乐山十校高 2021 届第三学期半期联考
数学（文科）测试卷
一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分）
1.观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ）
A. ①③⑤ B. ①⑥ C. ①③⑥ D. ③④⑥
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用棱柱的定义判断即可．
【详解】由棱柱的定义可知：①③⑤满足棱柱的定义．
故选：A．
【点睛】本题考查棱柱的判断，定义的应用，是基础题．
2.直线 ： 和圆 的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切或相交
C. 相交 D. 相切
【答案】C
【解析】
【分析】
直线 l：y﹣1＝k（x﹣1）恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上，直线的斜率存在，故可知直
线 l：y﹣1＝k（x﹣1）和圆 C：x2+y2﹣2y＝0 的关系．
【详解】圆 C：x2+y2﹣2y＝0 可化为 x2+（y﹣1）2＝1
∴圆心为（0，1），半径为 1
∵直线 l：y﹣1＝k（x﹣1）恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上且直线的斜率存在
l ( )1 1y k x− = − 2 2 2 0x y y+ − =∴直线 l：y﹣1＝k（x﹣1）和圆 C：x2+y2﹣2y＝0 的关系是相交，
故选：C．
点睛】本题考查的重点是直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线恒过定点，此题易误
选 B，忽视直线的斜率存在
3.圆心在 轴上，半径为 ，且过点 的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
∵圆心在 轴上， 项圆心为 不合要求，排除选项 ，又∵圆过点 ，可排除选项
， ，只有 项符合题意，故选 ．
4.设 是直线， ， 是两个不同的平面（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】B
【解析】
【分析】
利用线面平行,垂直和面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择.
【详解】对于 A．若 l∥α，l∥β，则 α∥β 或 α，β 相交，故 A 错；对于 B．若 l∥α，
l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过 l 的平面 γ∩α＝m，即有 m∥l，m⊥β，再由面面
垂直的判定定理，得 α⊥β，故 B 对；对于 C．若 α⊥β，l⊥α，则 l∥β 或 l⊂β，故 C
错；对于 D．若 α⊥β，l∥α，若 l 平行于 α，β 的交线，则 l∥β，故 D 错．
故选:B．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
考查空间想象能力，是中档题．
【
y 1 (1,2)
2 2( 2) 1x y+ + = 2 2( 2) 1x y+ − =
2 2( 1) ( 3) 1x y− + − = 2 2( 3) 1x y+ − =
y C (1,3) C (1,2)
A D B B
l α β
l α l β∥ α β∥ l α l β⊥ α β⊥
α β⊥ l α⊥ l β∥ α β⊥ l α l β⊥5.已知正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，那么异面直线 ，
所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为 2，以 DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标
系，利用向量法能够求出异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值．
【详解】设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为 2，以 DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，
建立空间直角坐标系如图：
则 A（2，0，0），E（2，2，1）D1（0，0，2），F（0，2，1）
∴ （0，2，1）， （0，2，﹣1），
设异面直线 AE 与 D1F 所成角为 θ，
则 cosθ＝|cos ， |＝|0 | ．
故选：B．
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解
答，注意向量法的合理运用．
6.点 与圆 上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A.
【
1 1 1 1ABCD A B C D− E F 1BB 1CC AE
1D F
4
5
3
5
2
3
5
7
AE =
1D F =
AE＜ 1D F＞ 0 4 1
5 5
+ −
⋅
3
5
=
(4, 2)P − 2 2 4x y+ =
2 2( 2) ( 1) 1x y− + + =B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
试题分析：设圆上任一点为 ， 中点为 ，根据中点坐标公式得，
， 因 为 在 圆 上 ， 所 以 ， 即
，化为 ，故选 A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的
常见方法有:①直接法，设出动点的坐标 ，根据题意列出关于 的等式即可；②定义
法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把 分别用第三个变
量表示，消去参数即可；④逆代法，将 代入 .本题就是利用方法④
求 的轨迹方程的.
7.下列四个命题:
(1)存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都
平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该
直线平行.其中正确的命题的个数是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
(1)将一个平面内的两条相交直线平移到平面外,且平移后不相交,则这两条直线异面且与该
平面平行,故正确;(2)当过该点的平面过其中一条直线时,这个平面与两条异面直线都平行是
【
2 2( 2) ( 1) 4x y− + + =
2 2( 4) ( 2) 4x y+ + − =
2 2( 2) ( 1) 1x y+ + − =
( )0 0,Q x y PQ ( ),M x y
0
0
2 4{ 2 2
x x
y y
= −
= + ( )0 0,Q x y 2 2 4x y+ = 2 2
0 0 4x y+ =
( ) ( )2 22 4 2 2 4x y− + + = 2 2( 2) ( 1) 1x y− + + =
( ),x y ,x y
,x y
( )
( )0
0
{x g x
y h x
=
= ( )0 0, 0f x y =
M
1 2 3 4错误的,故不正确;(3)显然正确;(4)显然正确.故答案为 C.
8.圆 与 的公切线有且仅有（ ）
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
【答案】B
【解析】
【分析】
利用几何法判断出两圆的位置关系，即可得出两圆的公切线条数.
【 详 解 】 圆 的 标 准 方 程 为 ， 圆 的 标 准 方 程 为
，
两圆心分别为 、 ，半径分别为 ，
，两圆相交，因此，两圆有 条公切线，
故选：B.
【点睛】本题考查两圆公切线条数的判断，本质上还是要判断两圆的位置关系，同时也考查
熟悉两圆公切线条数与两圆位置之间的关系，考查推理能力，属于基础题.
9. 圆台上、下底面面积分别是 π、4π，侧面积是 6π，这 个圆台的体积是（ ）
A. π B. 2 π C. π D. π
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求得底面半径和圆台的高，然后求解其体积即可.
【详解】由于圆台上、下底面面积分别是 、 ，故上下底面半径为 ,
由侧面积公式可得： ，则圆台的母线 ，圆台的高 ，
这个圆台的体积： .
本题选择 D 选项.
【点睛】本题主要考查圆台的结构特征，圆台的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力
2 2
1 : 2 2 2 0C x y x y+ + + − = 2 2
2 : 4 2 1 0C x y x y+ − − + =
1 2 3 4
1C ( ) ( )2 21 1 4x y+ + + = 2C
( ) ( )2 22 1 4x y− + − =
( )1 1, 1C − − ( )2 2,1C 1 2 2r r= =
1 2 1 211 4C C r r= < + = 2
2 3
3 3 7 3
6
7 3
3
π 4π 1, 2r R= =
( )2 1 6lπ π× + = 2l = 2 22 1 3h = − =
( ) ( )2 21 1 7 33 4 1 23 3 3V h R r Rrπ π π= + + = × × + + =和计算求解能力.
10.过点(1,-2)作圆(x－1)2＋y2＝1 的两条切线,切点分别为 A、B，则 AB 所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：圆 的圆心为 ，设点 ，则以线段 为直径的圆的
方程为
，两圆方程相减可得 即为 所在直线的方程，选 B
考点：圆的切线方程
11.方程 有两个不等实根，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：方程 有两个不等实根等价于函数 的图像（上半
圆）与函数 : 的图像（过定点 A（2，3）的动直线）有两个不同的交点（如
下图）。显然当直线 在直线 a、b 之间时，两图像有两个交点，不包含直线 a(直线 a 为圆的
一条切线).由圆心到直线 a 的距离等于半径可得， .而直线 a 的斜率为 ,所以
的取值范围是 。故选 D。
3
4y = − 1
2y = - 3
2y = − 1
4y = −
2 2( 1) 1x y− + = (1,0)E (1, 2)C − EC
( )22( 1) 1 1x y− + + = 1
2y = − AB
24 ( 2) 3x k x− = − + k
5(0, )12
1 3,3 4
5( , )12
+∞ 5 3( , ]12 4
24 ( 2) 3x k x− = − + 24y x= −
( 2) 3y k x= − +
k 5 3( , ]12 4考点：直线与圆的综合问题。
【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程 的实根常将参数移到一边转化为值域
问题。（1）已知含参数方程 有解，求参数范围问题。一般可作为代数问题求解，即
对 进行参变分离，得到 的形式，则所求 a 的范围就是 的值域。（2）
当研究程 的实根个数问题，即方程 的实数根个数问题时，也常要进行参变
分离，得到 的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解.（3）将方程化为形如
,常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界
值（本题中直线 a、b 位置是临界位置，其对应的斜率是临界值），然后总结答案即可（本题
即为该法）。
12.如图所示，在直角梯形 中， ， 分别是 上的
点， ，且 （如图①）.将四边形 沿 折起，连接
（如图②）.在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（ ）
① 平面 ；
BCEF 90CBF BCE∠ = ∠ = A D， BF CE，
AD BC∥ 2 2AB DE BC AF= = = ADEF AD
BE BF CE， ，
AC BEF② 四点不可能共面；
③若 ，则平面 平面 ；
④平面 与平面 可能垂直.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
对四个说法逐一分析，由此得出错误命题 个数.
【详解】①连接 ，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，易证明四边形
是平行四边形，即 ，所以 平面 ，所以①正确；
②若 四点共面，因为 ，所以 平面 ，可推出 ，
所以 ，这与已知相矛盾，故 四点不可能共面，所以②正确；
③连接 ，在梯形 中，易得 ，又 ，所以 平面
，即 ，所以 平面 ，则平面 平面 ，所以③正确；
④延长 至 ，使得 ，连接 ，易得平面 平面 ，过 作
于 ，则 平面 ，若平面 平面 ，则过 作直线与平面
垂直，其垂足在 上，前后矛盾，故④错误.综上所述，一共有 个说法错误.故选 B.
【点睛】本小题主要考查线面平行、四点共面、面面垂直等命题的真假性的判断，属于中档
题.
二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.若实数 ， 满足 ，那么 的最大值是______
【答案】
【解析】
【详解】解：满足等式（x-2）2+y2=3 的图形如下图所示：
的
B C E F， ， ，
EF CF⊥ ADEF ⊥ ABCD
BCE BEF
AC AC O BE M ,MO MF
AOMF AC FM∥ AC BEF
B C E F， ， ， BC AD∥ BC∥ ADEF BC EF∥
AD EF B C E F， ， ，
CF DF， ADEF EF FD⊥ EF CF⊥ EF ⊥
CDF CD EF⊥ CD ⊥ ADEF ADEF ⊥ ABCD
AF G AF FG= BG EG， BCE ⊥ ABF F
FN BG⊥ N FN ⊥ BCE BCE ⊥ BEF F BCE
BE 1
x y 2 2( 2) 3x y− + = y
x表示圆上动点与原点 O 连线的斜率，
由图可得动点与 B 重合时，此时 OB 与圆相切， 取最大值，
连接 BC，在 Rt△OBC 中，BC= ，OC=2
易得∠BOC=60°
此时 =
14.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为 5cm，两个直径为 5cm 的玻璃小球都浸没于水中，
若取出这两个小球，则水面将下降______cm.
【答案】
【解析】
【分析】
由两个小球的直径为 ，则半径为 ，得到两个小球的体积的和为 ，再由
圆柱的体积公式，列出方程，即可求解．
【详解】设取出小球后，容器中水面下降 ，
由两个小球的直径为 ，则半径为 ，
y
x
y
x
3
y
x 3
5
3
5cm 5
2 cm 3125 ( )3 cm
π
h cm
5cm 5
2 cm所以两个小球的体积为 ，
则 ，解得 ，
即若取出这两个小球，则水面将下降 .
故答案为
【点睛】本题主要考查了球的体积公式，以及圆柱的体积公式的应用，其中解答熟记球的体
积公式和圆柱的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础
题．
15.圆 x2＋y2－4＝0 与圆 x2＋y2－4x＋4y－12＝0 的公共弦的长为___．
【答案】
【解析】
【分析】
两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆
的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．
【详解】圆 与圆 的方程相减得： ，
由圆 的圆心 ，半径 r 为 2，
且圆心 到直线 的距离 ，
则公共弦长为 ．
故答案为 ．
【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．
16. 如图，已知六棱锥 P－ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABC，PA＝2AB，则下列结论
中：
①PB⊥AE；②平面 ABC⊥平面 PBC；③直线 BC∥平面 PAE；④∠PDA＝45°.
3
34 5 1252 ( )3 2 3 cm
π π × × =
2125 53 h
π π= × × 5
3h = cm
5
3 cm
5
3
2 2
2 2 4 0x y+ − = 2 2 4 4 12 0x y x y+ − + − = 2 0x y− + =
2 2 4 0x y+ − = ( )0,0
( )0,0 2 0x y− + = 0 0 2 2
2
d
− += =
2 22 2 4 2 2 2r d− = − =
2 2其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)
【答案】①④
【解析】
对于①，因为 PA⊥平面 ABC，所以 PA⊥AE，又 ，所以 平面
PAB，从而可得 ，故①正确。
对于②，由于 PA⊥平面 ABC，所以平面 ABC 与平面 PBC 不可能垂直，故②不正确。
对于③，由于在正六边形中 ，所以 BC 与 EA 必有公共点，从而 BC 与平面 PAE 有公
共点，所以直线 BC 与平面 PAE 不平行，故③不正确。
对于④，由条件得 为直角三角形，且 PA⊥AD，又 ，所以∠PDA=45°。
故④正确。
综上①④正确。
答案：①④
三、解答题（本题共 6 道小题，共 70 分）
17.已知一个几何体的三视图如图所示.
（1）求此几何体的表面积；
（2）如果点 ， 在正视图中所示位置， 为所在线段中点， 为顶点，求在几何体侧面的
表面上，从 点到 点的最短路径的长.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
,EA AB PA AB A⊥ ∩ = EA ⊥
EA PB⊥
BC AD∥
PAD∆ 2PA AB AD= =
P Q P Q
P Q
( ) 22 5S aπ= +表 21a π+（1）由三视图知：此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，底面圆半径长 a，圆柱高为
2a，圆锥高为 a．
（2）将圆柱侧面展开，在平面矩形内线段 PQ 长为所求．
【详解】（1）由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥
的侧面积、
圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.
， ， ，
所以 .
（2）沿 点与 点所在母线剪开圆柱侧面，如图.
则 ，所以从 点到 点在侧面上的最短路径
的长为 .
【点睛】本题考查由三视图求面积，解题的关键是由三视图还原出实物图的几何特征及其度
量，再由公式求出表面积，还考查曲面距离最值问题，采用化曲面为平面的办法．须具有空
间想象能力、转化、计算能力．
18.已知直线 ，圆 .
（1）试证明：不论 为何实数，直线 和圆 总有两个交点；
（2）求直线 被圆 截得的最短弦长.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
试题解析：（1）因 不论 k 为何实数，直线 l 总过点 A（1,0），而 ,所
以点 A 在圆 C 的内部，即不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点
（2）由几何性质过点 A（1,0）的弦只有和 AC 垂直时最短，而此时点 A（1，0）为弦的中点，
为
( ) ( ) 21 2 2 22S a a aπ π= ⋅ =圆锥侧
( ) ( ) 22 2 4S a a aπ π= ⋅ =圆柱侧
2S aπ=圆柱底
( )2 2 2 22 4 2 5S a a a aπ π π π= + + = +表
P Q
( )22 2 2PQ AP AQ a aπ= + = + 21a π= + P Q
21a π+
: 1l y kx= + 2 2:( 1) ( 1) 12C x y− + + =
k l C
l C
2 7
5 2 3AC R= < =由勾股定理，弦长为 ，
考点：本题考查直线与圆的位置关系
点评：解决本题的关键是利用圆的几何性质解题
19.如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ，
，点 在线段 上，且 ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求三棱锥 的体积．
【答案】（1）见解析；（2）体积为 18
【解析】
【分析】
（1）推导出 PN⊥AD，BN⊥AD，由此能证明 AD⊥平面 PNB．
（2）推导出 PN⊥平面 ABCD，点 P 到平面 ABCD 的距离为 3 ，由
，能求出三棱锥 P﹣NBM 的体积．
【详解】（1）如图，∵ ， 为 的中点，∴ ，
∵底面 为菱形， ，∴ ，∵ ，∴ 平面
.
（2）∵平面 平面 ，平面 平面 ， ，∴
平面 ，
∵ ， ，∴ ，点 到 的距离为 。
2 12 5 2 7− =
P ABCD− ABCD 60BAD∠ = °
6PA PD AD= = = M PC 2PM MC= N AD
AD ⊥ PNB
PAD ⊥ ABCD P NBM-
3
2 2
3 3P NBM M PNB C PNB P CNBV V V V− − − −= = =
PA PD= N AD PN AD^
ABCD 60BAD∠ = ° BN AD⊥ PN BN NÇ = AD ⊥
PNB
PAD ⊥ ABCD PAD ABCD AD= PN AD^ PN ^
ABCD
PN AD^ 6PA PD AD= = = 3 3PN = P ABCD 3 3∵ 平面 ， ，∴ 平面 ，∵ ,
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴三棱锥 的体积为 18.
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面
面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.已知坐标平面上动点 与两个定点 ， ，且 .
（1）求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中轨迹为 ，过点 的直线 被 所截得的线段长度为 8，求直线 的方
程.
【答案】（1） ，轨迹是以 为圆心，以 5 为半径的圆；（2）直
线 的方程为 或 .
【解析】
试题分析：（1）根据题意，分析可得 ，对其化简整理变形可得
，由圆的标准方程即可得答案；
（2）分两种情况讨论：①当直线 l 的斜率不存在，②当直线 l 的斜率存在时，每种情况下先
设出直线的方程，利用直线 l 被 C 所截得的线段长度为 8，可得关于 k 的方程，解可得 k 的值，
综合即可得答案．
试题解析：
（Ⅰ）由题意，得 ，即： ，
化简，得： ，
所以点 的轨迹方程是 .
轨迹是以 为圆心，以 5 为半径的圆.
AD ⊥ PNB / /AD BC BC ⊥ PNB 2PM MC=
2 2
3 3P NBM M PNB C PNB P CNBV V V V− − − −= = = 9 3CNBS∆ =
2 2 1 9 3 3 3 183 3 3P NBM P CNBV V− −= = × × × =
P NBM-
( , )M x y (26,1)P (2,1)Q 5MP MQ=
M
C ( 2,3)N − l C l
2 2 2 2 23 0x y x y+ − − − = (11)，
l 2x = − 5 12 46 0x y− + =
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
26 1
5
2 1
x y
x y
− + −
=
− + −
( ) ( )2 21 1 25x y− + − =
5MP
MQ
= ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
26 1
5
2 1
x y
x y
− + −
=
− + −
2 2 2 2 23 0x y x y+ − − − =
M ( ) ( )2 21 1 25x y− + − =
( )11，（Ⅱ）当直线 的斜率不存在时， ，
此时所截得的线段的长为 .
所以 符合题意.
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，
即 ，圆心到 的距离 ，
由题意，得 ，解得 .
所以直线 的方程为 ，
即 .综上，直线 的方程为 或 .
21.
在如图所示的多面体中，四边形 和 都为矩形。
（Ⅰ）若 ，证明：直线 平面 ；
（Ⅱ）设 ， 分别是线段 ， 的中点，在线段 上是否存在一点 ，使直线
平面 ？请证明你的结论。
【答案】（1）证明详见解析；（2）存在，M 为线段 AB 的中点时，直线 平面 .
【解析】
试题分析：（1）证直线垂直平面，就是证直线垂直平面内的两条相交直线.已经有
了，那么再在平面内找一条直线与 BC 垂直.据题意易得， 平面 ABC，所以 .
l : 2l x = −
2 22 5 3 8− =
: 2l x = −
l l ( )3 2y k x− = +
2 3 0kx y k− + + = l 2
3 2
1
kd
k
+=
+
2
2 2
2
3 2 4 5
1
k
k
+ + =
+
5
12k =
l 5 23 012 6x y− + =
5 12 46 0x y− + = l 2x = − 5 12 46 0x y− + =
1 1ABB A 1 1ACC A
AC BC⊥ BC ⊥ 1 1ACC A
D E BC 1CC AB M
/ /DE 1A MC
DE 1A MC
AC BC⊥
1AA ⊥ 1AA BC⊥由此得 平面 .（2）首先连结 ，取 的中点 O.考虑到 ， 分别是线段
， 的中点，故在线段 上取中点 ，易得 .从而得直线 平面 .
试题解析：（Ⅰ）因为四边形 和 都是矩形，
所以 .
因为 AB，AC 为平面 ABC 内的两条相交直线，
所以 平面 ABC.
因为直线 平面 ABC 内，所以 .
又由已知， 为平面 内的两条相交直线，
所以， 平面 .
（2）取线段 AB 的中点 M，连接 ，设 O 为 的交点.
由已知，O 为 的中点.
连接 MD，OE，则 MD，OE 分别为 的中位线.
BC ⊥ 1 1ACC A 1AC 1AC D E
BC 1CC AB M DE MO DE 1A MC
1 1ABB A 1 1ACC A
1 1,AA AB AA AC⊥ ⊥
1AA ⊥
BC ⊂ 1AA BC⊥
1, ,AC BC AA AC⊥ 1 1ACC A
BC ⊥ 1 1ACC A
1 1 1, , ,A M MC AC AC 1 1,AC AC
1AC所以， ，
连接 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 .
因为直线 平面 ， 平面 ，
所以直线 平面 .
即线段 AB 上存在一点 M（线段 AB 的中点），使得直线 平面 .
【考点定位】空间直线与平面的位置关系.
22.在平面直角坐标系 中，曲线 与坐标轴的交点都在圆 上．
（1）求圆 的方程；
（2）若圆 与直线 交于 ， 两点，且 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
分析：（1）因为曲线 与坐标轴的交点都在圆 上，所以要求圆的方程应求曲
线与坐标轴的三个交点。曲线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为
．由与 轴的交点为 关于点(3,0)对称，
故 可 设 圆 的 圆 心 为 ， 由 两 点 间 距 离 公 式 可 得 ， 解 得
． 进 而 可 求 得 圆 的 半 径 为 ， 然 后 可 求 圆 的 方 程 为
．（2）设 ， ，由 可得 ，进而
可 得 ， 减 少 变 量 个 数 。 因 为 ， ， 所 以
． 要 求 值 ， 故 将 直 线 与 圆 的 方 程 联 立 可 得
，消去 ，得方程 。因为直线与圆
有两个交点，故判别式 ，由根与系数的关系可得 ，
1 1, ,2 2MD AC OE AC MD OE∴
DE MO
DE ⊄ 1A MC MO ⊂ 1A MC
DE 1A MC
DE 1A MC
xOy 2 6 1y x x= − + C
C
C 0x y a− + = A B OA OB⊥ a
( ) ( )223 1 9x y− + − = 1a = −
2 6 1y x x= − + C
2 6 1y x x= − + y ( )0,1 x
( )3 2 2,0 ,+ ( )3 2 2,0− x ( )3 2 2,0 ,+ ( )3 2 2,0−
C ( )3,t ( ) ( )222 23 1 2 2t t+ − = +
1t = C ( )223 1 3t+ − = C
( ) ( )223 1 9x y− + − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y OA OB⊥ OA OB⊥
1 2 1 2 0x x y y+ = 1 1y x a= + 2 2y x a= +
( ) 2
1 2 1 22 0x x a x x a+ + + =
( ) ( )22
0,
3 1 9.
x y a
x y
− + = − + − =
y ( )2 22 2 8 2 1 0x a x a a+ − + − + =
256 16 4 0a a∆ = − − > 1 2 4x x a+ = −．代入 ，化简可求得 ，满足 ，故
．
详解：（1）曲线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为
．故可设 的圆心为 ，则有 ，
解得 ．则圆 的半径为 ，所以圆 的方程为
．
（2）设 ， ，其坐标满足方程组
消去 ，得方程 ．
由已知可得，判别式 ，且 ，
．
由于 ，可得 ．
又 ，
所以 ．
由得 ，满足 ，故 ．
点睛：⑴求圆的方程一般有两种方法：
① 待定系数法：如条件和圆心或半径有关，可设圆的方程为标准方程，再代入条
件可求方程；如已知圆过两点或三点，可设圆的方程为一般方程，再根据条件求
方程；
②几何方法：利用圆的性质，如圆的弦的垂直平分线经过圆心，最长的弦为直径，
圆心到切线的距离等于半径。
（2）直线与圆或圆锥曲线交于 ， 两点，若 ，应设 ， ，
可得 。可将直线与圆或圆锥曲线的方程联立消去 ，得关于 的一元二
次方程，利用根与系数的关系得两根和与两根积，代入 ，化简求值。
2
1 2
2 1
2
a ax x
− += ( ) 2
1 2 1 22 0x x a x x a+ + + = 1a = − 0∆ >
1a = −
2 6 1y x x= − + y ( )0,1 x
( )3 2 2,0 ,+ ( )3 2 2,0− C ( )3,t ( ) ( )222 23 1 2 2 t t+ − = +
1t = C ( )223 1 3t+ − = C
( ) ( )223 1 9x y− + − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) ( )22
0,
3 1 9.
x y a
x y
− + = − + − =
y ( )2 22 2 8 2 1 0x a x a a+ − + − + =
256 16 4 0a a∆ = − − > 1 2 4x x a+ = −
2
1 2
2 1
2
a ax x
− +=
OA OB⊥ 1 2 1 2 0x x y y+ =
1 1y x a= + 2 2y x a= +
( ) 2
1 2 1 22 0x x a x x a+ + + =
1a = − 0∆ > 1a = −
A B OA OB⊥ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
1 2 1 2 0x x y y+ = y x
1 2 1 2 0x x y y+ =
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