2020 年高考（文科）数学二诊试卷（A 卷）
一、选择题
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ，得 ，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案.
【详解】因为 ，所以 .
故选：A
【点睛】本题主要考查集合的交集运算及对数不等式.
2.设复数 满足 ，则 的共轭复数的虚部为（ ）
A. 1 B. -1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求解出 的共轭复数 ，然后直接判断出 的虚部即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 的虚部为 .
故选：A.
【点睛】本题考查共轭复数的概念以及复数的实虚部的认识，难度较易.复数 的实部为 ，虚部
为 .
3.观察式子： ， ， ，...，则可归纳出式子为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
{ } { }21,0,1,2,3 , log 1A B x x= − = ≤ A B =
{ }1,2 { }1,0,1,2- { }1,2,3 { }1,0,1,2,3−
2log 1x ≤ 0 2x< ≤
{ } { } { }21,0,1,2,3 , log 1 0 2A B x x x x= − = ≤ = < ≤ { }1,2A B =
z 1 iz = − z
i− i
z z z
1z i= − 1z i= + z 1
z a bi= + a
b
2
1 31 2 2
+ < 2 2
1 1 51 2 3 3
+ + < 2 2 2
1 1 1 71 2 3 4 4
+ + + <
2 2 2
1 1 1 11 ...2 3 2 1n n
+ + + + < − 2 2 2
1 1 1 11 ...2 3 2 1n n
+ + + + < +
2 2 2
1 1 1 2 11 ...2 3
n
n n
−+ + + + < 2 2 2
1 1 1 21 ...2 3 2 1
n
n n
+ + + + < +
【分析】
观察式子：不等号的右边是一个分数，分母依次为 ，分子依次为 ，归纳得到答案.
【详解】观察式子： ， ， ，不等号的右边是一个分数，分
母依次为 ，分子依次为 ，进而归纳得： .
故选： .
【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.
4.已知 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数的图像以及性质，即可容易判断 大小，根据指数函数的性质，即可判断 的范围，据此即
可得到结果.
【详解】画出 的图象如下所示：
由图可知 ，
又因为
故可得 ，则 .
综上所述： .
故选：A.
2,3,4 3,5,7
2
1 31 2 2
+ < 2 2
1 1 51 2 3 3
+ + < 2 2 2
1 1 1 71 2 3 4 4
+ + + <
2,3,4 3,5,7 2 2 2
1 1 1 2 11 ...2 3
n
n n
−+ + + + <
C
2
5 7log 2, log 2, 0.5aa b c −= = =
b a c< < a b c< < c b a< < c a b< <
,a b c
5 7log , logy x y x= =
a b>
5 5 50 log 1 log 2 log 5 1= < < =
7 7 70 1 log 2 log 7 1log= < < =
2 0a − < 20.5 1a− >
b a c< = 1cos , 2a b< >=
a b cos , 2cos , 1a a b a b< >= < >=
∴ 1cos , 2a b< >=
0 ,a b π< >
∴ , 3a b
π< >=
A
( ) cos( )f x A xω ϕ= + 0A > 0>ω | | 2
ϕ π< ( )f x 3
4
π
( )g x 1( ) 3f x = 3
2 12 3
xg
π + =
【解析】
【分析】
先根据图象求出函数 的解析式,再由平移知识得到 的解析式,然后分别找出
和 的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.
【详解】设 ,根据图象可知,
,
再由 , 取 ,
∴ .
将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,
∴ .
, ,
令 ,则 ,显然,
∴ 是 的必要不充分条件.
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分
条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.
9.如图两个同心球，球心均为点 ，其中大球与小球的表面积之比为 3:1，线段 与 是夹在两个球体
之间的内弦，其中 两点在小球上， 两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部.当四面体 的
体积达到最大值时，此时异面直线 与 的夹角为 ，则 （ ）
( )g x ( )f x
1( ) 3f x = 3
2 12 3
xg
π + =
( )( ) sing x A xω µ= +
3 71, 24 6 12A T T
π π π ω = = − − ⇒ = ⇒ =
7 7sin 2 112 12g
π π µ − = × − + = 3
πµ = −
( ) sin 2 3g x x
π = −
( )g x 3
4
π
( )f x
3 3( ) sin 2 cos 24 4 3 3f x g x x x
π π π π = − = − − = −
1 1( ) cos 23 3 3f x x
π = ⇔ − =
3sin2 12 6 3
xg x
π π + = − =
6x
πθ = − 23 1sin cos2 1 2sin3 3
θ θ θ= ⇒ = − = 1 3cos2 sin3 3
θ θ= ⇒ =
1( ) 3f x = 3
2 12 3
xg
π + =
O AB CD
A C、 B D、 ABCD
AD BC θ sin 2
θ =
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为 ，内切球和外接球的表面积之比为 ，符合题意中的
小球和大球的比例.判断当四面体 体积最大时， 的位置关系，作出异面直线 所成的
角 ，解直角三角形求得 .
【详解】设正方体的边长为 ，则其内切球半径为 ，外接球的半径为 ，所以内切球和
外接球的表面积之比为 ，符合题意中的小球和大球的比例. 依题意 最长为 ，
最长为小球的直径 .由于三角形的面积 ，若 为定值，则 时面积取得最大值
.画出图像如下图所示，其中 分别是所在正方形的中心， 是正方体内切球与外接球的球心.
.由于 ，故此时四面体
的体积最大.
由于 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 是异面直线
和 所成的角.所以 由于 ，设 是 的中点，则 ，所以 ，
所以 .
【
6
6
2
4
30
6
2 6
33
1: 3 1:3
ABCD ,AB CD ,AD BC
θ sin 2
θ
2 1
2 2 22 2 2 32
+ + =
1:3 ,CD AB ( )2 23 1 2− =
AC 2 1 sin2S ab C= ⋅ ⋅ ,a b π
2C =
,A C O
1 1 1 1/ / , , / / ,CD AD CD AD CB AB CB AB= =
1 1 1 1
1 1
3 3A BCD ABD CB D ABDV V S AC− − ∆= = ⋅ ⋅
A BCD−
/ / ,CE AB CE AB= ABCE / /BC AC ADE∠ BC
AD ADE θ∠ = AD AE= G DE AG DE⊥
2 GAE
θ = ∠
2 2 2
1 1 6sin 2 662 1 1
GE
AE
θ = = = =
+ +
故选：A
【点睛】本小题主要考查几何体与球的外切和内接的问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档
题.
10.2019 年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（ ）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很
快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武
汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的
新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“
四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户 6 口之家被确认为“与确诊患者的
密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则
该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 （ ）且相互独立，该家庭至
少检测了 5 个人才能确定为“感染高危户”的概率为 ，当 时， 最大，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意分别求出事件 A：检测 5 个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件 B：检测6 个人确定为“感
染高危户”发生的概率,即可得出 的表达式,再根据基本不等式即可求出.
COVID 19−
p 0 1p< <
( )f p 0p p= ( )f p 0p =
61 3
− 6
3
1
2
31 3
−
( )f p
【详解】设事件 A：检测 5 个人确定为“感染高危户”,
事件 B：检测 6 个人确定为“感染高危户”,
∴ , .
即
设 ,则
∴
当且仅当 即 时取等号,即 .
故选：A．
【点睛】本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用,互斥事件概率加法公式的
应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查学生的数学运算能力和数学
建模能力,属于较难题.
11.已知 为双曲线 的右焦点，定点 为双曲线虚轴的一个顶点，过 的直线与
双曲线的一条渐近线在 轴左侧的交点为 ，若 ，则此双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，渐近线方程为 ，求出 AF 的方程与 联立可得 ，利用
，可得 的关系，即可求出双曲线的离心率．
【详解】设 ，渐近线方程为 ，则
直线 的方程为 ，与 联立可得 ，
∵ ，
( ) ( )41P A p p= − ( ) ( )51P B p p= −
( ) ( ) ( )( )4 5 41 1( ) 2 1f p p p p p p p p− + − = − −=
1 0x p= − > ( ) ( )( ) ( )4 2 41 1( ) 1g x x x x xf p x= − + = −=
( ) ( ) ( ) ( ) 32 2 2
2 4 2 2 2 2 21 1 41 2 22 2 3 27
x x x
g x x x x x x
− + + = − = × − × × ≤ × =
2 22 2x x− = 6
3x = 0
61 3p p= = −
F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > A ,F A
y B ( 2 1)FA AB= −
2 3 2 2 5
( ),0 , )0,(F c A b− by xa
= by xa
= ,ac bcB a c a c
− −
( )2 1FA AB= − ,a c
( ),0 , )0,(F c A b− by xa
=
AF 1x y
c b
− = by xa
= ,ac bcB a c a c
− −
( )2 1FA AB= −
，
，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
12.已知函数 的导函数为 ，且对任意的实数 x 都有 （e 是自然对数
的底数），且 ，若关于 x 的不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 m 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用导数等式结合条件 求出函数 的解析式，由 ，得
，转化为函数 在直线 下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，然后利用导数
分析函数 的单调性与极值，作出该函数的图象，利用数形结合思想求出实数 的取值范围.
【详解】由等式 ，可得 ，
即 ，即 （ 为常数），
，则 ， ，
因此， ， ，
令 ，得 或 ，列表如下：
( ), 2 ,( ( )1) ac bcc b ba c a c
∴ − − = − +− −
( )2 1 acc a c
∴− = − −
2ce a
= =
( )f x ( )f x′ ( ) ( ) ( )2 3xf x e x f x−′ = + −
( )0 1f = ( ) 0f x m− <
)2 ,0e− ( ],0e− [ ),0e− ( 2 ,0e −
( )0 1f = ( )y f x= ( ) 0f x m− <
( )m f x> ( )y f x= y m=
( )y f x= m
( ) ( ) ( )2 3xf x e x f x−′ = + − ( ) ( ) ( )2 3xf x f x e x−′ + = +
( ) ( ) 2 3xe f x f x x + = + ′ ( ) ( )22 3 3xe f x x x x C
′′ = + = + + C
( ) 2 3xe f x x x C∴ = + + ( ) 2 3
x
x x Cf x e
+ += ( )0 1f C∴ = =
( ) 2 3 1
x
x xf x e
+ += ( ) ( ) ( )2 22 3 3 1 2
x x
x x x x xf x e e
+ − + + + −= −′ =
( ) 0f x′ = 2x = − 1x =
x ( ), 2−∞ − 2− ( )2,1− 1 ( )1,+∞
( )f x′ − 0 + 0 −
极小值 极大值
函数 的极小值为 ，极大值为 ，且 ，
作出图象如下图所示，由图象可知，当 时， .
另一方面 ， ，则 ，
由于函数 在直线 下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，
由图象可知，这两个点的横坐标分别为 、 ，则有 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 ，故选 B.
【点睛】本题考查函数的单调性、函数不等式的整数解问题，本题的难点在于利用导数方程求解函数解析
式，另外在处理函数不等式的整数解的问题，应充分利用数形结合的思想，找到一些关键点来列不等式求
解，属于难题．
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.等差数列 中， ，则 _______.
【答案】104
【解析】
( )f x
( )y f x= ( ) 22f e− = − ( ) 51f e
= ( )1f e− = −
0x > ( ) 0f x >
( )0 1f = ( ) 33f e− = ( ) ( )0 3f f< −
( )y f x= y m=
2− 1−
( )1
0
m f
m
> −
≤ 0e m− < ≤
m ( ],0e−
{ }na 2 7 12 24a a a+ + = 13S =
【分析】
由等差数列的性质可得 的值，由等差数列的求和公式和等差数列的性质可得 ，代入计算即可
求出 .
【详解】因为等差数列 中， ，
所以由等差数列的性质可得 ，
解得 ，
所以 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查等差数列的前 项和公式，等差数列的性质，属于基础题.
14.已知圆 C 的圆心是抛物线 x2＝4y 的焦点，直线 4x﹣3y﹣2＝0 与圆 C 相交于 A、B 两点，且|AB|＝6，则
圆 C 的标准方程为_____
【答案】x2+（y﹣1）2＝10
【解析】
【分析】
由题意可知，圆心 C（0，1），再利用点到直线距离公式求出圆心到直线 4x﹣3y﹣2＝0 的距离，再利用勾
股定理即可求解．
【详解】解：由题意可知，圆心 C（0，1），
∴圆心 C（0，1）到直线 4x﹣3y﹣2＝0 的距离 d ，
又∵直线 4x﹣3y﹣2＝0 与圆 C 相交于 A、B 两点，且|AB|＝6，
∴圆 C 的半径 r ，
∴圆 C 的标准方程为：x2+（y﹣1）2＝10，
故答案为：x2+（y﹣1）2＝10．
【点睛】本题主要考查了直线与圆相交的问题，是中档题．
15.已知两矩形 ABCD 与 ADEF 所在的平面互相垂直，AB=1，若将 DEF 沿直线 FD 翻折，使得点 E 落在
边 BC 上（即点 P），则当 AD 取最小值时，边 AF 的长是 ;此时四面体 F—ADP 的外接球的半径是 .
7a 13 713S a=
13S
{ }na 2 7 12 24a a a+ + =
7 2 7 123 24a a a a= + + =
7 8a =
1 13 7
13 7
13( ) 13 2 13 1042 2
a a aS a
+ ×= = = =
104
n
2 2
3 2 1
4 ( 3)
− −= =
+ −
2 21( ) 9 1 102 AB d= + = + =
∆
【答案】 ，
【解析】
【详解】试题分析：：∵形 ABCD 与矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，
∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x，在 Rt△DCP 中，PC= ，在 Rt△FAP 中，AP=
在 Rt△ABP 中，BP= ∵BC=BP+PC=
整理得 ，令 ，则 ，则当 ，即 时，y 取最小值， ，
则
取 的中点 ，由 为直角三角形，所以点 为 外接球的球心
所以，该外接球的半径为
故答案为： ；
考点：点、线、面间的距离计算
16.设函数 的两个极值点分别为 ，若 恒成
立，则实数 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数 有两个极值点分别为 ，可知 不单调，利用导数求得 的范
2 6
2
2 1x − 2 2y x−
2 2 1y x− − 2 2 21 1y x x y− − + − =
4
2
2
4 2
1
1 11
xy x
x x
= =− − 2
1t x
= 2
2
1y t t
= − +
1
2t = 2x = 2y =
2 2 6= + =FD FA AD
FD O ,△ △AFD FPD O F ADP−
6
2 2
=FD
2 6
2
1( ) ln ( )f x x a x a Rx
= − + ∈ 1 2,x x
( ) ( )1 2
2
1 2
2 21
f x f x e ax x e
− −− −
a
1a e e
≥ +
1( ) ln ( )f x x a x a Rx
= − + ∈ 1 2,x x ( )f x a
围，运用韦达定理可得 ，作差 ，再由条件，结合恒成立思想，运
用函数的单调性，构造函数 ，通过求导，判断单调性可得 ，即可
得到 的范围.
【详解】解：∵函数 有两个极值点分别为 ，
的定义域为 ，
，
令 ，其判别式 .
当 时， 在 上单调递减，不合题意.
当 时， 的两根都小于零，在 上， ，则 在 上单调递减
，不合题意.
当 时， ，设 的两个根 都大于零，
令 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故 分别在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 的取值范围是 .
则 ，
，
.
1 2 2
2
1 2a x x x x
= + = + > ( ) ( )1 2f x f x−
21 1( ) ln ( 1, )eF x x x xx e
−= − + ⋅ > 2x e≥
a
1( ) ln ( )f x x a x a Rx
= − + ∈ 1 2,x x
( )f x (0, )+∞
2
2 2
1 1( ) 1 a x axf x x x x
− +′ = − − + = −
2( ) 1g x x ax= − + 2 4a∆ = −
2 2a− ≤ ≤ 0, ( ) 0, ( )f x f x′≤ ≤ (0, )+∞
2a < − 0, ( ) 0g x∆ > = (0, )+∞ ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )+∞
2a > > 0∆ ( ) 0g x = 1 2,x x
2 2
1 2 1 2
4 4, , 12 2
a a a ax x x x
− − + −= = =
10 x x< < ( ) 0f x′ < 1 2x x x< < ( ) 0f x′ > 2x x> ( ) 0f x′ <
( )f x ( ) ( )1 20, , ,x x +∞ ( )1 2,x x
a (2, )+∞
1 2 2
2
1 2a x x x x
= + = + >
( ) ( )1 2 1 1 2 2
1 2
1 1ln lnf x f x x a x x a xx x
− = − + − − +
( ) ( )2 1
2 1 1 2
1 2
ln lnx x x x a x xx x
−= + − + −
( ) ( )1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
ln ln ln ln1 1 2f x f x x x x xa ax x x x x x x x
− − −∴ = − − + ⋅ = − + ⋅− − −
若 恒成立，则 ，
，
不妨设 ，则 .
又 ，
①恒成立.
记 ，
记 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
且易知 .又 ，
∴当 时， ；当 时， .
故由①式可得， ，代入方程 ，
得 ，（ 在 上递增）.
又 ，
∴ 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的
关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题.
三、解答题（共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
( ) ( )1 2
2
1 2
2 21
f x f x e ax x e
− ≤ −− −
1 2
2
1 2
ln ln 22 21
x x ea ax x e
−− + ⋅ ≤ −− −
1 2
2
1 2
ln ln 2
1
x x e
x x e
−∴ ≤− −
1 2x x< ( )2
1 2 1 2
1 ln ln2
ex x x xe
−− ≤ −
( )2
1 2 2
2 2
1 1 1, 2ln2
ex x xx x e
−= ∴ − ≤ −
( )2
2 2 2
2
1 1ln 0 1ex x xx e
−∴ − + ≤ >
2 2
2
1 1 1 1 1( ) ln ( 1), ( ) 1e eF x x x x F xx e x e x
′− −= − + ⋅ > = − − + ⋅
2 22 2 2 2
1 2
1 1 1 1 1 14 , 42 2
e e e exe e e ex′ ′
− − − − = − − = + −
( )F x ( )21, x′ ( )2 ,x′ +∞
1 20 1x x e′ ′< < < < (1) 0, ( ) 0F F e= =
(1, )x e∈ ( ) 0F x > [ , )x e∈ +∞ ( ) 0F x ≤
2x e≥ ( ) 2
2 2 2 1 0g x x ax= − + =
2
2
1 1a x ex e
= + ≥ + 2
2
1a x x
= +
2 [ , )ex ∈ +∞
2a >
a 1a e e
≥ +
1a e e
≥ +
17.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a3＝5，S7＝49．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，Tn 为数列{bn}的前 n 项和，求证：Tn＜3．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出结果．
【详解】（1）设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
则： ，
解得：a1＝1，d＝2，
故： ．
（2）由于：an＝2n﹣1，
所以 ，
则： ①
②
①﹣②得： ．
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，
主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18.如图，在四面体 中， ，点 E 是 的中点，点 F 在线段 上，且
.
2
n
n n
ab =
2 1na n= −
1
1
2 5
7 67 492
a d
a d
+ = ×+ =
( )1 1 2 2 1na n n= + − × = −
( ) 12 12 2
n
n n n
ab n= = − ⋅
( )1 2
1 1 11 3 2 12 2 2n nT n= ⋅ + ⋅ + + − ⋅
( )2 3 1
1 1 1 11 3 2 12 2 2 2n nT n += ⋅ + ⋅ + + − ⋅
2
1 2 1 2 33 3 32 2 2n n n n
n nT −
− += − − = − ＜
ABCD AB AC DB DC= = = BC AC AF
AC
λ=
（1）若 平面 ，求实数 值；
（2）求证：平面 平面 .
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由线面平行的性质得出 ，可以判断点 F 为 的中点，从而求出 的值；
（2）由 ，点 E 是 的中点，得到 ， ，由面面垂直的判断定理
即可证明平面 平面 .
【详解】（1）因为 平面 ，得 平面 ，
平面 平面 ，
所以 ，
又点 E 是 的中点，点 F 在线段 上，
所以点 F 为 的中点，
由 ，得 ；
（2）因为 ，点 E 是 的中点，
所以 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 .
【点睛】本题主要考查线面平行的性质和面面垂直的证明，考查学生空间想象能力，属于基础题.
19.据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生 就业去向涉及公务员、教师、金融、商贸、公
司和自主创业等六大行业．2020 届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程等三个本科专
业，毕业生人数分别是 70 人，140 人和 210 人.现采用分层抽样的方法，从该学院毕业生中抽取 18 人调查
的
的
//EF ABD λ
BCD ⊥ AED
//EF AB AC λ
AB AC DB DC= = = BC BC AE⊥ BC DE⊥
BCD ⊥ AED
//EF ABD EF ⊂ ABC
ABC =ABD AB
//EF AB
BC AC
AC
AF
AC
λ= 1= 2
λ
AB AC DB DC= = = BC
BC AE⊥ BC DE⊥
=AE DE E∩ AE ⊂ AED DE ⊂ AED
BC ⊥ AED
BC ⊂ BCD
BCD ⊥ AED
学生的就业意向．
(1)应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？
(2)国家鼓励大学生自主创业，在抽取的 18 人中，含有“自主创业”就业意向的有 6 人，且就业意向至少
有三个行业的学生有 7 人.为方便统计，将至少有三个行业就业意向的这 7 名学生分别记为 ， ， ，
， ， ， ，统计如下表：
学生
就业意向
公务员 × 〇 × 〇 〇 × ×
教师 × 〇 × 〇 〇 〇 〇
金融 × × 〇 〇 〇 × ×
商贸 〇 〇 〇 × 〇 〇 〇
公司 〇 〇 × 〇 〇 × 〇
自主创业 〇 × 〇 × × 〇 〇
其中“〇”表示有该行业就业意向，“×”表示无该行业就业意向．
①试估计该学院 2020 届毕业生中有自主创业意向的学生人数；
②现从 ， ， ， ， ， ， 这 7 人中随机抽取 2 人接受采访，设 为事件“抽取 2 人中至少
有一人有自主创业意向”，求事件 发生的概率.
【答案】(1)数学：3 人，计算机科学与技术： 6 人，金融工程：9 人；(2)①140 人；② .
【解析】
【分析】
(1)利用分层抽样直接求解；
(2)①利用样本数据即可估计该学院 2020 届毕业生中有自主创业意向的学生人数；
② ， ， ， ， ， ， 这 7 人中有 4 人有自主创业意向，从 ， ， ， ， ， ， 这
7 人中随机抽取 2 人接受采访基本事件总数 ，事件 包含的基本个数 ，
的
A B C D
E F G
A B C D E F G
A B C D E F G M
M
6
7
A B C D E F G A B C D E F G
2
7 21n C= = M 2 1 1
4 4 3 18m C C C= + =
由此即可求出事件 发生的概率．
【详解】(1)根据已知条件可得：
应从该学院数学与应用数学毕业生中抽取： 人，
计算机科学与技术毕业生中抽取： 人，
金融工程毕业生中抽取： 人．
(2)①估计该学院 2020 届毕业生中有自主创业意向的学生人数为：
人．
(2) 根据表可知 ， ， ， ， ， ， 这 7 人中有 4 人有自主创业意向，
从 ， ， ， ， ， ， 这 7 人中随机抽取 2 人接受采访，
基本事件总数 ，
设 为事件“抽取的 2 人中至少有一人有自主创业意向”，
事件 M 包含的基本个数 ，
所以事件 发生的概率 ．
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用、古典概型概率的计算及排列组合等基础知识，考查运算求解能力，
属于基础题．
20.已知函数 ， ， .
（1）讨论 的单调性：
（2）若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1） ，分 ， 两种情况讨论；
（2）不等式 对任意 恒成立，转化为 对任意 恒成立，令
，只需求出 的最大值即可.
【详解】（1） ，
M
7018 370 140 210
× =+ +
14018 670 140 210
× =+ +
21018 970 140 210
× =+ +
6 (70 140 210) 14018
× + + =
A B C D E F G
A B C D E F G
2
7 21n C= =
M
2 1 1
4 4 3 18m C C C= + =
M 18 6( ) 21 7P M = =
( ) lnf x x x= + ( ) 21
2g ax ax x= + ( ) 1xh x mxe= −
( ) ( ) ( )F x g x f x= −
( ) ( )h x f x≥ (0, )x∈ +∞ m
m 1≥
( ) ( )( ) ( )' 1 1 0ax xF x xx
− += > 0a ≤ 0a >
( ) ( )h x f x≥ 0( )x∈ + ∞ ln 1
x
x xm xe
+ +≥ 0( )x∈ + ∞
( ) ln 1
x
x xG x xe
+ += ( )G x
( ) ( )21 1 ln2F x ax a x x= + − −
，
①当 时， ，所以 在 上单调递减；
②当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）不等式 对任意 恒成立，即 恒成立，
因为 ，所以
令
令 ， ，
故 在 上单调递减，且 ， ，
故存在 使得 ，
即 即 ，
当 时， ， ；
当 ， ， ；
所以 ，
故实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，在处理不等式恒成立问题时，通常构
造函数，转化为函数的最值问题来处理，是一道较难的题.
21.
在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积
等于 .
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程；
( ) ( )( ) ( )' 1 111 0ax xF x ax a xx x
− += + − − = >
0a ≤ ( )' 0F x < ( )F x (0, )+∞
0a > ( )' 0F x < 10 x a
< < ( )' 0F x > 1x a
>
( )F x 10, a
1( , )a
+∞
( ) ( )h x f x≥ 0( )x∈ + ∞ 1 lnxmxe x x− ≥ +
0x > ln 1
x
x xm xe
+ +≥
( ) ln 1
x
x xG x xe
+ +=
( ) ( )( )'
2
1 ln
x
x x xG x x e
+ − −=
( ) lnp x x x= − − ( )' 1 1 0p x x
= − − <
( )p x (0, )+∞ 1 11 0p e e
= − >
( )1 1 0p = − <
0
1 ,1x e
∈
( )0 0 0ln 0P x x x= − − =
0 0ln 0x x+ = 0
0
xx e−=
( )00,x x∈ ( ) 0p x > ( ) 0G x′ >
0( , )x x∈ +∞ ( ) 0p x < ( ) 0G x′ <
( ) ( )
0 0 0ax
0
m
0
0
0
ln 1 1 1x x x
x xG x G x x e e e−
+ += = = =
m m 1≥
1
3
−
(Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若
存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（I） （II）存在点 使得 与 的面积相等，此时点 的坐标为
.
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用直接法设 ，利用直线 与 的斜率之积等于 ，得到
关于 的方程，求得其轨迹方程；（2）根据题意设 ，点 的坐标分别为
三个点的坐标，再利用三角形的面积公式和点到直线的距离公式，求得 和 的面积，利用
，进而得到关于 的方程，求得点 的坐标为 ．
试题解析：（1）点 的轨迹方程为 ； 5 分
（2）设点 的坐标为 ，点 的坐标分别为 ，
则直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ．
令 ，得 ，
于是 的面积 ， 8 分
直线 的方程为 ， ，
点 到直线 的距离 ，
于是 的面积 ， 10 分
当 时，得 ，
2 23 4( 1)x y x+ = ≠ ± P PAB∆ PMN∆ P
5 33( , )3 9
±
( )( ), 1P x y x ≠ ± AP BP 1
3
−
,x y P ( )0 0,x y ,M N ( ) ( )3, , 3,M Ny y
PABS∆ PMNS∆ PABS∆
PMNS∆= 0x P
5 33,3 9
±
P ( )2 23 4 1x y x+ = ≠ ±
P ( )0 0,x y ,M N ( ) ( )3, , 3,M Ny y
AP ( )0
0
11 11
yy xx
−− = ++
BP ( )0
0
11 11
yy xx
++ = −−
3x = 0 0 0 0
0 0
4 3 2 3,1 1M N
y x y xy yx x
+ − − += =+ −
PMN ( ) ( )2
0 0 0
0 2
0
31 32 1PMN M N
x y xS y y x
x
+ −= − − =
−
AB 0x y+ = 2 2AB =
P AB 0 0
2
x yd
+=
PAB△ PABS 0 0
1
2 AB d x y= ⋅ = +
PABS PMNS=
( )2
0 0 0
0 0 2
0
3
1
x y xx y
x
+ −+ =
−
又 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
故存在点 使得 与 的面积相等，
此时点 的坐标为 ． 12 分
考点：1．动点的轨迹方程；2．点到直线的距离公式和三角形的面积公式．
22.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ，极坐标系
中 ，弧 所在圆的圆心分别为
，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 .
（1）分别写出 的极坐标方程；
（2）直线 的参数方程为 （ 为参数），点 的直角坐标为 ，若直线 与曲线 有两个
不同交点 ，求实数 的取值范围，并求出 的取值范围.
【 答 案 】 （ 1 ） ； ；
； ， 或 （ 2 ） ，
0 0 0x y+ ≠ ( )2 2
0 03 1x x− = − 0
5
3x =
2 2
0 03 4x y+ =
0
33
9y = ±
P PAB△ PMN
P
5 33,3 9
±
O x Ox
3 5 72, , 2, , 2, , 2,4 4 4 4A B C D
π π π π
, , ,AB BC CD DA
( ) ( )31, , 1, , 1, , 1,02 2
π ππ
1C AB 2C BC 3C CD 4C DA
1 2 3 4, , ,C C C C
l
2
2
x t
y tλ
= +
= + t P ( )2,2 l 1C
,M N λ PM PN+
1
32sin , 4 4
π πρ θ θ = ≤ ≤ 2
3 52cos , 4 4
π πρ θ θ = − ≤ ≤
3
5 72sin , 4 4
π πρ θ θ = − ≤ ≤ 4 2cosρ θ= 0 4
πθ≤ ≤（ 7 24
π θ π≤ ≤ ） 1(0, ]3
λ ∈
【解析】
【分析】
（1）设弧 上任意一点
根据 ABCD 是边长为 2 的正方形，AB 所在的圆与原点相切，其半径为 1，求得
，同理求得其他弧所对应的极坐标方程.
（2）把直线 的参数方程和 的极坐标方程都化为直角坐标方程，利用数形结合求解，把直线 的参数方
程化为直线 的标准参数方程， 直角坐标方程联立，再利用参数的几何意义求解.
【详解】（1）如图所示：
设弧 上任意一点
因为 ABCD 是边长为 2 的正方形，AB 所在的圆与原点相切，其半径为 1，
所以
所以 的极坐标方程为 ；
同理可得： 的极坐标方程为 ；
7 10(4, ]5
AB ( )1,M ρ θ
1
32sin , 4 4
π πρ θ θ = ≤ ≤
l 1C l
l 1C
AB ( )1,M ρ θ
1
32sin , 4 4
π πρ θ θ = ≤ ≤
1C 1
32sin , 4 4
π πρ θ θ = ≤ ≤
2C 2
3 52cos , 4 4
π πρ θ θ = − ≤ ≤
的极坐标方程为 ；
的极坐标方程为 ， 或
（2）因为直线 的参数方程为
所以消去 t 得 ，过定点 ，
直角坐标方程为
如图所示：
因为直线 与曲线 有两个不同交点 ，
所以
因为直线 的标准参数方程为 ，代入 直角坐标方程
得
3C 3
5 72sin , 4 4
π πρ θ θ = − ≤ ≤
4C 4 2cosρ θ= 0 4
πθ≤ ≤（ 7 24
π θ π≤ ≤ ）
l
2
2
x t
y tλ
= +
= +
( )2 2y xλ= + − P ( )2,2
1C ( )22 1 1x y+ − =
1
3PQk =
l 1C ,M N
10 3
λ< ≤
l
2
2
12
1
2
1
x t
y t
λ
λ
λ
= + +
= + +
1C ( )22 1 1x y+ − =
2
2
4 2 4 0
1
t t
λ
λ
++ + =
+
1 2 1 22
4 2 , 4
1
t t t t
λ
λ
++ = − ⋅ =
+
( )
2
2
1 2 1 2 21 2
4 2
1
t tP t tM PN t t
λ
λ
++ + − +
= + = =
+ =
令
所以
所以
所以 的取值范围是
【点睛】本题主要考查极坐标方程的求法和直线与曲线的交点以及直线参数的几何意义的应用，还考查了
数形结合思想和运算求解的能力，属于难题.
23.已知 ， ，且 .
（1）求 的最小值；
（2）证明： .
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用基本不等式即可求得最小值；
（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．
【详解】（1） ，当且仅当“ ”时取等号，
故 的最小值为 ；
（2） ，
当且仅当 时取等号，此时 ．
故 ．
( )
( )
2
22
2
2 2 4 4
5 41 1 2 1122 2 5 5
λ
λ
λλ λ
+
+ − + − + ++ +
= = =
1 3 1[ , )2 7 2λµ += ∈
21 2 1 10 15 [ , )2 5 5 49 4m λ
= − + ∈ +
7 10(4, ]5PM PN+ ∈
PM PN+ 7 10(4, ]5
0a > 0b > 1a b+ =
1 2
a b
+
2 2
2 5
1 2
ab b
a b
+
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