江苏省百校联考2020届高三数学第五次考试试题（Word版含答案）

高三数学 第 1 页 共 4 页 江苏省百校联考 2020 届高三年级第五次试卷 数 学 数学Ⅰ试题 2020 年 5 月 参考公式： 样本数据 ， ，…， 的标准差 ，其中 ； 柱体的体积公式： ，其中 S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式： ，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 一．填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置上 。 1. 已知集合 A={1, 2}, A∪ B={1, 2, 3}, 则集合中 B 必定含有的元素是 ▲ ． 2. 已知复数 i(a+i)的模为 1 (其中 i 为虚数单位), 则实数 a 的值是 ▲ ． 3. 下图是一个算法的流程图, 则输出 k 的值是 ▲ ． 4. 已知一组数据 1, 3, 5, 7, 9, 则该组数据的方差是 ▲ ． 5. 已知双曲线 x2 a2－ y2 9 =1(a＞ 0)的左、右顶点与点(0, 3)构成等腰直 角三角形, 则该双曲线的渐近线方程是 ▲ ． 6. 已知函数 y = tanx 与 y = sin(3x－φ) (0≤ φb>0)上一点, 它关于原点的 对称点为 B, 点 F 为圆的右焦点,且以 AB 为直径的圆过点 F, 当 ∠ABF = π 6时, 该椭圆的离心率是 ▲ ． 13.已知 x, y 均为正实数, 且 x＋ 1 y＝1, 则 y x＋8y 的最小值是 ▲ ． 14.已知当 x>0 时, 函数 f(x)=alnx(a>0),且 f(x)=f(-x).若 g(x)=2x 2-m(m>0)的图象与 f(x)的图象 在第二象限有公共点, 且在该点处的切线相同, 当实数 m 变化时,实数 a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步驟． 15. (本小题满分 14 分) 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c. 已 知 C= π 6, m=(sinA, － 1), n=(cosB,1), 且 m∥n． (1) 求 A 的值; (2) 若点 D 为边 BC 上靠近 B 的四等分点, 且 AD = 21, 求△ABC 的面积． 16. (本小题满分 14 分) 在三棱柱 A－BCD 中,E,F 分别为 AD, DC 的中点,且 BA=BD,平面 ABD⊥平面 ADC． (1) 证明: EF∥平面 ABC． (2) 证明: CD⊥BE． （第 12 题） x y A o F B F A B C D E （第 16 题）高三数学 第 3 页 共 4 页 17. (本小题满分 14 分) 一胸针图样由等腰三角形 OAB 及圆心 C 在中轴线上的圆弧 AB 构成, 已知 OA=OB=1, ∠ ACB= 2π 3 . 为了增加胸针的美观程度,设计师准备焊接三条金丝线 CO,CA,CB,且 AC 长度不小 于 OC 长度．设∠ AOC=θ． (1) 试求出金丝线的总长度 L(θ), 并求出的取值范围; (2) 当 θ 为何值时,金丝线的总长度 L(θ)最小, 并求出 L(θ)的最小． 18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C: x2 a2＋ y2 b2=1 (a>b>0)右集点 F 的盤标为(1,0), 点 P(1, 3 2)为椭圆 C 上一点． (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 过椭圆 C 的右焦点 F 作斜率为－ 3的直线 l 交椭圆 C 于 M, N 两点, 且OM→ ＋ ON→ ＋ OH→ ＝ 0, 求△MNH 的面积． 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) = x 3 ＋ x 2 － a x ( a ∈ R ) , g ( x ) = x l n x ． (1) 求曲线在 x＝1 处的切线方程； (2) 对任意 x ∈ ( 0 , a ] , f ( x ) ＞ g ( x ) 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3) 当 x ∈ ( 0 , a ] 时, 试求方程 f ( x ) = g ( x ) 的根的个数． 20. (本小题满分 16 分) 己知数列{an}满足 a1＝1 2， an+1＝ λan 1 + a ，n∈N*． (1) 若 λ＝1, (ⅰ) 求数列{an}的通项公式； (ⅱ) 证明: 对∀n∈N*，a1 a2 a3＋a2 a3 a4＋…＋an an+1 an+2＝ n（n + 5） 12（n + 2）(n + 3)． (2) 若 λ＝2, 且对∀n∈N*，有 0＜an＜l, 证明: an+1－an ＜ ＋ 1 8 ． BA θ M C O （第 17 题）高三数学 第 4 页 共 4 页 江苏省百校联考 2020 届高三年级第五次试卷 数 学 数学Ⅱ（附加题） 2020 年 5 月 21A.[选修 4－2:矩阵与变换] (本小题满分 10 分) 已知矩阵 A＝[1 k 0　1 ] ，A2＝[1 2 0　1 ] ，求 A -1. 22B.[选修 4－4:坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数) .若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点， Ox 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系, 得曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos(α－π 3 ). (1) 求直线 l 的倾斜角； (2) 若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点, 求 AB 的长度. 23C.(本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P－ ABCD 中, 底面 ABCD 为梯形,AB∥ CD.若棱 AB, AD,AP 两两垂直,长度分别为 1,2,2,且向量 PC→ 与BD→ 夹角的余弦值为15. (1) 求 CD 的长度 (2) 求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦值. 24D.(本小题满分 10 分) 记 f(α)为(ax＋ 1) n 二项展开式中的 x3 项的系数, 其中 a∈ {1,2,3,… ,n},n≥ 3. (1) 求 f(1), f(2), f(3)； (2) 证明: n ∑ a=1 f(α) = C nn + 1(n3＋ n2) （第 23C 题） A B C P D高三数学 第 5 页 共 4 页高三数学 第 6 页 共 4 页高三数学 第 7 页 共 4 页高三数学 第 8 页 共 4 页高三数学 第 9 页 共 4 页高三数学 第 10 页 共 4 页