2020届江西省高中毕业班质量监测理科数学试卷 word版含答案解析

江西省 2020 年高中毕业班质量监测 理数试卷 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知 （ 为虚数单位），在复平面内，复数 的共轭复数 对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．全集 ，集合 ，集合 ，图中阴影部分所表示的集合为 （ ） A． B． C． D． 3．已知抛物线 的焦点到准线的距离为 ，则实数 等于（ ） A． B． C． D． 4．已知 是等比数列， ，前 项和为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰 富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨 在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区 的 100 天日落和夜晚 (1 )i z i+ = i z z U R= | 04 xA x x  = ≤ −  2| |log ( 1) 2 |B x x= − > ( ,0] [4,5]−∞ ∪ ( ,0) (4,5]−∞ ∪ ( ,0) [4,5]−∞ ∪ ( ,4] (5, )−∞ ∪ +∞ 2ax y= 1 2 a 1± 2± 1 4 ± 1 2 ± { }na 1 0a > n nS 8 7 92S S S< + { }na A 天气，得到如下 列联表： 夜晚天 气 日落云里走 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 临界值表 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 并计算得到 ，下列小波对地区 天气判断不正确的是（ ） A．夜晚下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为 C．有 99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关 D．出现“日落云里走”，有 99.9%的把握认为夜晚会下雨 6．圆 的半径为 5，圆心在 轴的负半轴上，且被直线 截得的弦长为 6，则圆 的方程 为（ ） A． B． C． D． 7． ， ， 的大小关系是（ ） 2 2× ( )2 0P K k 0k 2 19.05K ≈ A 1 2 5 14 C x 3 4 4 0x y+ + = C 2 2 2 3 0x y x+ − − = 2 216 39 0x x y+ + + = 2 216 39 0x x y− + − = 2 2 4 0x y x+ − = 1 32 2log 6 33log 2 A． B． C． D． 8．在三角形 中， ， ， ，双曲线以 为焦点，且经过点 ，则该双 曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数 ， ，则方程 所有根的和等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图所示，直线 ，点 是 、 之间的一定点，并且点 到 、 的距离分别为 2、4，过点 且夹角为 的两条射线分别与 、 相交于 两点，则 面积的最小值是（ ） A． B． C． D． 11．在三棱锥 中，底面 为正三角形， ， ，且 ．若三棱 锥 的每个顶点都在球 的球面上，则球 的半径的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．设 是在 上的可导函数，且 ， ， ，则下列一定不成立 的是（ ） 1 3 2 32 log 6 3log 2< < 1 3 3 22 3log 2 log 6< < 1 3 3 23log 2 2 log 6< < 1 3 3 23log 2 log 6 2< < ABC 8AB = 4AC = 60BAC °∠ = A B、 C 2 3 2 1+ 3 1+ lg , 1( ) lg(2 ), 1 x xf x x x = − − A B、 Y Y 2 2 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > A F ( 4,0)P − | |,| |,| |OF OA OP C l P C M N、 PM PNλ=  MN Q MQ QNλ=  OPQ O ( ) xf x axe b= + e ,a b R∈ (1, (1))f 2 0ex y e− − = ( )f x 2[ ( )]( ) lnf xg x mx xx = − − ( ) 1g x  (0, )x ∈ +∞ m xOy C 6 cos 1 sin x t y t = − +  = − + t O x 负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ． （1）求圆 的普通方程和直线 的直角坐标方程． （2）设点 是圆 上任一点，求点 到直线 距离的最小值． 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ， ， ． （1）当 时，恒有 ，求 的最小值． （2）当 时，恒有 ，求 的取值范围． 2020 年高三质量监测理科数学参考答案 1．【答案】D 【解析】 ，所以复数 的共轭复数 对应的点是 ，在第四象限． 2．【答案】C 【解析】 集合 ， ，由 图可知阴影部分对应的集合为 ，其中 或 ，则 3．【答案】A 【解析】抛物线 即 中 ，则 ． 4．【答案】B 【解析】因为 是等比数列， ，所以 或 ， l sin 2 04 πρ θ − − =   C l P C P l ( ) |3 |f x x a a= − + a R∈ ( ) |3 1|g x x= + ( ) 10g x  ( ) 9f x  a x R∈ ( ) ( ) 3f x g x+  a (1 ) 1 1 1 2 2 2 i i iz ii −= = = ++ z z 1 1,2 2  −    { |0 4}A x x= ≤ < { | 5}B x x= > Venn ( )U A B∪ { |0 4A B x x∪ = ≤ < 5}x > ( ) ( ,0) [4,5]U A B∪ = −∞ ∪ 2ax y= 2 1x ya = 1 1 2 | | 2a = 1a = ± { }na 1 0a > 7 7 8 7 9 8 92 ( 1) 0 0xS S S a a q q q q q< + ⇔ < ⇔ < ⇔ − > ⇔ < 1q > 为递增数列 ，所以是必要不充分条件． 5．【答案】D 6．【答案】B 解析：设圆心为 ，由题意知圆心到直线 的距离为 ，解得 ，则圆 的方程为 ，即为 ． 7．【答案】B 【解析】 ， ， ， ，所以 ． 8．【答案】D 【解析】在三角形 中， ， ， ，所以 ， ， 所以离心率 ． 9．【答案】C 【解析】通过图象可以知道函数 ， 图象都关于点 对称，并且两个函数图象有 三个交点，所以和为 3． 10．【答案】C 【解析】设 与垂线的夹角为 ，则 ， ， { }na 1q⇔ > ( ,0)( 0)a a < 3 4 4 0x y+ + = 2 2|3 4 | 5 3 45 ad += = − = 8a = − C 2 2( 8) 25x y+ + = 2 216 39 0x x y+ + + = 1 1 3 2 32 2 2 < < 3 3 3 33log 2 log 42 2 = > 3 3 33log 2 log 8 log 9 2= < = 2 2log 6 log 4 2> = 1 3 3 22 3log 2 log 6< < ABC 8AB = 4AC = 60BAC °∠ = 4 3CB = 2 8 4c AB c= = ⇒ = 2 4 3 4 2 3 2a CB CA a= − = − ⇒ = − 2 3 1 3 1 ce a = = = + − ( )y f x= ( 1)y g x= − (1,0) AB O 2 cosAB θ= 4 2cos 3 AC π θ =  −   所以面积 ， 所以当 ，即当 时，面积最小，最小值是 ． 11．【答案】D 【解析】因为三棱锥 中，底面 为正三角形，则 ， ，取边 的中点 ，连接 ，则 ， ， 面 ，则 ，且 ，则 面 ，不妨设 ，则 ，则 ，当 时， ，所以 ． 12．【答案】A 【解析】设 ，则 ，则 为单调递增 函数或常数函数，而 ， ，所以 在区间 上是常数函数，则 ，即 而 ， ， ． （填空题按照高考细则，答案不完整，不给分） 13．【答案】5 【解析】 ， 所以 的系数为 ． 2 3 8 3 8 3 2 3sin2 cos2 1cos cos 2sin 2 13 6 S π πθ θθ θ θ = = =   − −− − −       2 6 2 π πθ − = 3 πθ = 8 3 P ABC− ABC AC BC= PA PB= AB D ,PD DC AB PD⊥ AB DC⊥ AB ⊥ PCD AB PC⊥ PC AC⊥ PC ⊥ ABC AC x= 4PC x= − 22 2 24 3 7 2 42 3 12 xR x x x  − = + = − +      12 7y = 2 min 16 7R = min 4 7 7R = 2 ( )( ) f xg x x = ( )2 4 4 ( ) 2 ( )( ) ( )2( ) 0 x xf x f xf x x f x xg x x x ′′ ′ −−= = ≥ ( )g x 2 (1)(1) 41 fg = = 2 (2)(2) 42 fg = = ( )g x [1,2] 3 3 24 92 4 f g      = =   3 92f   =   (3) 4 (3) 36g f≥ ⇒ ≥ (4) 4 (4) 64g f≥ ⇒ ≥ (5) 4 (5) 100g f≥ ⇒ ≥ ( ) 552 2 5 1 4 2 52 1 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 2x x x x x C x x + − = − + = − + − ⋅ +   x 1 4 5 ( 1) 5C − = 14．【答案】 【解析】因为 ，则 ，即 ， 则 ． 15．【答案】 【解析】该四棱柱的直观图如图，全面积等于 ． 16．【答案】①3④ 【解析】① ； ② 在数列 中是第 项，所以 ； ③ ， ； ④ 17．【解析】（1）由余弦定理得： 2 分 7 6 0a b⋅ =  2cos 6sin 0θ θ− = 1tan 3 θ = 122cos sin 2 tan 73 cos 3sin 1 3tan 2 6 θ θ θ θ θ θ ++ += = =+ + 16 8 2+ 22 2 2 2 2 2 2 2 2 16 8 2× + × × + × × = + 1 11 1 2 2 2 3 22 2 n n nn n a a an ax x x n na n + −++ ++ + + = ⋅ = ⋅ = ⋅ 10a { }nb 10 1 2 9 55+ + +…+ = 10 55a b= 11 66a b= 11 12 66 78 7 11 12 12 728 2 2 30722 2 2 b b a aa b b + + += ⇒ = = = = ( ) ( ) ( )55 1 2 10 11 21 22 91 92 99S a a a x x x x x x= + +…+ + + + +…+ + +…+   ( ) ( ) ( ) ( )2 10 0 1 8 11 92 2 2 3 1 2 2 2 9 2 2 2 3 8 2 1 14337= + +…+ + × + × +…+ × = − + × + = 2 2 2 23 (2 2) 2 3 2 2 52BC = + − × × × = 所以 ，因此 ， 4 分 所以外接圆的面积为 ． 6 分 （2）设 中点为 ，则 ， 7 分 所以 ． 12 分 18．【解析】（1）证明：菱形 中， ， 1 分 又因为平面 平面 ，则 平面 ， 3 分 平面 ，所以平面 平面 ； 5 分 （2）设 与 交于点 ，连接 ，因为 ，且 ，所以 ，因为 ，所以 ，而平面 平面 ，所以 平面 ．以 为坐标原 点，以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， 7 分 设平面 的法向量为 ， 因为 ， ．所以 ，令 ． 9 分 又平面 的法向量为 ， ， 11 分 由题可知，二面角 的余弦值为 ． 12 分 5BC = 52 10 2 2 r = = 2 10 5 2 2S ππ  = =    BC E EO BC⊥  5( ) 2BO BC BE EO BC BE BC EO BC⋅ = + = ⋅ + ⋅ =         ABCD BD AC⊥ AEFC ⊥ ABCD BD ⊥ AEFC BD ⊆ BED BED ⊥ AEFC AC BD O FO 2AC EF= / /EF AC / /FO EA RFO AC⊥ FO AC⊥ AEFC ⊥ ABCD FO ⊥ ABCD O , ,OB OC OF x y z O xyz− ( 3,0,0)B (0,0,2)F (0,1,0)C ( 3,0,0)D − DFC ( , , )n x y z= (0,1, 2)FC = − ( 3, 1,0)CD = − − 2 0 3 0 y z x y − =− − = 2 (, 2 3, 3)x n= ⇒ = − − BFD (0,1,0)m = 2 3 2 57cos , 191 4 12 3 m n − −< >= = × + +   B FD C− − 2 57 19 19．【解析】 （1）频率分布表如下： 所用的时间（单位：小时） 路线 1 的频率 0.2 0.4 0.2 0.2 路线 2 的频率 0.1 0.4 0.4 0.1 设分别表示汽车在约定交货时间前 5 小时出发选择路线 1、2 将物资运往武汉且在约定交货时间前到达： 分别表示汽车在约定交货前 6 小时出发选择路线 1、2 将物资运往武汉且在约定交货时间前到达； 2 分 ，， 3 分 ，， 4 分 所以汽车选择路线 1．汽车选择路线 2． 6 分 （2）设 表示汽车选择路线 1 时的得分，表示汽车选择路线 2 时的得分， 的分布列分别是： 0 1 2 0.6 0.2 0.2 0 1 (3,4] (4,5] (5,6] (6,7] 1x 1 2,x x 0.9 0.1 8 分 设 则 的分布列如下： 0 1 2 3 0.54 0.24 0.2 0.02 10 分 ， 11 分 所以 （万元） 所以援助总额的期望值为 138.8． 12 分 20．【解析】（1）依题意： ，解得 ， 4 分 所以椭圆 的方程是 ； 5 分 （2）解法一： 设 ， ， ，则 ， 相减得： 7 分 又由 ，知 ， ， 由 ，知 ， ， 9 分 1 2X x x= + X 1 2X x x= + 0 0.54 1 0.24 2 0.2 3 0.02 0.7EX = × + × + × + × = 80 3.2 1.6 40 20 138.8EY EX= + + + + = 2 2 2 4 c a a c  =  = 2, 2 2 2 c b a = ⇒ = = C 2 2 18 4 x y+ = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y ( )3 3,Q x y 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 18 4 8 4 18 4 8 4 x y x y x y x yλ λ λ  + = + =  ⇒   + = + =  ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 18(1 )(1 ) 4(1 )(1 ) x x x x y y y yλ λ λ λ λ λ λ λ + − + −= + =+ − + − (*) PM PNλ=  1 2 41 x xλ λ − = −− 1 2 01 y yλ λ − =− MQ QNλ=  1 2 31 x x x λ λ + =+ 1 2 31 y y y λ λ + =+ 代入 式得： ，即 ， 10 分 又因为点 在椭圆内，所以 ， 11 分 所以 的面积 ． 12 分 解法二：设 ， ， ，则 ， ， 7 分 设直线 的方程为 ，代入椭圆 的方程得： ，由 得 ， ． 8 分 所以 ，消去 得到 ， 所以 ， 11 分 因此 的面积 ． 12 分 解法三：设直线 的方程为 ，代入椭圆 的方程得： ，由 得 ，， ． 6 分 所以 ， ， 7 分 ， ( )* 3 1 ( 4) 0 18 x⋅ ⋅ − + = 3 2x = − Q 2 2 3 3 ( 2) 1 0 28 4 y y − + < ⇒ < < OPQ 3 3 1 4 2 (0,2 2)2S y y= × = ∈ ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y ( )3 3,Q x y ( )1 2 1 2 4 4x x y y λ λ + = +  = 1 2 3 1 y yy λ λ += + l 4( 0)x ty t= − ≠ C ( )2 22 8 8 0t y ty+ − + = 0∆ > 2 2t > | | 2t > 2 2 2 2 2 8(1 ) 2 8 2 ty t y t λ λ  + = +  = + 2y 2 2 2 (1 ) 8 2 t t λ λ + = + ( )2 3 2 22 2 2 8 2 8 2 1 1 (1 ) 22 (1 ) y t ty t tt λ λ λ λ λ λλ = = ⋅ = ⋅ =+ + + ++ + OPQ 3 1 44 (0,2 2)2 | |S y t = × = ∈ l 4( 0)x ty t= − ≠ C ( )2 22 8 8 0t y ty+ − + = 0∆ > 2 2t > | | 2t 1 2 2 1 2 2 8 ,2 8 2 ty y t y y t  + = +  = + 2 1 2| | 1MN t y y= + − 2 2 1 1 1PQ PM MQ MN MN MN λ λ λ λ λ λ= + = + =− + −       原点 到直线 的距离 9 分 所以 的面积 ， 又因为 ，所以 ． 12 分 21．【解析】（1）对函数 求导得 ， 1 分 由条件可知 ， ，解得 ， ， 所以 ． 3 分 ，令 得 ，于是，当 时， ，函数 单调递 减；当 时， ，函数 单调递增． 故函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 5 分 （2）由（1）知 解法 1 要使 在 上恒成立，只需 即可． 因为 ， ，所以 在 上单调递增．因 为当 时， ，当 时， ，所以 在 上存在唯一的零点 ，满足 ， 所以 ， 7 分 O l 2 4 1 d t = + OPQ 2 1 2 1 22 22 1 2 4 412 1 11 S t y y y y t λ λ λ λ = × + ⋅ − ⋅ = ⋅ − − −+ 1 1 2 2 yy y y λ λ= ⇒ = 1 1 22 1 22 1 21 2 2 4 4 4 (0,2 2)| |1 y y yyS y y y y ty y λ = ⋅ − = = ∈+− ( ) xf x are b= + ( ) (1 ) xf x a x e′ = + (1)f ae b e= + = (1) (1 1) 2f a e e′ = + = 1a = 0b = ( ) xf x xe= ( ) ( 1) xf x x e′ = + ( ) 0f x′ = 1x = − ( , 1)x ∈ −∞ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( 1, )x ∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x ( , 1)−∞ − ( 1, )− +∞ 2( ) lnxg x xe mx x= − − ( ) 1g x ≥ (0, ) x ∈ +∞ min[ ( )] 1g x ≥ 2 1( ) (2 1) xg x x e m x ′ = + − − 2 2 1( ) 4( 1) 0xg x x c x ′′ = + + > ( )g x′ (0, )+∞ 0x → ( )g x′ → −∞ x → +∞ ( )g x′ → +∞ ( )g x′ (0, )+∞ 0x ( ) ( ) 02 0 0 0 12 1 0xg x x e m x ′ = + − − = ( ) 02 0 0 12 1 xm x e x = + − 且 在 上单调递减，在 上单调递增， 于是 ． 8 分 由 得 ，此时必有 ， ，两边同时取自然对数，则 有 即 ． 构造函数 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，又 ，所以 ，即 11 分 故 ，于是实数 的取值范围是 ． 12 分 解法 2：要使 在 上恒成立，等价于 在 上恒成立．令 ，则只需 即可． 6 分 ，令 ，则 ， 所以 在 上单调递增，又 ， ，所以 有唯一的 零点 ，且 ， 在 上单调递减，在 上单调递增． 8 分 因为 ，两边同时取自然对数，则有 ， 即 ． 构造函数 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，又 ( )g x ( )00, x ( )0,x +∞ ( ) 0 02 22 min 0 0 0 0 0 0[ ( )] ln 2 ln 1x xg x g x x e mx x x e x= = − − = − − + min[ ( )] 1g x ≥ 022 0 02 ln 0xx e x+ ≤ 00 1x< < 022 0 02 lnxx e x≤ − ( ) ( )0 0 0 02 ln 2 ln ln lnx x x x+ + ≤ − ( ) ( )0 0 0 02 ln 2 ln ln lnx x x x+ ≤ − − ( ) ln ( 0)h x x x x= + > 1( ) 1 0h x x ′ = + > ( )h x (0, )+∞ ( ) ( )0 02 lnh x h x≤ − 0 02 lnx x≤ − 02 0 1xe x ≤ ( ) ( )02 0 0 0 0 0 1 1 12 1 2 1 2xm x e xx x x = + − ≤ + ⋅ − = m ( ,2]−∞ ( ) 1g x ≥ (0, )x ∈ +∞ 2 ln 1x xm e x +≤ − (0, )x ∈ +∞ 2 ln 1( ) ( 0)x xh x e xx += − > min[ ( )]m h x≤ 2 2 2 2 ln( ) xx e xh x x ′ += 2 2( ) 2 ln ( 0)xH x x e x x= + > ( )2 2 1( ) 4 0xH x x x e x ′ = + + > ( )H x (0, )+∞ 1 2ln2 04 8 eH   = − ( )H x 0x 0 1 14 x< < ( )h x ( )00, x ( )0,x +∞ 022 0 02 ln 0xx e x+ = ( ) ( )0 0 0 02 ln 2 ln ln lnx x x x+ + = − ( ) ( )0 0 0 02 ln 2 ln ln lnx x x x+ = − − ( ) ln ( 0)s x x x x= + > 1( ) 1 0s x x ′ = + > ( )s x (0, )+∞ ，所以 ，即 1 分 所以 . 于是实数 的取值范围是 ． 12 分 解法 3：要使 在 上恒成立， 等价于 在 上恒成立． 先证明 ，令 ，则 ，于是，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以 ，故 （当且仅当 时取等号） 8 分 所以，当 时，有 ，所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，于是实数 的取值范围是 ． 12 分 22．【解析】（1）由 消去参数 ，得 ， 所以圆 的普通方程为 ． 2 分 由 ，得 ， 3 分 所以直线 的直角坐标方程为 ． 5 分 （2）设点 的坐标为 ．则点 到直线 l 的距离为 ( ) ( )0 0sin 2 lnx s x= − 0 02 lnx x= − 02 0 1xe x = ( ) 02 0 0 min 0 0 0 0 ln 1 1 2 1( ) 2x x xh x h x e x x x + − += = − = − = m ( ,2]−∞ ( ) 1g x ≥ (0, )x ∈ +∞ 2 ln 1x xm e x +≤ − (0, )x ∈ +∞ ln 1t t≥ + ( ) ln 1( 0)Q t t t t= − − > 1 1( ) 1 tQ t t t ′ −= − = (0,1)t ∈ ( ) 0Q t′ < ( )Q t (1, )t ∈ +∞ ( ) 0Q t′ > ( )Q t ( ) (1) 0Q t Q≥ = ln 1t t≥ + 1t = 0x > ( )2 2ln 1 ln 2 1x xxe xe x x≥ + = + + 2 ln 12x xe x x ≥ + + 2 ln 1 2x xe x +− ≥ 2 1xxe = m ( ,2)−∞ 6 cos 1 sin x t y t = − +  = − + t 2 2( 6) ( 1) 1x y+ + + = C 2 2( 6) ( 1) 1x y+ + + = sin 2 04 πρ θ − − =   sin cos 2ρ θ ρ θ− = l 2 0x y− + = P ( 6 cos , 1 sin )t t− + − + P l ． 8 分 当 时， 取最小值， ． 10 分 23．【解析】 或 或 ， 1 分 或 ， 3 分 依题意有： ，即 ． 故 的最小值为 ． 5 分 （2） ， 7 分 当且仅当 时等号成立． 解不等式 ，得 的取值范围是 ． 10 分 | 3 2 cos| 6 cos 1 sin 2 | 4 2 2 tt td π − + + − + + − +  = = cos 14t π + =   d min 3 2 3 2 122 d −= = − ( ) 10 3 1 10g x x≥ ⇔ + ≥ 3 1 10 3x x+ ≤ − ⇔ ≥ 11 3x ≤ − ( ) 9 |3 | 9 3f x x a a x≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≥ 2 9 3 ax −≤ 2 9 11 3 3 a − ≥ − 1a ≥ − a 1− ( ) ( ) |3 | |3 1| |3 3 1| | 1|f x g x x a x a x a x a a a+ = − + + + ≥ − − − + = + + (3 )(3 1) 0x a x− + ≤ | 1| 3a a+ + ≥ a [1, )+∞