100 所名校高考模拟金典卷·数学（六）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由集合 求出 ，进而求出 即可.
【详解】∵ ，∴ ．
故选：A
【点睛】本题主要考查集合的运算，考查学生的运算求解能力．
2.已知复数 满足 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 ，再计算 .
【详解】由 得 ，
则 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的模的计算，考查学生的基本运算能力.
3.已知函数 的定义域为 ，则函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
{ }2| 2 0A x x x= − − ≥ { |1 3}B x x= < < ( )R A B =
{ | 1 3}x x− < < { | 1 1}x x− < < { |1 2}x x< < { | 2 3}x x< <
A AR ( )R A B
{ }2| 2 0 { | 1 2}R x x x xA x= − − < = − < ( )y f x=
( )y f x= 5,12 12
π π − m
12
π
6
π
4
π
3
π
( )y f x= ( ) sin 2 26f x x m
π = + −
5,12 12x
π π ∈ − 2 6x m
π+ −
m
sin 2 6y x
π = +
( )0m m > ( )y f x=
( ) sin 2 26f x x m
π = + −
5,12 12x
π π ∈ − 2 2 2 26m x m m
π π− ≤ + − ≤ −
( )y f x= 5,12 12
π π −
[ ] ( )2 , 2 2 ,22 2m m k k k Z
π ππ π π − − ⊆ − + ∈
2 2 2
2 2 2
m k
m k
ππ
ππ π
− ≥ −∴
− ≤ +
( )
4m k k Z
π π= − ∈
，则当 时， 取得最小值 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用三角函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用三角函数图象变换求函数解
析式，考查计算能力，属于中等题.
11.已知圆柱的表面积为定值 ，当圆柱的容积 最大时，圆柱的高 的值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
设圆柱的底面半径为 ，则 圆 柱 底 ， 圆 柱 侧 ，则可得 ，则圆柱的体积为
，利用导数求出 最大值，确定 值.
【详解】设圆柱的底面半径为 ，则 圆柱底 ， 圆柱侧 ，
∴ ，∴ ，则圆柱的体积 ，
∴ ，由 得 ，由 得 ，
∴当 时， 取极大值，也是最大值，即 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识.
12.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作圆 的切线，交双曲
线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
0m > 0k = m
4
π
3π V h
2 3
r S 22 rπ= S 2 rhπ=
23 2
2
rh r
−=
3
2 3 2
2
r rV r h
π ππ −= = V h
r S 22 rπ= S 2 rhπ=
22 2 3r rhπ π π+ =
2 23 2 3 2
2 2
r rh r r
π π
π
− −= =
3
2 3 2
2
r rV r h
π ππ −= =
23 6( ) 2
rV r
π π−′ = ( ) 0V r′ > 20 2r< < ( ) 0V r′ < 2
2r >
2
2r = ( )V r 2h =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F 2F 1F 2 2 2x y a+ =
M 1 2 45F MF∠ =
3 2 5
【分析】
设切点为 N，连接 ON，作 作 ，垂足为 A，由 ，得到 ，
在直角三角形 中，可得 ，得到 ，再由双曲线的定义，解得 ，
利用双曲线的离心率的定义，即可求解.
【详解】设切点为 N，连接 ON，作 作 ，垂足为 A，
由 ，且 为 的中位线，可得 ，
即有 ，
在直角三角形 中，可得 ，即有 ，
由双曲线的定义可得 ，可得 ，
所以 ，所以 ，故选 A.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，
常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，转化为
的齐次式，然后转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 ( 的取值范围)．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13.在 的展开式中，常数项为__________．（用数字作答）．
【答案】60
【解析】
【分析】
由题知 的展开式的通项为 ，令 得 ，即可得常数项.
【详解】由题知 展开式的通项为 ，的
2F 2F N MN⊥ ON a= 1 2F A b=
2MF A∆ 2 2 2MF a= 1 2 2MF b a= + 2b a=
2F 2F N MN⊥
ON a= ON 1 2F F A∆ 2 2
2 12 ,F A a F N c a b= = − =
1 2F A b=
2MF A∆ 2 2 2MF a= 1 2 2MF b a= +
1 2 2 2 2 2 2MF MF b a a a− = + − = 2b a=
2 2 3c a b a= + = 3= =ce a
,a c ce a
= , ,a b c
,a c e e e
6
2
3
2x x x
+
6
2
3
2x x x
+
8 4
1 6 2r r r
rT C x −
+ = ⋅ ⋅ 8 4 0r− = 2r =
6
2
3
2x x x
+
2 6 8 4
1 6 63
2 2
r
r r r r r
rT x C x C xx
− −
+
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
令 得 ，则常数项为 ．
故答案为：60
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力.
14.若 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得结果.
【详解】
．
故答案 ： .
【点睛】本题考查三角恒等变换求值，涉及诱导公式和二倍角余弦公式的应用，考查考生的逻辑推理能力
与计算能力，属于中等题.
15.在 中， ， ， ， 是 上一点，且 ，则
__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
由题可设 ，则 ，由条件算出 ，则可得
.
【详解】设 ，∵ ， ，得
， ，
∴ ．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算和数量积，考查学生的运算求解能力．
为
8 4 0r− = 2r =
2 2
62 60C =
3sin 6 3
π α − = sin 26
π α + =
1
3
2
2 3 1sin 2 cos 2 cos 2 1 2sin 1 26 2 6 3 6 3 3
π π π π πα α α α + = − + = − = − − = − × =
1
3
ABC∆ 60BAC∠ = 5AB = 4AC = D AB 5AB CD⋅ =uuur uuur
| |BD =
AD ABλ= 2
( ) 5AB CD AB AD AC AB AB ACλ⋅ = ⋅ − = − ⋅ =uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur λ
| |BD
AD ABλ= CD AD AC= − 2
( ) 5AB CD AB AD AC AB AB ACλ∴ ⋅ = ⋅ − = − ⋅ =uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
25 15λ = 3
5
λ∴ =
2| | | | 25BD AB= =uuur uuur
16.如图，在直三棱柱 中， ， ， 是 上一点，且
， 是 的中点， 是 上一点．当 时， 平面 ，则三棱柱
外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接 交 于 ，连接 ，则 ，可得 ，设外接球 球心 在平面 的射影为
点 ，则点 为 的外接圆的圆心，计算可得 的外接圆的半径为 ，故可求外接球的半
径 ，从而算出球的表面积.
【详解】
如图，连接 交 于 ，连接 ，∵ 平面 ，∴ ，
∵ ，∴ ，则 ，
设外接球的球心 在平面 的射影为点 ，则点 为 的外接圆的圆心，
∴外接球的球心 到平面 的距离 ，
的
1 1 1ABC A B C− 2AB AC= = 120BAC∠ = ° D AB
2AD DB= E 1AA F 1CC 1CF = //BF CDE
1 1 1ABC A B C−
32π
AF EC M DM BF DM∥ 2AE = O ABC
1O 1O ABC∆ ABC∆ 2r =
R
AF EC M DM BF∥ CDE BF DM∥
2AD DB= 2AM MF= 2 2AE CF= =
O ABC 1O 1O ABC∆
O ABC 1 2OO =
∵ ， ，
由正弦定理得， 外接圆的半径 ，
则所求外接球的半径 ，其表面积为 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查线面平行的性质，直三棱柱的外接球的表面积计算，考查考生的空间想象和推理论
证能力．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17.在数列 、 中，设 是数列 的前 项和，已知 ， ，
， ．
（1）求 和 ；
（2）若当 时， 恒成立，求整数 的最小值．
【答案】（1） ； ；（2）11．
【解析】
【分析】
（1）由 得 ，可判断数列 是等差数列，由公式求出 和 ；
（2）由（1）得 ，则当 时，
，可得 ，则有 ，故可得整数 最
小值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，即 ，所以 是等差数列，
又 ，所以 ，从而 ．
（2）因为 ，所以 ①
当 时， ②
由①-②可得 ， ，即 ，
的
2AB AC= = 120BAC∠ = °
ABC∆ 1 2 22 sin30r = × =°
2 2R = 24 32Rπ π=
32π
{ }na { }nb nS { }na n 1 1 a = 1 2n n nS S a+ = + + 1 23 5b b+ +…
(2 1) 2 1n
n nn b a+ + = ⋅ + *n N∈
na nS
n k≥ 8n nb S≥ k
2 1na n= − 2
nS n=
1 2n n nS S a+ = + + 1 2n na a+ − = { }na na nS
1 2 33 5 7 (2 1) 2 (2 1) 1n
nb b b n b n+ + + + + = ⋅ − +… 2n ≥
1
1 2 3 13 5 7 (2 1) 2 (2 3) 1n
nb b b n b n−
−+ + + + − = ⋅ − +… 12n
nb −= 4 22n n− ≥ k
1 2n n nS S a+ = + + 1 2n na a+ = + 1 2n na a+ − = { }na
1 1a = 2 1na n= − 2(1 2 1)
2n
n nS n
+ −= =
2 1na n= − 1 2 33 5 7 (2 1) 2 (2 1) 1n
nb b b n b n+ + + + + = ⋅ − +…
2n ≥ 1
1 2 3 13 5 7 (2 1) 2 (2 3) 1n
nb b b n b n−
−+ + + + − = ⋅ − +…
1(2 1) 2 (2 1)n
nn b n−+ = ⋅ + ( 2)n ≥ 12n
nb −=
而 也满足，故 ．
令 ，则 ，即 ，
因为 ， ，依据指数增长性质，得整数 的最小值是 11．
【点睛】本题主要考查等差数列，前 项和 与 的关系，考查了学生的运算求解能力．
18.某汽车品牌为了解客户对其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果
如下表：
汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
回访客户（人数） 250 100 200 700 350
满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2
满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．假设客户是否满意互相独立，且每种
型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等．
（1）从所有的回访客户中随机抽取 1 人，求这个客户满意的概率；
（2）从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取 1 人，设其中满意的人数为 ，求 的分布列和期望．
【答案】（1） ；（2）分布列详见解析，期望为 0.7．
【解析】
【分析】
（1）求出样本中的回访客户的总数和满意的客户人数，即可求出概率；
（2）由题知 ，计算出 取值相应的概率，列出分布列，计算出期望即可.
【详解】（1）由题意知，样本中的回访客户的总数是 ，
满意的客户人数是 ，
故所求概率为 ．
（2） ．
设事件 为“从Ⅰ型号汽车所有客户中随机抽取的人对Ⅰ型号汽车满意”，
事件 为“从Ⅴ型号汽车所有客户中随机抽取的人对Ⅴ型号汽车满意”，且 、 为独立事件．
根据题意， 估计为 0.5， 估计为 0.2．
1 1b = ( )12n
nb n N− ∗= ∈
8n nb S≥ 1 22 8n n− ≥ 4 22n n− ≥
10 4 22 10− < 11 4 22 11− > k
n nS na
ξ ξ
111
320
01 2，，ξ = ξ
250 100 200 700 350 1600+ + + + =
250 0.5 100 0.3 200 0.6 700 0.3 350 0.2 555× + × + × + × + × =
555 111
1600 320
=
01 2，，ξ =
A
B A B
( )P A ( )P B
则 ；
；
．
的分布列为
0 1 2
0.4 0.5 0.1
的期望 ．
【点睛】本题主要考查了概率与统计的相关知识，考查了离散型随机变量的分布列和期望的计算，考查了
学生的数据处理和运算求解能力．
19.如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是直角梯形， ，
， ，点 在 上，且 ．
（1）点 在 上， ，求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）先证明四边形 为平行四边形，得 ，则 ，又可得 ，即可证明
平面 ；
（2）根据线面角定义找出 与平面 所成角，得 的长度，然后建立空间直角坐标系，分别求出平
( 0) ( ) (1 ( ))(1 ( )) 0.5 0.8 0.4P P AB P A P Bξ = = = − − = × =
( 1) ( ) ( ) ( ) ( )(1 ( )) (1 ( )) ( )P P AB AB P AB P AB P A P B P A P Bξ = = + = + = − + −
0.5 0.8 0.5 0.2 0.5= × + × =
( 2) ( ) ( ) ( ) 0.5 0.2 0.1P P AB P A P Bξ = = = = × =
ξ
ξ
P
ξ ( ) 0 0.4 1 0.5 2 0.1 0.7E ξ = × + × + × =
P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD 90= = °∠ ∠ADC BCD
AB AC⊥ 2AB AC= = E AD 2AE ED=
F BC 2=CF FB EF ⊥ PAC
PC PAB 45° − −A PB E
2 2
3
ABFE / /AB EF AC EF⊥ PA EF⊥ EF ⊥
PAC
PC PAB PA
面 与平面 的法向量，再利用向量法求出二面角 的余弦值.
【详解】（1）∵ ， ，∴ ，
∵底面 是直角梯形， ， ，
∴ ，即 ，则 ，
∵ ， ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，则 ，∴ ，
∵ 底面 ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ．
（2）∵ ， ，∴ 平面 ，则 为直线 与平面 所成的角，
则 ，即 ，
取 的中点为 ，连接 ，则 ，以 点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
，
则 ， ， ， ，
∴ ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，
即 ，令 ，则 ， ，∴ ，
∵ 是平面 的一个法向量，∴ ，
PAB PBE − −A PB E
AB AC⊥ AB AC= 45ACB∠ = °
ABCD 90ADC∠ = ° AD BC∥
45ACD∠ = ° AD CD= 2 2= =BC AC AD
2AE ED= 2=CF FB 2
3
= =AE BF AD
ABFE AB EF AC EF⊥
PA ⊥ ABCD PA EF⊥
PA AC A= EF ⊥ PAC
PA AC⊥ AC AB⊥ AC ⊥ PAB APC∠ PC PAB
tan 1∠ = =ACAPC PA 2= =PA AC
BC G AG AG BC⊥ A A xyz−
(1, 1,0)B − (1,1,0)C 20, ,03
E (0,0, 2)P
51, ,03
= −
EB 20, , 23
= −
EP
PBE ( , , )n x y z= 0
0
n EB
n EP
⋅ =
⋅ =
5 03
2 2 03
x y
y z
− =
− + =
3y = 5x = 2z = (5,3, 2)n =r
(1,1,0)AC = PAB 5 3 2 2cos , 32 6
n AC
+〈 〉 = =
×
r uuur
即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明和用向量法求二面角的大小，考查学生的直观想象，运算求解和
推理论证能力.
20.设 、 是椭圆 的左、右顶点， 为椭圆上异于 、 的一点．
（1） 是椭圆 的上顶点，且直线 与直线 垂直，求点 到 轴的距离；
（2）过点 的直线 （不过坐标原点）与椭圆 交于 、 两点，且点 在 轴上方，点 在
轴下方，若 ，求直线 的斜率．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设点 ，根据 ，可求得直线 的方程，并将直线 与椭圆 的方程联立，可求
出点 的坐标，进而可求得点 到 轴的距离；
（2）设点 、 ，设直线 的方程为 ，可知 ， ，将直线 的方程
与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，由 得 ，结合韦达定理可求得实数 的值，进
而可求得直线 的斜率.
【详解】（1）设点 ，又 、 、 ．
直线 与直线 垂直，直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
联立椭圆方程 ，消去 得 ，
解得 ，则 ，因此，点 到 轴的距离为 ；
（2）设 、 ，则 ， ，设直线 的方程为 ，
代入椭圆 的方程消去 ，得 ，
PAB PBE 2 2
3
A B
2 2
: 14 2
x yC + = P A B
D C PA BD P x
( )1,0E l C M N M x N x
2NE EM= l
4 2
5
30
6
( )0 0,P x y PA BD⊥ PA PA C
P P x
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y l 1x my= + 1 0y > 2 0y < l
C 2NE EM=
2 12y y= − m
l
( )0 0,P x y ( )2,0A − ( )2,0B ( )0, 2D
PA BD BD 0 2 2
2 0 2BDk
−= = −−
∴ PA 2 PA ( )2 2y x= +
2 2
14 2
x y+ = y 25 16 12 0x x+ + =
0
6
5x = −
0
4 2
5y = P x 4 2
5
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 0y > 2 0y < l 1x my= +
C x ( )2 22 2 3 0m y my+ + − =
得 ， ，
由 ，知 ，即 ，
代入上式得 ， ，
所以 ，解得 ，
，则 ，所以， ，故直线 的斜率为 ．
【点睛】本题考查利用直线与椭圆的位置关系求点的坐标，同时也考查了利用直线与椭圆的位置关系求直
线的斜率，考查运算求解能力，属于中等题.
21.已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（Ⅰ）当 时，求证： 时， ；
（Ⅱ）当 时，计论函数 的极值点个数.
【答案】(Ⅰ)详见解析（Ⅱ）详见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出 ，令 ，求出 ，从而判断 的单调性，由 即可判断
的正负情况，从而求得 在 递减， 递增；当 时， 成立，命题得证．
（Ⅱ）对 的范围分类讨论，由 的单调性求得 ，把 看作变量，求得 的单
调性，从而得到 （当且仅当 时取等号），再对 的范围分类讨论 的单调性
，从而判断 的单调性，从而求得极值点个数．
【详解】(Ⅰ)由 ，易知 ，设 ，则 ，当
时， ，又
1 2 2
2
2
my y m
+ = − + 1 2 2
3
2y y m
= − +
2NE EM=
2 12 0y y+ = 2 12y y= −
1 2
2
2
my m
= +
2
1 2
32 2y m
= +
2
2 2
2 32 2 2
m
m m
= + +
30
5m = ±
1 2
2 02
my m
= >+ 0m > 30
5m = l 1 30
6m
=
21( ) ln2
xf x x ax xe
= − + e
0a ≥ 1x ≥ ( ) 0f x >
1a e
≥ − ( )f x
( )f x′ ( ) ( )g x f x= ′ ( )g x′ ( )g x 1 0g e
=
( )f x′
( )f x 10, e
1 ,e
+∞ 1x ≥ ( ) ( )1f x f≥
a ( ) ( )g x f x= ′ ( )ming x a ( )ming x
( ) 1 0h a h e
≤ − =
1a e
= − a ( )g x
( )f x
( ) ( )1 ln 1f x x a xe
+′ = − + 1 0f e
=
′
( ) ( )g x f x= ′ ( ) x ag x x
′ += 0a ≥
( ) 0g x′ > 1 1 0f ge e
= =
′
∴ 时， ， 时， ，即 在 递减， 递增；所以当
时， 得证.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当 时， 当且仅当在 处取得极小值，无极大值，故此时极值点个数
为 1；
当 时，易知 在 递减， 递增，所以 ，
又设 ，其中 ，则 对 恒成立，所以
单调递减， （当且仅当 时取等号），所以当 时， 即 在
单调递增，故此时极值点个数为 0；
当 时， ， 在 递增，又 ，所以当 时 ，
当 时 ，即 总在 处取得极小值；又当 且 时， ，所以存
在唯一 使得 ，且当 时 ，当 时 ，则 在
处取得极大值；故此时极值点个数为 2；
综上，当 时， 的极值点个数为 0；当 时， 的极值点个数为 2；当 时
的极值点个数为 1.
【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式成立、极值点的概念及利用导数判断函数极值点个数，还考
查了转化思想及分类讨论思想，考查分析能力及计算能力，属于难题．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
(1)求直线 与曲线 公共点的极坐标；
(2)设过点 的直线 交曲线 于 ， 两点，且 的中点为 ，求直线 的斜率．
10 x e
< < ( ) 0g x < 1x e
> ( ) 0g x > ( )f x 10, e
1 ,e
+∞ 1x ≥
( ) ( ) 1 11 02f x f e
≥ = − >
0a ≥ ( )f x 1x e
=
1 0ae
− ≤ < ( )g x ( )0, a− ( ),a− +∞ ( ) ( ) ( )min
1 lng x g a a ae
= − = − + −
( ) ( )1 lnh a a ae
= − + − 1 0ae
− ≤ < ( ) ( )1 ln 0h a a′ = + − ≤ 1 0ae
− ≤ < ( )h a
( ) 1 0h a h e
≤ − =
1a e
= − 1a e
= − ( ) 0g x ≥ ( )f x
( )0,+∞
1 0ae
− < < 1 0ae
> − > ( )g x ( ),a− +∞ 1 0g e
=
1a x e
− ≤ < ( ) 0g x <
1x e
> ( ) 0g x > ( )f x 1x e
= 0x → 0x > ( ) +g x → ∞
( )0 0,x a∈ − ( )0 0g x = 00 x x< < ( ) 0g x > 0x x a< < − ( ) 0g x < ( )f x
0x x=
1a e
= − ( )f x 1 0ae
− < < ( )f x 0a ≥
( )f x
xOy 1C 1 cos
sin
x
y
θ
θ
= +
=
θ x
l ( )
4 R
πθ ρ= ∈
l 1C
3 1,2 2P
l′ 1C A B AB P l′
【答案】(1) 直线 与曲线 公共点的极坐标为 ， (2)-1
【解析】
分析】
(1)写出直线 l 和曲线 的直角坐标方程，然后联立求交点坐标，化成极坐标即可;(2)写出直线 的参数方程
代入曲线 中，利用弦中点参数的几何意义即可求解.
【详解】（1）曲线 的普通方程为 ，
直线 的普通方程为
联立方程 ，解得 或
所以，直线 与曲线 公共点的极坐标为 ，
（2）依题意，设直线 的参数方程为 （ 为倾斜角， 为参数），
代入 ，整理得： .
因为 的中点为 ，则 .
所以， 即 .
直线 的斜率为-1.
【点睛】本题考查直线和圆的参数方程，考查参数的几何意义的应用，属于基础题型.
23.已知函数 ．
（1）求 的值域；
（2）若 的最大值时 ，已知 均为正实数，且 ，
求证： ．
【答案】（1）（﹣∞，1]；（2）见解析
【解析】
【
l 1C (0,0) ( 2, )4
π
1C l′
1C
1C ( )2 21 1x y− + =
l y x=
( )2 21 1x y
y x
− + = =
0
0
x
y
=
=
1
1
x
y
=
=
l 1C ( )0,0 2, 4
π
l′
3
2
1
2
x tcos
y tsin
α
α
= +
= +
α t
( )2 21 1x y− + = ( )2 1cos sin 02t tα α+ + − =
AB P 1 2 0t t+ =
cos sin 0α α+ = tan 1α = −
l′
1(x) 2 12f x x= − − +
(x)f
(x)f a , ,x y z x y z a+ + =
2 2 2
1y z x
x y z
+ + ≥
试题分析：（1）根据零点分段法，分 分别去绝对值，得到分段函数，再画分
段 函 数 的 图 象 ， 得 到 函 数 的 值 域 ； （ 2 ） 根 据 （ 1 ） 知 ， 再 根 据 柯 西 不 等 式
证明.
试题解析：（Ⅰ）解：函数 f（x）=|x﹣ |﹣|2x+1|= ，
函数的图象如图所示，则函数的值域为（﹣∞，1]；
（Ⅱ）证明：由题意 x，y，z 均为正实数，x+y+z=1，
由柯西不等式可得（x+y+z）（ + + ）≥（y+z+z）2=1，
∴ + + ≥1．
1 1 1 1, ,2 2 2 2x x x≤ − − < < ≥
1a =
( ) ( )2 2 2
2y z xx y z x y zx y z
+ + + + ≥ + +
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