七宝中学高二期中数学卷
一、填空题
1.已知向量 ，若 ，则 _________ .
【答案】
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ， ，即
，解得 ．
考点：向量垂直的性质，考查学生的基本运算能力．
2.把 表示成一个三阶行列式是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据行列式第一列进行展开,由其逆运算即可得结果.
【详解】根据行列式按第一列展开式,可得
故答案为:
【点睛】本题考查了行列式按列展开的概念和运算,注意运算的格式,属于基础题.
3.已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影为________.
( ) ( )1,1 , 2,2m nλ λ= + = + ( ) ( )m n m n+ ⊥ − =λ
3−
( ) ( )m n m n+ ⊥ − ( ) ( ) 2 2 0m n m n m n+ ⋅ − = − = 2 2m n=
2 2 2( 1) 1 ( 2) 2λ λ+ + = + + 3λ = −
2 2 1 1 1 1
3 3 3 3 2 2
2 3x y x y x y
x y x y x y
+ +
1 1
2 2
3 3
2
1
3
x y
x y
x y
−
2 2 1 1 1 1
3 3 3 3 2 2
2 3x y x y x y
x y x y x y
+ +
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 3 12 2 1 1 1 1
3 3 3 3 2 2
=2 1 1 1 3 1x y x y x y
x y x y x y
+ + +⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅
1 1
2 2
3 3
2
1
3
x y
x y
x y
= −
1 1
2 2
3 3
2
1
3
x y
x y
x y
−
(1,2)a = (3, 4)b = − a b【答案】
【解析】
【分析】
根据向量在向量上的投影的定义,结合向量数量积和模长公式计算可得.
【详解】由定义可得向量 在向量 上的投影为
.
故答案为: .
【点睛】本题考查了向量在向量上的投影,平面向量数量积和模长公式,属于基础题.,
4.若 ， ，则过 、 两点的直线 l 的方程为
________.
【答案】
【解析】
分析】
根据 、 都在同一直线上,结合两点确定一条直线可知直线的唯一性,即得
直线方程.
【详解】若 ,
则点 在直线 上,
点 在直线 上
即 、 都在同一直线 上
因为两点确定一条直线,所以由 、 确定的直线即为
故答案为:
【点睛】本题考查了直线方程的意义,两点确定一条直线,属于基础题.
5.已知点（3，1）和（- 4，6）在直线 3x-2y+a=0 的同侧，则 a 的取值范围是
【
1−
a b | | cos ,
| |
a ba a b
b
⋅< >=
2 2
1 3 2 ( 4)
3 ( 4)
× + × −=
+ −
1= −
1−
1 13 4 2x y− = 2 23 4 2x y− = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
3 4 2 0x y− − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
1 13 4 2x y− = 2 23 4 2x y− =
( )1 1,A x y 3 4 2 0x y− − =
( )2 2,B x y 3 4 2 0x y− − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 3 4 2 0x y− − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 3 4 2 0x y− − =
3 4 2 0x y− − =【答案】
【解析】
试 题 分 析 ： 因 为 点 （ 3 ， 1 ） 和 （ - 4 ， 6 ） 在 直 线 3x-2y+a=0 的 同 侧 ， 所 以
，解得 a24
考点：二元一次不等式表示的平面区域
6.直线 过点 且在两坐标轴上的截距相等，则直线 方程是__________.
【答案】x+y+8＝0 或 3x﹣5y＝0．
【解析】
【分析】
当直线经过原点时，直线方程为 y＝ x；当直线不经过原点时，设直线方程为 x+y＝a，把点
A 的坐标代入即可得出．
【详解】当直线经过原点时，直线方程为 y＝ x，即 3x﹣5y＝0；
当直线不经过原点时，设直线方程为 x+y＝a，∵直线 l 过点 A（﹣5，﹣3），
∴﹣3﹣5＝a，∴a＝﹣8，∴直线方程为 x+y﹣8＝0．
综上，直线方程为 x+y+8＝0 或 3x﹣5y＝0．
故答案为：x+y+8＝0 或 3x﹣5y＝0．
【点睛】本题考查了直线方程的求法，考查了分类讨论思想，属于基础题．
7.点 关于直线 的对称点坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】
设出对称点坐标,根据两个对称点的中点位于直线上,及两直线垂直时的斜率关系,联立方程
组即可得对称点的坐标.
【详解】设对称点的坐标为
则 中点坐标为
则 在直线 上,即
l ( )5, 3A − − l
3
5
3
5
( )1,5A − 9 0x y− + =
( )4,8−
( ),B a b
AB 1 5,2 2
a bM
− +
M 9 0x y− + = 1 5 9 02 2
a b− +− + =根据 与直线垂直,斜率的关系可得
即 ,解方程组可得
即对称点的坐标为
故答案为:
【点睛】本题考查了点关于直线对称点的坐标求法,两直线垂直的斜率关系,属于基础题.
8.已知 P 是 内部一点 ，记 、 、 的面积分
别为 、 、 ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
延长 到 ,使得 ;延长 到 ,使得 ,构造出 ,根据线段
关系及三角形面积公式即可求得面积比.
【详解】延长 到 ,使得 ;延长 到 ,使得 ,如下图所示:
则 可化为
所以 为 的重心
AB ( )
5 1 11
b
a
− ⋅ = −− −
( )
1 5 9 02 2
5 1 11
a b
b
a
− + − + = − ⋅ = −− −
4
8
a
b
= −
=
( )4,8−
( )4,8−
ABC△ 2 3PA PB PC+ + = 0 PBC PAC PAB△
1S 2S 3S : :1 2 3S S S =
1: 2:3
PB 'B ' 2PB PB= PC 'C ' 3PC PC= ' 'AB C∆
PB 'B ' 2PB PB= PC 'C ' 3PC PC=
2 3 0PA PB PC+ + = ' ' 0PA PB PC+ + =
P ' 'AB C∆设
则
所以
故答案为:
【点睛】本题考查了向量加法法则的应用,三角形面积的表示方法,需要构造三角形解决问题,
属于中档题.
9.在 中， ， ，D 是 BC 边的中点，则 ________.
【答案】12
【解析】
【分析】
根据三角形中线可知 ,结合向量减法运算即可表示出 ,转化为
与 的等式,即可求得 的值.
【详解】在 中,D 是 BC 边的中点
所以
因为
所以
因为 ,
' ' ' 'PAB PAC PB CS S S k∆ ∆ ∆
= = =
3 '
1 1
2 2PAB PABS S S k∆ ∆
= = =
3 '
1 1
2 2PAB PABS S S k∆ ∆
= = =
2 '
1 1
3 3PAC PACS S S k∆ ∆
= = =
' '
1
1 1 1 1sin sin2 2 2 3PBCS S PB PC BPC PB PC BPC∆
= = × × ∠ = × × ∠
' '
' '
1 1 1 1sin6 2 6 6PB CPB PC BPC S k∆
= × × × ∠ = =
1 2 3
1 1 1: : : : 1:2:36 3 2S S S k k k = =
1: 2:3
ABC∆ 5AB = 7AC = AD BC⋅ =
( )1
2AD AB AC= + AD BC⋅
AC AB AD BC⋅
ABC∆
( )1
2AD AB AC= +
BC AC AB= −
( )( )1
2AD BC AB AC AC AB⋅ = + −
( ) ( )2 22 21 1
2 2AC AB AC AB= − = −
5AB = 7AC =所以
即
故答案为:
【点睛】本题考查了向量的加法及减法运算,平面向量数量积的应用,属于基础题.
10.在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点 满足 ，由点
集 所表示的区域的面积是__________．
【答案】4
【解析】
【详解】由| |＝| |＝ · ＝2，知 cos∠AOB＝ ，又 0≤∠AOB≤π，则∠AOB＝
，又 A，B 是两定点，可设 A( ，1)，B(0,2)，P(x，y)，
由 ＝λ ＋μ ，可得 ⇒ .
因为|λ|＋|μ|≤1，所以 ＋ ≤1，
等价于
由可行域可得 S0＝ ×2× ＝ ，所以由对称性可知点 P 所表示的区域面积 S＝4S0＝4
( ) ( )2 2 2 21 1 7 5 122 2AC AB− = − =
12AD BC⋅ =
12
O ,A B · 2OA OB OAOB = = =
{ | , 1, , }P OP OA OB Rλ µ λ µ λ µ= + + ≤ ∈
3
OA OB OA OB 1
2
3
π
3
OP OA OB 3{
2
x
y
λ
λ µ
＝ ，
＝ ＋
3
3{
3
2 6
x
y x
λ
µ
=
= −
3
3 x 3
2 6
y x−
1
2 3 311.在平面上， ， ， ，若 ，则 的
取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根 据 题 意 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 设 出 、 、 、 的 坐 标 , 由 及
可得关于 O 点坐标的不等式组,结合两点间距离公式即可表示出 的取值范围.
【详解】因为 ,
则 为矩形,以 所在直线为 轴,以 为 轴建立平面直角坐标系.如下图所示:
设 ,
则 , , ,
因为
所以 变形可得
因为 ,即
由以上两式可得
即
3
1 2AB AB⊥
1 2| | | | 1OB OB= =
1 2AP AB AB= + 1| | 2OP nl
( 1,2, ,2 )il i n=
1L 2L nL
( )1,1 nL∈ 1n n nk a b+ = − 1nk + 1nL +
na nb nL 1 0n nk k + > ( )*n∈N【答案】（1）① ；② ， ；（2）不存在.
【解析】
【分析】
（1）根据直线的方向向量可得直线的斜率,结合点斜式即可求得直线方程;根据直线平行且过
原点,可得直线 的方程,由平行线间距离公式可得 n 与 d 的关系式,设出直线 的方程,根据
点到直线距离公式可求得直线方程.
（2）假设存在这样的直线簇.先求得 , 的表达式,进而表示出 .通过迭加法求得
,即可证明当 时, 与 不能成立.
【详解】（1）①直线 l 方向向量为
所以直线的斜率为
直线 l 过点 ,由点斜式方程可得
即直线 l 的方程为： ；
②直线 且经过原点,
直线 的方程为：
由题意知直线 到 l 的距离为 ,根据平行线间距离公式可得
则
设直线 方程为：
由题意知：直线 到直线 l 的距离为 ,
的
4 0x y− + = ( )*2 2d nn
= ∈N 4 1 0ix y n
− + − =
nl il
na nb 1nk +
1n nk k+ − 2
1n k> 1 0nk + < 1 0nk + >
( )3,3m =
3 13k = =
5 3,2 2P −
3 512 2y x − = × +
4 0x y− + =
//nl l
∴ nl 0x y− =
nl nd ( )22
4
1 1
nd=
+ −
( )*2 2d nn
= ∈N
( 1,2, ,2 )il i n= ( )0 4i ix y C C− + = <
( 1,2, ,2 )il i n=
4
2
iC id
− =
4 1i
iC n
∴ = − 所以直线 的方程为： ；
（2）假设存在满足题意的直线簇．由①知 的方程为： , ,
分别令 , 得 , ,
由 ,即 , ,
迭加得 ．
由③知所有的 同号,仅讨论 的情形,
由 ,
所以
显然,当 时, 与 矛盾！
故满足题意的直线簇不存在．
【点睛】本题考查了直线的方向向量与点斜式方程,点到直线距离公式的应用,直线方程的新
定义应用,正确理解题目所给条件是关键,属于难题.
( 1,2, ,2 )il i n= 4 1 0ix y n
− + − =
nL ( )1 1ny k x− = − 1,2,3,n =
0y = 0x = 11n
n
a k
= − 1n nb k= −
1
1
n n n n
n
k a b k k+ = − = − 1
1
n n
n
k k k+ − = − 1,2,3,n =
1 1
1 2
1 1 1
n
n
k k k k k+
= − + + +
( )1,2,3, , ,ik i n= 0nk >
1
1
1 1 10n n
n n n
k k k k k+
+
− = − < ⇒ >
1 1 1
1 2 1
1 1 1
n
n
nk k kk k k k+
= − + + + < −
2
1n k> 1 0nk + < 1 0nk + >
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