx x k
x x k
− + = − +
⋅ = +
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 22y y kx kxk k kx x x x x x
+ ++ = + = + = + +
( ) 21 2
1 2
2
8 4
2 12 2 2 2 1 14
1
k
x x kk k k kx x
k
−−+ += + = + = − + =
+
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