上师大附中 2019 学年第一学期期中考试
高二年级数学学科
一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，1-6 题每个空格填对得 4 分，7-12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得 0 分．
1.已知直线 ， ，则 与 的夹角为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据两直线的方程求出他们的斜率及倾斜角，在坐标系中画出图形，结合图形求出直线 与
的夹角 的大小．
【详解】解： 直线 ， ，
直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，
的斜率不存在，
如图所示：
故直线 与 的夹角为 ，
故答案为 ．
1 : 1 0l x y+ + = 2 : 2l x = 1l 2l
45°
1l
2l θ
1 : 1 0l x y+ + = 2 : 2l x =
∴ 1l 1− 135α = °
2l
1l 2l
4
πθ =
4
π【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，两直线的夹角的定义，体现了数形结合的数
学思想．
2.向量 ，则 在 方向上的投影为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平面向量的数量积运算与向量投影的定义，写出对应的运算即可．
【详解】解： ，
，
；
向量 在向量 方向上的投影为：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算与向量投影的定义与应用问题，是基础题．
3.已知向量 ，若 ，则 _________ .
【答案】
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ， ，即
，解得 ．
考点：向量垂直的性质，考查学生的基本运算能力．
4.若圆 的圆心到直线 的距离为 ，则 a 的值为
_________．
【答案】5 或 1
【解析】
【分析】
(1, 2), ( 3,4)a b= − = − a b
11
5-
(1, 2), ( 3,4)a b= − = −
∴ ( ) ( )1 3 2 4 11a b⋅ = × − + − × = −
2 2( 3) 54b = + − =
∴ a b
11cos , 5
a ba a b
b
⋅ −= =
11
5-
( ) ( )1,1 , 2,2m nλ λ= + = + ( ) ( )m n m n+ ⊥ − =λ
3−
( ) ( )m n m n+ ⊥ − ( ) ( ) 2 2 0m n m n m n+ ⋅ − = − = 2 2m n=
2 2 2( 1) 1 ( 2) 2λ λ+ + = + + 3λ = −
2 2( 1) ( 4) 5x y− + − = 0x y a− + = 2直接利用点到直线的距离公式求出结果．
【详解】解：圆 圆心坐标为： ，
则：圆心 到直线 的距离 ，
解得： 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题考查的知识要点：点到直线的距离公式的应用．
5.过点 与点 且半径最小 圆的标准方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
过两点的半径最小的圆即是以这两点为直径的圆。
【详解】解：由题意知，过点 与点 且半径最小的圆是以 为直径圆，则
的中点 为圆心，
故圆的方程为： ，
故答案为：
【点睛】本题考查圆的标准方程，属于基础题。
6.已知入射光线经过点 ，被 x 轴反射，反射光线经过点 ，则反射光线所在
直线的方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出 关于 x 轴对称的点 的坐标，反射光线必过 点，又反射光线经过点
，即可求出直线方程。
【详解】解：由题意， 关于 x 轴对称的点为 ，反射光线必过
的
的
2 2( 1) ( 4) 5x y− + − = ( )1,4
( )1,4 0x y a− + = |1 4 | 2
2
ad
− += =
1a = 5
1 5
( )13A ， ( )2 5B − ，
2 21 13( ) ( 4)2 4x y+ + − =
( )13A ， ( )2 5B − ， AB AB
1 ,42
− ( ) ( )2 21 1 132 1 5 32 2 2r AB= = − − + − =
2 21 13( ) ( 4)2 4x y+ + − =
2 21 13( ) ( 4)2 4x y+ + − =
( )3 4M − ， ( )2,6N
2 2 0x y− + =
( )3 4M − ， M ′ M ′
( )2,6N
( )3 4M − ， ( )3, 4M ′ − − ( )3, 4M ′ − −点 ， 又 反 射 光 线 经 过 点 ， 故 直 线 的 斜 率 ， 故 直 线 方 程 为
，化成一般式得 ，
故答案为：
【点睛】本题考查点关于直线对称的坐标，求直线的一般式方程，属于基础题。
7.已知 , ，且 ，则点 的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设 ，则 ， ， ，由 ， ，
利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【详解】解：设 ，则 ， ， ，
， ， ， ，
解得 ， ．
则点 的坐标： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
8.已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 M 与圆
的位置关系是_________．
【答案】相交
【解析】
【分析】
根据直线与圆相交的弦长公式，求出 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．
【详解】解：圆的标准方程为 ，
则圆心为 ，半径 ，
( )2,6N 4 6 23 2k
− −= =− −
( )6 2 2y x− = − 2 2 0x y− + =
2 2 0x y− + =
( 3,1)OA = − (0,5)OB = / / ,AC OB BC AB⊥ C
29( 3, )4
−
( , )C x y ( 3, 1)AC x y= + − ( , 5)BC x y= − (3,4)AB = / /AC OB BC AB⊥
( , )C x y ( 3, 1)AC x y= + − ( , 5)BC x y= − (3,4)AB =
/ /AC OB BC AB⊥ 5( 3) 0x∴ + = 3 4( 5) 0BC AB x y= + − =
3x = − 29
4y =
C 29( 3, )4
−
29( 3, )4
−
2 2: 2 0( 0)M x y ay a+ − = > 0x y+ = 2 2
2 2:( 1) ( 1) 1N x y− + − =
a
2 2 2: ( ) ( 0)M x y a a a+ − = >
(0, )a R a=圆心到直线 的距离 ，
圆 截直线 所得线段的长度是 ，
即 ， ，
则圆心为 ，半径 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
则 ，
， ，
，
即两个圆相交．
故答案为：相交．
【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式
求出 的值是解决本题的关键．
9.已知两点 ， ，过点 的直线 与线段 AB 有公共点，则 的倾斜角的
取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
画出图形，求出直线 的斜率，直线 的斜率，从而得到直线 的倾斜角和直线 的
倾斜角，即得直线 的倾斜角 的取值范围．
【详解】解：如图，要使 与线段 有公共点，则直线 的倾斜角介于直线 的倾斜角
和直线 的倾斜角之间，直线 的斜率为 ，
直线 的倾斜角是 ，
又直线 的斜率为 ，故直线 的倾斜角是 ，
0x y+ =
2
ad =
2 2: 2 0( 0)M x y ay a+ − = > 0x y+ = 2 2
2
22 2 22
aa∴ − =
2 4a = 2a =
(0,2)M 2R =
2 2:( 1) ( 1) 1N x y− + − = (1,1)N 1r =
2MN =
3R r+ = 1R r− =
R r MN R r∴ − < < +
a
( 3,4)A − (3 2)B ， (2 1)P −， l l
3arctan3, 4
π
PA PB PA PB
l α
l AB l PB
PA PA 1 4 12 3
− − = −+
∴ PA 3
4
π
PB 1 2 32 3
− − =− PB arctan3故 ，
故答案为：
【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，体现了数形结合的
数学思想．
10.已知实数 a，b，c 成等差数列，点 在直线 （a，b 不全为 0）上的射
影是 M，若点 的坐标是 ，则线段 MN 的长度的最大值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
实数 ， ， 成等差数列，可得 ，于是动直线 ， 不同时为零）
化为： ，即 ，利用直线系可得：动直线 过定点：
．因此点 在以 为直径的圆上，利用中点坐标公式可得：圆心为线段 的中
点： ，半径 ．则线段 长度的最大值 ．
【详解】解： 实数 ， ， 成等差数列，
，
动直线 ， 不全为零）化为： ，变形为
，
令 ，解得 ．
动直线 过定点： ．
点 在以 为直径的圆上，
圆心为线段 的中点： ，半径 ．
3arctan3 4
πα
3arctan3, 4
π
( 3,0)P − 0ax by c+ + =
N (2 )3，
5 5+
a b c 2b a c= + : 0(l ax by c a+ + = b
02
a cax y c
++ + = (2 ) ( 2) 0a x y c y+ + + = l
(1, 2)Q − M PQ PQ
( 1, 1)C − − r MN | |CN r= +
a b c
2b a c∴ = +
∴ : 0(l ax by c a+ + = b 02
a cax y c
++ + =
(2 ) ( 2) 0a x y c y+ + + =
2 0
2 0
x y
y
+ =
+ =
1
2
x
y
=
= −
∴ l (1, 2)Q −
∴ M PQ
PQ ( 1, 1)C − − 22 1 5r = + =线段 长度的最大值 ．
故答案 ： ．
【点睛】本题综合考查了直线系、等差数列的性质、圆的性质、点与圆的位置关系、两点之
间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
11.在平行四边形 ABCD 中， ，边 AB，AD 的长分别为 2 和 1，若 M，N 分别是边 BC，CD
上的点,且满足 ，则 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出 ， 的坐标，然后通过二次函数求出数
量积的范围．
【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则 ， ，
，设 ， ，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 ，二次函数的对称轴为： ，所以 时， ．
故答案为：
【点睛】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最
值问题，考查计算能力，属于中档题．
12.已知 是平面内三个单位向量，若 ，则 的最小值是_________．
为
∴ MN 2 2| | 3 4 5 5 5CN r= + = + + = +
5 5+
3A
π∠ =
| | | CN |
| | | CD |
BM
BC
=
AM AN⋅
[2 ]5,
M N
(2,0)B (0,0)A
1 3,2 2D
| | | |
| | | |
BM CN
BC CD
λ= =
[ ]0,1λ ∈ (2 2M
λ+ 3 )2
λ 5( 22N λ− 3)2
(2 2AM AN
λ= +
3 5) ( 22 2
λ λ−
2 23 5 3) 5 4 2 52 4 4
λ λ λ λ λ λ= − + − + = − − +
[ ]0,1λ ∈ 1λ = − [ ]0,1λ ∈ [ ]2 2 5 2,5λ λ− − + ∈
[2 ]5,
, ,a b c a b⊥ 2 3 2a c a b c+ + + − 【答案】
【解析】
【分析】
所以可以把他们当成平面直角坐标系的基向量， ，所以问题转化为求
的最小值，又 表示 点到点 和 的距离之
和，即可求解。
【详解】解：根据题意设 ， ， 对应的点 在单位圆上，
，所以 ，
表示 点到点 和 的距离之和，
过点 和 的直线为 ，
原点到直线 的距离为 ，所以与单位圆相交，
所以 的最小值为点 和 之间的距离，即 ．
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、解析几何中直线与圆的位置关系，综合性很强，属
于中档题．
二、选择题（本大题共有 4 小题，满分 20 分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选
项是正确的，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则
一律得 0 分．
13.在平面直角坐标系内，设 ， 为不同的两点，直线 l 的方程为
， ，下面四个命题中的假命题为（ ）
A. 存在唯一的实数 δ，使点 N 在直线 上
B. 若 ，则过 M，N 两点的直线与直线 l 平行
C. 若 ，则直线经过线段 M，N 的中点；
D. 若 ，则点 M，N 在直线 l 的同侧，且直线 l 与线段 M，N 的延长线相交；
29
2 2a c a c+ = +
2 3 2a c a b c+ + + − 2 3 2a c a b c+ + + − C ( 2,0)− (3,2)
( )1,0a = ( )0,1b = c C
2 22 2( 2 ) (2 ) 3 3 0a c a c c a+ − + = − =
2 2a c a c+ = +
2 3 2 2 3 2a c a b c a c a b c∴ + + + − = + + + −
2 3 2a c a b c+ + + − C ( 2,0)− (3,2)
( 2,0)− (3,2) 2 5 4 0x y− + =
2 5 4 0x y− + =
2 2
4 4 1
292 ( 5)
= <
+ −
2 3 2a c a b c+ + + − ( 2,0)− (3,2) 29
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
0ax by c+ + = 1 1
2 2
a by cx
ax by c
δ + += + +
l
1δ =
1δ = −
1δ >【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意对 一一分析，逐一验证。
【 详 解 】 解 ： 对 于 ， 化 为 ：
，即点 ， 不在直线 上，因此 不
正确．
对于 ， ，则 ，即过 ， 两点的直线与直线 的斜率相
等，又点 ， 不在直线 上，因此两条直线平行，故 正确；
对于 ， ，则 ，化为 ，因此
直线 经过线段 的中点，故 正确；
对于 ， ，则 ，则点 ， 在直线
的同侧，故 正确；
故选：A
【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推
理能力与计算能力，属于难题．
14.已知点 A,B,C 在圆 上运动，且 AB BC，若点 P 的坐标为（2，0），则
的最大值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
由题意，AC 为直径，所以 ,当且仅当点 B
为（-1，0）时， 取得最大值 7，故选 B.
考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质
【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.由平
面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取
δ
A 1 1
2 2
ax by c
ax by c
δ + += + +
1 1 2 2 2 2( ) 0( 0)ax by c ax by c ax by cδ+ + − + + = + + ≠ 2(N x 2 )y l A
B 1δ = 1 2 1 2( ) ( ) 0a x x b y y− + − = M N l
2(N x 2 )y l B
C 1δ = − 1 1 2 2( ) 0ax by c ax by c+ + + + + = 1 2 1 2 02 2
x x y ya b c
+ ++ + =
l MN C
D 1δ > 2
1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 0ax by c ax by c ax by cδ+ + × + + = + + > M N l
D
2 2 1x y+ = ⊥
PA PB PC+ +
2 4 4 3 7PA PB PC PO PB PB+ + = + ≤ + ≤ + =
PA PB PC+ + 到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.
15.如图，在平面四边形 ABCD 中，
若点 E 为边 CD 上的动点，则 的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：由题意可得 为等腰三角形， 为等边三角形，把数量积
分拆，设 ，数量积转化为关于 t 的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接 BD,取 AD 中点为 O,可知 为等腰三角形，而 ，所以
为等边三角形， 。设
=
所以当 时，上式取最小值 ，选 A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量
都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
16.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： 就是其中之一（如
图）.给出下列三个结论：
, , 120 , 1,AB BC AD CD BAD AB AD⊥ ⊥ ∠ = = =
AE BE⋅
21
16
3
2
25
16 3
ABD△ BCD AE BE⋅
(0 1)DE tDC t= ≤ ≤
ABD△ ,AB BC AD CD⊥ ⊥
BCD 3BD = (0 1)DE tDC t= ≤ ≤
AE BE⋅
2 23( ) ( ) ( ) 2AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE= + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + + = + ⋅ +
2 3 33 2 2t t− + (0 1)t≤ ≤
1
4t = 21
16
2 2 1 | |x y x y+ = +①曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3.
其中，所有正确结论的序号是
A. ① B. ② C. ①② D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】
将所给方程进行等价变形确定 x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的
点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.
【详解】由 得, , ,
所以 可为的整数有 0,-1,1,从而曲线 恰好经过
(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
由 得, ,解得 ,所以曲线 上任意一点到原
点的距离都不超过 . 结论②正确.
如图所示,易知 ,
四边形 的面积 ,很明显“心形”区域的面积大于 ,即
“心形”区域的面积大于 3,说法③错误.
2
2 2 1x y x y+ = + 2 21y x y x− = −
2 2 2
2| | 3 3 41 ,1 0,2 4 4 3
x x xy x − = − −
x 2 2: 1C x y x y+ = +
2 2 1x y x y+ = + 2 2
2 2 1 2
x yx y
++ +
2 2 2x y+ ≤ C
2
( ) ( ) ( ) ( )0, 1 , 1,0 , 1,1, , 0,1A B C D−
ABCD 1 31 1 1 12 2ABCDS = × × + × = 2 ABCDS故选 C.
【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知
识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.
三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应端号的规
定区城内写出必要的步骤．
17.设直线 l 的方程为
（1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程．
（2）若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1） 或 （2）
【解析】
【分析】
（1）对 分类讨论，利用截距式即可得出；
（2） ，由于 不经过第二象限，可得 ，解出即可得出．
【详解】解：（1）若 ，解得 ，化为 ．
若 ，解得 ，化为 ，舍去．
若 且 ，化为： ，令 ，化为 ，解得 ，
可得直线 的方程为： ．
1 2( ) )0(a Ra x y a+ + + − ∈=
3 0x y− = 2 0x y+ + = 1a ≤ −
a
( 1) 2y a x a= − ++ − l
( 1) 0
2 0
a
a
− +
−
2 0a− = 2a = 3 0x y+ =
1 0a + = 1a = − 3 0y + =
1a ≠ − 2a ≠ 12 2
1
x y
a a
a
+ =− −
+
2 21
a aa
− = −+ 1 1a + = 0a =
l 2 0x y+ + =综上所述直线 的方程为： 或 ；
（2）直线 的方程可化为
∵ 不过第二象限，
， .
【点睛】本题考查了直线的方程、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能
力，属于中档题．
18.已知圆 ．
（1）若圆 的切线过坐标原点，求此切线的方程：
（2）从图 外一点 向该调引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且有 ，
求使得 取最小值时的点 P 的坐标．
【答案】（1） ， （2）
【解析】
【分析】
（1）对斜率存在与否分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；
（2）可先利用 可用 点到圆心的距离与半径来表示） ，求出 点的轨迹（求
出后是一条直线），然后再将求 的最小值转化为求直线上的点到原点的距离 之最小值；
【详解】解:（1）圆
①切线过原点，且斜率存在
设切线方程是： ，由 ，解得 ，
即切线方程是 ，
②斜率不存在，不满足题意；
所以切线方程是 ， ．
（2）连结 PC，MC
∵PM 切面 C 于 M， ，
l 2 0x y+ + = 3 0x y+ =
l ( 1) 2y a x a= − ++ −
l
1( 2) 0
2 0
a
a
− + ≥∴ − ≤ 1a∴ ≤ −
2 2: 2 4 3 0C x y x y+ − − + =
C
C ( , )P a b PM PO=
PM
(2 6) 0x y+ − = (2 6) 0x y− − = 3 3( , )10 5
−
(PM PM P PO= P
PM PO
2 2:( 1) ( 2) 2C x y− + − =
y kx= 2 2
1
k
k
+ =
+ 2 6k = ±
(2 6) 0x y+ − = (2 6) 0x y− − =
(2 6) 0x y+ − = (2 6) 0x y− − =
PM MC∴ ⊥联立得： ．
设 代入上式再：
化简得： ．
时，即 为 时， 最小．
【点睛】这个题重点考查了直线与圆的位置关系，切线问题一般利用半径 弦心距列方程；切
线长问题一般会考虑到点到圆心距、切线长、半径满足勾股定理列方程，属于综合题。
19.已知两个不共线的向量 满足 ， ．
（1）若 与 垂直，求向量 与 的夹角；
（2）当 时，若存在两个不同的 θ 使得 成立，求正数 m 的取值范
围．
【答案】（1） ，（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 与 垂直，求出 ，由此能求出向量 与 的夹角．
（2）由 ， ，得到 ，由此能求出正数 的
取值范围．
【详解】解：（1） 两个不共线的向量 满足 ， ， ．
， ，
与 垂直，
2 2 2PM MC PC
PM PO
+ =∴ =
①
②
2 2 2PO MC PC+ =
( ),P x y 2 2 222 ( 1) ( 2)x y x y+ + = + + −
2 4 +3 0x y− =
2 2 2 2 25 3 9
4 4 16PM PO x y x x∴ = = + = + +
x R∈
1
10x∴ = − P 3 3( , )10 5
− PM
=
,a b (1, 3)a = (cos ,sin )( )b Rθ θ θ ∈=
2a b− 7a b− a b
0, 2
π θ∈ 3 | |a b ma+ =
3
π 13 2 3,2 2
+
2a b− 7a b− 1a b⋅ = a b
3a b ma+ = 2 2
3a b ma+ = 24 2 3 3 4a b m+ ⋅ + = m
,a b ( )1, 3a = ( )cos ,sinb θ θ= Rθ ∈
2a∴ = 1b =
2a b− 7a b− ，
，
（2） ， ，
，
，
， ，
存在两个不同的 使得 成立，
，即 ，
， ，
正数 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查平面向量的模的求法，考查正数的取值范围的求法，考查向量垂直、向量
的模、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档
题．
20.出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是
形如 的有序实数对，直线还是满足 的所有 组成的图形，角度大小
的定义也和原来一样．直角坐标系内任意两点 ， ，定义它们之间的一种
“距离”： ；到两点 P．Q“距离”相等的点的轨迹称为线段PQ 的
“垂直平分线”．已知点 、 、 ，请解决以下问题：
( ) ( ) 2 2
2 7 2 15 7 8 15 7 0a b a b a a b b a b∴ − ⋅ − = − ⋅ + = − ⋅ + =
∴ 1a b⋅ =
1 1cos , 2 1 2
a ba b
a b
⋅∴ = = =×⋅
, 3a b
π∴ =
3a b ma+ = 2 2
3a b ma∴ + =
2 2 222 3 3a a b b m a∴ + ⋅ + =
24 2 3 3 4a b m∴ + ⋅ + =
22 3 4 7a b m∴ ⋅ = −
cos 3sin 2sin 6a b
πθ θ θ ⋅ = + = +
[0, ]2
πθ ∈ ∴ 2,6 6 3
π π πθ + ∈
θ 3a b ma+ =
26 4 7 4 3m∴ −
213 7 4 3
4 4m
+ ∴ 13 2 3
2 2m
+ 3.5y =
( ),M m n
MA MC= 1 3 1 9m n m n− + − = − + −
6y =
MB MC= 1 9 6 9m n m n− + − = +− −所以点 M 在 上，
，所以“外心” ，
点 在 6|+|n-9|上，
所以三边交于一点，存在“外心” ．
【点睛】本题给出一个新的定义，叫我们求该定义下的“距离”和“外心”的图象，着重考
查了对新定义的理解和进行简单的演绎推理等知识，属于基础题．
21.已知 a、b、c 为 的三边长，直线 的方程为 ，圆
．
（1）若 为直角三角形，c 为斜边长，且直线 与圆 M 相切．求 c 的值；
（2）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，平行于 ON 的直线 h 与圆 M 相
交于 R， 两点，且 ，求直线 h 的方程：
（3）若 为正三角形，对于直线 上任意一点 P，在圆 上总存在一点 ，使得线段
的长度为整数，求 c 的取值范围；
【答案】（1） （2） 或 （3） .
【解析】
【分析】
（1） 为直角三角形， 为斜边长，则 ，又直线与圆相切，根据点到直线
的距离公式，得到关于 的方程，求出 即可．
（2）由直线 平行于 计算出斜率，设直线 h 的方程为 ，利用点到线的距离公
式求距离，勾股定理得到方程，即可求出参数 。
（3）此时圆为以 为圆心，以 为半径的圆，直线可化为 ，直线 上任意一
点 ，在圆 上总存在一点 ，使得线段 的长度为整数，设圆心到直线的距离为 ，
只需 能用整数表示，并且圆的直径 即可．
【详解】解：（1）由题意得 ，
7
2x =
7( ,6)2M∴ 7( ,6)2
7( ,6)2
1 3 6 9m n m n− + − = +− −
7( ,6)2
ABC△ l 0ax by c+ + =
2 22: ( ) ( )M x a y b c+ + + =
ABC△ l
O ( )2,4N 6a = 7b = 5c =
S | | | |RS QN=
ABC△ l M Q
PQ
1
2c = 2 5 0x y− + = 2 15 0x y− − = 2
2c ≥
ABC∆ c 2 2 2+ =a b c
c c
h ON 2y x m= +
m
( , )c c c 1 0x y+ + = l
P M Q | |PQ d
d r+ 2 1r
2 2 2c a b= +圆心到直线的距离 ，
或 0（舍）
综上： .
（2）圆 M 标准方程为 ，
所以圆心 ，半径为 5．
因为直线 ，所以直线 h 的斜率为 ．
设直线 h 的方程为 ，即 ，
则圆心 M 到直线 h 的距离 ．
因为
而 ，所以 ，
解得 或 ．
故直线 h 的方程为 或 ．
（3） 为正三角形，
，直线 ，
，对于这条直线，总存在无穷多点在圆外，
从中找一个到圆心距离为 的点 P，则点 P 到图上任意点 的距离，
， 时不存在整数，
；下面分类讨论：
（Ⅰ）直线与圆相切或相离，即 ；即 ；
此时 ，所以 可以取到整数．
的
2 2
2 2
a b c
d c
a b
− − +
= =
+
1
2c∴ =
1
2c =
( ) ( )2 26 7 25x y− + − =
7(6 )M ，
/ /h ON 4 0 22 0
− =−
2y x m= + 2 0x y m− + =
| 2 6 7 | | 5|
5 5
n md
× − + += =
3 22 4 2 5RS ON += ==
2
2 2
2
RSM d = +
2( 5)25 55
m += +
5m = 15m = −
2 5 0x y− + = 2 15 0x y− − =
ABC
a b c= =∴ 1 0x y+ + =
2 22: ( ) ( )M x c y c c+ + + =
2 1( )2 Nk k
+ ∈ Q
1 1| | , ( )2 2PQ k c k c k Z ∈ + − + + ∈
1
2c <
1
2c∴ ≥
2 1
2
c c
+ ≥ 2 2
2c
+≥
,PQ PM c PM c∉ − + PQ（Ⅱ）线与圆相交，即 ，直线上不在圆内的点 P，同理成立；
对于直线上在圆内部分的任意点 P， ，
,
所以使得 存在整数的条件是 对任意点 P 都成立，
， ，
所以 ，
综上 .
【点睛】本题考查了直线与圆相切的充要条件、直线与圆的位置关系的判定，考查了推理能
力与计算能力，属于难题．
1 2 2
2 2c
+
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