进才中学高二期中数学卷
一、 填空题
1.直线 的倾斜角是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求直线 的斜率，进而转化为倾斜角，
【详解】解：直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，所以 ，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题，考查计算能力．
2.方程组 的系数矩阵是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据系数矩阵的定义即可得出答案.
【详解】解：根据系数矩阵的定义，系数矩阵为 ，
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了系数矩阵的定义，即简单来说系数矩阵就是将方程组的系数组成矩
阵，是基础题.
3.已知向量 ， ，若向量 ∥ ，则实数 ________
【答案】
【解析】
【分析】
2 3 1 0x y− − =
2arctan 3
2 3 1 0x y− − =
2 3 1 0x y− − = 2
3k = α 2tan 3
α =
2arctan 3a =
2arctan 3
3
4 5
x y
y
= −
=
1 1
0 4
−
1 1
0 4
−
1 1
0 4
−
(3, )a m= ( 1,2)b = − a b m =
6−直接利用向量共线的坐标运算得答案．
【详解】因向量 ∥ ，所以－m＝6，m＝－6,
故答案为-6.
【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题．
4.求过点 ，且与直线 垂直的直线的点方向式方程_______ .
【答案】
【解析】
【分析】
先求出直线 的方向向量，在求出所求直线的方向向量，进而可写出直线的点方
向式方程.
【详解】解：由已知直线 的方向向量为： ，
与直线 垂直的直线的方向向量为： ，
故所求直线的点方向式方程为： ，
故答案为：
【点睛】已知直线上一点 ，以及直线的方向向量 ，则该直线的点方向式方
程为 .
5.行列式 的元素 的代数余子式的值为 7，则 ________.
【答案】3
【解析】
【分析】
利用代数余子式的概念计算即可.
【详解】元素-3 的代数余子式为- ，
解得： ，
故答案为： .
a b
(1,2)P 2 3 1 0x y− + =
1 2
2 3
x y− −= −
2 3 1 0x y− + =
2 3 1 0x y− + = (3,2)
2 3 1 0x y− + = (2, 3)−
1 2
2 3
x y− −= −
1 2
2 3
x y− −= −
0 0( , )P x y ( , )n a b=
( )2 20 0 0x x y y a ba b
− −= + ≠
4 3 1
2 5
1 4 2
k
−
−
3− k =
2
1
( )2 2 72
k k= − × − + =−
3k =
3【点睛】本题考查代数余子式的运算，是基础题.
6.已知 是增广矩阵为 的二元一次方程组的解，则 ________
【答案】10
【解析】
【分析】
首先根据二元一次方程组的增广矩阵，写出二元线性方程组的表达式，然后根据方程求解 m，
t 即可；
【详解】解： 是增广矩阵为 的二元一次方程组的解，
则 ,解得 m＝8，t＝2，
则 m+t＝10，
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，计算量小，解答的关键是理解二元
线性方程组的增广矩阵的含义，并由此写出二元线性方程组的表达式．
7.已知 ， ， ，则向量 与 的夹角为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先通过条件求出 ，再利用公式 求夹角.
【详解】解：由 ，得 ，
，
，
向量夹角属于 ，
,x m
y t
=
=
3 1 22
0 1 2
−
m t+ =
,x m
y t
=
=
3 1 22
0 1 2
−
3 22
2
m t
t
− =
=
2a| |= | | 3b = (2 ) 3a b b+ ⋅ = a b
3
4
π
a b⋅ cos a b
a b
θ ⋅=
(2 ) 3a b b+ ⋅ = 2
2 3a b b⋅ + =
2
3 3 9 32 2
ba b
− −∴ ⋅ = = = −
3 2cos , 23 2
a ba b
a b
⋅ −∴ < >= = = −
[ ]0,π所以向量 与 的夹角为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查向量的数量积，及夹角的运算，是基础题.
8.过点 且与直线 的夹角为 的直线的一般式方程是________.
【答案】 或
【解析】
【分析】
由已知可得 的倾斜角，进而可求出与它夹角为 的直线的倾斜角，再由点斜
式写出直线方程，然后改写为一般式.
【详解】由已知可得 的斜率为 ，即倾斜角为 ，
所以与它夹角为 的直线的倾斜角为 或 ，
即斜率为：不存在或 ，
故直线方程为： 或 ，
其一般式为 或 .
【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率，直线的一般式方程，本题关键要通过直线与直线的
位置关系，发现未知直线倾斜角，本题是基础题.
9.已知点 在直线 上，且点 到 、 两点的距离相等，则点
的坐标是__________.
【答案】（1,2）
【解析】
【分析】
由二项展开式性质得点 P 在直线 4x+y﹣6＝0，设 P（a，﹣4a+6），由点 P 到 A（2，5）、B（4，
a b 3
4
π
3
4
π
(3, 2)P − 3 3 0x y− + =
3
π
3 3 3 3 6 0x y+ − + = 3x =
3 3 0x y− + =
3
π
3 3 0x y− + = 3
3 6
π
3
π
3 6 2
π π π+ = 5
6 6
π ππ− + =
3
3
−
3 3 23y x= − + − 3x =
3 3 3 3 6 0x y+ − + = 3x =
P
6 01 4
x y − =− P ( )2,5A ( )4,3B P3）两点的距离相等，能求出点 P 的坐标．
【详解】解：∵点 P 在直线 =0 上，
∴点 P 在直线 4x+y﹣6＝0，
设 P（a，﹣4a+6），
∵点 P 到 A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，
∴ ，
解得 a＝1，
∴点 P 的坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，
考查运算求解能力，是基础题．
10.在直角坐标系 中，已知三点 ， ， .若 与 在 方向上
的射影相同，则 ______.
【答案】2
【解析】
【详解】解法 1 向量 、 在 方向上的射影分别为 、 .
依题意得 ，即 .故 .
解法 2 因为向量 与 在 方向上的射影相同，所以， ，即 .
故 ，即 .
11.已知平面向量 、 、 满足 ， ，且 ，则当 时，
的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【分析】
设 , , , ,,根据向量减法的几
6
1 4
x y −
−
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2a-2 + -4a+1 = a-4 + -4a+3
xOy ( ),1A a ( )2,B b ( )3,4C OA OB OC
3 4a b− =
OA OB OC OA OC
OC
⋅
OB OC
OC
⋅
OA OC OB OC⋅ = ⋅ 3 4 6 4a b+ = + 3 4 2a b− =
OA OB OC AB OC⊥ 0AB OC⋅ =
( ) ( )3 2 4 1 0a b− + − = 3 4 2a b− =
a b c | | 1a = | | | | 2b c= = 0b c⋅ = 0 1λ≤ ≤
| (1 ) |a b cλ λ− − −
[ 2 1,3]−
(2,0)OB b= = (0,2)OC c= = OA a= (1 )OD d b cλ λ= = + − 何意义,转化为求线段 上的动点 与单位圆上的动点 之间的距离 的取值范围.结
合图象观察可得.
【详解】因为 ，且 ,
所以可设 , , ,
设 ,
因为 ,所以点 在线段 上,
因为 ,所以点 在单位圆 上,
如图”
所以 ,
则问题转化为求线段 上的动点 与单位圆上的动点 之间的距离 的取值范围.
由图可知:当 ,且 为线段 与单位圆的交点时, 取得最小值 ,当 与
或 重合, 为单位圆与 或 轴的负半轴的交点时, 取得最大值 2+1=3.
所以 的取值范围是 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了平面向量减法的几何意义,解题关键是将 转化为两个动
点之间的距离.属于难题.
12.已知实数 、 、 、 满足： ， ，其中 ，且
，则以向量 为方向向量的直线的倾斜角为 ，则
BC D A | |DA
| | | | 2b c= = 0b c⋅ =
(2,0)OB b= = (0,2)OC c= = OA a=
(1 )OD d b cλ λ= = + −
0 1λ≤ ≤ D BC
| | 1a = A 2 2 1x y+ =
| (1 ) |a b cλ λ− − − | |OA OD= − | |DA=
BC D A | |DA
OD BC^ A OD | |DA 2 1− D
B ( )C A x ( y ) | |DA
| (1 ) |a b cλ λ− − − [ 2 1,3]−
[ 2 1,3]−
| (1 ) |a b cλ λ− − −
1a 1b 2a 2b 1 1 1 0a b− + = 2 2 1 0a b− + = 1 2a a>
1 2 1 22( )a a b b+ 2 2 2 2
1 1 2 2a b a b= + × + 1 1( )a b, θ的取值范围________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可得，向量 的终点在直线 上，向量 的终点在
直线 上，把已知等式变形求得 的夹角，再由 可得 的位置，数形
结合可得以向量 为方向向量的直线的倾斜角的取值范围．
【详解】解：向量 的终点在直线 ，向量 的终点在直
线 上，
由 ，
得 ，
即向量 与向量 的夹角为 ，
又 ，可得点 在曲线 上，
如图，
∴以向量 为方向向量的直线的倾斜角的范围为 ，
故答案为： .
θ
( , )4
π π
( )1 1,OA a b= 1 0x y− + = ( )2 2,OB a b=
1 0x y− + = ,OA OB
1 2a a> A
1 1( )a b,
( )1 1,OA a b= 1 0x y− + = ( )2 2,OB a b=
1 0x y− + =
1 2 1 22( )a a b b+ 2 2 2 2
1 1 2 2a b a b= + × +
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
2
2
a a b b
a b a b
+ =
+ × +
OA OB
4
π
1 2a a> A 1 0 ( 1)x y x− + = > −
1 1( )a b, ( , )4
π π
( , )4
π π【点睛】本题考查由数量积求向量的夹角，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
二、选择题
13.如果 且 ，那么直线 不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件可得直线 斜率 的正负，直线在 轴上的截距 的正负，进而
可得直线不经过的象限．
【详解】解：由 且 ，可得直线 的斜率为 ，直线在
y 轴上的截距 ，故直线不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题．
14.坐标原点在直线 上的射影为点 ，直线 方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由射影的知识求出直线 的斜率，由点斜式求出直线 的方程．
【详解】解：∵原点在直线 上 射影为点 ，
∴直线 的斜率为 ，
又点 在直线 上，
∴所求的直线方程为
，
即 ．
的
的
0A B⋅ > 0B C⋅ < 0Ax By C+ + =
0Ax By C+ + = A
B
− y
B
C−
0A B⋅ > 0B C⋅ < 0Ax By C+ + = 0A
B
− <
0C
B
− >
l (2,1) l
2 5 0x y+ − = 2 5 0x y+ − =
2 3 7 0x y+ − = 3 2 8 0x y+ − =
l l
l (2,1)
l 2
1 2k = − = −
(2,1) l
1 2( 2)y x− = − −
2 5 0x y+ − =故选：B．
【点睛】本题考查直线方程的点斜式，是基础题．
15.已知向量 、 、 满足 ，且 ，则 、 、 中最小的值
是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
利用已知条件作差比较可知.
【详解】因为 , 所以 ,
所以 ,
所以 ,
同理可得, ,
故 最小.
故选 .
【点睛】本题考查了平面向量的数量积和比较法比较大小,属于中档题.
16.如图，边长为 4 正方形 中，半径为 1 的动圆 的圆心 在边 和 上移动
（包含端点 、 、 ）， 是圆 上及其内部的动点，设 （ ），
则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
的
a b c 0a b c+ + = 2 2 2
a b c<
a b b c⋅ > ⋅
a c b c⋅ > ⋅
b c⋅
B
ABCD Q Q CD DA
A C D P Q BP mBC nBA= + ,m n∈R
m n+
[ 2 1,2 2 1]− + [4 2 2,4 2 2]− +
2 2[1 ,2 ]2 2
− + 2 2[1 ,2 ]4 4
− +【答案】D
【解析】
【分析】
建立如图所示平面直角坐标系，可得 的坐标，进而可得 的坐标．分类讨论，当动
圆 的圆心在 上运动或在 上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点 坐标，
再利用三角函数求 的最值．
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，可得，
，可得 ，
当点 在 上运动时，设 ，
则点 在圆 ： 上及内部，
故可设 ，
则 ，
，
，
，
,BA BC BP
Q CD AD P
m n+
(0,4), (4,0)BA BC= = (4 ,0) (0,4 ) (4 ,4 )BP m n m n= + =
Q CD (4, ), [0,4]Q t t ∈
P Q 2 2( 4) ( ) 1x y t− + − =
(4 cos , sin ), ( ,0 1)P r t r R rθ θ θ+ + ∈ ≤ ≤
(4 cos , sin )BP r t rθ θ= + +
4 4 cos
4 sin
m r
n t r
θ
θ
= +∴ = +
4 4 4 (sin cos ) 4 2 sin 4m n t r t r
πθ θ θ ∴ + = + + + = + + +
0 4, 0 1,t r Rθ≤ ≤ ≤ ≤ ∈当 时， 取最小值为 ，即 ；
当 时， 取最大值为 ，即 ，
的取值范围是 ；
当点 在 上运动时，设 ，
则点 在圆 ： 上及其内部，
故可设 ，
则 ，
，
，
，
当 时， 取最小值为 ，即 ；
当 时， 取最大值为 ，即 ，
的取值范围是 ；
故选：D．
【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查
了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
17.已知 的顶点 、 、 ，试求：
（1）求 边的中线所在直线方程；
（2）求 边上的高所在直线的方程.
50, 1, 4t r
πθ= = = m n+ 4 2
4
− 21 4
−
4, 1, 4t r
πθ= = = m n+ 8 2
4
+ 22 4
+
m n∴ + 2 21 ,24 4
− +
Q AD ( ,4), [0,4]Q s s∈
P Q 2 2( ) ( 4) 1x s y− + − =
( cos ,4 sin ), ( , 0 1)P s r r R rθ θ θ+ + ∈ ≤ ≤
( cos ,4 sin )BP s r rθ θ= + +
4 cos
4 4 sin
m s r
n r
θ
θ
= +∴ = +
4 4 4 (sin cos ) 4 2 sin 4m n s r s r
πθ θ θ ∴ + = + + + = + + +
0 4, 0 1,s r Rθ≤ ≤ ≤ ≤ ∈
50, 1, 4s r
πθ= = = m n+ 4 2
4
− 21 4
−
4, 1, 4s r
πθ= = = m n+ 8 2
4
+ 22 4
+
m n∴ + 2 21 ,24 4
− +
ABC∆ ( 2,1)A − (4,3)B (2, 2)C −
AB
AC【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求出线段 的中点坐标，利用两点式方程求出 边上的中线所在的直线方程；
（2）求出 边所在直线的斜率，进而可以求出 边上的高所在直线的斜率，利用点斜式
求 边上的高所在的直线方程．
【详解】解：（1）线段 的中点坐标为
所以 边上的中线所在直线的方程是： ，
即 ；
（2）由已知 ，则 边上高的斜率是 ，
边上的高所在直线方程是 ，
即 ．
【点睛】本题考查直线的点斜式，两点式求直线的方程，属于基础题．
18.已知 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为
.
（1）求直线 经过的定点坐标；
（2）讨论直线 和 的位置关系.
【答案】（1） ；（2）当 时，直线 和 平行；当 时，直线 和 重合；
当 且 时，直线 和 相交.
【解析】
【分析】
（1）将直线 的方程改写为 ，令 ，求解 的值，
可得答案；
4 6 0x y+ − = 4 3 7 0x y− − =
AB AB
AC AC
AC
AB (1,2)
AB 2 1
2 2 2 1
y x− −=− − −
4 6 0x y+ − =
1 ( 2)
2 2
3
4ACk = −
− = −−
− AC 4
3
AC 3
43 ( 4)y x− = −
4 3 7 0x y− − =
m∈R 1l ( 1) (2 1) 3m x m y m+ − − = 2l
(3 1) (4 1) 5 4m x m y m+ − − = +
1l
1l 2l
(1, 1)− 0m = 1l 2l 2m = 1l 2l
0m ≠ 2m ≠ 1l 2l
1l (x 2y 3) (x y) 0m − − + + = 2 3 0
0
x y
x y
− − =
+ =
,x y（2）联立方程，得 ，求解交点 ，讨论即可；
【详解】解：（1）将直线 的方程改写为 ，
令 ，解得： ，
即直线 的过定点 ；
（2）联立方程，得 ．
解得 ，
当 且 时， ，两直线相交；
当 时， ，两直线平行；
当 时， ，两直线重合．
【点睛】本题主要考查两条直线平行、垂直、相交的判定方法，属于基础题．
19.已知向量 ＝(3，－4)， ＝(6，－3)， ＝(5－m，－3－m)．
（1）若点 A，B，C 不能构成三角形，求实数 m 满足的条件；
（2）若△ABC 为直角三角形，求实数 m 的值．
【答案】（1） ；（2），m＝ 或－ 或 ．
【解析】
【详解】（1）∵ ＝(3，－4)， ＝(6，－3)， ＝(5－m，－3－m)，
若 A，B，C 三点不能构成三角形，则这三点共线，
∵ ＝(3,1)， ＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)＝2－m，∴m＝ 即为满足的条件．
（2）由题意，△ABC 为直角三角形，
①若∠A＝90°，则 ⊥ ，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，∴m＝ ．
②若∠B＝90°，则 ⊥ ，∵ (－1－m，－m)，∴3(－1－m)＋(－m)＝0，∴m＝－
( 1) (2 1) 3
(3 1) (4 1) 5 4
m x m y m
m x m y m
+ − − =
+ − − = + D
1l (x 2y 3) (x y) 0m − − + + =
2 3 0
0
x y
x y
− − =
+ =
1
1
x
y
=
= −
1l (1, 1)−
( 1) (2 1) 3
(3 1) (4 1) 5 4
m x m y m
m x m y m
+ − − =
+ − − = +
2 ( 2), 2( 1)( 2), 2(2 1)( 2)x yD m m D m m D m m= − = − − − = − + −
0m ≠ 2m ≠ 0D ≠
0m = 0, 0xD D= ≠
2m = 0x yD D= =
OA OB OC
1
2m = 7
4
3
4
1
2
5±
OA OB OC
AB AC 1
2
AB AC 7
4
AB BC BC．
③若∠C＝90°，则 ⊥ ， ∴(2－m)(－1－m)＋(1－m)(－m)＝0，
∴m＝ .综上可得，m＝ 或－ 或 .
20.已知 ， ， ，若 ，
（ ）.
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 在 条件下的最小值；
（3）把 图像按向量 平移得到曲线 ，过坐标原点 作 、 分
别交曲线 于点 、 ，直线 交 轴于点 ，当 为锐角时，求 的取
值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）根据向量数量积的坐标公式即可求 的解析式；
（2）通过矩阵的计算公式，求出 的表达式，然后利用基本不等式求最值即可；
（3）根据向量平移关系即可求出曲线 的解析式，设 ，根据
为锐角时，建立不等式关系进行求解即可．
【详解】解：（1） ，
，
，
，
的
3
4
BC AC
1
2
5± 7
4
3
4
1
2
5±
(2,1)OA = (1,7)OB = (5,1)OC = OD xOA= ( )f x DB DC= ⋅
,x y∈R
( )y f x=
( ) 4
( ) 15
f x
g x
x
−
= 1 2x≤ ≤
( )y f x= ( 2,8)a = − C O OM ON
C M N MN y 0(0, )Q y MON∠ 0y
2( ) 5 20 12f x x x= − + 4 15 1( ,0) ( , )5
−∞ +∞
( )y f x=
( )g x
C ( ) ( )2 2,5 , ,5M m m N n n MON∠
(2 , ), (2 , )OD x OA x x D x x= ⋅ = ∴
(1,7), (5,1)OB OC= =
(1,7), (5,1)B C∴ =
(1 2 ,7 ), (5 2 ,1 )DB x x DC x x∴ = − − = − − 则 ，
即 ；
（2）由已知得：
，
当且仅当 ，即 时取到最小值，
函数 在 条件下的最小值为 ；
（3） ，
的图象按向量 平移后得到曲线 为 ；
设 ，
则直线 的方程为 ，
令 ，则 ，
若 为锐角，因为 不可能共线，则 ，
或 ，
或 ，
即 或 ，
故 取值范围是 ．
【点睛】本题主要考查向量的数量积公式的应用，以及向量平移的关系，考查学生的运算能
力．
21.已知点 和非零实数 ，若两条不同的直线 、 均过点 ，且斜率之积为 ，则称直线
的
2(1 2 ,7 ) (5 2 ,1 ) 5 20 12y DB DC x x x x x x= ⋅ = − − ⋅ − − = − +
2( ) 5 20 12f x x x= − +
( ) 4 ( ) 12 12 12( ) 20 5 20 20 5 2 5 4 1515
f x f xg x x x xx x x xx
−
= = + = − + + = + ≥ ⋅ =
125x x
= [ ]2 15 1,25x = ∈
( ) 4
( ) 15
f x
g x
x
−
= 1 2x≤ ≤ 4 15
2 2( ) 5 20 12 5( 2) 8y f x x x x= = − + = − −
( )y f x∴ = ( 2,8)a = − C 25y x=
( ) ( )2 2,5 , ,5M m m N n n
MN
2
2 2
5
5 5
y n x n
m n m n
− −=− −
0x = 0y 5mn= −
MON∠ , ,M O N 2 225 0OM ON mn m n⋅ = + >
1
25mn∴ < − 0mn >
0 1
5 25
y∴− < − 0 05
y− >
0y 0< 0
1
5y >
0y 1( ,0) ,5
−∞ ∪ +∞
P λ 1l 2l P λ、 是一组“ 共轭线对”，如直线 和 是一组“ 共轭线对”，其
中 是坐标原点.
（1）已知 、 是一组“ 共轭线对”，且知直线 ，求直线 的方程；
（2）如图，已知点 、点 和点 分别是三条倾斜角为锐角的直线 、
、 上的点（ 、 、 与 、 、 均不重合），且直线 、 是“ 共轭线
对”，直线 、 是“ 共轭线对”，直线 、 是“ 共轭线对”，求点 的坐标；
（3）已知点 ，直线 、 是“ 共轭线对”，当 的斜率变化时，求原点 到直
线 、 的距离之积的取值范围.
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）由 可得直线 的斜率，进而可得直线 的方程；
（2）设直线 的斜率分别为 ，可得 ，求解可得 的值，
进一步得到直线 与直线 的方程，联立得 的坐标；
（3）设 ，其中 ，利用两点间的距离公式可
得原点 到直线 、 的距离，变形后利用基本不等式求解．
【详解】解：（1）由已知得 ，又 ，
1l 2l Pλ 1 2:l y x=
2
1: 2l y x= − 1O−
O
1l 2l 3O− 1 2:l y x= 2l
(0,1)A ( 1,0)B − (1,0)C PQ
QR RP A B C P Q R PR PQ 1P
QP QR 4Q RP RQ 9R P
( 1, 2)Q − − 1l 2l 2Q− 1l O
1l 2l
3
2y x= − (3,3) 3 3( , )5 5 [0, 2)
1 2
3l lk k = − 2l 2l
, ,PR PQ QR 1 2 3, ,k k k
1 2
2 3
3 1
1
4
9
k k
k k
k k
=
=
=
1 2 3, ,k k k
RP RQ P
1 2
2: 2 ( 1), : 2 ( 1)y k x l y xkl
−+ = + + = + 0k ≠
O 1l 2l
1 2
3l lk k = −
1
2lk =直线 的方程 ；
（2）设直线 的斜率分别为 ，
则 ，得 或 ．
当 时，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立得 ；
当 时，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立得 ．
故所求为 或 ；
（3）设 ，其中 ，
故
．
由于 （等号成立的条件是 ），
故 ．
【点睛】本题考查直线方程的点斜式及交点坐标，考查点到直线距离公式的运用，训练了利
用基本不等式求最值，难度较大，对学生的理解能力要求较高．
2
3
2lk∴ = −
∴ 2l 3
2y x= −
, ,PR PQ QR 1 2 3, ,k k k
1 2
2 3
3 1
1
4
9
k k
k k
k k
=
=
=
1 2 3
3 2, , 62 3k k k= = = 1 2 3
3 2, , 62 3k k k= − = − = −
1 2 3
3 2, , 62 3k k k= = =
PR 3 ( 1)2y x= − PQ 2 13y x= + (3,3)P
1 2 3
3 2, , 62 3k k k= − = − = −
PR 3 ( 1)2y x= − − PQ 2 13y x= − + 3 3,5 5P
(3,3)P 3 3,5 5P
1 2
2: 2 ( 1), : 2 ( 1)y k x l y xkl
−+ = + + = + 0k ≠
( )( )
2
1 2 2 2 2
2
2 2 2| 2 | 2
41 1 41
kk kd d
k k k
k
− − −−= ⋅ = ⋅
+ + ++
4 2 2
4 2 4 2
2
2
4 4 9 92 2 1 2 1 45 4 5 4 5
k k k
k k k k k k
− += ⋅ = ⋅ − = ⋅ −+ + + + + +
2
2
4 5 9k k
+ + ≥ 2 2k =
1 2
2
2
91 [0,1), [0, 2)4 5
d d
k k
− ∈ ∈
+ +
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