金山中学 2019 学年第一学期高二数学期中考试卷
（考试时间：120 分钟满分：150 分）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
1.已知全集 ， ， ，则 __________.
【答案】3
【解析】
【分析】
先根据 和 确定 是 中元素， 不是 中元素，由此计算
的值.
【详解】因为 ， ，所以 ，解得 .
【点睛】本题考查根据全集的概念计算参数，难度较易.全集包含了所研究问题涉及到的所有
元素.
2.方程组 增广矩阵为____________
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用增广矩阵的概念得到答案.
【详解】 的增广矩阵为
故答案为：
【点睛】本题考查了增广矩阵，属于简单题型.
3.若 ，则 化简后的值等于________．
【答案】
的
{ }22,4, 1U a a= − + { 1,2}A a= + {7}UC A = a =
{7}UC A = { }22,4, 1U a a= − + 4 A 7 A a
{7}UC A = { }22,4, 1U a a= − + 2
1 4
1 7
a
a a
+ =
− + = 3a =
2 5 0
3 2
x y
x y
− − =
+ =
1 2 5
3 1 2
−
2 5 0
3 2
x y
x y
− − =
+ =
1 2 5
3 1 2
−
1 2 5
3 1 2
−
1 1 1
1 1 1 1 1 11 2 3
4 5 6
a b c
a A b B c C= + + 1B
6【解析】
【分析】
由题意可知， 为三阶行列式中元素 的代数余子式，然后利用代数余子式的概念可得出
的值.
【详解】由题意可知， 为三阶行列式 中元素 的代数余子式，
因此， .
故答案为： .
【点睛】本题考查代数余子式的计算，理解代数余子式的概念是解题的关键，考查计算能力，
属于基础题.
4.幂函数经过点 ，则此幂函数的解析式为_______.
【答案】
【解析】
设幂函数为 ，代入点 ，所以 所以 ， ，填
。
5.若直线 过点 ，且法向量为 ，则直线 的点方向式方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出直线 的一个方向向量，根据直线的点方式方程可得出直线 的点方向式方程.
【详解】由于直线 过点 ，且法向量为 ，则直线 的一个方向向量为 ，
因此，直线 的点方向式方程为 .
故答案为： .
1B 1b 1B
1B
1 1 1
1 2 3
4 5 6
a b c
1b
( )1
1 3 1 6 3 4 64 6B = − = − × − × =
6
22, 2
1
2y x
−=
y xα= 22, 2
1
222 2 ,2
α −= = 1
2
α = − 1
2y x
−=
1
2y x
−=
l ( )1,2A ( )1, 3− l
1 2
3 1
x y− −=
l l
l ( )1,2A ( )1, 3− l ( )3,1
l 1 2
3 1
x y− −=
1 2
3 1
x y− −=【点睛】本题考查直线的点方向式方程的求解，求出直线的方向向量是解题的关键，考查计
算能力，属于基础题.
6. ______
【答案】
【解析】
【分析】
运用等差数列的求和公式和 ，结合极限的运算性质可得所求值．
【详解】
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查数列极限的求法，注意运用等差数列的求和公式和重要数列的极限，考查
运算能力，属于基础题．
7.设 为奇函数，且当 时， ，则当 时， =____
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数是奇函数，得 ，由 ，得 ，代入已知的函数关系中，可
得解.
【详解】 是奇函数， ，
因为 时， ．
当 时， ， ，
2 2 2 2
1 4 7 3 2lim
n
n
n n n n→∞
− + + +…+ =
3
2
1lim 0
n n→∞
=
2 2 2 2
1 4 7 3 2lim
n
n
n n n n→∞
− + + +…+
( ) ( )
2 2
1 1 3 21 4 3 2 2lim lim
n n
n nn
n n→∞ →∞
+ −+ +…+ −= =
3 1 3 1 3 3lim lim 02 2 2 2 2 2n nn n→∞ →∞
= − = − = − =
3
2
( )f x 0x ≥ ( ) 1xf x e= − 0x < ( )f x
e 1x−− +
( ) ( )f x f x− = − 0x < 0x− >
( )f x ( ) ( )f x f x∴ − = −
0x ≥ ( ) 1xf x e= −
0x < 0x− > ( )( ) ( ) 1 1x xf x f x e e− −= − − = − − = − +所以 时， ．
故填： .
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性，求对称区间上的函数解析式，属于基础题.
8.若 ， ， ，且 ，则 的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用共线向量的坐标表示得出 ，利用正弦函数的最值可
得出实数 的最小值.
【 详 解 】 ， ， ， 且 ，
，
则 ，由于 ，
因此，实数 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数的最值，同时也考查了辅助角公式的应用，
考查计算能力，属于中等题.
9.过直线 上的一点作圆 的两条切线 ， ，当直线 ， 关于
对称时，它们之间的夹角为__________．
【答案】
【解析】
不妨设 与 交点为 ，圆心 ，当 ， 关于 对称时，则 直线 ，
则 ，设在 上的切点为 ，则 ，∴ ，
∴ ，故 ， 夹角为 ，故答案为 .
10.已知 、 是关于 的方程 的两个实数根，则经过两点 、
0x < ( ) e 1xf x −= − +
e 1x−− +
( )3,1a = ( )sin ,cosb mα α= − Rα ∈ //a b m
2−
sin 3 cos 2sin 6m
πα α α = − = −
m
( )3,1a =
( )sin ,cosb mα α= − Rα ∈ //a b
sin 3 cosmα α∴ − =
sin 3 cos 2sin 6m
πα α α = − = − 1 sin 16
πα − ≤ − ≤
m 2−
2−
y x= 2 2( 5) ( 1) 2x y− + − = 1l 2l 1l 2l
y x=
60°
1l 2l M (5,1)C 1l 2l y x= CM ⊥ y x=
5 1 2 2
1 1
CM
−= =
+ 1l N 2 1sin 22 2
NMC∠ = = 30NMC∠ = °
2 60NMC∠ = ° 1l 2l 60° 60°
1x 2x x ( )2 2 1 0x mx m+ − + = ( )2
1 1,A x x的直线与圆 公共点的个数是________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
列出韦达定理，求出直线 的方程为 ，可求出直线 所过定点 的坐
标，并判断点 与圆 的位置关系，从而可得出直线 与圆
的公共点个数.
【详解】由韦达定理得 ， ，
直线 的斜率为 ，
所以，直线 的方程为 ，即 ，
即 ，即 ，即 ，
令 ，得 ，所以，直线 恒过定点 .
，则点 在圆 上，
因此，直线 与圆 的公共点个数为 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】本题考查直线与圆的公共点个数的判断，同时也考查了韦达定理的应用，求出直线
所过定点的坐标是解题的关键，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
11.设 ， 为不同的两点，直线 ， ，以
下命题中正确的序号为__________．
(1)不论 为何值，点 N 都不在直线 上；
(2)若 ，则过 M，N 的直线与直线 平行；
（3）若 ，则直线 经过 MN 的中点；
（4）若 ，则点 M、N 在直线 的同侧且直线 与线段 MN 的延长线相交．
【答案】(1)(2)(3)(4)
( )2
2 2,B x x ( )2 22 1x y− + =
1 2
AB 2 1 0mx y m+ − − = AB P
P ( )2 22 1x y− + = AB ( )2 22 1x y− + =
1 2x x m+ = − ( )1 2 2 1x x m= − +
AB
2 2
1 2
1 2
1 2
x xk x x mx x
−= = + = −−
AB ( )( )2
1 1 2 1y x x x x x− = + − ( )1 2 1 2y x x x x x= + −
2 1y mx m= − + + 2 1 0mx y m+ − − = ( )2 1 0m x y− + − =
2 0
1 0
x
y
− =
− =
2
1
x
y
=
= AB ( )2,1P
( )2 22 2 1 1− + = P ( )2 22 1x y− + =
AB ( )2 22 1x y− + = 1 2
1 2
1 1( , )M x y 2 2( , )N x y : 0l ax by c+ + = 1 1
2 2
ax by c
ax by c
δ + += + +
δ l
1δ = l
1δ = − l
1δ > l l【解析】
【分析】
利用分母不等于零判断(1)，利用斜率相等判断（2）；利用中点坐标满足方程判断（3）；根据
，以及 M、N 在直线 的距离不同判断（4）.
【详解】(1)因为 ，所以 不在直线 上，正确；
（2） 时，由 可得 ，化为 ，即直线 的斜率
为 ，所以过 M，N 的直线与直线 平行， 时，过 M，N 的直线与直线 都与 轴平行，
综上可得（2）正确；
（3） 时， 化为 ，即直线 经过
MN 的中点，正确；
（4） 可得 ，可得 M、N 在直线 的同
侧，进而得 ，M、N 在直线 的距离不同，直线 与线段 MN 的延
长线相交，正确.
即正确命题的序号为(1)(2)(3)(4)，
故答案为(1)(2)(3)(4).
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查直线的位置关系，属于难题.这种题型综
合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆
输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简
单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
12.如图，正方形 边长为 米，圆 的半径为 米，圆心是正方形的中心，点 、
分别在线段 、 上，若线段 与圆 有公共点，则称点 在点 的“盲区”中，已
知点 以 米/秒的速度从 出发向 移动，同时，点 以 米/秒的速度从 出发向 移
动，则在点 从 移动到 的过程中，点 在点 的盲区中的时长约________秒（精确到
的
( ) ( )1 1 2 2 0ax by c ax by c+ + + + > l
1 1
2 2
2 2
, 0ax by c ax by cax by c
δ + += + + ≠+ + 2 2( , )N x y l
0b≠ 1δ = 1 1
2 2
1ax by c
ax by c
δ + += =+ +
2 1
2 1
y y a
x x b
− = −− MN
a
b
− l 0b = l y
1δ = − 1 1
2 2
1ax by c
ax by c
δ + += = −+ +
1 2 1 2 02 2
x x y ya b c
+ +⋅ + ⋅ + = l
1 1
2 2
1ax by c
ax by c
δ + += >+ + ( ) ( )1 1 2 2 0ax by c ax by c+ + + + > l
1 1 2 2ax by c ax by c+ + > + + l l
ABCD 20 O 1 P Q
AD CB PQ O Q P
P 1.5 A D Q 1 C B
P A D Q P）．
【答案】
【解析】
【分析】
以点 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求出点 、 的坐标和直线 的方
程以及圆 的方程，利用点到直线的距离公式，以及直线和圆相交的条件下，解不等式即可
得出所求时长.
【详解】以点 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系：
可设点 ， ，
可得出直线 的方程为 ，圆 的方程为 ，
由直线 与圆 有公共点，可得 ，化为 ，
解得 ，而 ，
0.1
4.4
O P Q PQ
O
O
( )10, 10 1.5P t− − + ( )10,10Q t−
PQ ( )20 2.510 1020
ty t x
−− + = − O 2 2 1x y+ =
PQ O 2
2.5 20 102 1
20 2.51 20
t t
t
− − +
≤
− +
23 16 128 0t t+ − ≤
8 7 80 3t
−≤ ≤ 8 7 8 4.43
− ≈因此，点 在点 的盲区中的时长约为 秒.
故答案为： .
【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查坐标法与一元二次
不等式的解法，属于中等题.
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）
13.函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的最大值是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】如图.
要使函数 在定义域 上，值域为 ，则 的最大值是 .
选 C.
14.二元一次方程组 存在唯一解的必要非充分条件是
A. 系数行列式
B. 比例式
C. 向量 不平行
D. 直线 ， 不平行
【答案】D
【解析】
【分析】
Q P 4.4
4.4
siny x= [ ],a b 11, 2
− b a−
π 2π 4
3
π 5
3
π
siny x= [ ],a b 11, 2
− b a− 7 4
6 6 3
π π π − − =
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
( )
0D ≠
1 1
2 2
a b
a b
≠
1 1
2 2
,a b
a b
1 1 1a x b y c+ = 2 2 2a x b y c+ =利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于 0，即可得到 为充要条件，
直线分共面和异面两种情况．
【详解】解：当两直线共面时，直线 ， 不平行，二元一次方程组
存在唯一解
当两直线异面，直线 ， 不平行，二元一次方程组
无解，
故直线 ， 不平行是二元一次方程组 存在唯一解
的必要非充分条件．
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，
系数行列式不等于 0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．
15.设 、 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使 成立 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得知与 同向的单位向量和与 同向的单位向量是相反向量，由此可得出 、 方向
相反，由此可得出正确选项.
【详解】由题意知， 是与 同向的单位向量， 是与 同向的单位向量，这两个向量互为
相反向量，所以， 、 方向相反.
因此，使得 成立的条件为 .
故选：A.
的
A B C， ，
1 1 1a x b y c+ = 2 2 2a x b y c+ =
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ = + =
1 1 1a x b y c+ = 2 2 2a x b y c+ = 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ = + =
1 1 1a x b y c+ = 2 2 2a x b y c+ = 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ = + =
a b 0a b
a b
+ =
2a b= − 2a b= //a b a b⊥
a b a b
a
a
a b
b
b
a b
0a b
a b
+ =
2a b= − 【点睛】本题考查了相反向量的概念，同时也考查了与非零向量同向的单位向量概念的理解，
考查推理能力，属于基础题.
16.到两条坐标轴 距离之差的绝对值为 的点的轨迹是（ ）
A. 两条直线 B. 四条直线 C. 四条射线 D. 八条射线
【答案】D
【解析】
【分析】
设所求动点的坐标为 ，可得出动点的轨迹方程为 ，可得出 、
，分析出方程 所表示的射线条数，从而可得出动点轨迹对应的射线条
数.
【详解】设所求动点的坐标为 ，可得出动点的轨迹方程为 ，
所以， 或 ，下面来考查 所代表的射线条数.
①当 ， 时， ；
②当 ， 时， ；
③当 ， 时， ；
④当 ， 时， .
可知方程 代表四条射线，同理可知方程 也代表四条射线.
因此，到两条坐标轴的距离之差的绝对值为 的点的轨迹是八条射线.
故选：D.
【点睛】本题考查动点轨迹形状的判断，求出动点的轨迹方程是解题的关键，考查分类讨论
思想的应用，属于中等题.
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答时必须在答题纸的相应位置写出必要的步
骤．
17.在 中，已知 、 ．
（1）若点 坐标为 ，直线 ，直线 交 边于 ，交 边于 ，且
的
的
2
( ),x y 2x y− = 2x y− =
2x y− = − 2x y− =
( ),x y 2x y− =
2x y− = 2x y− = − 2x y− =
0x > 0y≥ 2x y x y− = − =
0x < 0y≥ 2x y x y− = − − =
0x < 0y ≤ 2x y x y− = − + =
0x > 0y ≤ 2x y x y− = + =
2x y− = 2x y− = −
2
ABC∆ ( )1,2A ( )2,1B −
C ( )4,5C //l AB l AC D CB E CDE∆与 的面积之比为 ，求直线 的方程；
（2）若 是一个动点，且 的面积为 ，试求 关于 的函数关系式．
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）作出图形，可得出 ，根据面积比为 得出 ，从而得出
，设点 ，利用向量的坐标运算求出点 的坐标，并求出直线 的斜率，
即为直线 的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线 的方程；
（2）求出直线 的方程和 ，设点 到直线 的距离为 ，利用 的面积为
求出 的值，结合点到直线的距离公式可求出 关于 的函数关系式.
【详解】（1） ，即 ， ，且 ，
，设点 的坐标为 ， ， ，
，解得 ， .
直线 的斜率为 ， ，则直线 的斜率为 .
因此，直线 的方程为 ，即 ；
ABC∆ 4
9 l
( ),C x y ABC∆ 2 y x
3 7 0x y− + = 1 1
3 3y x= + 1 33y x= +
CDE ABC∆ ∆
4
9
2
3
CD
AC
=
2CD DA= ( ),D m n D AB
l l
AB AB C AB d ABC∆ 2
d y x
//l AB //DE AB CDE ABC∴∆ ∆
2
4
9
CDE
ABC
CDS
S AC
∆
∆
= =
2CD DA∴ = D ( ),m n ( )4, 5CD m n= − − ( )1 ,2DA m n= − −
( )
( )
4 2 1
5 2 2
m m
n n
− = −∴ − = −
2
3
m
n
=
=
( )2,3D∴
AB 2 1 1
1 2 3ABk
−= =+ //l AB l 1
3
l ( )13 23y x− = − 3 7 0x y− + =（2）直线 的方程为 ，即 ，
，
设点 到直线 的距离为 ，则 的面积为 ，
得 ，另一方面，由点到直线的距离公式得 ，
，解得 或 .
因此， 关于 的函数关系式为 或 .
【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，
涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
18.已知两点 、 ，点 是直角坐标平面上的动点，若将点 的横坐标保
持不变、纵坐标扩大到 倍后得到点 ，且满足 ．
（1）求动点 所在曲线 的方程；
（2）过点 作斜率为 的直线 交曲线 于 、 两点，且满足
，又点 关于原点 的对称点为点 ，求点 、 的坐标．
【答案】（1） ；（2） ， ．
【解析】
【分析】
（1）求出向量 、 的坐标，结合条件 可得出动点 的轨迹方程；
（2）得出直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线 的方程与
椭圆方程联立，列出韦达定理，利用向量的坐标运算得出 的坐标，再由点 关于原点
的对称点为点 ，可求出点 的坐标.
【详解】（1） ， ，
AB ( )12 13y x− = − 3 5 0x y− + =
( ) ( )2 21 2 2 1 10AB = + + − =
C AB d ABC∆ 1 1 10 22 2ABCS AB d d∆ = ⋅ = × × =
4
10
d = ( )22
3 5 4
101 3
x yd
− += =
+ −
3 5 4x y∴ − + = ± 1 1
3 3y x= + 1 33y x= +
y x 1 1
3 3y x= + 1 33y x= +
( )1,0A − ( )10B , ( ),P x y P
2 ( ), 2Q x y 1AQ BQ⋅ =
P C
B 2
2
− l C M N
0OM ON OH+ + = H O G H G
2
2: 12
xC y+ = 21, 2H
− −
21, 2G
AQ BQ 1AQ BQ⋅ = P
l ( )2 12y x= − − ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y l
OH H O
G G
( )1, 2AQ x y= +
( )1, 2BQ x y= −，即 ，化简得 ，即 ，
因此，曲线 的方程为 ；
（2）设点 、 ，直线 的方程为 ，
将直线 的方程与椭圆 的方程联立 ，得 ．
由韦达定理得 ，
，
， ，
所以，点 的坐标为 ，
又 点 关于原点 的对称点为点 ，则点 的坐标为 .
【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了直线与椭圆的综合问题，涉及了利用
向量的坐标运算求解点的坐标，考查运算求解能力，属于中等题.
19.有一种大型商品， 、 两地都有出售，且价格相同，现 地的居民从 、 两地之一
购得商品后回运的运费是： 地每公里的运费是 地运费的 倍，已知 、 两地相距 ，
居民选择 或 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．
（1）求 地的居民选择 地或 地购物总费用相等时，点 所在曲线的形状；
（2）指出上述曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．
【答案】（1）点 所在曲线的形状是圆；（2）答案不唯一，具体见解析.
【解析】
【分析】
（1）以 所在直线为 轴，线段 的中点为原点建立直角坐标系，设点 ，然后
根据题意建立 、 的方程，即可得出动点 的轨迹方程，即可判断出点 所在曲线的形状；
1AQ BQ⋅ =
( )( ) ( )2
1 1 2 1x x y− + + = 2 22 2x y+ = 2
2 12
x y+ =
C
2
2 12
x y+ =
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y l ( )2 12y x= − −
l C
( )
2
2 12
2 12
x y
y x
+ =
= − −
22 2 1 0x x− − =
1 2 1x x =+
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2
2 2 2 21 1 22 2 2 2y y x x x x∴ + = − − − − = − + − =
0OM ON OH+ + =
( ) ( )1 2 1 2
2, 1, 2OH OM ON x x y y
∴ = − + = − + + = − −
H
21, 2
− −
H O G G 21, 2
A B P A B
A B 3 A B 10km
A B
P A B P
P
AB x AB ( ),P x y
x y P P（2）先考虑居民在 地购货费用较低，得出 ，由此得出
，可得出圆内的居民从 地购货费用较低，同理得出圆外的居民从
地购货费用较低．
【详解】（1）以 所在直线为 轴，线段 的中点为原点建立直角坐标系，则 、
，
设 地的坐标为 ，且 地到 、 两地购物的运费分别是 、 （元/公里），
当 地到 、 两地购物总费用相等时， 价格 地运费 价格 地运费，
即 ，整理得 ．
故 地的居民选择 地或 地购物总费用相等时，点 所在曲线的形状是圆；
（2）若居民在 地购货费用较低时，即：价格 地运费 价格 地运费，
得 ，化简得 ，
所以，此时点 在圆 内，即圆内的居民从 地购货费用较低.
同理，圆外的居民从 地购货费用较低．
【点睛】本题考查轨迹方程，考查圆的方程的应用，考查学生利用数学知识解决实际问题，
考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20.如图，由半圆 和部分抛物线 合成
的曲线 称为“羽毛球开线”，曲线 与 轴有 两个焦点，且经过点
(1)求 的值；
A ( ) ( )2 22 23 5 5a x y a x y+ + < − +
2 2
225 15
4 4x y + + ，
C C x A B、 ( )2 3 .，
a r、(2)设 为曲线 上的动点，求 的最小值；
(3)过 且斜率为 的直线 与“羽毛球形线”相交于点 三点，问是否存在实数
使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，且 ，详见解析
【解析】
【分析】
（1）将 代入 求出 ，再由 与 轴交点坐标，代入圆的方程，
即可求出 ；
（2）先设 ，得到 ，分别讨论 ，和 两种情况，
由抛物线与圆的方程，即可求出结果；
（3）先由题意得到 的方程，与抛物线联立，求出 ；与圆联立，求出
，根据 得到 ，化简得到关于 的方程，求解，
即可得出结果.
【详解】（1）由题意，将 代入 ，得到 ；所以抛物线 ；
又 与 轴交于 ，所以 ，代入圆的方程，可得 ；
所以 ， ；
（2）设 ，因为 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
所以 时， ；
当 时， ， ，
所以 时， ；
( )0 2N ， ，M C MN
A k l 、 、P A Q k，
QBA PBA∠ = ∠ k
1
1
a
r
=
= min
11
2MN = 1 2k = +
( )2 3， ( )2 1= −y a x 1a = 2 1y x= − x
1r =
0 0( , )M x y 2 2
0 0( 2)= + −MN x y 0 0≤y 0 0≥y
PQ 2( 1, 2 )− −Q k k k
2
2 2
1 2,1 1
− − + +
k kP k k QBA PBA∠ = ∠ = −BP BQk k k
( )2 3， ( )2 1= −y a x 1a = 2 1y x= −
2 1y x= − x ( )1,0± ( 1,0) (1,0)、−A B 1r =
1a = 1r =
0 0( , )M x y ( )0 2，N 2 2
0 0( 2)= + −MN x y
0 0≤y 2 2
0 01= −x y 2 2
0 0 0( 2) 5 4= + − = −MN x y y
0 0y =
min 5=MN
0 0≥y 2
0 01= +x y
2
2 2
0 0 0 0 0
3 111 ( 2) 3 5 2 4
= + + − = − + = − + MN y y y y y
0
3
2
=y min
11
2MN =而 ，所以 的最小值为 ；
（3）由题意，可得： 的方程为 ，
由 ，整理得： ，
解得 或 ，即 ；
由 ，整理得：
解得： 或 ，则 ，
由 ，可得 ，
即 ，整理得 ，解得 （由题意，负值舍去）
因此，存在实数 ，使得 .
【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记直线与圆位置关系，以及直线与抛物线物
位置关系即可，属于常考题型.
21.定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比 .
（1）设圆 求过 （2,0）的直线关于圆 的距离比 的直线方程；
（2）若圆 与 轴相切于点 （0,3）且直线 = 关于圆 的距离比 ，求此圆的
的方程；
（3）是否存在点 ，使过 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆
的距离比始终相等？若存在，求出相应的点
点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2） 或 ；
（3）存在 .
11 52
< MN 11
2
PQ ( 1)y k x= −
2
( 1)
1
y k x
y x
= −
= −
2 1 0x kx k− + − =
1x = 1= −x k 2( 1, 2 )− −Q k k k
2 2
( 1)
1
y k x
x y
= −
+ =
2 2 2 2(1 ) 2 1 0+ − + − =k x k x k
1x =
2
2
1
1
−= +
kx k
2
2 2
1 2,1 1
− − + +
k kP k k
QBA PBA∠ = ∠ = −BP BQk k
22
2
2
2
21
1 11
− −+ = −− ++
k
k kk
k k
k
2 2 1 0− − =k k 1 2= ±k
1 2k = + QBA PBA∠ = ∠
λ
2 2
0 : 1,C x y+ = P 0C 3λ =
C y A y x C 2λ = C
P P
2 2 2 2
1 2:( 1) 1 :( -3 ( -3 4C x y C x y+ + = + =与 ） ） P
( )3 2y x= ± − ( ) ( )2 23 3 9x y+ + − = ( ) ( )2 21 3 1x y− + − =
( ) 7 111, 1 , ,5 5
− − 【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意可知斜率不存在时不满足题意，所以设过 的直线方
程为 ，求得已知圆的圆心和半径，由新定义，可得方程，求得 ，即可得到所求
直 线 方 程 ； （ 2 ） 设 圆 的 方 程 为 ， 由 题 意 可 得
，解方程可得 ， ， ，进而得到所求圆的方程；
（3）假设存在点 ，设过 的两直线为 和 ，求
得两圆的圆心和半径，由新定义可得方程，化简整理可得 或
，再由恒成立思想可得 ， 的方程，解方程可得 的坐
标．
试题解析：（1）设过 的直线方程为
∵圆 的圆心为 ，半径为
∴根据题意可得
∴ ，即所求直线为 ;
（2）设圆 的方程为
根据题意可得
∴解方程可得 或 ，则有圆 的方程为
或
（3）假设存在点 ，设过 的两直线为 和
又∵ 的圆心为 ，半径为 ， 的圆心为
，半径为
( )2,0P
( )2y k x= − k
C ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − =
( )22 23 , , 2
2
a ba b r a r r
−+ − = = = a b r
( )P m n, P ( )y n k x m− = − ( )1y n x mk
− = − −
( ) ( )2 1 2 3 0k m n m n+ − + − − =
( ) ( )2 5 3 2 0k m n m n− + + − − = m n P
( )2,0P ( )2y k x= −
2 2
0 : 1C x y+ = ( )0,0 1
2
2 3
1
k
k
=
+
3k = ± ( )3 2y x= ± −
C ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − =
( )22 23 , , 2
2
a ba b r a r r
−+ − = = =
3, 3, 3a b c= − = = 1, 3, 1a b r= = = C
( ) ( )2 23 3 9x y+ + − = ( ) ( )2 21 3 1x y− + − =
( )P m n, P ( )y n k x m− = − ( )1y n x mk
− = − −
( )2 2
1 : 1 1C x y+ + = ( )1,0− 1 ( ) ( )2 2
2 : 3 3 4C x y− + − =
( )3,3 2∴根据题意可得 ，即 或
∴ 或 ,
∴ 或 ，则存在这样的点 和 ，使得使过 的任意两条互相
垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等.
点睛：本题考查新定义的理解和运用，考查直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，
考查恒成立问题的解法，属于中档题．
2
2
3 3
11 2 1
m nk km n k k
k
k
+ − −+ − =
+ +
( ) ( )2 1 2 3 0k m n m n+ − + − − =
( ) ( )2 5 3 2 0k m n m n− + + − − =
2 1{ 2 3
m n
m n
+ =
− =
2 5{ 2 3
m n
m n
− = −
+ =
1{ 1
m
n
=
= −
7
5{ 11
5
m
n
= −
=
( )1, 1P − 7 11,5 5
− P
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