浙江省浙东北联盟2019-2020高二数学上学期期中试题（带解析Word版）

浙东北联盟(ZDB) 2019-2020 学年第一学期期中考试 高二数学试卷 一．选择题（共 10 小题） 1.椭圆 的焦点坐标为（ ） A. （﹣1，0），（1，0） B. C. （0，﹣1），（0，1） D. 【答案】A 【解析】 【分析】 判断焦点在 轴上，再求出 即可． 【详解】由椭圆方程知焦点在 轴， ，焦点坐标为 ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，由椭圆标准方程确定焦点坐标，可由变量 下面的分 母的大小确定焦点所在的轴，然后计算 ，可得焦点坐标． 2.圆 O：（x﹣1）2+y2=1 和直线 l：x﹣y+1=0 的位置关系是( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】 由圆心 O 到直线 l 的距离与半径比较，即可得到结论． 【详解】圆 O：（x﹣1）2+y2＝1，圆心坐标为 O（1，0），半径为 ． ∴圆心 O 到直线 x﹣y+1＝0 的距离为： ，∴直线与圆相 离． 故选：C． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，也考查了点到直线距离公式的应用，属于基础题． 3.如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，直线 D1B 与平面 BB1C1C 所成角 余弦值为（ ）的 2 2 14 3 x y+ = ( ) ( )3 0 3 0− ， ， ， ( ) ( )0 3 0 3−， ， ， x c x 4 3 1c = − = (1,0) ( 1,0)− ,x y 2 2c a b= − 1r = 2 2 1 0 1 2 2 1 21 1 d r − += = = > = +A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先作出并证明直线与平面所成的角，然后计算 【详解】∵ 平面 ，∴ 是直线 D1B 与平面 BB1C1C 所成角， 设正方体棱长为 ，在 中， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查直线与平面所成的角，解题时需先作出直线与平面所成的角，为此要过直 线上一点找（作）与平面垂直的直线，从而得直线在平面上的射影，得直线与平面所成的角， 再在直角三角形中求解即得． 4.某几何体的三视图如图，则它的体积是（ ） A. 6 B. 4+π C. 2+2π D. 2+π 【答案】D 【解析】 【分析】 3 3 2 2 3 2 6 3 1 1D C ⊥ 1 1BB C C 1 1D BC∠ a 1 1Rt BD C∆ 1 2BC a= 1BD 3a= 1 1 1 1 2 6cos 33 BCD BC BD ∠ = = =由三视图还原出原几何体，它是一个长方体半个圆柱的组合体，再计算体积． 【详解】 由三视图还原出原几何体，它是一个长方体半个圆柱的组合体，尺寸见三视图， 体积为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查组合体的体积，考查三视图，解题关键是由三视图还原出原几何体，然后 用体积公式计算各个部分的体积可得． 5.对空间中两条不相交的直线 和 ，必定存在平面 ，使得 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 讨论两种情况，利用排除法可得结果. 【详解】 和 是异面直线时，选项 A、B 不成立，排除 A、B； 和 平行时，选项 D 不成立，排除 D, 故选 C. 【点睛】本题主要考查空间线面关系的判断，考查了空间想象能力以及排除法的应用，属于 基础题. 6.正四面体 ABCD 中，E，F 分别为棱 AD，BC 的中点，则异面直线 EF 与 CD 所成的角为 A. B. C. D. 【答案】B 211 1 2 1 2 22V π π= × × + × × × = + a b α ,a bα α⊂ ⊂ ,a bα α⊥ ⊥ , / /a bα α⊂ ,a bα α⊂ ⊥ a b a b ( ) 6 π 4 π 3 π 2 π【解析】 【分析】 取 中点 ，连结 ，则 ，且 ，从而 是 异面直线 与 所成的角，由此能求出异面直线 与 所成的角. 【详解】 取 中点 ，连结 ， 设正四面体的棱长为 , 则 ，且 ， 是异面直线 与 所成的角， 取 中点 ，连结 则 ， 平面 , 平面 , ， ， ， 异面直线 与 所成的角为 ,故选 B . 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形 中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理 求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定 要取绝对值. 7.如图，三棱柱 A1B1C1—ABC 中，侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1 是正三角形，E 是 BC 中点，则下列叙述正确的是( )． BD O ,EO FO / / , / /OF CD OE AB 2 aOF OE= = EFO∠ EF CD EF CD BD O ,EO FO a / / , / /OF CD OE AB 2 aOF OE= = EFO∴∠ EF CD CD G ,BG AG ,AG CD BG CD⊥ ⊥ ,BG AG G CD∩ = ∴ ⊥ ABG AB ⊂ ABG CD AB∴ ⊥ OF OE∴ ⊥ 4EFO π∴∠ = ∴ EF CD 4 πA. AE、B1C1 为异面直线，且 AE⊥B1C1 B. AC⊥平面 A1B1BA C. CC1 与 B1E 是异面直线 D. A1C1∥平面 AB1E 【答案】A 【解析】 试题分析：底面是正三角形，E 为中点 ， , A 项正确 考点：空间线面的位置关系 点评：题目较简单学生易得分 8.如图，60°的二面角的棱上有 A、B 两点，线段 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于 AB，已知 AB=4，AC=6，BD=8，则 CD 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ， ， AE BC∴ ⊥ 1 1BC B C  1 1AE B C∴ ⊥ ∴ 2 17 2 23 2 35 2 41 CA AB⊥ BD AB⊥ 0 CA AB ∴→⋅→ = 0 BD AB →⋅→ = CD BD AB CA → = →+ →+ → 2 2 2 2 2 2 2 CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD → = → + → + → + →⋅→+ →⋅→+ →⋅→ 2 2 26 4 8 2 6 8cos120 68= + + + × × ° =故选 9.如图，已知椭圆 ，斜率为﹣1 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点， 平行四边形 OAMB（O 为坐标原点）的对角线 OM 的斜率为 ，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设 出 直 线 方 程 为 ， 求 出 它 与 椭 圆 的 交 点 的 坐 标 （ 设 而 不 求 ），由 得 点坐标，再由 得出 的关系，然后求得离心率． 【详解】设直线 方程为 ，设 ，由 得： ，∴ ， ，设 ，∵ 是平行四边形，∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于 的一个等量关系．本题中已知 2 17CD∴ = B ( )2 2 2 2 1 0x yC a ba b + =： ＞ ＞ 1 3 3 3 6 3 3 2 2 3 AB y x n= − + ,A B OM OA OB= +   M 1 3OMk = ,a b AB y x n= − + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 2 2 1x y a b y x n  + =  = − + 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0a b x a nx a n a b+ − + − = 2 1 2 2 2 2a nx x a b + = + 1 2 1 22 ( )y y n x x+ = − + ( , )M x y OAMB OM OA OB= +   1 2 1 2,x x x y y y= + = + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 1OM y y n x xy nk x x x x x x x + − += = = = −+ + + 2 2 2 2 2 11 3 a b b a a += − = = 2 2 2 2 2 2 3 c a b a a −= = 6 3 ce a = = , ,a b c两直线 和 的斜率，因此设出直线 方程，代入椭圆方程，消元后求出它们横坐标 的和，由向量加法的平行四边形法则， ，这样利用 就可建立 的等式， 变形后可求得离心率 ．本题还考查学生的运算求解能力． 10.斜线段 PA 与平面 M 成 α 角，斜足为 A，动直线 PB 与直线 PA 成 β（β＜α）角，交平面 M 于点 B，动点 B 的轨迹图形为（ ） A. 一条直线 B. 一个圆 C. 一个半圆 D. 一个椭圆 【答案】D 【解析】 【分析】 由圆锥曲线与圆锥面的关系可得． 【详解】由于 ，因此 运动后可形成以 为对称轴的圆锥侧面，而平面 与轴 不垂直不平行，又与母线不平行，因此平面 与此圆锥侧面的交线是椭圆． 故选：D． 【点睛】本题考查圆锥曲线与圆锥侧面的关系，属于基础题． 二．填空题（共 7 小题） 11.圆 x2+y2﹣4x﹣4y﹣8＝0 的圆心坐标为_____，半径为_____． 【答案】 (1). （2，2） (2). 4 【解析】 【分析】 配方后可得圆心坐标和半径． 【详解】圆 x2+y2﹣4x﹣4y﹣8＝0，即 （x﹣2）2+（y﹣2）2＝16， 故它的圆心坐标为（2，2），半径为 4， 故答案为：（2,2）；4． 【点睛】本题考查圆的一般方程，配方后化为标准方程可得圆心坐标与半径． AB OM AB Mx A Bx x= + OMk ,a b e BPA β∠ = PB PA α PA α 16 =12.已知椭圆 的左、右焦点为 F1，F2，则椭圆的离心率为_____，过 F2 且垂直于长 轴的直线与椭圆交于点 A，则|F1A|＝_____． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 由椭圆标准方程得出 ，计算出 ，可得离心率， 是通径的一半为 ，再 结合椭圆定义可得 ． 【 详 解 】 椭 圆 ， 可 得 a ＝ 2 ， b ， 则 c ＝ 1 ， 所 以 椭 圆 的 离 心 率 为 ： e ． 过 F2 且垂直于长轴的直线与椭圆交于点 A，所以|AF2| ， 由椭圆的定义可知：|F1A|＝2a﹣|AF2|＝4 ． 故答案为： ； ． 【点睛】本题考查椭圆的离心率和椭圆的定义，解题时由椭圆标准方程确定出 再计算出 ， 可求离心率，而求椭圆上的点到焦点的距离时，可以与椭圆定义联系起来． 13.已知圆（x+2）2+y2＝5 外点 P（0，3），过P 点作直线 l 与圆相切交于点 Q，则切线长|PQ|＝ _____． 【答案】2 【解析】 【分析】 求出 点到圆心 距离 ，再由勾股定理计算出切线长： ． 【详解】圆（x+2）2+y2＝5 的圆心为 C（﹣2，0），半径为 r ； 且|PC|2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣3）2＝13， 的 2 2 14 3 x y+ = 1 2 5 2 2, 3a b= = c 2F A 2b a 1F A 2 2 14 3 x y+ = 3= 1 2 c a = = 2 3 2 b a = = 3 5 2 2 − = 1 2 5 2 ,a b c 2 P C PC 2 2PC r− 5=所以切线长|PQ| 2 ． 故答案为： 【点睛】本题考查直线与圆相切问题，考查求切线长，解题时由切线与过切点的半径垂直， 用勾股定理计算切线长． 14.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球， 这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我 们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为_____，圆柱的表面积与球的表面积之 比为_____． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 设球半径为 ，根据圆柱和球的体积公式、表面积公式直接计算． 【详解】由题意，圆柱底面半径 r＝球的半径 R， 圆柱的高 h＝2R，则 V 球 πR3， V 柱＝πr2h＝π•R2•2R＝2πR3． ∴ ． S 球＝4πR2， S 柱＝2πr2+2πrh＝2πR2+2πR•2R＝6πR2． ∴ ． 故答案为： ， 2 2 13 5PC r= − = − = 2 2 2 3 2 3 2 R 4 3 = 3 3 2 3 4 2 3 V R V R π π = =柱 球 2 2 6 3 4 2 S R S R π π= =柱 球 3 2 3 2【点睛】本题考查圆柱和球的体积公式、表面积公式，属于基础题． 15.已知 F1，F2 为椭圆 上的左、右焦点，点 B 为上顶点，延长 BF2 交 椭圆于 M 点，且△F1BM 是腰长为 3 的等腰三角形，则 a＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据椭圆的定义，△F1BM 的周长为 4a，再用另一方法求出周长即可求得 ． 【详解】根据椭圆 定义，△F1BM 的周长为 4a，所以 4a＝6 6+a，所以 3a＝6，a ＝2，故答案为：2. 【点睛】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的基本运算．属于基础题． 16.已知三棱锥 A﹣BCD 的所有棱长均相等，E 为 DC 的中点，若点 P 为 AC 中点，则直线 PE 与 平面 BCD 所成角的正弦值为_____，若点 Q 在棱 AC 所在直线上运动，则直线 QE 与平面 BCD 所 成角正弦值的最大值为_____． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 ，则直线 PE 与平面 BCD 所成角等于直线 与平面 BCD 所成角，过 A 作 AO⊥底面 BCD，垂足为 O，连结 OD，则∠ADO 是直线 PE 与平面 BCD 所成角，在 中求解即得， 是一个正四面体，当 Q 与 A 重合时，直线 QE 与平面 BCD 所成角正弦值取最大值，在 中计算可得最大值． 【详解】连结 BE，AE，过 A 作 AO⊥底面 BCD，垂足为 O，连结 OD， 则∠ADO 是直线 PE 与平面 BCD 所成角， 设三棱锥 A﹣BCD 所有棱长均相等，设棱长为 2， 的 的 ( )2 2 2 2 1 0x yC a ba b + =： ＞ ＞ a 2 2b c+ + = 6 3 2 2 3 / /PE AD AD ADO∆ ABCD AEO∆则 DO＝BO BE ， AO ， ∴sin∠ADO ． ∴直线 PE 与平面 BCD 所成角的正弦值为 ． 当 Q 与 A 重合时，直线 QE 与平面 BCD 所成角正弦值取最大值， 此时直线 QE 与平面 BCD 所成角为∠AEO，AE ， ∴直线 QE 与平面 BCD 所成角正弦值的最大值为： sin∠AEO ． 故答案为： ， 【点睛】本题考查直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角，为此需作一 直线与平面垂直．找到直线在平面内的射影，从而得直线与平面所成角，然后在直角三角形 中求解即得． 17.如图，在长方形 ABCD 中，AB＝2，BC＝1，E 为 DC 的中点，F 为线段 EC（端点除外）上一 动点，现将△AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD⊥平面 ABC，则二面角 D﹣AF﹣B 的平面角余弦值的 取值范围是_____． 2 3 = 2 2 34 13 3 = − = 22 3 2 64 ( )3 3 = − = 2 6 63 2 3 AO AD = = = 6 3 4 1 3= − = 2 6 2 23 33 AO AE = = = 6 3 2 2 3【答案】（ ，1）． 【解析】 【分析】 由于平面 ABD⊥平面 ABC，因此作 DK⊥AB，则 DK⊥平面 ABCF，作 DO⊥AF，则 OK⊥AF， 则∠DOK 为所求二面角的平面角，而 cos∠DOK ，设 ， ，然后计算 （可在矩形 中计算 ），把 表示为 的函数，求得其取值 范围． 【详解】作 DK⊥AB，则 DK⊥平面 ABCF，作 DO⊥AF，则 OK⊥AF， 则∠DOK 为所求二面角的平面角，cos∠DOK ， 设 DF＝x，AF ，AD2＝AO•AF，则 AO ，OD ， 由平面图形 ABCD 知，∠DAF＝90°﹣∠FAB， 故 tan∠FAB cot∠DAF ， 所以 OK OA， 所以 cos∠DOK ，x∈（1，2）， 故答案为：（ ，1）． 【点睛】本题考查求二面角，解题时首先要作出二面角的平面角并证明，这可利用题设中的 面面垂直的性质，然后引入变形 ，把所求二面角的余弦值表示为 的函数，从而可得 取值范围． 三．解答题（共 5 小题） 1 4 OK OD = DF x= (1,2)x∈ ,OK DO ABCD ,OK DO cos DOK∠ x OK OD = 2 1x= + 2 1 1x = + 2 1 x x = + OK OA = = 1 x = 1 x = 2 1OK OD x = = 1 4 DF x= x18.如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB＝AC，D，E，F 分别是棱 BC，CC1，B1C1 的中点．求 证： （1）直线 A1F∥平面 ADE； （2）平面 ADE⊥平面 BCC1B1． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）证明 后可得线面平行； （2）证明 AD⊥平面 BCC1B1 后可证得面面垂直． 【详解】证明：（1）连结 DF，∵D，F 为中点，∴ ， ∴四边形 ADFA1 为平行四边形，∴A1F∥AD， ∵AD⊂平面 ADE，A1F⊄平面 ADE，∴A1F∥平面 ADE． （2）∵BB1⊥平面 ABC，∴BB1⊥AD，∵BC⊥AD（三线合一）， ∴AD⊥平面 BCC1B1，∵AD⊂平面 ADE， ∴平面 ADE⊥平面 BCC1B1． 【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，掌握其判定定理是解题基础，证明时注意定 1 / /A F AD 1 1DF BB AA 理的条件要一一满足，缺一不可． 19.已知关于 x，y 的方程 x2+y2﹣4x+4y+m＝0 表示一个圆． （1）求实数 m 的取值范围； （2）若 m＝4，过点 P（0，2）的直线 l 与圆相切，求出直线 l 的方程． 【答案】(1) m＜8．(2) 和 x＝0． 【解析】 【分析】 （1）可配方，方程左边是平方和形式，右边为正即可； （2）斜率不存在时，直线 是圆的切线，斜率存在时，设方程为 ，由圆心到 切线距离等于半径可求得 ，得切线方程． 【详解】（1）方程 x2+y2﹣4x+4y+m＝0 可化为（x﹣2）2+（y+2）2＝8﹣m， 令 8﹣m＞0，解得 m＜8； 所以方程表示圆时 m 的取值范围是 m＜8． （2）m＝4 时，圆的方程为（x﹣2）2+（y+2）2＝4， 则圆心为 C（2，﹣2），半径为 r＝2， 当直线 l 的斜率 k 存在时，设 l 的方程为：y＝kx+2， 化为 kx﹣y+2＝0， 则圆心 C 到直线 l 的距离为 d 2，解得 k ， 所以直线 l 的方程为 y x+2； 当直线 l 的斜率 k 不存在时，直线 x＝0 也为圆 C 的切线； 综上，直线 l 的方程为 和 x＝0． 【点睛】本题考查圆的方程，考查求圆的切线方程，在过某一点 的切线方程时，如果 点 在圆外，可分类讨论，斜率不存在的直线（验证是否为切线）和斜率存在的直线（设斜率为 ，写出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得 ）． 20.已知椭圆 的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 ，且点 在 椭圆上． 3 24y x= − + 0x = 2y kx= + k 2 2 2 2 1 k k + += = + 3 4 = − 3 4 = − 3 24y x= − + P P k k ( )2 2 2 2 1 0x yC a ba b + =： ＞ ＞ 1 2 31 2P    ，（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 l 过点 M（0，﹣2）且与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且△OAB（O 为坐标原点）的 面积为 ，求出直线 l 的方程． 【答案】(1) ．(2) 【解析】 【分析】 （1）已知条件为 再结合 可求得 ，得椭圆方程； （2）设直线 l：y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程代入椭圆方程整理后可得 ，表示出 ，而 ，再由面积为 可求得 ，得直 线方程． 【详解】（1）椭圆 的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 ，且点 在椭圆上， 可得 ， ∴椭圆的标准方程为 ． （2）设直线 l：y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2）， ， ∴（4k2+3）x2﹣16kx+4＝0， ， 3 2 2 14 3 x y+ = 5 22y x= ± − 2 2 1 9 14 1 2 a b c a  + =  = 2 22a cb− = ,a b 1 2 1 2,x x x x+ 1 2x x− 1 2 1 2OABS OM x x∆ = − 3 k ( )2 2 2 2 1 0x yC a ba b + =： ＞ ＞ 1 2 31 2P    ， 2 2 2 2 2 1 9 14 2 1 32 1 a b a c ba ca b c  + = =  = ⇒ =    == +  2 2 14 3 x y+ = 2 2 2 23 4 12 3 4( 2) 12 2 x y x kx y kx  + = ⇒ + − = = − 1 2 1 22 2 16 4 4 3 4 3 kx x x xk k + = =+ +，， ， 解得 ，直线 l 的方程为 ． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．求椭圆的标准方程，关键 是找到关于 的两个等式，即把题中两个条件用 表示出来就可求解，而直线与椭圆 相交问题，常常采用“设而不求”思想，即设直线方程为 ，设交点坐标为 ，然后由直线方程和椭圆方程联立并消元后由韦达定理得 ， 再把题中其他条件用交点坐标表示，同时代入 ，可求得参数 的关系或值． 21.如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，四边形 ABCD 是直角梯形，且 AD∥BC，AD⊥CD，∠ABC＝ 60°，BC＝2AD＝2，PC＝3，△PAB 是正三角形． （1）求证：AB⊥PC； （2）求二面角 P﹣CD﹣B 的平面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析；(2) ． 【解析】 【分析】 （1）要证线线垂直，先证线面垂直，由于 是正三角形，取 中点 ，则有 ，从而只要再证 即可证； （2）关键是作二面角的平面角，由（1）知平面 平面 ，因此只要作作 PO⊥CE， PH⊥CD，连结 OH，就可得∠PHO 为二面角 P﹣CD﹣B 的平面角，接着就是计算出这个角即 可． ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 16 16 4 3 4 14 4 3 4 3 4 3 k kx x x x x x k k k − − = + − = − = + + +  2 1 2 2 1 4 3 4 1 32 4 3OAB kS OM x x k −= ⋅ − = =+ 5 2k = ± 5 22y x= ± − , ,a b c , ,a b c y kx b= + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 2,x x x x+ 1 2 1 2,x x x x+ ,k b 2 3 PAB∆ AB E PE AB⊥ CE AB⊥ PEC ⊥ ABCD【详解】（1）证明：取 AB 中点 E，连结 PE，CE， 易证△ABC 为正三角形，E 为 AB 中点，∴CE⊥AB， ∵△ABP 为正三角形，E 为 AB 中点，∴PE⊥AB， ∴AB⊥平面 PCE， ∴AB⊥PC． （2）解：过 P 点作 PO⊥CE，PH⊥CD，连结 OH， ∵AB⊥平面 PCE，∴平面 ABCD⊥平面 PCE， ∵PO⊥CE，∴PO⊥平面 ABCD， ∵PH⊥CD，∴OH⊥CD， ∴∠PHO 为二面角 P﹣CD﹣B 的平面角， 四边形 ABCD 是直角梯形，且 AD∥BC，AD⊥CD， ∠ABC＝60°，BC＝2AD＝2，PC＝3，△PAB 是正三角形． AB＝2，PA＝PB＝2，PE＝CE ，∠PCE＝30°， 所以 PO ，OC ，∠ECD＝60°，OH ， 三角形 POH 直角三角形，∠POH＝90°， ∴ ． ∴二面角 P﹣CD﹣B 的平面角的正切值： ． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查求二面角．要证线线垂直，一般可先证线面垂直即 用线面垂直的性质定理．而证线面垂直又要寻找线线垂直，这可从图形中发现并证明．求二 面角关键是作二面角的平面角，一般要先找一个面的垂线，然后利用三垂线定理或逆定理作 出二面角的平面角，再在三角形中求得这个角． 是 3= 3 2 = 3 3 2 = 3 3 3 9 2 2 4 = × = 2 3 POtan PHO OH ∠ = = 2 322.已知椭圆 ． （1）若过点 的直线 l 与椭圆 C 恒有公共点，求实数 a 的取值范围； （2）若存在以点 B（0，2）为圆心的圆与椭圆 C 有四个公共点，求实数 a 的取值范围． 【答案】(1) ．(2) ． 【解析】 【分析】 （1）点 在椭圆上或椭圆内，解不等式 即得； （2）要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，考虑到 在 轴上，只要在椭圆的左半边 （或右半边）存在不同两点到 B 点的距离相等，设动点 Q（x0，y0）在椭圆上， ， 令 ，只要 f（y0）在 y0∈（﹣1，1）上不单调即可． 【详解】（1）要使得直线 l 与椭圆 C 恒有公共点，则点 要在椭圆上或者椭圆内， ∴ ，∴ ． （2）法一：要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性， 所以在椭圆的左半边（或右半边）存在不同两点到 B 点的距离相等， 设动点 Q（x0，y0）在椭圆上， ， 令 ，使得 f（y0）在 y0∈（﹣1，1）上不单调， ∴ ， ∴ ． 法二：设圆 B：x2+（y﹣2）2＝r2， ， ( )2 2 2 1 1xC y aa + =： ＞ 22 2P       ， 2 2a ≥ 3a＞ P 2 2 2 2 2( ) 12a + ≤ B y ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 02 2 1 4 4BQ x y a a y y a y y a= + − = − + − = − − + + ( ) ( )2 2 2 0 0 01 4 4f y a y y a= − − + + 22 2P       ， 2 2 2 2 2( ) 12a + ≤ 2 2a ≥ ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 02 2 1 4 4BQ x y a a y y a y y a= + − = − + − = − − + + ( ) ( )2 2 2 0 0 01 4 4f y a y y a= − − + + 2 21 11 a − −＜ ＜ 3a＞ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) ( 2)x y r a a y y r x a y a  + − = ⇒ − + − = + =整理得：（1﹣a2）y2﹣4y+a2+4﹣r2＝0， 所以存在 r，使得方程（1﹣a2）y2﹣4y+a2+4﹣r2＝0 在（﹣1，1）上有两解， 令函数 f（y）＝（1﹣a2）y2﹣4y+a2+4﹣r2，对称轴 ， 只需 即可， ∴ ． 【点睛】本题考查点与椭圆的位置关系．圆与椭圆的公共点问题．点 ，椭圆方程 ， 点在椭圆内 ，点在椭圆上 ，点在椭圆外 ． 圆与椭圆都是轴对称图形，当圆心在椭圆的轴上时，它们的交点个数要利用其对称性进行变 换说法，如本题圆与椭圆有 4 个公共点，则圆与椭圆在椭圆的左半边（或右半边）有两个公 共点，即椭圆左半边（或右半边）有两点到圆心的距离相等．如果用方程的思想，则化为关 于 的方程在椭圆的范围内有两不等实解． 2 2 1y a = − 2 21 11 a − −＜ ＜ 3a＞ 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ + < 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ + = 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ + > y