安庆市 2020 届高三第三次模拟考试
数学（文科）试题
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号.
2.答题时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号.
3.答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可选用铅
笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域
作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共 12 小题.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把正确答案
的代号填在题后的括号内）
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 为虚数单位，复数 ，则复数 的虚部是（ ）
A. B.1 C. D.2
3.已 知抛物线 ： ，则下列关于抛物线 的叙述正确的是（ ）
A.抛物线 没有离心率 B.抛物线 的焦点坐标为
C.抛物线 关于 轴对称 D.抛物线 的准线方程为
4.已知函数 的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
{ }2 3 0A x x= − > { }0,1,2,3B = A B∩ =
{ }1 { }2,3 { }1,2,3 3
2x x
>
i 2 31z ii
= ++ z
i 2i
C 21
4y x= C
C C 1 ,016
C x C 1y = −
( ) [ ]( ),y f x x π π= ∈ −A. B.
C. D.
5.在正方体 中，点 ， 分别为棱 ， 的中点，过点 ， ， 作平面截正方
体的表面所得图形 是（ ）.
A.三角形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.平面五边形
6.执行如图所示的程序框图，则输出的 值是（ ）
A.53 B.159 C.161 D.485
7.某居民小区 1 单元 15 户某月用水量的茎叶图如图所示（单位：吨），若这组数据的平均数是 19，则
的值是（ ）
A.2 B.5 C.6 D.8
( ) sin cosf x x x= − ( ) sin cosf x x x= −
( ) sin cosf x x x= − ( ) sin cosf x x x= −
1 1 1 1ABCD A B C D− E F BC 1CC A E F
a
ba +8.已知实数 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.
9.底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心）的外接球半
径与内切球半径比值为（ ）
A. B.3 C. D.2
10.已知函数 是 上的奇函数，其中 ，则下 列 关 于 函 数
的描述中，其中正确的是（ ）
①将函数 的图象向右平移 个单位可以得到函数 的图象；
②函数 图象的一条对称轴方程为 ；
③当 时，函数 的最小值为 ；
④函数 在 上单调递增.
A.①③ B.③④ C.②③ D.②④
11.已知函数 ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范
围是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知 ， 分别是双曲线 ： 的左，右焦点，动点 在双曲线的左支上，点 为圆 ：
x y
2 0
2 2 0
1
x y
x y
x
+ − ≤
− − ≤
≥
21
2
x y
z
− =
1
2
1
4
1
16
3 1+ 2 1+
( ) ( )2sin sin 2f x x x ϕ= + R 0, 2
πϕ ∈
( ) ( )cos 2g x x ϕ= −
( )f x 8
π ( )g x
( )g x 8x
π=
0, 2x
π ∈
( )g x 2
2
−
( )g x 5,8 8
π π
( ) 2 3 2, 1
ln , 1
x x xf x
x x
− + ≤= > 0x R∈ ( )0 0 1f x ax a≤ − − a
( )0,+∞ [ )3,0−
( ] [ ), 3 1,−∞ − ∪ +∞ ( ] ( ), 3 0,−∞ − ∪ +∞
1F 2F C
2 2
14 3
x y− = A B E上一动点，则 的最小值为（ ）
A.7 B.8 C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题～第 23 题
为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共 4 小题，将每题的正确答案填在题中的横线上）
13.已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则实数 的值为______.
14.已知平面向量 ， 满足 ， ， ，设 ， 的夹角为 ，则 的值为
______.
15.如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心，以边长的一半为半径在正方形内作圆弧得到的.现等可能
地在该正方形内任取一点，则该点落在图中阴影部分的概率为______.
16.在 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， .若 ， ，则 外
接圆的半径大小是______.
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知各项均不为 0 的等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ， 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 的通项公式 与 ；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 20 项和 .
( )22 3 1x y+ + = 2AB AF+
6 3+ 2 3 3+
( ) ( )lnf x x a x= + ( )1,0 ( )2 1y x= − a
a b 2a = 3b = ( )2, 3a b− = a b α cosα
ABC△ A B C a b c 6 2 sin 4a B
π = + 6c = ABC△
{ }na n nS 5 9a = 1a 4a 7S
{ }na na nS
( ) ( )1 2n
n nb S n= − + { }nb 20T18.如图，圆锥 中， 是圆 的直径，且 ， 是底面圆 上一点，且 ，点 为半
径 的中点，连 .
（Ⅰ）求证： 在平面 内的射影是 ；
（Ⅱ）若 ，求底面圆心 到平面 的距离.
19.某生物研究所为研发一种新疫苗，在 200 只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射疫苗 30
注射疫苗 70
总计 100 100 200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取 1 只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 .
（Ⅰ）能否有 的把握认为注射 此种疫苗有效？
（Ⅱ）在未注射疫苗且未感染病毒与注射疫苗且感染病毒的小白鼠中，分别抽取 3 只进行病例分析，然后
从这 6 只小白鼠中随机抽取 2 只对注射疫苗情况进行核实，求抽到的 2 只均是注射疫苗且感染病毒的小白
鼠的概率.
附： ， ，
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
PO AB O 4AB = C O 32=AC D
OB PD
PC APB PD
4PA = O PBC
x y
z w
7
10
99.9%
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k≥
0k20.在平面直角坐标系 中，动点 到直线 的距离与到定点 的距离之比为 2.
（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）过点 的直线交轨迹 于 ， 两点，线段 的中垂线与 交于点 ，与直线 交于点
，设直线 的方程为 ，请用含 的式子表示 ，并探究是否存在实数 ，使 ？
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
21.已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）当 时，判断函数 的零点个数；
（Ⅱ）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22.选修 4—4 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （其中 为参数），以原点 为极点，以
轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点 ， 分别是曲线 ， 上两动点且 ，求 面积的最大值.
23.选修 4—5 不等式选讲
已知函数 （其中实数 ）.
（Ⅰ）当 ，解不等式 ；
（Ⅱ）求证： .
参考答案
xOy P 4x = ( )1,0F
P E
F E A B AB AB C 4x = −
D AB 1x my= + m AB
CD
m 3
5
AB
CD
=
m
( ) 2 lnf x x ax x= − − a R∈
1a = ( )f x
( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ a
xOy 1C 3 3cos
3sin
x
y
α
α
= +
=
α O
x 2C 4cos 0ρ θ+ =
1C 2C
A B 1C 2C 2AOB
π∠ = AOB△
( ) 1
1f x x m x m
= − + + + 0m >
1m = ( ) 3f x ≤
( ) ( )
1 21f x m m
+ ≥+第Ⅰ卷
一、选择题：
1.B
解析：由条件知 ，则 ，故选 B.
2.D
解析： ，其虚部为 2.故选 D.
3.D
解析：由条件知抛物线 的离心率为 1，其焦点坐标为 ，关于 轴对称，准线方程为 ，故选
D.
4.B
解析：由函数图象关于原点对称知该函数为奇函数，排除 C，D，又当 时， ，知答案 A
不符合，故选 B.
5.C
解析：连 ， ，则 ，且 ，于是所得截面图形是梯形，设正方体
棱长为 ，则 ，因此所得截面图形是等腰梯形，故选 C.
6.C
解析：执行循环体，依次得到： ， ； ， ； ， ； ， ，此
时不满足条件，输出 161，故选 C.
7.A
解析：由茎叶图知 ，
所以 ，选 A.
8.B
3| 2A x x = >
{ }2,3A B∩ =
( )2 12 3 3 1 21 2
iz i i ii
−= + = + = ++
C ( )0,1 y 1y = −
[ ]0,x π∈ ( ) 0f x ≤
1AD 1BC 1 1// //EF BC AD 1 1
1 1
2 2EF BC AD= =
2a 1 5AE D F a= =
5a = 2k = 17a = 3k = 53a = 4k = 161a = 5k =
12 13 15 14 19 17 16 16 23 20 25 28 21 20 24 19 15a b+ + + + + + + + + + + + + + + + = ×
2a b+ =解析：作出可行域，发现当 ， 时，目标函数 取到最大值，最大值为 .
9.A
解 析 ： 不 妨 设 其 棱 长 为 2 ， 则 外 接 球 半 径 为 ， 内 切 球 半 径 为 ， 于 是
，故选 A.
10.C
解析：因函数 是 上的奇函数，则要使函数 是 上的奇函数，则函数 是
上 的 偶 函 数 ， 又 得 ， 所 以 ， 于 是
， .将函数 的图象向右平移
个单位得到函数 的图象，①错误；当 时， ，②正确；
当 时， ，于是函数 的最小值为 ，③正确；函数 在
上单调递减，④错误.故选 C.
11.D
解析：作出函数 的图象，直线 过定点 .当 时，显然满足题意；
当 时 ， 不 符 合 ； 当 时 ， 联 立 得 ， 其
，解得 .
综上可得实数 的取值范围是 ，故选 D.
12.A
1x = 1y =
21
2
x y
z
− =
2 11 112 2
× − =
2R = 2
3 1
r =
+
3 12 3 1
2
R
r
+= × = +
2siny x= R ( )f x R ( )sin 2y x ϕ= +
R 0, 2
πϕ ∈ 2 2
πϕ =
4
πϕ =
( ) 2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x
π = + = =
( ) cos 2 4g x x
π = −
( )f x
8
π
sin 2 sin 28 4y x x
π π = − = − 8x
π= 18g
π =
0, 2x
π ∈
324 4 4x
π π π− ≤ − ≤ ( )g x 2
2
− ( )g x 5,8 8
π π
( )f x ( )1 1 1y ax a a x= − − = − − ( )1, 1− 0a >
0a = 0a <
2 3 2
1
y x x
y ax a
= − +
= − −
( )2 3 3 0x a x a− + + + =
( ) ( ) ( )( )23 4 3 3 1 0a a a a∆ = + − + = + − ≥ 3a ≤ −
a ( ] ( ), 3 0,−∞ − ∪ +∞解析：双曲线 中 ， ， ， ，
圆 半径为 ， ， ， （当且仅当
， ， 共线且 在 ， 之间时取等号.）
，
当且仅当 是线段 与双曲线的交点时取等号． 的最小值是 7.
故选：A.
二、填空题
13.1
解析：由题意 ，所以 ，得 .
14.
解析：由已知得 ，于是 ， .
15.
解析：设正方形的边长为 ，则空白部分的面积为 ，因此所求概率为
.
16.
解 析 ： 由 条 件 知 ， 根 据 正 弦 定 理 得
， 所 以 ， 又
， 于 是 ， 因 ， 所 以
2 2
14 3
x y− = 2a = 3b = 4 3 7c = + = ( )1 7,0F −
E 1r = ( )0, 3E − 2 1 12 4AF AF a AF∴ = + = + 1AB AE BE AE≥ − = −
A E B B A E
( )2 2
2 1 1 14 1 3 3 7 3 3 7AB AF AF AE AF AE EF∴ + ≥ + + − = + + ≥ + = − + + =
A 1EF 2AB AF∴ +
( ) ln x af x x x
+′ = + ( )1 1 2f a′ = + = 1a =
2
3
2 2 2
2 5a b a a b b− = − ⋅ + = 4a b⋅ = 4 2cos 2 3 3
a b
a b
α ⋅= = =×
12
π −
2a ( )2 2 2 22 2 8 2a a a aπ π − × = −
( )2 2 2
2
4 8 2
14 2
a a a
a
π π− −
= −
3 2
2 22 sin 2 sin cos sin cos4 2 2
a B B B B Bc
π = + = + = +
sin
sin
a A
c C
= ( )sin sin sin cos sin sin sin cosA C B B C B C B= ⋅ + = +
( )sin sin sin cos cos sinA B C B C B C= + = + sin cos sin sinB C B C= sin 0B >， 又 ， 所 以 ， 设 外 接 圆 的 半 径 大 小 为 ， 根 据 正 弦 定 理 得
，因此 .
三、解答题：
17.解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则 ，
由 ， ， 成等比数列知 ，因 ，得 ，于是 ，
解得 ， ， ， .
（Ⅱ）因 ，
所以
.
18.解：（Ⅰ）因 ， ， ，所以 ，
因 ，所以 是正三角形，又 点是 的中点， ，
又 平面 ， ， ， 平面 ，
所以 在平面 内的射影是 .
（Ⅱ）由 知 ， ，
， ，
tan 1C = ( )0,C π∈
4C
π= ABC△ R
62 6 2sin sin 4
cR C π= = =
3 2R =
{ }na d 5 1 4 9a a d= + =
1a 4a 7S 2
4 1 7 1 47a a S a a= ⋅ = × 4 0a ≠ 4 17a a= 12d a=
1 1a = 2d = 2 1na n= − ( ) 21 2 1
2n
n nS n
+ −= =
( ) ( ) ( ) ( )21 2 1 2n n
n nb S n n n= − + = − +
20 1 2 20T b b b= + +⋅⋅⋅+
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 1 2 2 2 3 2 3 20 2 20= − + × + + × − + × +⋅⋅⋅+ + ×
( )2 2 2 2 2 22 1 4 3 20 19 2 10= − + − +⋅⋅⋅+ − + ×
( ) ( )20 1 201 2 3 20 20 20 210 20 2302
× += + + +⋅⋅⋅+ + = + = + =
4AB = 2 3AC = AC BC⊥
3ABC
π∠ =
OB OC= BOC△ D OB CD OB∴ ⊥
PO ⊥ ABC OP CD∴ ⊥ OP OB O∩ = CD∴ ⊥ PAB
PC APB PD
4PA = 2 3PO = 4PB PC= =
21 1 3 2 2 3 23 3 4P OBC OBCV S PO− = × × = × × × =△
2 21 2 4 1 152PBCS = × × − =△设点 到平面 的距离为 ，则 ，
解得 ，所以底面圆心 到平面 的距离为 .
19.解：（Ⅰ）由条件知 ， ， ， ，
，
所以有 的把握认为注射此种疫苗有效.
（Ⅱ）由条件知将抽到的 3 只未注射疫苗且未感染病毒的小白鼠记为 ， ， ，将抽到的 3 只注射疫苗
且感染病毒的小白鼠分别记为 ， ， ，从这6只小白鼠中随机抽取2只共有 ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
等 15 种可能，
抽到的 2 只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠有 ， ， 等 3 种情况，
所以抽到的 2 只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率为 .
20.解：（Ⅰ）设 ，则 ，化简整理得 .
所以动点 的轨迹 的方程为 .
（Ⅱ）设 ， ，
联立 ，消去 ，得 ，
根据韦达定理可得 ， ，
O PBC d 1 15 23 3P OBC O PBC PBCV V S d d− −= = × × = =△
2 15
5d = O PBC 2 15
5
70x = 100y = 30z = 100w =
( )2
2 200 30 30 70 70 32 10.828100 100 100 100K
× × − ×= = >× × ×
99.9%
A B C
D E F ( ),A B ( ),A C ( ),A D
( ),A E ( ),A F ( ),B C ( ),B D ( ),B E ( ),B F ( ),C D ( ),C E ( ),C F ( ),D E ( ),D F
( ),E F
( ),D E ( ),D F ( ),E F
3 1
15 5
=
( ),P x y ( )2 2
4 2
1
x
x y
− =
− +
2 2
14 3
x y+ =
P E
2 2
14 3
x y+ =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2 2
1
14 3
x my
x y
= + + =
x ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − =
1 2 2
6
3 4
my y m
+ = − + 1 2 2
9
3 4y y m
= − +所以 ，
又 ，
于是 ，
所以 .
令 ，解得
因此存在 ，使 .
21.解：（Ⅰ）当 时， ，其定义域为 ，
求导得 ，
于是当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递
增，又 ，所以函数 的零点个数为 1；
（Ⅱ）法 1：因对任意 ， 恒成立，即 对任意 恒成立，
于是 对任意 恒成立，
令 ，只需 .
对函数 求导，得 ，令 ，
则 ，所以函数 在 上单调递增.
( ) ( )2
22 2
1 2 1 2 1 2 2
12 1
1 1 4 3 4
m
AB m y y m y y y y m
+
= + − = + ⋅ + − = +
2 2
4 3,3 4 3 4
mC m m
− + +
( ) ( )2 2
2
2 2
4 3 5 141 43 4 3 4
m m
CD m m m
+ +
= + − − =+ +
2
2
3 1
3 5
AB m
CD m
+= +
2
2
3 1 3
3 5 5
AB m
CD m
+= =+ 0m =
0m = 3
5
AB
CD
=
1a = ( ) 2 lnf x x x x= − − ( )0,+∞
( ) ( )( )2 1 2 11 2 12 1 x xx xf x x x x x
− +− −′ = − − = =
( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )1 0f = ( )f x
( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ 2 ln 0x ax x− − ≥ ( )0,x∈ +∞
2 lnx xa x
−≤ ( )0,x∈ +∞
( ) ( )2 ln 0x xg x xx
−= > ( )
mina g x≤
( )g x ( ) 2
2
1 lnx xg x x
− +′ = ( ) ( )2 1 ln 0h x x x x= − + >
( ) 12 0h x x x
′ = + > ( )h x ( )0,+∞又 ， 所 以 当 时 ， ， ， 函 数 单 调 递 减 ； 当 时 ，
， ，函数 单调递增，所以函数 ，于是 ，即实数 的取
值范围为 .
法 2：因对任意 ， 恒成立，即 对任意 恒成立.构造函数
，对其求导，得 ，
令 ，得 （ 舍去），所以当 时， ，函数 单调递减；当
时， ，函数 单调递增.
函数 的图象是一条过原点的射线（不包括端点），旋转射线（不含端点），发现
与函数 的图象相切时属临界状态.
设切点为 ，则 ，整理得 ，
显然 在 上是增函数，又 ，所以 ，此时切线斜率为 1，结合图象，
可知实数 的取值范围为 .
法 3：根据题意只需 即可.
又 ，令 ，因 2 与 异号，所以必有一正根，不妨设为 ，则
，即 ，
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，
又 在 上是减函数，又 ，所以 ，
( )1 0h = ( )0,1x∈ ( ) 0h x < ( ) 0g x′ < ( )g x ( )1,x∈ +∞
( ) 0h x > ( ) 0g x′ > ( )g x ( ) ( )
min 1 1g x g= = 1a ≤ a
( ],1−∞
( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ 2 lnx x ax− ≥ ( )0,x∈ +∞
( ) ( )2 ln 0F x x x x= − > ( ) 21 2 12 xF x x x x
−′ = − =
( ) 0F x′ = 2
2x = 2
2
− 20, 2x
∈
( ) 0F x′ < ( )F x
2 ,2x
∈ +∞
( ) 0F x′ > ( )F x
( )0y ax x= > ( )0y ax x= >
( )F x
( )2
0 0 0, lnx x x−
2
0 0
0
0 0
ln 0 120
x x xx x
− − = −−
2
0 0ln 1 0x x+ − =
( ) 2 ln 1h x x x= + − ( )0,+∞ ( )1 0h = 0 1x =
a ( ],1−∞
( )
min
0f x ≥
( ) 21 2 12 x axf x x a x x
− −′ = − − = ( ) 0f x′ = 1− 0x
2
0 02 1 0x ax− − = 2
0 02 1x ax− =
( )00,x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( ) ( ) 2 2
0 0 0 0 0 0min
ln 1 ln 0f x f x x ax x x x = = − − = − + − ≥
( ) 2 ln 1g x x x= − − + ( )0,+∞ ( )1 0g = 00 1x< ≤由 得 在 上单调递增，则实数 的取值范围为 .
22.选修 4—4 坐标系与参数方程
解析：（Ⅰ）由条件知消去参数 得到曲线 的普通方程为 .
因 可化为 ，又 ， ，代入得 ，于
是曲线 的直角坐标方程为 .
（Ⅱ）由条件知曲线 ， 均关于 轴对称，而且外切于原点 ，
不妨设 ，则 ，
因曲线 的极坐标方程为 ，
所以 ， ，
于是 ，
所以当 时， 面积的最大值为 6.
23.选修 4—5 不等式选讲
解析：（Ⅰ）由条件知 时，
于是原不等式可化为① ；② ；③
2
0 02 1x ax− =
2
0
0
0 0
2 1 12xa xx x
−= = − ( ]0 0,1x ∈ a ( ],1−∞
α 1C ( )2 23 9x y− + =
4cos 0ρ θ+ = 2 4 cos 0ρ ρ θ+ = 2 2 2x yρ = + cos xρ θ = 2 2 4 0x y x+ + =
2C 2 2 4 0x y x+ + =
1C 2C x O
( )1, 0 2A
πρ θ θ <
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