浙北 G2 期中联考
2019 学年第二学期高二数学试题
考生须知：
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.已知全集 ，集合 ，则 （ ▲ ）
A． B． C． D．
2.若 ，则（ ▲ ）
A. B. C. D.
3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积(单位:cm3)是（ ▲ ）
A. B. C.6 D.8
4.设 为不重合的平面， 为不重合的直线，则下列命题正确
的是（ ）
{0,1,2,3,4,5,6}U = { } { }1,2,3,4 , 0,2,4A B= = ( )UC A B =
{ }2,4 { }5,6 { }0,1,3,5,6 { }0,1,2,3,4
5
4sin =α
4cos( )2 5
π α− = 3sin( )2 5
π α− = ( ) 4sin 5
π α+ = 4sin( ) 5
π α− = −
8
3
4
3
,α β ,m nA.若 ， ， ，则
B.若 ， ， ，则
C.若 ， ， ，则
D.若 ， ， ，则
5.已知直线 与直线 平行，则实数 （ ▲ ）
A. B. 3 C. D.1
6.已知数列 满足 ，当且仅当 时， 取到最小值，则 的取值范围
（ ▲ ）
A. B. C.与 有关 D.以上均不对
7.已知平面向量 在 上的投影是 ， ，则 的值为（ ▲ ）
A． B． C．1 D．
8.在平面直角坐标系 中，若圆 上存在点 P，且点 P 关于直线
的对称点 Q 在圆 上，则 的取值范围是（ ▲ ）
A. B.
C. D.
α β⊥ nα β = m n⊥ m α⊥
m α⊂ n β⊂ / /m n / /α β
n α⊥ n β⊥ m β⊥ m α⊥
/ /m α / /n β m n⊥ α β⊥
0)2(3:1 =+−+ ayaxl 03:2 =++ yaxl =a
1 3− 或 1−
{ }na 2 2na n kn b= − + 2020=n na k
}2020{ )2021,2019( b
AC AB 1− 1, 7AB BC= = AC
3 2 2 2
xOy 1)1()2(: 22
1 =−+− yxC 0=+ yx
)0()2(: 222
2 >=++ rryxC r
]117,117[ +− ]122,122[ +−
]12,12[ +− ]15,15[ +−9.已知 为正数， ，若存在 ，满足 ，则实
数 的取值范围是 （ ▲ ）
A. B. C. D.
10.在矩形 中，已知 ， ， 为 的三等分点（靠近 A 点），现将三角形
沿 翻折，记二面角 ， 和 的平面角分别为 ，则当平面
平面 时（ ▲ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共有 7 小题，其中第 11、12、13、14 小题每空 3 分，第 15、16、17 小题每空 4
分，共 36 分）
11.设函数 ，则 __▲__ ； 的值域为__▲__
12.函数 的部分图象如图
所示，则 __▲__，对称轴方程为__▲__
13.若实数 ， 满足 ，则 的最大值是__▲__；最小值是__▲___.
14.在三角形 的中，已知内角 所对的边分别是 ，且 ， ，
则该三角形的外接圆半径为__▲__，若 D 为 BC 的三等分点，AD 的最大值为__▲__.
15.已知直线 是圆 的一条对称轴，过点 的直线
( )( )1f f = ( )f x
a ( ) 2
2 2
,
3 2 ,
x ax x af x
x ax a x a
− ≥= − + > β α γ> > α γ β> > β γ α> >
3 1, 1( ) ln , 1
x xf x x x
− ≤= − >
( ) sin( )( 0, 0, 0)f x A x Aω ϕ ω π ϕ= + > > − < <
A =
x y
4
4 4
0
x y
x y
y
+ ≤
+ ≥
≥
2x y+
ABC , ,A B C , ,a b c 3a =
3A
π=
( ): 0l x ay a R+ = ∈ 2 2: 4 2 1 0C x y x y+ − − + = ( )1,P a−与圆 交于 两点，且 ，则直线 的斜率为__▲__.
16.已知向量 和单位向量 满足 ，则 的最大值是__▲__.
17.已知 ，且 ，则 的最小值为__▲__.
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.（本题 14 分）已知函数
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的单调递减区间.
19.（本题 15 分）如图，直角梯形 ABEF 等边 ，
（Ⅰ）求证： ;
（Ⅱ）求直线 与平面 EBC 所成角的正弦值.
m C ,A B 4AB = m
a b 3 3a b a b+ = − a b⋅
0, 0x y> > 1 1 1
1 2 1 2x y
+ =+ + xy
)3sin()6sin(3)(
ππ −−+= xxxf
)6(
π
f
]2,0[ π∈x )(xf
⊥ ABC∆ 22,,// ==⊥ FAABABFAEBFA
BCFA ⊥
FC
A
B C
E
F20.（本题 15 分）已知数列 满足 ；
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（III）求数列 的前 项和
21.（本题 15 分）已知数列 满足 ， .
（Ⅰ）求证：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ，.
①求证：
②求证：
}{ na
2
53222
2
2
2
1
nnaaa n
n +=+++
1a
}{ na
}{ na n nS
{ }na 1
3
4a = 1 12 1 0n n na a a+ +− + =
1
1na
−
{ }na
{ }nb ( )1 11, 3n n nb b b n a+= = +
( )1 1
1 2n n
n
b b nb + −= − ≥
1 2
1 1 1 2 2 3
n
nb b b
+ + + ≥ + −22.（本题 15 分）已知函数
（Ⅰ）若 ，且 在 上递减，求 的取值范围.
（Ⅱ）设 ， 对任意 恒成立，求 的最大值.
axabxaxxf −++−= 2)(
3=b )(xf ),( a−∞ a
]2,1[∈a 0)( ≥xf ]2,1[∈x ba 25 −浙北 G2 期中联考
2019 学年第二学期高二数学答题卷
一、选择题：每小题 4 分，共 40 分
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分
11、____________；_____________ 12、____________；_____________
13、____________；_____________ 14、____________；_____________
15、 ______________ 16、______________ 17、______________
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
18.（本题 14 分）已知函数
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的单调递减区间.
)3sin()6sin(3)(
ππ −−+= xxxf
)6(
π
f
]2,0[ π∈x )(xf19.（本题 15 分）如图，直角梯形 ABEF 等边 ，
（Ⅰ）求证： ;
（Ⅱ）求直线 与平面 EBC 所成角的正弦值.
⊥ ABC∆ 22,,// ==⊥ FAABABFAEBFA
BCFA ⊥
FC
A
B C
E
F20.（本题 15 分）已知数列 满足 ；
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（III）求数列 的前 项和
}{ na
2
53222
2
2
2
1
nnaaa n
n +=+++
1a
}{ na
}{ na n nS21.（本题 15 分）已知数列 满足 ， .
（Ⅰ）求证：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ，.
①求证：
②求证：
{ }na 1
3
4a = 1 12 1 0n n na a a+ +− + =
1
1na
−
{ }na
{ }nb ( )1 11, 3n n nb b b n a+= = +
( )1 1
1 2n n
n
b b nb + −= − ≥
1 2
1 1 1 2 2 3
n
nb b b
+ + + ≥ + −22.（本题 15 分）已知函数
（Ⅰ）若 ，且 在 上递减，求 的取值范围.
（Ⅱ）设 ， 对任意 恒成立，求 的最大值.
axabxaxxf −++−= 2)(
3=b )(xf ),( a−∞ a
]2,1[∈a 0)( ≥xf ]2,1[∈x ba 25 −浙北 G2 期中联考 2019 学年第二学期高二数学参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A C C D D D B B
二、填空题（本题共有 7 小题，其中第 11、12、13、14 小题每空 3 分，第 15、16、17 小题每空 4
分，共 36 分）
11. 12. ，13. 8 2
14. 15. 1 16. 3 17. 4.5
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18 解：（Ⅰ） …………4 分
…………3 分
（Ⅱ）
…………2 分
， 递减，…………2 分
所以 的单调递减区间是 …………3 分
19.（Ⅰ）证：
ln 2− ( , 2]−∞ 2 ( )3 2
kx k Zπ π= + ∈
3 3 1+
)3sin(2)6cos()6sin(3)(
πππ +=+++= xxxxf
2)6( =∴ π
f
]2,0[ π∈x
]3
7,3[3
πππ ∈+∴x
时当 ]2
3,2[3
πππ ∈+∴ x )(xf
)(xf ]6
7,6[
ππ∴
ABFAABCABEF ⊥⊥ ,平面平面 …………3 分
…………3 分
（Ⅱ）解：
…………3 分
…………3 分
…………1 分
…………2 分
20.解：（Ⅰ）当 时， ， …………3 分
（Ⅱ）当 时， …………2 分
所以， ，对 也成立
…………2 分
（III）
…………2 分
…………2 分
ABCFA 平面⊥∴
BCFA ⊥∴
EBFA//
EBCFA 平面//∴
的距离到平面等于的距离到平面 EBCAhEBCF∴
3=∴h
5=FC又
5
15
5
3sin ==∴ θ
1=n 42 1 =a 21 =∴a
2≥n
2
)1(5)1(3222
2
1
1
2
2
1
−+−=+++ −
− nnaaa n
n
132 += nan
n 1=n
nn
na 2
13 +=∴
nn
nS 2
13
2
10
2
7
2
4
32
++++=
1432 2
13
2
10
2
7
2
4
2
1
+
++++= nn
nS
132 2
13)2
1
2
1
2
1(322
1
+
+−+++=∴ nnn
nS
12
13)2
1
2
1(32 +
+−−+= nn
n…………2 分
…………2 分
21.证：（Ⅰ）由条件知： ，…………1 分
…………2 分
所以数列 为等差数列，且首项为 ，公差 …………2 分
…………1 分
…………1 分
（Ⅱ）① …………1 分
…………1 分
两式相减，得：
…………2 分
12
73
2
7
+
+−= n
n
nn
nS 2
737
+−=∴
1
1 12
+
+ −=
n
n
n a
aa
1
112
1
1
1
1
1
1
1
1
11
−=
−−−−=−−−∴
+
++
n
nnnn
a
aaaa
1
1na
−
41
1
1
−=−a 1−=d
31
1 −−=−∴ nan
3
2
+
+=∴
n
nan
( )1 3 2n n nb b n a n+ = + = +
1 1 2n nb b n n−∴ = + ≥，（ ）
1)( 11 =− −+ nnn bbb
( )1 1
1 2n n
n
b b nb + −∴ = − ≥②
…………2 分
…………1 分
…………1 分
22.解（Ⅰ）当 时， ……2 分
…………2 分
得： …………2 分
（Ⅱ）
开口向下…………1 分
…………3 分
…………3 分
线性规划，求得当 时， 取得.最大值为 …………2 分
113524131 −+ −++−+−+−+= nn bbbbbbbb
nbbbb
1111
321
++++
1211 +++−−= nn bbbb
3222 21 −+=−≥ + nbbb nn
axb a
)(xf∴
≥
≥
≥
∴
0)(
0)2(
0)1(
af
f
f
只要
≥+−
≥+−−
≥+−
∴
0
022
02
3
2
2
aba
baa
baa
8
21,2
3 == ba ba 25 −
4
9
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