海南省2020届高三高考调研测试数学试题 word版含答案

2020 年海南省普通高中高考调研测试 数学试题 审题单位： 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分．考试时间 120 分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知复数 ， 为 的共轭复数，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则 （ ） A． B．2 C．1 D． 4．“ n”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若双曲线 的离心率为 ，则 （ ） A． B． C．4 D． { | 2 1 4}A x x= < − < { }2| 4 12 0B x x x= − −  ( )RA B∪ = ( 2, 1)− − ( 3,6)− ( 3,6]− ( 6,2)− 1z i= − z z 1 z z + = 3 2 i+ 1 2 i+ 1 3 2 i− 1 3 2 i+ (0,2)a = (2 3, )b x= a b 3 π x = 2− 1− ln lnm n< 2 2m n< 2 2 1( 0)mx ny m+ = > 5 m n = 1 4 1 4 − 4− 6．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知 三棱锥 的每个顶点都在球 的球面上， 底面 ， ，且 ， ，利用张衡的结论可得球 的表面积为（ ） A．30 B． C．33 D． 7．已知 是定义在 上的奇函数，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 8．已知等差数列 ， 的前 项和分别为 和 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们的体重（单位： ）情况 如柱形图 1 所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图 2 所示． 对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A．他们健身后，体重在区间 内的人数增加了 2 个 B．他们健身后，体重在区间 内的人数没有改变 C．因为体重在 内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响 A BCD− O AB ⊥ BCD BC CD⊥ 3AB CD= = 2BC = O 10 10 12 10 1( ) x x ef x e a −= + R ( )2( 3) 9f x f x− < − ( 2,6)− ( 6,2)− ( 4,3)− ( 3,4)− { }na { }nb n nS nT 5 2 1 n n S n T n += − 7 6 a b = 6 7 12 11 18 25 16 21 kg [90,100) [100,110) [100,110) D．他们健身后，原来体重在区间 内的肥胖者体重都有减少 10．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，给出下列 关于 的结论：①它的图象关于直线 对称；②它的最小正周期为 ；③它的图象关于点 对称；④它在 上单调递增．其中正确的结论的编号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 11．若 ，则（ ） A． B． C． D． 12．已知函数 的定义域为 ，则（ ） A． 为奇函数 B． 在 上单调递增 C． 恰有 4 个极大值点 D． 有且仅有 4 个极值点 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知函数 则 ________． 14．某工厂质检部要对即将出厂的 1000 个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为 0.95，且每个零 件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为 ，则随机变量 的方差 ________． 15．已知 ， ，且 ，则 的最小值是________． 16．在正方体 中， 为棱 上一点，且 ， 为棱 的中点，且平面 与 交于点 ，与 交于点 ，则 _________， __________．（本题第一空 2 分，第二 [110,120) ( ) sin3 3cos3 1f x x x= − + 6 π ( )g x ( )g x 5 9x π= 2 3 π 11 ,118 π    5 19,3 9 π π     10 4,10 25a b= = 2a b+ = 1b a− = 28lg 2ab > lg6b a− > ( ) sin cosf x x x x x= + − [ 2 ,2 )π π− ( )f x ( )f x [0, )π ( )f x ( )f x 2 1 2 , 0,( ) 3 4 log , 0, x x xf x x x   − =   − + >  ( (8))f f = X X DX = 0a > 0b > 2a b+ = 5 1 5a b + 1 1 1 1ABCD A B C D− E CD 2CE DE= F 1AA BEF 1DD G 1AC H 1 DG DD = 1 AH HC = 空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 在① ，② ，③ 三个条件中任选一个，补充在下面 问题中，并加以解答． 已知 的内角 所对的边分别是 ，若_________，且 成等差数列，则 是否 为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12 分） 设等差数列 的公差为 2，等比数列 的公比为 2，且 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ． 19．（12 分） 在四棱锥 中， 是边长为 2 的等边三角形，底面 为直角梯形， ， ， ， . cos2 3sin 2 0B B− + = 2 cos 2b C a c= − cos 1 3sin b B a A += ABC△ , ,A B C , ,a b c , ,a b c ABC△ { }n na b− { }n na b+ 1 2a = 1 1b = { }na { }2 2n na + n nS P ABCD− PAB△ ABCD AB CD∥ AB BC⊥ 1BC CD= = 2PD = （1）证明： ． （2）求二面角 的余弦值． 20．（12 分） 某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有 ， 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是 0.02，0.03．若两道工序都没有出现故障，则 生产成本为 15 万元；若 工序出现故障，则生产成本增加 2 万元；若 工序出现故障，则生产成本增加 3 万元；若 ， 两道工序都出现故障，则生产成本增加 5 万元．生产线②：有 ， 两道独立运行的生产 工序，且两道工序出现故障的概率依次是 0.04，0.01．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为 14 万元； 若 工序出现故障，则生产成本增加 8 万元；若 工序出现故障，则生产成本增加 5 万元；若 ， 两道工 序都出现故障，则生产成本增加 13 万元． （1）若选择生产线①，求生产成本恰好为 18 万元的概率； （2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由． 21．（12 分） 已知 为坐标原点， ， ，直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ．记点 的轨迹为曲线 ． （1）若射线 与曲线 交于点 ，且 为曲线 的最高点，证明： ． （2）直线 与曲线 交于 两点，直线 与 轴分别交于 ， 两点．试问在 轴上是否存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理 由． 22．（12 分） 已知函数 ． （1）若函数 ，试讨论 的单调性； （2）若 ，求 的取值范围． AB PD⊥ A PB C− − A B A B A B a b a b a b O ( 2,0)A − (2,0)B AG BG G 3 4 − G C 2( 0)x y=  C D E C OD AE∥ : ( 0)l y kx k= ≠ C ,M N ,AM AN y P Q x T PQ T T 2 2( ) 1 xf x ax ax e= + + − ( ) ( )g x f x′= ( )g x (0, ), ( ) 0x f x∀ ∈ +∞ < a 2020 年海南省普通高中高考调研测试 数学试题参考答案 1．B 因为 ， ，所以 ． 2．C ． 3．B 因为 ，所以 ，且 ，解得 ． 4．A 若 ，则 ，从而 ；若 ，则 ，推不出 ． 5 ． D 因 为 可 化 为 ， 所 以 ， 则 ，即 ． 6．B 因为 ，所以 ，又 底面 ，所以球 的球心为侧棱 的中点，从而 球 的 直 径 为 ． 利 用 张 衡 的 结 论 可 得 ， 则 ， 所 以 球 的 表 面 积 为 ． 7．C 因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，即 ，解得 ， 即 ， 易 知 在 上 为 增 函 数 ． 又 ， 所 以 ，解得 ． 8．A 因为等差数列 ， 的前 项和分别为 和 ，且 ，所以可设 ， { | 3 1}A x x= − < < − { | 2 6}RB x x= − < 2 2 1( 0)1 1 x y m m n − = > − 2 21 5be a = + = 2 2 1 41 b n a m − = = 4m n = − BC CD⊥ 7BD = AB ⊥ BCD O AD O 10 2 5 16 8 π = 10π = O 2 104 10 10 102 π π  = =    1( ) x x ef x e a −= + R (1) ( 1) 0f f+ − = 1 11 01 e e e a ae −− + =+ + 1a = 1 2( ) 11 1 x x x ef x e e −= = −+ + ( )f x R ( )2( 3) 9f x f x− < − 23 9x x− < − 4 3x− < < { }na { }nb n nS nT 5 2 1 n n S n T n += − ( 5)nS kn n= + ，所以 ， ，所以 ． 9．ABD 体重在区间 内的肥胖者由健身前的 6 人增加到健身后的 8 人，故人数增加了 2 个，A 正 确；他们健身后，体重在区间 内的百分比没有变，所以人数没有变，B 正确；他们健身后，已经 出现了体重在 内的人，健身之前是没有这部分体重的，C 错误；因为图 2 中没有体重在区间 内的比例，所以原来体重在区间 内的肥胖者体重都有减少，D 正确． 10 ． BC 因 为 ， 所 以 ，令 ，得 ，所 以 不是对称轴①错误，②显然正确：令 ，得 ，取 ，得 ， 故 关 于 点 对 称 ， ③ 正 确 ： 令 ， 得 ，取 ，得 ，取 ，得 ，所以④错误．选 项 BC 正确． 11 ． ACD 由 ， 得 ， 则 ， ， ，故选 ACD． 12 ． BD 因 为 的 定 义 域 为 ， 所 以 是 非 奇 非 偶 函 数． ，当 时， ，则 在 上单 调递增．显然 ，令 ，得 ，分别作出 ， 在区间 上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间 上共有 4 个公共点，且两图象在这些公共点上都 不相切，故 在区间 上的极值点的个数为 4，且 只有 2 个极大值点．故选 BD． (2 1)nT kn n= − 7 7 6 18a S S k= − = 6 6 5 21b T T k= − = 7 6 6 7 a b = [90,100) [100,110) [80,90) [110,120) [110,120) ( ) sin3 3cos3 1 2sin 3 13f x x x x π = − + = − +   ( ) 2sin 3 1 2sin 3 16 3 6g x x x π π π    = + − + = + +         3 6 2x k π ππ+ = + ( )3 9 kx k Z π π= + ∈ 5 9x π= 3 6x k π π+ = ( )3 18 kx k Z π π= − ∈ 2k = 11 18x π= 11 ,118 π    2 3 2 ,2 6 2k x k k Z π π ππ π− + + ∈  2 2 2 3 9 3 9 k kx π π π π− +  2k = 10 13 9 9x π π   3k = 16 19 9 9x π π   10 4,10 25a b= = lg4, lg25a b= = lg100 2a b+ = = 25lg lg64b a− = > 24lg2lg5 4lg2lg4 8lg 2ab = > = ( )f x [ 2 ,2 )π π− ( )f x ( ) 1 cos (cos sin ) 1 sinf x x x x x x x′ = + − − = + [0, )x π∈ ( ) 0f x′ > ( )f x [0, )π ( ) 0f x′ = ( ) 0f x′ = 1sin x x = − siny x= 1y x = − [ 2 ,2 )π π− [ 2 ,2 )π π− ( )f x [ 2 ,2 )π π− ( )f x 13．5 因为 ，所以 ． 14．47.5 由题意可知， ， ． 15． 因为 ，所以 ．因为 ，所 以 （当且仅当 ， 时，等号成立），所以 ． 16． ； 易证 平面 ，则 ，则 ，即 ，又 ，则 ．连接 与 于 ，过 作 ， 与 交于 ，连接 ，则 为 与 的 交 点 ． 因 为 ， 所 以 ， 则 ． 所 以 ， 所 以 ，故 ． 17．解：选① 2(8) 4 log 8 4 3 1f = − + = − + = − 11( (8)) ( 1) 2 53f f f − = − = + =   ~ (1000,0.95)X B 1000 0.95 (1 0.95) 47.5DX = × × − = 18 5 2a b+ = 5 1 1 5 1 1 5 26( )5 2 5 2 5 5 b aa ba b a b a b    + = + + = + +       0, 0a b> > 5 25 b a a b +  5 3a = 1 3b = 5 1 1 26 1825 2 5 5a b  + × + =   1 6 3 8 BF∥ 1 1CDD C BF GE∥ AF DG AB DE = 1 2 DG DE = 2CE DE= 1 1 6 DG DD = AC BE M M 1MN CC∥ MN 1AC N FM H FM 1AC AB CE∥ 3 2 AM AB MC CE = = 1 3 2 AN AM NC MC = = 1 3 5 MN CC = 6 5 MN HN FA AH = = 1 3 8 AH HC = ∵ ， ∴ ， 即 ，解得 （舍去）或 ． ∵ ，∴ 或 ， 又∵ 成等差数列，∴ ，∴ 不是三角形中最大的边， 即 ， 由 ，得 ，即 ， 故 是等边三角形． 选② 由正弦定理可得 ， 故 ， 整理得 ． ∵ ，∴ ，即 ． ∵ ，∴ ， 又∵ 成等差数列，∴ ， 由余弦定理 ，可得 ，即 ， 故 是等边三角形． 选③ 2cos2 1 2sinB B= − 22sin 3sin 3 0B B+ − = (2sin 3)(sin 3) 0B B− + = sin 3B = − 3sin 2B = 0 B π< < 3B π= 2 3 π , ,a b c 2b a c= + b 3B π= 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 2 0a c ac+ − = a c= ABC 2sin cos 2sin sinB C A C= − 2sin cos 2sin( ) sinB C B C C= + − 2cos sin sin 0B C C− = 0 C π< < sin 0C > 1cos 2B = 0 B π< < 3B π= , ,a b c 2b a c= + 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 2 0a c ac+ − = a c= ABC 由正弦定理得 ， ∵ ，∴ ， 即 ， ∵ ，∴ ， 即 ，可得 ， 由余弦定理即 ，可得 ，可得 ， 故 是等边三角形． 18．解：（1）∵ ，∴ ， 依题意可得， ， ， 故 ． （2）由（1）可知， ， 故 ． 19．（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， ． ∵ 为等边三角形，∴ ． ∵在直角梯形 中， ， ， ， sin cos 1 sin 3sin B B A A += sin 0A ≠ 3sin cos 1B B− = 1sin 6 2B π − =   0 B π< < 5 6 6 6B π π π− < − < 6 6B π π− = 3B π= 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 2 0a c ac+ − = a c= ABC 1 12, 1a b= = 1 1 1a b− = 1 1 3a b+ = 1 2( 1) 2 1n na b n n− = + − = − 13 2n n na b −+ = × 12 1 3 2 2 n n na −− + ×= 12 2 2 1 5 2n n na n −+ = − + × ( )1(1 3 2 1) 5 1 2 2n nS n −= + + + − + × + + +  ( ) 2(1 2 1) 5 2 1 5 2 52 n nn n n + −= + × − = × + − AB M DM PM DB PAB AB PM⊥ ABCD AB BC⊥ 2AB = 1BC CD= = ∴ ， ∴ 为等腰三角形，∴ ． ∵ 平面 ， ． （2）解：由（1）知， ， ， 两两垂直，以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， 则 ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ∴ 即 令 ，得 ． 同理可得平面 的一个法向量为 ， ∴ ， 又二面角 为钝二面角，故其余弦值为 ． 20．解：（1）若选择生产线①，生产成本恰好为 18 万元，即 工序不出现故障 工序出现故障，故所求 的概率为 ． （2）若选择生产线①，设增加的生产成本为 （万元），则 的可能取值为 0，2，3，5． ； 2AD BD= = DAB AB DM⊥ PD ⊂ PDM AB PD⊥ DM DC DP D D xyz− (1, 1,0)A − (1,1,0)B (0,1,0)C (0,0, 2)P (0,2,0)AB = (1,1, 2)PB = − ( 1,0,0)BC = − APB ( , , )m x y z= 0, 0, AB m PB m  ⋅ = ⋅ =     2 0, 2 0, y x y z = + − = 2x = ( 2,0,1)m = PBC (0, 2,1)n = 1 1cos , 33 3 m n〈 〉 = = ×   A PB C− − 1 3 − A B (1 0.02) 0.03 0.0294− × = ξ ξ ( 0) (1 0.02) (1 0.03) 0.9506P ξ = = − × − = ； ； ． 所以 （万元）， 故选生产线①的生产成本期望值为 （万元）． 若选生产线②，设增加的生产成本为 ，则 的可能取值为 0．8，5，13． ； ； ； ． 所以 （万元）， 选生产线②的生产成本期望值为 （万元），故应选生产线②． 21．（1）证明：设 ， 即 ． 将 代入 ，得 的坐标为 ， 又 ， ( 2) 0.02 (1 0.03) 0.0194P ξ = = × − = ( 3) (1 0.02) 0.03 0.0294P ξ = = − × = ( 5) 0.02 0.03 0.0006P ξ = = × = 0 0.9506 2 0.0194 3 0.0294 5 0.0006 0.13Eξ = × + × + × + × = 15 0.13 15.13+ = η η ( 0) (1 0.04) (1 0.01) 0.9504P η = = − × − = ( 8) 0.04 (1 0.01) 0.0396P η = = × − = ( 5) (1 0.04) 0.01 0.0096P η = = − × = ( 13) 0.04 0.01 0.0004P η = = × = 0 0.9504 8 0.0396 5 0.0096 13 0.0004 0.37Eη = × + × + × + × = 14 0.37 14.37+ = 2 2 3 2 2 4 4AG BG y y yk k x x x ⋅ = ⋅ = = −+ − − 2 2 1( 0)4 3 x y y+ = ≠ 2( 0)x y=  2 2 14 3 x y+ = D 62, 2       (0, 3)E 则 ，故 ． （2）解（方法一）设 ， ，联立 与 ，得 ， ∴ ， ． 易知 的坐标为 ，则直线 的方程为 ，则 ， 同理可得 ． 故以 为直径的圆的方程为 , 令 ，得 ． ∵ ， ∴以 为直径的圆恒过定点 ． （方法二）设 ，则 ， 则直线 的方程为 ， 则 ， 同理可得 ． 3 2OD AEk k= = OD AE∥ ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y y kx= 2 2 14 3 x y+ = ( )2 23 4 12 0k x+ − = 1 2 0x x+ = 1 2 2 12 3 4x x k −= + A ( 2,0)− AM 1 1 ( 2)2 yy xx = ++ 1 1 20, 2 yP x    +  2 2 20, 2 yQ x    +  PQ 2 2 2 2 2 P Q P Qy y y yx y + −   + − =       0y = ( )( )2 1 2 1 2 4 2 2P Q y yx y y x x −= − = + + ( )( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 4 4 4 34 3 42 2 2 4 4 1 1 3 y y k x x k x x k k kx x x x x x x x x x − − − − −= = = = =++ + + + + + + − PQ ( 3,0)T ± ( )1 1,M x y ( )1 1,N x y− − AM 1 1 ( 2)2 yy xx = ++ 1 1 20, 2 yP x    +  1 1 20, 2 yQ x    −  假设存在 符合题设，则 ，∴ ， ∵ 在曲线 上，∴ ， ∴ ． 故存在 符合题设． 22．解：（1）因为 ，所以 ， ①当 时， ， 在 上单调递减． ②当 时，令 ，则 ；令 ，则 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减． 综上所述，当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减． （2） ， ． 令 ，得 ． 设 ，则 ． 当 时， ， 在 上单调递增， ( )0,0T x 0PT QT⋅ =  2 2 1 0 2 1 4 04 yx x + =− ( )1 1,M x y C 2 2 2 1 1 1 2 1 41 34 3 4 x y y x + = ⇒ = −− 2 0 03 0 3x x− = ⇒ = ± ( 3,0)T ± 2( ) ( ) 2 2 xg x f x ax a e′= = + − ( )2 2( ) 2 4 2 2x xg x a e e a′ = − = − − 0a ≤ ( ) 0g x′ < ( )g x R 0a > ( ) 0g x′ > 1 ln2 2 ax < ( ) 0g x′ < 1 ln2 2 ax > ( )g x 1, ln2 2 a −∞   1 ln ,2 2 a +∞  0a ( )g x R 0a > ( )g x 1, ln2 2 a −∞   1 ln ,2 2 a +∞  2 2 2 2( ) 2 2 (2 1) 2 (2 1) 2 1 x x x ef x ax a e a x e x a x  ′ = + − = + − = + − +  (0) 0f = ( ) 0f x′ = 22 2 1 xea x = + 22( ) 2 1 xeh x x = + 2 2 8( ) (2 1) xxeh x x ′ = + 0x > ( ) 0h x′ > ( )h x (0, )+∞ 所以 在 上的值域是 ，即 ． 当 时， 没有实根，且 ， 在 上单调递减， ，符合题意． 当 时， ， 所以 有唯一实根 ， 当 时， ， 在 上单调递增， ，不符合题意． 综上， ，即 的取值范围为 ． ( )h x (0, )+∞ (2, )+∞ 22 22 1 xe x >+ 2a ( ) 0f x′ = ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )+∞ ( ) (0) 0f x f< = 2a > (0) 2h a= < 22( ) 2 1 xeh x ax = =+ 0x ( )00,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )00, x ( ) (0) 0f x f> = 2a a ( ,2]g −∞