绝密★启用前
茶陵县第三中学 5 月份考试
考试范围：必修一、二、四；考试时间：120 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2． 的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．若直线 x＋（1＋m）y－2＝0 与直线 mx＋2y＋4＝0 平行，则 m 的值是（ ）
A．1 B．－2 C．1 或－2 D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数 的图象是由函数 的图象向右平
移 个单位长度后得到，则下列是函数 的图象的对称轴方程的为( )
A． B． C． D．
7．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．在如图所示中，二次函数 与指数函数 的图象只可为( )
{ }1,5A = { }1,5,7B = − BA∩
{ }7,5,1 { }7,5,1,1− { }5 { }5,1
sin150°
1
2
1
2
− 3
2
3
2
−
lg( 1)( ) 1
xf x x
+= −
( 1, )− +∞ [ 1, )− +∞
( 1,1) (1, )− +∞ [ 1,1) (1, )− +∞
3
2
−
1616 3
π − 3216 3
π −
168 3
π − 328 3
π −
( ) sin 2f x x= ( ) ( )( )cos 2 0g x x ϕ ϕ π= − ≤ ≤
6
π ( )y g x=
12x
π=
6x
π=
3x
π= 0x =
tan 2θ = − 3 ,22
πθ π ∈ cosθ =
5
5
2 5
5
5
5
− 5
5
±
2y ax bx= +
xay b
= A． B． C． D．
9．函数 f（x）=lnx+2x-6 的零点 x0 所在区间是（ ）
A． B． C． D．
10．圆 x2＋y2－2x－8＝0 和圆 x2＋y2＋2x－4y－4＝0 的公共弦所在的直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－3＝0
11．函数 的图象的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若函数 有 3 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
二、填空题
13．函数 的定义域是_______________．
14．设 ， ， ， ，则 的大小关系是
（从小到大排列）
15．函数 的单调递增区间是_______________.
16．设 ， ，点 P 在 x 轴上，使得 取到最小值时的点 P 坐标
为______．
三、解答题
17．计算：
（1）
（2）已知 ，求 值.
( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4
3sin 2 6y x
π = −
6x
π=
2x
π= 2
3x
π= 5
6x
π=
3 2 , 0( )
, 0
x x xf x
lnx x
−= − >
( ) ( )g x f x x a= − − a
[0 2) [0 1) (−∞ 2] (−∞ 1]
1 tan( )3 4y x
π= −
20.3a = 0.32b = 2log 5c = 2log 0.3d = a b c d, ,,
1sin , [ 2 ,2 ]2 3y x x
π π π = + ∈ −
( )3,1A − ( )2,4B PA PB+
( ) ( )eeIn+++−+×
100
1lg25.6log102482 25
025.04
tan 2α =
5cos cos(2 )2
sin( ) cos( )
π πα
α απ
α − + −
− + − −18．在平面直角坐标系中， 的顶点分别为 .
（1）求 外接圆 的方程；
（2）若直线 经过点 ，且与圆 相交所得的弦长为 ，求直线 的方程.
19．多面体 中，平面 ∥平面 ， ∥ ， 平面 ，
为直角梯形， ， .
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．扎比瓦卡是 2018 年俄罗斯世界杯足球赛吉祥物，该吉祥物以西伯利亚平原狼为蓝
本.扎比瓦卡，俄语意为“进球者”.某厂生产“扎比瓦卡”的固定成本为 15000 元，每生产
一件“扎比瓦卡”需要增加投入 20 元，根据初步测算，每个销售价格满足函数
，其中 x 是“扎比瓦卡”的月产量（每月全部售
完）.
（1）将利润 表示为月产量 的函数；
（2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利
润）.
ABC∆ ( ) ( ) ( )1 2 , 1 4 , 3 2A B C− ， ， ，
ABC∆ M
l (0,4) M 2 3 l
ABCDEF ABC DEF AE CD AE ⊥ ABC
AEFB AB BC⊥ 2 2AB BC AE EF= = =
AF ⊥ BCF
CF ACDE
1320 ,0 450, N2( ) 45000 , 450, N
x x x
P x
x xx
− ≤ ≤ ∈=
> ∈
( )f x x21．已知函数 = 的部分图象如图所示．
(1)求 的值;
(2)求 的单调增区间;
(3)求 在区间 上的最大值和最小值．
22．已知 为正数，函数 .
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若对任意的实数 总存在 ，使得 对任
意 恒成立，求实数 的最小值.
( )f x πsin ( 0, 0)6A x Aω ω + > >
,A ω
( )f x
( )f x π π,6 4
−
a ( ) ( )2 2 2
2 2
1 3 1, log log2 4 4f x ax x g x x x= − − = − +
( ) 1
2g x ≤ −
,t [ ]1 2, 1, 1x x t t∈ − + ( ) ( ) ( )1 2f x f x g x− ≥
[ ]2,4x∈ a参考答案
1．C
2．A
【解析】
【分析】
利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.
【详解】
解：
故选：
【点睛】
本题考查诱导公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题.
3．C
【解析】
试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以 ，解得 .
考点：定义域.
4．A
【解析】
【分析】
分类讨论直线 的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得
到所求．
【详解】
①当 时，两直线分别为 和 ，此时两直线相交，不合题意．
②当 时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得 ，解得 ．
综上可得 ．
故选 A．
( ) 1sin150 sin 90 60 cos60 2
° ° ° °= + = =
A
1 0{ 1 0
x
x
+ >
− ≠ ( 1,1) (1, )x∈ − ∪ +∞
( )1 2 0x m y+ + − =
1m = − 2 0x − = 2 4 0x y− − =
1m ≠ −
1
1 2
2 21
m
m
m
− = − +
≠ − +
1m =
1m =【点睛】
本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论．也
可利用以下结论求解：若 ，则
且 或 且 ．
5．D
【解析】
【分析】
由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．
【详解】
解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．
∴该几何体的体积 .
故选 D．
【点睛】
本题考查了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与
计算能力，属于中档题．
6．A
【解析】
【分析】
根据图象的平移法则可得 ，可得 ， ，根据
的范围可得 ，再根据余弦函数的对称轴可得出所有对称轴，从而可得答案.
【详解】
函数 的图象向右平移 个单位长度后得到
,
根据题意可得 ，
所以 ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C+ + = + + = 1 2l l ⇔
1 2 2 1A B A B= 1 2 2 1BC BC≠ 1 2 2 1A B A B= 1 2 2 1AC A C≠
2 21 12 4 4 22 3V π= × × × − × × 328 3
π= −
cos(2 ) sin 23x x
π ϕ− − = 23 2k
π πϕ π+ = + k Z∈ ϕ
6
π=ϕ
( ) ( )( )cos 2 0g x x ϕ ϕ π= − ≤ ≤
6
π
cos[2( ) ]6y x
π ϕ= − − cos(2 )3x
π ϕ= − −
cos(2 ) sin 23x x
π ϕ− − =
23 2k
π πϕ π+ = + k Z∈ 2 6k
πϕ π= + k Z∈
0 ϕ π≤ ≤
6
π=ϕ所以 ，
由 ， ，
得 的对称轴为： ， ，
时，对称轴是： ，
故选：A
【点睛】
本题考查了三角函数的图象的平移变换，考查了诱导公式，考查了余弦函数的对称轴，属于
中档题.
7．A
【解析】
【分析】
由 可得 ，然后结合 可解出答案.
【详解】
因为 ，所以
因为 ，所以可得
因为 ，所以
故选：A
【点睛】
本题考查的是三角函数同角的基本关系，较简单.
8．C
【解析】
【分析】
指数函数 可知 ， 同号且不相等，再根据二次函数常数项为零经过原点即可得出
结论．
【详解】
( ) cos(2 )6g x x
π= −
2 6x k
π π− = k Z∈
( )g x
2 12
kx
π π= + k Z∈
0k =
12x
π=
tan 2θ = − sin 2cosθ θ= − 2 2sin cos 1θ θ+ =
sintan 2cos
θθ θ= = − sin 2cosθ θ= −
2 2sin cos 1θ θ+ = 2 1cos 5
θ =
3 ,22
πθ π ∈ cosθ = 5
5
xay b
=
a b根据指数函数 可知 ， 同号且不相等，则二次函数 的对称轴
在 轴左侧，又 过坐标原点，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数与指数函数的图象与性质，属于基础题．
9．C
【解析】
【分析】
判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数 f（x）=lnx+2x-6 的零点所
在的区间．
【详解】
∵连续函数 f（x）=lnx+2x-6 是增函数，∴f（2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，f（3）=ln3＞0，
∴f（2）•f（3）＜0，故函数 f（x）=lnx+2x-6 的零点所在的区间为（2，3），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
10．C
【解析】
由于两圆的公共弦的端点是两圆的公共交点，既满足一个圆的方程，又满足另一个圆的方程，
把圆 和圆 的方程相减即得公共弦所在的直线方
程为 .
故选 C．
11．D
【解析】
【分析】
利用正弦函数的性质求解即可.
【详解】
xay b
=
a b 2y ax bx= +
02
bx a
= − < y 2y ax bx= +
2 2 2 8 0x y x+ − − = 2 2 2 4 4 0x y x y+ + − − =
1 0x y− + =令 ，得 ，取 ，得 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了求正弦型函数的对称轴，属于基础题.
12．A
【解析】
【分析】
本道题先绘制 图像，然后将零点问题转化为交点问题，数形结合，计算 a 的范围，即
可．
【详解】
绘制出 的图像， 有 3 个零点，令 与 有三个交点，
则 介于 1 号和 2 号之间，2 号过原点，则 ，1 号与 相切，则
， ，代入 中，计算出 ，所以
a 的范围为 ，故选 A．
【点睛】
本道题考查了数形结合思想和函数与函数交点个数问题，难度中等．
( )2 6 2x k k Z
π ππ− = + ∈
2 3
kx
π π= + 1k = 5
6x
π=
( )f x
( )f x ( )f x x a= + ( )h x x a= + ( )f x
( )h x 0a = ( )f x
( ) 2' 3 2 1, 1f x x x= − = = − 1y = ( )h x 2a =
[ )0,213．
【解析】
【分析】
由 解不等式可得函数的定义域．
【详解】
解：由 ， ，可解得 ， ，
函数 的定义域为 ，
故答案为：
【点睛】
本题考查正切函数的定义域，属于基础题．
14．
【解析】
【分析】
由 0< < ， < =2， <
=0,能比较 的大小关系
【详解】
解： 0< < ， < =2, < =0,
,
故答案： .
【点睛】
本题考查对数值大小关系的比较,是基础题.解题时要认真审题仔细解答注意对数函数和指数
函数性质的灵活运用.
15．
3{ | , }4x x k k Z
ππ≠ + ∈
4 2x k
π ππ− ≠ + ( )k Z∈
4 2x k
π ππ− ≠ + ( )k Z∈ 3
4x k
ππ≠ + ( )k Z∈
∴ 1 tan( )3 4y x
π= − 3| ,4x x k k Z
ππ ≠ + ∈
3| ,4x x k k Z
ππ ≠ + ∈
d a b c＜ ＜ ＜
20.3a = 00.3 1= 02 1= 0.32b = 2log 5c = 2log 4c = 2log 0.3d =
2log 1 a b c d, ,,
20.3a = 00.3 1= 02 1= 0.32b =
2log 5c = 2log 4c = 2log 0.3d = 2log 1
∴ d a b c＜ ＜ ＜
d a b c＜ ＜ ＜
5 ,3 3
π π − 【解析】
【分析】
求出函数 的所有定义域上的单调递增区间,即可分析出 的单
调递增区间.
【详解】
由 得 ,
当 时,得 , ,且仅当 时符合题意,
所以函数 的单调递增区间是 ,
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的单调性,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
16．
【解析】
【分析】
求得 关于 轴的对称点 ，可知当 取最小值时， 为直线 与 轴交点；利
用两点式求得直线 方程，进而求得 点坐标.
【详解】
由题意得：点 关于 轴的对称点
（当且仅当 三点共线时取等号）
直线 的方程为： ，即
当 取最小值时， 为直线 与 轴交点
故答案为：
【点睛】
1sin 2 3y x
π = + [ 2 ,2 ]x π π∈ −
12 2 ( )2 2 3 2k x k k Z
π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈ 5 4 4 ( )3 3k x k k Z
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈
0k = 5
3 3x
π π− ≤ ≤ 5 , [ 2 ,2 ]3 3
π π π π − ⊂ − 0k =
1sin , [ 2 ,2 ]2 3y x x
π π π = + ∈ −
5 ,3 3
π π −
5 ,3 3
π π −
( )2,0−
A x A′ PA PB+ P A B′ x
A B′ P
( )3,1A − x ( )3, 1A′ − −
PA PB PA PB A B′ ′+ = + ≥ , ,A P B′
∴ A B′ 1 3
4 1 2 3
y x+ +=+ + 2 0x y− + =
∴ PA PB+ P 2 0x y− + = x ( )2,0P∴ −
( )2,0−本题考查定直线上的点到两点距离之和的最小值的相关问题的求解，关键是能够利用对称性
确定最小值取得的情况，属于常考题型.
17．（1） ；（2）3
【解析】
【分析】
（
（2）先对原式化简，分子分母同时除以 cosα，即可转化为 tanα 的式子，代入 tanα 的值即可
算出结果．
；
(2) .
【点睛】
本题考查运用诱导公式化简求值，考查计算能力，属于基础题.
18．（1） ；（2） 或
【解析】
【分析】
（1）先设圆 的方程为 ，根据圆 过 ， ，
三点，列出方程组，即可求出结果；
（2）分直线 的斜率不存在与存在两种情况，分别用代数法联立直线与圆的方程，结合弦长
公式求解，即可得出结果.
【详解】
（1）设圆 的方程为 ，
因为圆 过 三点，
所以有 ，解得 ， ，
∴ 外接圆 的方程为 ，
5cos cos(2 ) 1 2 12 3sin( ) cos( ) 1 2 1
sin cos tan
sin cos tan
π α π α α α α
α π α α α α
− + − + + + = = = =− + − − − − −
2 2( 1) ( 2) 4x y− + − = 0x = 3 4 16 0x y+ − =
M 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = M ( )1 2A − ， ( )1 4B ， ( )3 2C ，
l
M 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + =
M ( ) ( ) ( )1 2 , 1 4 , 3 2A B C− ， ， ，
1 4 2 0
1 16 4 0
9 4 3 2 0
D E F
D E F
D E F
+ − + + =
+ + + + =
+ + + + =
2 4D E= − = −， 1F =
ABC∆ M 2 2 2 4 1 0x y x y+ − − + =即 .
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
联立 ，
得 或 ，此时弦长为 ，满足题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
由于圆心 到该直线的距离为 ，
故 ，解得 ，
∴直线 的方程为 ，即 .
综上可得，直线 的方程为 或 .
【点睛】
本题主要考查求圆的方程，以及已知弦长求直线方程的问题，通常需要联立直线与圆的方程，
结合弦长公式求解，属于常考题型.
19．（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先利用面面垂直的性质证明 ，再证明 ，最后利用线面垂直的判定
定理可得直线 平面 .（2）先找出直线与平面所成的角，再构造直角三角形求解.
【详解】
（1）因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
又 ，平面 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
2 2( 1) ( 2) 4x y− + − =
l l 0x =
2 2
0
2 4 1 0
x
x y x y
=
+ − − + =
0
2 3
x
y
= = −
0
2 3
x
y
= = + 2 3
l l 4y kx− = 4 0kx y− + =
(1,2)
2
2 2 32 12
− =
2
| 2 4 | 1
1
k
k
− + =
+
3
4k = −
l 3 4 04 x y− − + = 3 4 16 0x y+ − =
l 0x = 3 4 16 0x y+ − =
3
6
AF BC⊥ AF BF⊥
AF ⊥ BCF
AE ⊥ ABC AE ⊂ AEFB
AEFB ⊥ ABC
BC AB⊥ AEFB ∩ ABC AB=
BC ⊥ AEFB
AF ⊂ AEFB BC AF⊥在直角梯形 中，由已知长度关系可得 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以直线 平面 .
（2）因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
又平面 ∥平面 ，所以平面 平面 .
过 作 于点 ，则 平面 .
连接 ，则 为 在平面 内的射影，
所以 为直线 与平面 所成的角.
设 ，则 ， .
在直角三角形 中，有 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
AEFB AF BF⊥
BC BF B= BC BF ⊂ BCF
AF ⊥ BCF
AE ⊥ ABC AE ⊂ ACDE
ACDE ⊥ ABC
ABC DEF ACDE ⊥ DEF
F FM DE⊥ M FM ⊥ ACDE
CM CM CF ACDE
FCM∠ CF ACDE
AE EF a= = 2AB BC a= = 2 2AC a=
EMF 2
2ME MF a= =
2 3 22 2 2 2DM a a a= − =
2
2 2 23 2 11
2 2CM a a a
= + =
2 2 2 211 1 62 2CF CM MF a a a= + = + =
2
32sin 66
aMFFCM CF a
∠ = = =
CF ACDE 3
6本题考查空间中直线与平面的垂直关系以及直线与平面所成的角，主要考查考生的空间想象
能力和逻辑推理能力.高考对立体几何大题的考查一直是中等难度，主要考查空间中线面、面
面平行，线面、面面垂直的位置关系的判断，空间中距离、几何体体积的求解.几何体多以多
面体（棱柱、棱锥）为主，因此，复习中要掌握几种常见的棱柱和棱锥（三棱锥、四棱锥、
三棱柱、四棱柱）的性质特点，熟练掌握线面平行于垂直，面面平行于垂直的判定定理和性
质定理，并能在解题中熟练运用.
20．（1） ；（2）当 时，该厂所获
利润最大利润为 30000 元.
【解析】
【分析】
（1）结合分段函数 ，用销售价格乘以产量，再减去成本，求得利润 的解析式.
（2）根据二次函数的性质，求得利润 的最大值以及此时月产量.
【详解】
（1）由题意，当 时，
.
当 时，
，
；
（2）当 时， ；
根据二次函数的性质可知，当 时，
当 时， 为减函数， ，
∵ ，
∴当 时，该厂所获利润最大，最大利润为 30000 元.
( ) 21300 15000,0 450, N2
30000 20 , 450, N
x x x xf x
x x x
− − ≤ ≤ ∈=
− > ∈
300x =
( )P x ( )f x
( )f x
0 450x≤ ≤
( ) 21320 15000 20 300 0.5 150002f x x x x x x = − − − = − −
450x >
( ) 45000 20 15000 30000 20f x x x= − − = −
( ) 21300 15000,0 450, N2
30000 20 , 450, N
x x x xf x
x x x
− − ≤ ≤ ∈=
− > ∈
0 450x≤ ≤ ( ) 20.5 300 15000f x x x= − + −
300x = ( )max 30000f x =
450x > ( ) 30000 20f x x= − ( ) ( )max 450 21000f x f< =
30000 21000>
300x =【点睛】
本小题主要考查分段函数在实际生活中的应用，考查分段函数最值的求法，属于中档题.
21．(1) ;（2）单调递增区间为 (3) 时, 取得
最大值 1; 时,f(x)取得最小值 ．
【解析】
试题分析：(1)利用图象的最高点和最低点的纵坐标确定振幅,由相邻对称轴间的距离确定函数
的周期和 值;
(2)利用正弦函数的单调性和整体思想进行求解;
(3)利用三角函数的单调性和最值进行求解．
试题解析：
(1)由图象知
由图象得函数的最小正周期为 = ,
则由 = 得 ．
(2)令
.
.
所以 f(x)的单调递增区间为
（3）
.
.
当 即 时, 取得最大值 1;
1, 2A ω= = π ππ, π ,3 6k k k − + + ∈ Z π
6x = ( )f x
π
6x = − 1
2
−
ω
1,A =
2π π2 3 6
− π
2π
ω π 2ω =
π π π2 π 2 2 π, 2 6 2k x k k Z− + ≤ + ≤ + ∈
2π π2 π 2 2 π3 3k x k∴− + ≤ ≤ + k ∈Z
π ππ π3 6k x k∴− + ≤ ≤ + k ∈Z
π ππ, π , .3 6k k k − + + ∈ Z
π π π π, 2 ,6 4 3 2x x− ≤ ≤ ∴− ≤ ≤
π π 2π26 6 3x∴− ≤ + ≤
1 πsin 2 12 6x ∴− ≤ + ≤
π π2 ,6 2x + = π
6x = ( )f x当 即 时,f(x)取得最小值 ．
22．（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）转换为关于 的二次函数,再求解不等式即可.
（Ⅱ）先求得 在 时的最大值 ,再根据 得
.再分情况讨论 在 上的最大最小值即可.
【详解】
（Ⅰ）
.解得 即 .
（Ⅱ）由题意得 .
又 , ,
故 .即 恒成立.
又 对称轴 .又区间 关于 对称,
故只需考虑 的情况即可.
①当 ,即 时,
易得 ,
故
即 ,又 .
故 ,解得 .
②当 ,即 时,
π π2 ,6 6x + = − π
6x = − 1
2
−
2,2 2x ∈
1
4
2log x
( )g x [ ]2,4x∈ 1
4
( ) ( ) ( )1 2f x f x g x− ≥
max min
1( ) ( ) 4f x f x− ≥ ( )f x [ ]1 2, 1, 1x x t t∈ − +
2 2 2
2 2 2 2
1 1 3log log log 2log 04 2 4x x x x− + ≤ − ⇒ − + ≤
2 2 2
1 3 1 3log log 0 log2 2 2 2x x x ⇒ − − ≤ ⇒ ≤ ≤
1 3
2 22 2x≤ ≤ 2,2 2x ∈
max min max( ) ( ) ( )f x f x g x− ≥
( ) ( )22 2
2 2 2
1 3log log log 14 4g x x x x= − + = − − [ ]2,4x∈ [ ]2log 1,2x∈
2
max
3 1( ) (2 1) 4 4g x = − − = max min
1( ) ( ) 4f x f x− ≥
( ) 2 1 3
2 4f x ax x= − − 1
4x a
= [ ]1, 1t t− + x t=
1
4 ta
≥
1 14t ta
≤ < + 1 114 4ta a
− < ≤
( ) ( ) ( )max min
1 3 11 , 4 4 16f x f t f x f a a
= − = = − −
2
max min
1 3 3 1 1( ) ( ) ( 1) ( 1)2 4 4 16 4f x f x a t t a
− = − − − − − − − ≥
2 1 1 1( 1) ( 1)2 16 4a t t a
− − − + ≥ 1 1 1 11 2 1 14 4 4 4t ta a a a
− < ≤ ⇒ − < − ≤ −
21 1 1 1 1( 1) ( 1)4 2 4 16 4a a a a
− − − + ≥ 1
4a ≥
1 14 ta
≥ + 1 14t a
≤ −易得 ,
即 .
化简得 ,即 ,所以 .
综上所述, 故实数 的最小值为
【点睛】
本题主要考查了与二次函数的复合函数有关的问题,需要理解题意明确求最值,同时注意分析
对称轴与区间的位置关系,再分情况进行讨论求最值即可.属于难题.
( ) ( ) ( ) ( )max min1 , 1f x f t f x f t= − = +
2 2
max min
1 3 1 3 1( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)2 4 2 4 4f x f x a t t a t t − = − − − − − − − − − ≥
14 1 4at− + ≥ 34 4at ≤ 1 3 14 14 4 16a aa
− ≤ ⇒ ≥
1
4a ≥ a 1
4
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