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2020 年高考考前 45 天大冲刺卷
理 科 数 学（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．设全集 ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．下面是一个 列联表：
合计
21 73
2 25 27
合计 46 100
则表中 、 的值依次为（ ）
A．54，52 B．52，54 C．54，56 D．56，54
3．为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（ ）
A．向左平移 个长度单位 B．向左平移 个长度单位
C．向右平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
4．在等差数列 中， ， ， 是其前 项的和，则（ ）
A． B． C． D．
5．若某多面体的三视图（单位： ）如右图所示，则此多面体的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ， ， ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．某单位有 7 个连在一起的停车位，现有 3 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 4 个空车位
连在一起，则不同的停放方法有（ ）种．
A．576 B．72 C．48 D．24
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
9． 展开式中 的一次项系数为（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，若抛物线上一点 满足 ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知关于 的函数 ，若点 是区域 ，
内任意一点，则函数 在 上有零点的概率为（ ）
I = R 2{ | 4}M x x= > 2{ | 1}1N x x
= ≥− IN M
}2|{
22 i( )1 i
− =+
2F PQ 1F 3
1PFQ∠
( ,1)A a (2, )B b (4,5)C O OA OB OC
a b
D ABC− A B C O AB O
D DAB ⊥ O 2DA DC= =
ABC△ 21 cos2 cos cos2 A A A= −
A
3a = sin 2sinB C= ABCS△
A B C
A
A X X第 5 页（共 8 页） 第 6 页（共 8 页）
19．（12 分）如图，在三棱锥 中， ， ， 两两垂直且相等，过 的中点 作
平面 ，且 分别交 ， 于 ， ，交 ， 的延长线于 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值．
20．（12 分）椭圆 中，己知 ， 是椭圆上任一点， 是坐
标原点， ，过 作直线交椭圆于 ， 两点，且 ，当 在短轴端点时，
．
（1）求 ， 的值，并证明直线 的方程为 ；
（2）探索 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出它的最大值．
P ABC− CP CA CB PA D
BCα∥ α PB PC M N AB AC E F
EF ⊥ PAC
2AB BE= P DM N− −
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2ab = 0 0( , )P x y O
2PO OM= M A B AM BM= P
6AB =
a b AB 0 02 1 0x x y y+ + =
PAB△第 7 页（共 8 页） 第 8 页（共 8 页）
21．（12 分）已知函数 （ ）．
（1）求函数 的单调区间；
（2）记函数 的图象为曲线 ，设点 、 是曲线 上的不同两点．如果
在曲线 上存在点 ，使得：① ；②曲线 在点 处的切线平行于直线 ，
则称函数 存在“中值相依切线”．试问：函数 是否存在“中值相依切线”，请说明理由．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
已知点 ，参数 ，点 在曲线 上．
（1）求点 的轨迹方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）求点 与点 之间距离的最小值．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
设函数 ， ．
（1）解不等式 ；
（2）对于实数 ， ，若 ， ，求证： ．
21( ) ln ( 1)2f x x ax a x= − + − 0a <
( )f x
( )y F x= C 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y C
C 0 0( , )M x y 1 2
0 2
x xx
+= C M AB
( )F x ( )f x
(1 cos ,sin )P α α+ [0,π]α ∈ Q 9: π2 sin( )4
C ρ
θ
=
+
P C
P Q
( ) | 1|f x x= − ( ) | 2 |g x x= −
( ) ( ) 2f x g x+ <
x y ( ) 1f x ≤ ( ) 1g y ≤ | 2 1| 5x y− + ≤答案与解析
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】 ， ，
则 ．
2．【答案】B
【解析】 ，则 ， ，则 ．
3．【答案】C
【解析】把 中的 换成 ，则可得 ，
即向右平移 个长度单位．
4．【答案】B
【解析】 ，则 ， ，则 ，
则 ．
5．【答案】B
【解析】知该几何体是一个三棱柱截去了一个四棱锥，
则此多面体的体积是 ．
6．【答案】A
【解析】由 ，得 ，则 ，则 ，
同理可得 ．
7．【答案】D
【解析】有四种情况：3 辆车放在 123 位置、567 位置、127 位置、167 位置，
则不同的停放方法有 种．
8．【答案】B
【解析】第一次循环， ， ；
第二次循环， ， ；
第三次循环， ， ；
第四次循环， ， ；
注意到周期性，那么第 2012 次循环， ， ．
9．【答案】A
【解析】一次项的系数为 ．
10．【答案】C
【解析】可设 ，则 ， ，
由 ，得 ，则 ，
得 ，则 ，那么 ，
那么 的面积为 ．
11．【答案】C
【解析】不等式组表示的平面区域是如图的阴影部分，阴影部分的面积为 2．
在 上有零点，则 ，即 ，
在阴影部分内，且满足 的部分的面积为 ，
那么函数 在 上有零点的概率为 ．
12．【答案】A
【解析】从图象可得 ， ，知①错误，②正确；
，则 ，
那么 ，则 ，③错误；
，知 ，那么 ，而 ，则 ，一定有 ，④正确．
{ | 2 2}M x x x= > < −或 { |1 3}N x x= < ≤
{ |1 3} { | 2 2} { |1 2}IN M x x x x x x= < ≤ − ≤ ≤ = < ≤
21 73a + = 52a = 2a b+ = 54b =
πsin(2 )6y x= + x π
4x − πsin(2 )3y x= −
π
4
9 4 5a a d= + 3d = − 4 ( 4) 21 3na a n d n= + − × = − 7 0a =
7 6 7 6S S a S= + =
1 1 2 2( 1 1) 2 (1 2)2 3 2 3
× × × − × × =
c a
a b b c
1 02
b
a
− < − < 0a > 0 2b a< < 1b > 2 1a > 1
2a >第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．【答案】
【解析】 ．
14．【答案】
【解析】 ，设 ，则 ， ， ，
则 ，那么 ．
15．【答案】
【解析】可得 ，即 ．
16．【答案】
【解析】取 的中点 ，连结 ， ， ，则 ⊥ ，
⊥ ，那么 平面 ，则 ．
过 作 于 点，
那么 平面 ，则 ，
可得 平面 ，
那么由 ，可得 ，则 ，
则半球的表面积为 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ． 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由已知得 ，
则 ，而 ，所以 ．
（2）由 ，可得 ，则 ，
，得 ， ，
．
18．【答案】（1） ；（2）分布列见解析， ．
【解析】（1）设“每个科室安排至少 1 人至多 2 人”为事件 ，
由题意，其余 4 人随机安排到 、 、 三个科室的排法，即基本事件总数为 ．
若 科室安排 1 人（即甲），有 种排法；
若 科室安排 2 人，有 种排法，
所以 ，
故每个科室安排至少 1 人至多 2 人的概率为 ．
（2） 的所有可能取值为 1，2，3，4，5．
因其余 4 人可以随机安排，所以任何 1 人被安排到 科室的概率都是 ，
则不被安排到 科室的概率都是 ．
所以 ， ，
， ，
．
则 的分布列为
1 2 3 4 5
则 的数学期望 ．
19．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：由 ， ，可知 平面 ，
32 i2
− −
2
2
2
3 2 i (2 i) 3 4i ( i)(3 4i) 32 i( ) 2 i2 1 i (1 i) 2i 2 2
− − − − −− − = = = = − −+ +
60°
3c
a
= 1a = 3c = 2b =
2
2
1 2
1 2
3tan 2 3
b
PF aPF F F F c
∠ = = =
1 2 30PF F∠ = ° 1 60PFQ∠ = °
4 5 3a b− =
OA OC OB OC
OC OC
⋅ ⋅=
4 5 3a b− =
6π
AC E OE DE DO OE AC
DE AC AC ⊥ DOE AC DO⊥
C CH AB⊥ H
CH ⊥ DAB CH DO⊥
DO ⊥ ABC
2 2 2OD OC DC+ = 22 4R = 2R =
2 2 21 4π π 3π 6π2 R R R× + = =
π
3A = 3 3
2ABCS =△
2 21 (2cos 1) cos cos2 A A A− = −
1cos 2A = 0 πA< < π
3A =
sin sin
b c
B C
= sin 2sin
B b
C c
= = 2b c=
2 2 2 2 2
2
4 9 1cos 2 4 2
b c a c cA bc c
+ − + −= = = 3c = 2 3b =
1 1 3 3 3sin 2 3 32 2 2 2S bc A= = × × × =
10
27
7
3EX =
D
A B C 43 81=
A
2 2
24 2
2
C C 62 A× =
A 1 2 2
4 3 2C C 24A× =
6 24 10( ) 81 27P D
+= =
10
27
X
A 1
3
A 2
3
0 0 4
4
1 2 16( 1) C ( ) ( )3 3 81P X = = = 1 1 3
4
1 2 32( 2) C ( ) ( )3 3 81P X = = =
2 2 2
4
1 2 24 8( 3) C ( ) ( )3 3 81 27P X = = = = 3 3
4
1 2 8( 4) C ( ) ( )3 3 81P X = = =
4 4 0
4
1 2 1( 5) C ( ) ( )3 3 81P X = = =
X
X
P 16
81
32
81
8
27
8
81
1
81
X 16 32 8 8 1 71 2 3 4 581 81 27 81 81 3EX = × + × + × + × + × =
15
15
BC PC⊥ BC AC⊥ BC ⊥ PAC又因为平面 ，平面 过 且与平面 交于 ，
所以 ，故 平面 ．
（2）以 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
并设 ，则 ， ， ，
设平面 的法向量 ，
由 ， ，可求得 ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
由 ， ，可得 ，
，
则二面角 的余弦值为 ．
20．【答案】（1） ， ，证明见解析；（2） 的面积为定值，定值为 ．
【解析】（1） 在短轴端点时， ，由 ，
可得 ，所以 ，则 ， ，
则椭圆方程为 ．
由 ，则 ， ，
由点差法得 ，所以 ．
直线 方程为 ，即 ，
因为 ，则 ，即 ．
（2） ，得 ，
设 、 ，得 ， ，
则 ，
，
到 的距离 ，
所以 ，
所以 的面积为定值 ．
21．【答案】（1）函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；（2）不存在，
详见解析．
【解析】（1）知函数 定义域是 ， ．
①当 时，即 时，令 ，解得 或 ；
令 ，解得 ．
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
②当 时，即 时，显然函数 在 上单调递增．
BCα∥ AEF BC α EF
EF BC∥ EF ⊥ PAC
CA CB CP x y z
2BC = (2,0,0)A (0,2,0)B (0,0,2)P
PAB 1 1 1 1( , , )x y z=n
1 0PA⋅ =n 1 0PB⋅ =n 1 (1,1,1)=n
(1,0,1)D ( 1,3,0)E − ( 1,0,0)F −
DEF 2 ( , , )x y z=n
2 0DE⋅ =n 2 0FE⋅ =n 2 ( 1,0,2)= −n
1 2
1 2
1 2
15cos , 15
⋅< >= =⋅
n nn n n n
P DM N− − 15
15
2a = 1b = PAB△ 3 6
4
P 2M
by =
2 2
2 2 14
x b
a b
+ =
3
2x a= ± 3 6AB a= = 2a = 1b =
2
2 12
x y+ =
2PO OM= 0 0( , )2 2
x yM − − 0
0
OM
yk x
=
0
0
1
2OM AB AB
yk k kx
⋅ = ⋅ = − 0
02AB
xk y
= −
AB 0 0 0
0
( )2 2 2
y x xy xy
+ = − +
2 2
0 0 0
0 0
2
2 4
x x yy xy y
+= − −
2 2
0 02 2x y+ = 0
0 0
2
2 4
xy xy y
= − − 0 02 1 0x x y y+ + =
2
2
0 0
12
2 1 0
x y
x x y y
+ =
+ + =
2 2
0 02 2 1 4 0x x x y+ + − =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 0x x x+ = −
2
0
1 2
1 4
2
yx x
−=
2 2
1 2 0 0 08 2 6x x x y y− = + − =
2 2 2 22
0 0 0 00
1 2 02
0 0
4 6 41 64 2 2
x y x yxAB x x yy y
+ += + − = ⋅ =
0 0( , )P x y 0 02 1 0x x y y+ + =
2 2
0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
2 1 3
4 4
x y
d
x y x y
+ +
= =
+ +
2 2
0 0
2 2
0 0
6 41 1 3 3 6
2 2 2 44PAB
x yS AB d
x y
+= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
+△
PAB△ 3 6
4
( )f x (0,1) 1( , )a
− +∞ 1(1, )a
−
( )f x (0, )+∞
1( 1)( )1( ) 1
a x x af x ax ax x
− +
′ = − + − = −
1 1a
− < 1a < − ( ) 0f x′ > 10 x a
< < − 1x >
( ) 0f x′ < 1 1xa
− < <
( )f x 1(0, )a
− (1, )+∞ 1( ,1)a
−
1 1a
− = 1a = − ( )f x (0, )+∞③当 时，即 时，令 ，解得 或 ；
令 ，解得 ．
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
（2）假设函数 存在“中值相依切线”．
设 、 是曲线 上的不同两点，且 ，
则
．
曲线在点 处的切线斜率 ，
可得 ，
则 ，即 ．
设 （ ），则 ，即 ．
令 ，则 ．
因为 ，显然 ，所以 在 上递增，
显然有 恒成立．
所以在 内不存在 ，使得 成立．
综上所述，假设不成立．
所以，函数 不存在“中值相依切线”．
22．【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】（1）由 ，得 ，
因为 ，则 ，
得点 的轨迹方程 ，
又由 ，得 ，
∴ ，∴曲线 的直角坐标方程为 ．
（2）半圆 的圆心为 ，
它到直线 的距离为 ，所以 ．
23．【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【解析】（1）令 ，
则 ，作出函数 的图象，
它与直线 的交点为 和 ，
所以 的解集为 ．
（2）因为
，
所以 ．
1 1a
− > 1 0a− < < ( ) 0f x′ > 0 1x< < 1x a
> −
( ) 0f x′ < 11 x a
< < −
( )f x (0,1) 1( , )a
− +∞ 1(1, )a
−
( )f x
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ( )y f x= 1 20 x x< <
2 2
2 1 2 1 2 1
2 1
2 1 2 1
1(ln ln ) ( ) ( 1)( )2
AB
x x a x x a x xy yk x x x x
− − − + − −−= =− −
2 1
2 1
2 1
ln ln 1 ( ) ( 1)2
x x a x x ax x
−= − + + −−
0 0( , )M x y 1 2 1 2
0
1 2
2( ) ( ) ( 1)2 2
x x x xk f x f a ax x
+ +′ ′= = = − ⋅ + −+
2 1 1 2
2 1
2 1 1 2
ln ln 1 2( ) ( 1) ( 1)2 2
x x x xa x x a a ax x x x
− +− + + − = − ⋅ + −− +
2 1
2 1 1 2
ln ln 2x x
x x x x
− =− +
2
2 2 1 1
21 1 2
1
2( 1)2( )ln
1
x
x x x x
xx x x
x
−−= =+ +
2
1
x tx
= 1t > 2( 1) 4ln 21 1
tt t t
−= = −+ +
4ln 21t t
+ =+
4( ) ln 1g t t t
= + +
2
2 2
1 4 ( 1)( ) ( 1) ( 1)
tg t t t t t
−′ = − =+ +
1t > ( ) 0g t′ > ( )g t (1, )+∞
( ) 2g t >
(1, )+∞ t 4ln 21t t
+ =+
( )f x
2 2:( 1) 1( 0)P x y y− + = ≥ : 9C x y+ =
min 4 2 1PQ = −
1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
2 2 2 2( 1) cos sin 1x y α α− + = + =
[0,π]α ∈ sin [0,1]y α= ∈
P 2 2( 1) 1( 0)x y y− + = ≥
9
π2 sin( )4
ρ
θ
=
+
9
sin cos
ρ θ θ= +
sin cos 9ρ θ ρ θ+ = C 9x y+ =
2 2( 1) 1( 0)x y y− + = ≥ (1,0)
9x y+ = 4 2 min 4 2 1PQ = −
1 5( , )2 2
| 1| | 2 |y x x= − + −
3 2 , ( 1)
1, (1 2)
2 3, ( 2)
x x
y x
x x
− ≤
= <
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